II

Sritbmetia jScomctna ct d©ufica 36octu '

c

l

C7"f»P(oiirouoHb:( o< Slritbmftifajinirii mantiife
umm il^ortii viiiclanfTumi illiinriiriinu)c£6ruli»:o:
(linan|:parrici|:ad piirrictum rimn»cbum.

Dandis accipiendiftv; munmbns ira
rcftc offiaa p:ccipuc iiuc r coa qui fcfc msi
gni fijciunf ertiinanfur fi lic^uido conila'
bir ncc ab l?vx aliud quoil libcralius affcr
rct inucntuin:nccabi[lovn$quod iocii
diiie bf niuolcnria complcctcrctur flccl'
prum.ft^fc ipft confldcrane attuli non
fg laua opu5 pondcra viuibuaad lacin'' nibil inftrncrius
ciVcmii bdbcndifttia incanduif: ad mcriru? nibil vilius
ninicaftbi ricro:animue calata fubiccir:fcdfaquf cic
grccaru opulcnria litrfranim in romanf oarionietbcfau
rum rumpraconnetimuu.^racnimmd quocp opcris
milMratio(6iUb\:flqiif crfapicnrif ciocrrinisfiiaii: fa
piVntifTimiiudiciocop:obmf.Ctide0 igirurnrramma
gni labo:i6iftIcm -tuiiranrnrtpfcrcroc^mc: icf in au-'
rcs.pdircpublicjeninctocrf fenrcrif a rtipulafione ni"
tamr.'3ln quonibilmirti vidcriocbcr:caidopii0qi> fa-
pienric inuen^a p crlcquif ;no ancto:i6 fed alicno incum
bir arbitrio. Suis quippc initrumeris rcs rarionis ejr*
pendimr:cii tudiciu coc;inr fiibircp:udfnriP. Scdbuic
mnniifailo:noncadfm quf ccrcnsimincrairibus mu'
n incnraconrtinio.i{lfci5eram fcre vlla fic cnnctiBabfo
lura parribus nulliiis indis^ fuis rarficft fciCria nipi pfi
di|0:nt no tcterarum quoc^ aitium adiu:ncnta ocfidcrct
*Waincfti5iandi0marmo:e ftami6:aliu6 cjciidfndf ino
lie labo: eftralia lb:mandc iinaginisrario: nec ciufdcni
arrificis manus poliri oocrisjiiro: cjrpccrar.Slc picrur?
manibusrabulf fomifTf fab:o:um.cfrcrurtica obfcrua
tione orccprf :colo:um fuci merc aro:um folcrria Pi:rquin
ti:linrf a operofis ei abo:ara tettrini« multiplicc m mate
riam p:frtant.iRonneidcm quoce> in belIo:um fiftrur
inrtrumenri6.-'ID»c f;Mcu!a fagirtis ecacuit : illi validu»
tb3:arnigra gcmMnaidc.inrtalius crudi vmboniete
gmina p:op:ii labo'is o:bi infiqcnda mercamr: ta mul
fts artibu? ars vna pcrficitur. 'SIW nortri labo:is abiblu
tio lonu;? ad faciliorem ciirrit eucntum.Xu enim fcUi«
mann fup:f mo operi imponcs: in quo nibil oc occern2
tia neccfCe crt Iabo:arc confc nfu. Quamlibet cni boc ludi
<ium mulrisarribusp:obftur ctcultum vnorame cu-
fnulanir cramine. tpcriarc igimr licet quantum no/
bis in boc rtudio loais rracrus ocijs laboz adiecerir. 2In
rerum fubrilium fusaserercirarf mentis vclociras com
pzebendar: vnum iciunf macies o:arioni6 ad ea quf fnt
caliganrib^^impedira fcnrctija eicpedicnda fufficiar.^ua
in remibialieni quoquciudicij lucra qufrunror: Cum
tu XTrariTcBpfritifrimuslitreraru poiiisgraif o:ariois
crperribue quanrn t>e nobie iudifarc audcant:fola ranrfi
p:onun((4-ionep:ffcribere. arnonalreriue obnoiiu»
mrtimrisarcriffima mcmctipfe traflarionis legeprtrin
go:fcd paululum Iiberius euagatus alicno iriner(:no ve
ftjgiis infirto.iRi -r ea quf oe numcrie a nicomacbo oif
fnfi"'Difpurara funr:modcratab:euirarc collegi, tTtqu?
tran^curfa velocius angurtio:einrtIligenrif p:ert3banc
iidiru3:mediofri adiettionercfcraui^uraliquandoadeui-
denriamrerum nortri8criamfo:muIisac Defa-iptioni'
bus vreremur, eiuod nobis quaris vigilijs ac fudo:c
tonrtircrit facile fob:iu8 lecto: agnofcet. jCumigif qua^
tno: matbcfcos oifciplinarii oeartrbmericaqufeft p:i'
map:era-ibercm:tutanraO!(^n'comunerevidebareeoq5
magis in f narraro opus ene inrdligeba. THa t rt apud
tefacilis venic locuseftcr:aIiquandoramen ipfam fb:"
midabat facilirarf m fnfpf cra fecuriras. Slrbin-abar enitti
nibil ranre rcuercntif oblaril iri opo:rere:quod no elabo
ramm ingcnio^perfccrum ftudio;bignumpoftremota'
foociovidermir.lRoii isiturambiso quiti p:otua iri

me bcniuo^cntia fupcrnac Uarefcccfl^biantta fupplcaa
crrats rc p:cbcnda6:comodc oicra mira niumi alacritarc
fufcipias.vJiif icsimpulirpigiamconniijmosim, iHi
miosfnimibiliuct^placimra rciUrucnr.iHoui quippc
quanro ftudiofuis noftra cf tcro:um bona oiligamus
iRcfrecriTioqfi aunosccrcri culmost maruros^bacbo
palmitcsific jdtcrudimcnra nouiopcris tranfmift.Xu
tanrfi parcrna graria noilruiu p:oucba8 munus: ira t la
bo:is mri p:imirias ooailTimo iudicio confccrabie:-! na
maio:e ccnfcbitur aucto: mcrito p:obato:.

^nciptunt capitula p:imi Iib:i.

•tfb:obemininquooiuiftoncs matbcmatiff. tfap.i»
jD:fnbftanrianumcfi. iCap.i.
iDiftinitiot oiuiflonumcri ^ biffinttiopariectim'

paris. lCap.j.
jDiffinirio numeri paris ct imparis fc^m pitbago '

ram. JCap.4,
2llia fc6m anriquio:cin modum oiuffto parts ct im'

paris. >Cap.f.
JOift^ nitio paris 1 imparis per alterutra jCap 6,
iD p:iiKipalirare vniraris. /Cap.7.
iDiiiinopansnum.ri. iCap.s.
iOe numcro parirrr pari ciufq5.pp:ictatibus. iCap .9.
2D-' numcro paritcripari nufcp.pp^ietatib''. Cap.io,
jDenuiucroimparirerpari: ciuifi3 pwp:ietatibU8oc

queeiusad pariter parcm t paritet imparein cc

gnariouf. Cap.ii.
jDc criprionis ad impariter paris naturam perrinen

tiscjrpofiriO, lCap.12
jDc numero impariciufcBbiuiftone. iCap,i5.
SDavimotincopoftto. >Cap,i4.
/DcfcciidoTconjpoflto. (Cap.ij.
jDc eo qui per fc fecundus t copoflme: fldaliu p:t'

mustincopofirusfft. iCap.ifi.
SDi:p:imicin(ompcfiri:i fecundit compol^ti-rad

fe quidc fecundi ^ fompoftti ad altcm vcro p:imi

^ incopofiri p:ocrcationc. iCa^.t'7.
£5einucrionefo:?rmimero;?qui ad fe fcaldi-j compofirC

fun^rad ahos vcrorclarip^imitincopofiri. jCap.is
^lia parririo paris fc^m pcrfcaos iinperieaoB tvl'

tracfepcrfcctos. lCap.19.
S)e geiicrarionc numeri pfccri. Cap. :o

IDerclara ad alicid quantitatc. Cap. :i.

tOe fpecif ^''maio^is inf qualitatis 1 mino:is. jCap. : 2.
2Dc mulripiici eiulc^ fpeciebus emamc^ gencrario

nibus. lCap.25,
SDe fupparttculartciuf(]^fpecicbuscarumc^ genera'

rionibUB. )Cap.24,
iDe quodam vtili adcognitionem fupcr particulari/

busaccidenre. Cap.zjr.
/Defcriprio p qul ooccf Cf tcris tnfqualitatts fpeciC'

busanriquio:celTemulriplicf. Cap.ifi,
IRatio at'B erpofirio Mgcftf fo:mul?. jCap. 27

5De tcrria inf qualirarie fpcficquf bicitur fupparricfl:

oequt cius fpccicb^carifcB gencrationib^. jCap.i».
JDe mulriplia fuppartieulari. jCap.ij»,
23eeo:ume]t:cmpli8idfupcrio:i fo:muIa inucnicn'

dis. |Cap.50.
SDe multiplici fuppamentc. jCap.ji.
2>emonftratioqucmadmodii omni0 injqualitas ab

$quaUratcp:o(eirerit. /Cap.sz

3lritbmcriCvi

C^bwbnrno in qaoDiuirtomatbfmatic^. jCaprm.i.

1Rrcromncflp:ifi:faucro:it9ri8riroe:
qui pYfbai];o:a oucepurio:c mcntis ra'
tionc victucnmr: conrtarcmanifcilii crt
i bau4 qncqui in pbilofopbic otfcipli'
Itis adVumulum pcr ccrionits cuadcrc :
nincuiralis p:udcntif nobilira? ciuo ■
damquaft quadrimovcnigaf. Quod
rmefolfrriam infucnris non larcbir.tFn cnim fapicnra
raum quf funnuicBimurabilcmfubilaMtiflni fo^tiun'
tur conip:clxnnovcntari3.^lTc a: tcm illa Oicimus
qu? nccinrcnrionccrcfcunr: ncc rfriamonc uiinuunrur:
ncc variariombns pcrmuranrur:icd in p:op:ia fcmp vi
fuf fcnarur^ fiibfldiianiracudodiunr. IDccaun.m flmt
qualirarc e:quanrirarc9:fo:mc:magmrudiiics : paruira'
tcs:f qualirarc8:babirudinff5:acfu6 oifpofuionce: loca :
Kmpo:a:crqiiicQdadunariiquodamodo co:po:ibU0 in
ucnif . ^ncipfa quidc narura inco:po:ca funr i imurabi
lid fubrtanrif ronc vigcnriarparriciparioc vcroco:po:i0
pcrmuranturrrtacru vanabilisrciin vcrribilcmtncon'
flantiam rranfcunr. [[^fcigirur quoniamur oicru crt na
turaimurabilcm furtanriam vimci5fo:rira funt:vcrcp:o
p;icci5ClTc 0 cunf.lDog^jSif idcllqucfunrpp:ic:qufci5
fuonomincciTcnncnominanrur:fcicntiam fapicntia p'
fircrur.^iTcnrif auremgcminf parrcsfunr:vna coririua
1 fuis parribusiuncra:ncc vlhefinibus Diilributa: uc
cflarbor^lapis^iomma mudi buiu0co:po:a : quf ,pp:ie
macmimdincgappellanrur.alia vcro oiduncra a fci cc
tcrrninara p.irfibU8 -? quafi accruarim in vnu rcdacra c5
(ilium:ur grcr^populue^cljo^us^accruue:-? gcquid quo^
ro parrcs p:op:ii8 cwrcmiraribus tcrminantur:? ab al^
tcriusftneoifcrcrf funr,IDi0p:op:innomen eft multi'
rimdo.'i[\urfu8 mulrirudinig alia funtpcrfcut rrcsvel
quatuo:: vcl tcrragonus: vlquilibcr nummie qui ur ftt
nuHo indigcr. gllij vcroper fcipfa non conrtant: fcd ad
quidda aliiid rcfcrunf : vc ouplii: H Dimidiurut fcfqual^
rern: vcl fcfquircrriii 7 quicquid ralecft:quod nifi rclatuj
fitad ahud:ipfum ciTe non polTir. ftTOjgnirudinis vcro
alia funrmanentia morutpcarcntia^alia veroquf mobi
lifcmpcrrorarioncvcrruniur-.nccvlliercmpo^ib^^acquicr
(unt. IDo:ii ergo illam muJrirudine quf per fe ciV. arirb-
tneticalpccuTarur inrcgrirae.Hlamvcro quf ad aliquid
tnufici modulaminiarcpcramenra pnofcunr.jmmobi"
lis vero macmirudinis gcomctrtca noriciam pollicctur ,
ifDobilis fcicntiamaitronomicf oifciplinc pcritia veit
dicauit. ^uibus quarruo: partibus fi carcar inqutfito: i|
veruinuemrc nonpofTit.acflnebacquidem fpecularionc
veriraris nulli rccre fapiendum el^.Srt cnim fapictia ca^
ra rcrum quf vere funr:co?nirio i inregra comp:ebcllo
^uod bfcqui fpcrnir:idcil bas femitas fapienrif :ci oe^
nancio non recte pbilofopbando.Siguid^pbilofopbia
cl^flmo:fapientif:quaminbis fpcrncndis anre contc'
pfcrii.^lludquocpaddcndu^arbitroiquodcuncravie
mulritudinisab vno p:ogrcffa tcrmino:ad infinira p:o'
grelTionis augmenta concrc fcir:magnirudo vcro a finira
incl^oansquintitatemodi) in oiuillonenon rccipir.^n'
finiti(nma8enifuico:po:isfufcipitfcctione6.IDacisi''
tur nature infanirarcindercrminatacp porcnriam pbilo'
Ibpbia fponrercpudiar.T^tbilenimquod innn|rucrt:vcl
fcientiaporell(o'.ligivelmente c5p:cbendi. ioed binc
fumpfirfibi ipfarario:in quibUdpofTctindagarricS veri
tttis ercrcerc folerriam. iOelcgit enim oeinlinitf multt-;
tudinispluralitatcfinirftcrminaquantiraris^iintcrmi
mbiliemagiiitudinisfccnoncreiccra ocfinirafibi ad CO'
gnirioncm fpaciaocpopofcit. Conilat igitur quifquis
bftp:ercrmifcrirtomnepbilofopbif pcrdidiflcoocrrina
l^ocigituriUud quadruuin crt quo bis viandil fit qui'
bascKCcUentiozaniinusa nobis cump:ocreatis fenfib'
Kl iiueUisentt( (criio:a pcrducittir. ^untcni} Quidam

gradns ccrtcqj p:ogrclTion6 oimenHone? qnil iw afccn
dip:ogrediq5polTit:utanimii|l(iottilii:qui( utait pla/
to) mulris oculis co:po:3libus faluari confltruicp f:r oi
Snio::quodco folo luminc vertigari vcl urpici veritas
qucflt. IDuncuiciu.i onilii ocmcrfum o:b3?fKi5 co:po:cifl
fcnHbucbf oifciplinc rurfum illumincnr. 0uf igitur cjc
bifl p:im3 oifcenda cihnifi ca quf p:incipifj iiiatnice qJ5
flmmodoadccrcra^obrtncrro.^rioncm.-^bcccilaur atirb
merica.lDcccnimcuncti6p:io:eft:non modoquodbac
iUe buiu6 niiidanf rnoli»? condito: ocus p:imam fuf b«
buit ratiocinarioniscrcmplar^^adbanciuncfa conilltu
it qufamci5fab:icantcrarioncpernumcro03lfignario:
dinis inucnercconco:dtam:fcd boc quoq^ p:io: aiirbmc
tica occlararnr:quod quf cu(i5 narura p:io:a funr^bis fub
laris fimul poilaio:a roUunrur. v>uod fi poi]erio:a prrc'
annnibil d rtani p:io:i0 fubrtanrif pcrmurarur: ur ani
malp:iu9c(iboie/iRamfirolla6aniinal Harim quoq^
bominisnaruraoelcrafit. £>i bommc ruiiulcris^animal
nonpcribit.tEreconrrarioea feinperportcrioia funr quf
fecii aliud quodliberinferunr:ca p:io:a quf (U5 oicra fut
nibilfccum oepoi1crio:ibu6trabunf;utincode5 quocu
bomine. iHain fi bominein t>iicri6:fimul quoq^ animal
nominabi6.'Jdcm crt cnim bomo quod animal. £>i ani-'
mal Di)ccri6 non fpcciem fimulbominie intulirti. iRon
crt eniin idem animal mod bomo.lDoc idc5 in geomctri
(a vel inaritbmctica videturincurrere. iPienimnumc
rostoUas^vndetriangultivelquadrarnmvclquicquid
in geomcrrica verfarur^^queomnia numero:u ocnomina
riuafunt.^tvcionquadrarum rriangultiqj furtulcris:
omnifcB gcomcrrica confiipra f;r:rrc6 1 quaruo: alio:i5cp
numeroiu non pcribunr vocabula.TRurfum cuj aliqua
geomctricamfo:mamoi>:ero:cftiUifimuInuincro:ij no'
men implicirii. Cum numcroe ot)ceronondu vllam fo: ,
mamgcomcrricgnoininaui.^Dufica veroqua p:io: fic
numero:ij vis:btnc ntarimc p:obari porcrt : qt» no ma
doilla narurap:io:a funrquf pcr fcconrtanr:qiiflillaqu€
ada!iquidrcfcrunrur:fcd criamcaipfa mufica iijodulatio
numcro:ii nominibu6annorarur.>iEr idem in bac cueni
re porert:qtiod in gcomcrrica p:cdictum cfl. JDiarefiarori
cnitn -r oiapenrct-f oiapafon:ab anrcccdcnris numcn no
minibu6nuncupanrur.'3[pfo:uqiioct5fono:fi aduerfus
fc p:opo:rio:foli6 necp alij s uumcrie inuenif . Qui cni3
fonus in oiapafon f^mpbonia ert:idem ouplicts numc
ri p:opo:rione cclitgirur. QucoiarelTaron crt modulario
cpitritacoliationecoponimr.0u5oiapenrc lYinpbonia
vo(3nt:bcmioUamcdicrarccomungirHr.0ui in numc
riscpogdoug ert : idem ronue in mufica. ^^rne fingula
perfequi labo:cm bui^ opcris fequcntia quanto p:io: fit
^ritbmcricafine vllaoubirarione monrtrabunr. ^pbc
ricam vero arcp artronomicam ranro p:f cedir: quaro ouf
reliquf QifcipUnf bancrerrianarura p:eccdunt.'in flrtro
nomica cnim ctrculi:l'pbera:cenrni:paralelliq5 arculi iiic
diufq^aiiis ert:quf omnia fflomctricf oifciplinccura ftit.
^uare eft ctiam ey boc ortenderc fcnio:^ geomerricf vim
Quodomnis momsert port quietem:': namra femper fti
tiop:io: cft. ilDobiliuii veroaftronomiaiimobilium geo
mctrica oocfrina eft: vcl quod armonias modularionib*
motU6ipfeceleb:amr artro:u. Quare (onftat quocp mu
fl(g vm artro:6 curfusanriquitate p:eccdcrc: qu.i fupera
rc naturaaritbmerica oubium n6cft:cii p:io:ibu0 quam
illacft anriquio:videamr. iP>:oj?ncfamcn ipfa num^-
ro:iinaruraomnisartro:5curlu0 : oTiq^flrtronomica ra"
tioconftitura eft. Sicenim o:rus c>c afufqj colligim':f^(
tardirarcs velocirarefq^errflnriu^fldcrum cuftodimus:
flc Defccms -: mulripliccs luuf rariariones agnofamus.
£5uflrequoniap:io: vtdaruit arirbmetic^ xia cft : binf
oifputarionie fumamua crotdiu.

£>efubftantuinumcri. /Capitulu.:.

aat

iX^nii qa(diq$ a pnmoifl rrrmn natura cm

0 flmtra runr:nuincro:ij vidcntur ratione fb:"
matii.lDoceMiinfiiitpzincipaleinanimocoti
ditonscxcmpUr.lDmccnim quatuo: clcnic
to:5mnltitudomutU3tacrt:lMncrcmpo:umvicc6:l?inc
niomo flrtro:U5 liquc conucrflo. Ouf cu i'a flnt cni^ '
umilariie:numcro:iuollisationeruuisatur:euinquoci5
nuincrumncceiTcci?in.pp:!.i fcinpcrrefebabenti.mfqua
litcrfubibnriapcrm.incre:cuin quccompofitum n6ct
oiucrfie. CMiid enim numcri fubilantiam coniunscrct:
tum ipri^crcmpTumcuncra uiniiflct: redejLfeipfo Tide--
turenccompoflms.iP z;oafirnibilcr flmilibue eom/
ponividetu mcccrbis quf nuIl9rationi<?,pp. itioe iufi
gnnrar:t a feonmi fubilanna naruraqj oifcrera funt.
iConilatcfgc quoniam coniijauecrtnumcrue:ncci5C)c
flmiiibiie clTe ccniuncnmimcq? cv bie qu( ad fe inuici m
nuUa rationc.ppo:tioni0bfrent . runtcrg numcros
p;ima quf coniun5;ant:ad fubrtantiam qu dcm quf co'
ftcntrfcmpcrip pemiancant.lHcq^ f nim cv non evirtcn^
tibuecflfici quicqu.i potcfl:-: funt ipfa DilTunilia i pote^
tta componcndi. IDf c aurem funrqbus numerus coftat
par atq3 impar. ^ug oiuina quadam potcntia cum oi'
fparia flnt conn-ariacy:ramcn cjcvna genimra jpfluunt: i
invnamcompofirionC modulationequc iunguntur.
CiDe oiflTimtionei oiuifioncnumcri-z Difftnitionc pa
ris^imparie. Capi. 3.

X p:imum qutd ritnumerus oiftinicnduni
C cfl llTumcrus cftvnitatuin tollecfiotvcl qul/
titatieaccruuscxvnitatibus.pfufus.lDuiua
iijimr p:ima oiuino cCl: in tmparem arqg pa'
rem. Ctparadem eihq poteil in ^qualia ouo oimdivno
medi^non intercideiite:imparvcioqucm nullusinfqua
lia ciutdir qn in mcdio p:edimi6 vnus intercidat . €t
h{c Qdcm buiuimodi Diftmitioviilsiii isell ? nota.
C" iDiftuiilio W' mcri paris i imparis Pm pYtbsgozaj.,
^ai-v.tulum. 4. ,
Xla atit ici5m py tbago:icam oifciplHiam ti^
( lis eft. n^arnumcru6 cft qui fub eadcm oiui
fionepoteit 1 matima paruilTimacis oiuidi: ma
^imafpacio^paruiiTimaquntitate: fc^m v^uo'*
rnmtl!o:um scncrumcontrariaspaiTioncs . Imparve^
ro nunierus cilicui boc adcm accidcrc uon poteiUftdciP
iu8 in Duas in? qualcs fumas naturalw ert (ectio.Doc
crt ant eyemplar: vt ft quilibet Catus par numerns~oiuP
darur: inaio: Qdcm quatum ad oiuifionisfpaciajierti^
iier:non inuemcturquam n^ifaaa mcdiera» : quatttatc
'veronulla min?: fit:quam in gemina fattapartitio: vtfl
par numei usqui c.s .oiuidafurin.4.9tc^alios.4.nul'
la crir alia oiuifto qug imio;c* partes eftlciat. TPo^oatt
temnullae italia oiuifto quf torum numerum m"no:e
oiuidae qujtitatc.^n ouascnimpartce oiuifione nibil
nnnuscft.iCumenimtotumquisfucrir trina oiuiftone
-partitustfpacij cidcm fmnma minuif :fcd numcru» oiui
fionis augetur. fe?uod aiJt Dicmin cft fc?m ouo:um genc
rum contraiias paiTiones buiufmodi cfl.n{b:fdocuiinug
cnim quatitatem in iftnitas pluralirates accrefccrc fpa-'
riavcro.i.masnttudincsininfinitifl^imadminuiparni-
tarcsratcB «deo bic contra eucnit b? c nanc^ paris oiuifio
fpano efl mapma pflmiiTima quatitae.
C2lliafecijdumanfiquio:em modum oiuirio partg?
imparis. jCapimlum.

Ccudum anticio:cin vero modum alia 6 parta
9 numcri oefinitio . 'ifiarnumcrus efl q « ouo
fqualia:T in ouo I tqualia partitionem retipit:
fcd vt in ncutra oiuifioncvel imparirati pari^
ta0:vd parirari imparitas mifceamrtp:? tcr folum pari
tatispztncipembinariumnumcro quiincqualemno re
cipit fccrionem:p:opterca quod ej: ouabus vnitatib^co^
flati:ei:p:ima ruo:nm quod.imodopariratc.0nodaat
oito talc efl. enim ponatur par nuincru0:p5t m ouo

equatia btuidi: vt ocnarins tM'ufditut'tn'quino6.'^oS''
tt> autcin -: pcr incqualiavt idem oenarius tn.^.-r in.7.
.Sed boc modovt cum vna pars fucriti&iuiftdis par :alia
quoc^ par inucniatur:'; ft vna impar:rcltqua ab cius iin
(^iriratcndn oilcrcpcr.vtineodcm numcroquiefl oena
riU8.£umcnimoiuifu6Cftinquinos:vclcumin.i!.t»
7. vtrfceinvrracy po^tioncpartcs impares cvttt-.runr.
^©iautcjiplcvcl aliuo numerus par oiuidatur infqua
lcs^vtoctonariusin.^.-r in.4. 1 itcmpcrinf qualcs vc
tdemoctonaiusin.^^.Tin.^.tnilla qdcm Oiuifloncvtrf
<faz partcs parcs facr? funr:in batvtr? v"i5 imparcs mitc
runt.1flcq5vnqu.ifieripot:vtaiinvna pare oiuiftois
parrucrir:aliatmparmi:niriquc3t::utcu5vna iinparftt:
aliaparpofl^itinrellisi.^tnparverpnumcmscfl qui ad
quSlibcrillam oiuiftonem pcrinfqualia fcmrcroiuidif:
vt vtrafq5 fpccies numcri femperoflcndar:ncc vnquain
altcraflncalrfraftt^fcdvnapareparitati :tmpartrati alia
ocputatur.vr.7.fl «^iuidasin.^.-rl.^.alterapo^tiopar:
altcra tmparcft.iFtbocidcminciictis impaftb^fiumc"
risinucnitur.lHiq^vnQuainimparisoiuifione p:ctcr
feccpoiTunrbcgeminc fpfCJesqucnaturalircr vim nu'
mcri fubftanriaq? componunr.
CTS^iffinirio paris t imparis per alrcrurrum.
jjrapituUiin. 6.
nodfibccerjain pcralterurras rpcdce Oefini
crTda fii nt:oicf f ur impar? numcrum ccg vni"
tatcotflrcrta pan: vcl incrrnKto:vcl oiminuri
oncjtcmpar numc rus cfT g vnitarc oiflTcrt at»
imparivel incrcmento vel oiminutionc . i^icnim pari
vnumoempferisvrlvnnmad cceii6:in'pareft'icitur:vr
fiimpari idcm fccc.i6:parcontinno.p(reamr.

C2Dcp:i»(ip8lita:cvnitflti0, )Capi. 7»

£X)m9quocg numcrus circu fe pofiro:um «
naturali fibimer oiipofltionc iuncto:um tnc'
dt'etaseft..€tquifuperouo6iIlo3 funtq mc
di -> iunguntur fl componantur: etiam ipfo:u5
fup:adictn6 numerus media po^-ioeft:-! rurfus ilb:«
quifuntfuperfccundolccotunctoscumipn quoqefinc
(otnpoflti p:io: bis numei us mrdieratts lococft : ■: boc
crirvfcpc^umoccurrcnsvnitaatfrmtmimfecerir. Iltfi
ponar quia quinarium numcmm airtinftcus ciica ipfu>
(untfup:a.4.infcriii6fei*.lDiccrsofliunctifunt:factunt
lo.quo^um.S^.numcrusmcdictaseft. s^Juiautem iirca
ipfo6ideftdrca.9.t.4.funt.^.ftiUcet':. .idcm fuuncri
funtco:umqmnan'n6numfrns incdietaseft. iRurfus
iflo:um qui alrrinfecus poftti funr fi iungantur etiam bi
quiquinariinummDuplifunt.T^ani fupcr.3, funt.i.
fuper.7. funt. 8 . H5 i crgo fl luncti fu nt fac iint . ' 0. quo:ii
gnariasrurfus mcdieraseft.lDocide inommb^^numc
rt«cucnif:vfq5oum advntrattstcrminu^prrucniri que
flt. :^olaentmvnitag circ5 fe cuos remiinoi? non babet:
(ttc^ideoeiusqui eft p:opc fe folius cft mcdieras. Tl^ain
iuitavnum foluseflbinariue naturalircrconftuumsfu
ius vnitae media pars eft . Quarcconrtat p:imam elTc
'vmtatemmntto:u5qui funtin naturaUoifp. fition? nu
mero:uin t eam rite totius quaui0p:olij:f scnitficc plii
ralitatidagnofcr.

CiDiuifioparisnumeri. jCapFm. s,

jflrie aurem numeri fyiccics funt.; . 5fl cnira
p vna quf oidf parircr par: alia vero paritcr im
par.tcrtia impariter par.tFtcontrarta qdey. lo
caqueoptinentia fummitamm vidcntureftc

pariterpan^pariterimpar. cTDcdictasautfm qutdam

qufvtroiucppartidpateft numcrusqui vocatur impa

riterpar.

C£)e numero pariter pari eiufc^ p:op:ietatibU0.

jCapitulum* .

3ritbmcticji

Siriwr par num«r'crt:Q potcrt in ouo paria oi
y Uidirdufqs pars in alia ouoparia parrifq.; ps
in alia oiio pariarvt hocroricns fiat^vfq^ ^uj
oiuiflopaitiumad indiuiflnilc naturalircrpcr
lifniatvnitJtc5.nt.64.nunitU0babetmcdi(rare3.3i.
hicar)tracdirt3tctn.i6.bicvcro.s.buntquoci3 quatcrna
rius in cqua parnf :qui binari j oupl^cfl^fcd binari"^ xni
tnie mcdictate oiuiditur:quf vnitas naturalircrfincsu
Urienon rccipitfcctioncm.IDujc niimcrovidcturactidc
rcTt quf CUC15 rius f ucrit pars cum i^ominc ipfo Tocabu ,
locj; paritcr par inucniaair:tum ctiam quuitatc . ;SccI
<dco mibi vidctur bic numcr^paritcr parvocams: quod
riusomnceparics-rnominc Tquantiratc parcs pari^
tcr inucnianrur. Quomodo aiit ? nomi ne i qu.uirate pa^
resbabcatpartciBbicnumcrusport oiccm*^. ll?o;u^au/
tcm gcncnrio ralis cil. inbrno cnim quofcilqB in rupli /
rippo:rionenot3uerie: fcmpparcsparircr pjocrcantur.
•^retcr banc anran gcncrationcm vr nafcantiir alircr im
polTibilc crt. II? iii^^aute; rri talcTidctur pcr o:din^ v5fcri
ptionis cremplum.:£>intq5 anuti duplicce ab Tno.r.^.
i.^.s.i^.^j.^^.iie.if^.^-u.atqjbincfiftatinfinirap'
gremo:wlcsn]ncto0 inuenics.facriqB funt abvno in du
pliri p:opo:tionc:7 omncs funt paritcr parcs. •Jl^udaut
non minima confidcrarione oigmim crt: quod ci'' omnis
pars abvna parte quaciTq; qu? intra ipfum numcrum S
©cnominatur:tanr3q5 fummas quaritatis !tIudit:quota
parseftalternumcr^paritcrparieilli^^quicum tonrinet
qultitarts.3taq3fitTtnbipartc0 ipff refpondcant:vt
quota pars vnacfl:tantam babcataltcra quaritatcm : et
quota pars illa ert:ranta in p:io:e fumma ncceflTe fit mnl,
timdini0inucniri.£tp:imum fit fiparcsfucrint oifpo'
llrione6:vt ouf medif partes fibi rcfpondcant.pofl Tcro
qu?fapcripfa6funtftbiinuicc5Conucrrantur:atci;boc
ide? fiat oonec vtcrq; tcrmin^rrcmitarcs incurrat.-]]^
namrenim paritcrpari6o:doabTnoTfq5.i2S. bocmo'
do.i.2.4.s.(6.32.64.i:g.? cafit fumma marima.^ii
boc igimr quoniam parcs oifpofittoiies funt: vna medie
tasnon potcilinucniri.j&unttgirurouc^idcft.s.t. i<5,
<jue confidcrandf funr quanadmodu.m ipfc ftbi rcfpondc

ant. Xoriue eniin fuinmc idcil. I : s .octaua pars cli. 16. fiL'
}rt9dedma.5.Tl\urfus fuper bas partcs quc funt:ipff
biinuicemrefpondcbunt:ideft.3:.t.4.*IJ^3m.52.quar^
ta pscfttoriusfummf.^.verorrigefimaffcunda . Tgur'
fus fapcr bas partcs.64.rccundapar6cft.2.T£ro fcrage
fimaquarta. iDonec cjcticmitafcs limitcm fatiant^quas
oubium non cfteadcm rcfponfioncgaudcre . eni oia
fumma lemel. i : s . vnusveroceHtcfim^Tigefimns otta^
UU5. S>i autcm impares termincs ponamus idcft fum"
mas^idem cnim tcrminos quod fummas nomino:fccufi
dumimparisnaturam poteflvnamcdictasiucnifi:att^
"vmfibi ipd eft refponfura. Bicnim ponarur bit o:do.
i.i.4.8.i6.J:.64.vnaeritfolamcdietas ideft.s. 0ui.
s.rumm^totiusparscil octaua ^fibiipfiad ocnomina/
tionemquantitatcqsconucititur. tEodetncpmodo finit
fbpcriudcirtatpfum qui fuMt termiiit: oonant fibi mu
tU3nominaftl5m p:op:i3s quantitares votabulumc^
permut9nt.TRam.4.fwadecima pars efitott^ fummc.
i6.vero quarta.Ct rurfus rupcr bos tcrminos.?: . fetw
da pars eft toti^fumm? . i . vero trigefima Tccnda: i fcmel
tota fumma.64.funt:fe]cagelim9quarta verovnitasiue
nirar.IDoctgitur efl quod oictum eft:omnes ei^ pattca
^ nomine t qoanritate pariter parcs lucniri . IDot quocu
multa confideratione:multacB conf^ntia oiuinitag per
fertumcft:Tto:dinarimoifpofifcmino:es fumme iboc
numero t fup fripfas coatcmat?: fequcnri min^ tuo fcm
perfCiuenrur.£^icnimTnumiunsas bisqui fcquonf
ouob^^^fiunr.l.tdcftquiTnomiu^^quatcrnario cadunt.
€^tftfuperio:ib^add33.4.funt.7.quiaboctonariofeqn
ttfolavnitateTinciimr.^5edjKofdem.s.fup:9dic^9d
imjxneAS .ficnt.qui pflr.id.numm tfiAmt (inmia

ri:nirt mino:Tnitflsimpcdiret.lDocaurcm p:imacfiam
numcrip:ogcnic£^fcruatarq5(unodir.'Ulamci5Tntru0
qucp^imacl^-ouob^fubfcqi^cntibTolacrtvnitatc cotra
trio::Tndc nibil mirumell:totum fummf crcmcnmj .p/
p:io confcntirc p:incipio.H?fcaurcm nobis lonfidcra
rio marime p:odcrit in bis numcris cognofccdis quos
fupcrfluosTCl imminutos pcrfcctofci5 monrtiabifn*^.
'Jilic enim coaccruata quantitas parrium numcri. toti*
tcrinino comparatur. '}llud quoq? uulla poiTum"'Ob'
liuionctranfinirtcre:quod in bocnumero rcfpondcnti'
bU0 fibi inuiccin partib^mulriplicatis^maio: cjctremi/
tas ciufdcm nunnri fummact^ conficitur.€r p:imu5 11
pare0 fucrint oiipofitiones mcdii multiplicantur^atcp i'
dcqui fupcripfos funr: vf(t5adfup:acicta6 citrnnita'
tC9.£3icuiintucrintparc6Difpofitionc8:feciidum na^
turam paris ouos i n mcdio tcrmtnot; conrincbiit: vt ifi
ca bifpofitionc numcro:um in quaevtrcm^tcrmin^. i:s .
finitnr.^n boccnij numcro mcdictatcs funt.s .fc? <?.i6.
qucin fcinulriplicatf:maio:i6fummjcrefccnrc plurali
tatc conficicnt , ^cricsenim . i6. vcl fedcctcf. s . ft mulripli
ccs.i:8.fumma concrefcit.atq^ bi numcri qut fup eoidc
fiintilmultipliccnturidcmraciunt.lBam.^.^J.^z-inft
fi multiplice8:fup:adictam racicnteictremitatem.4 .cnf
trigicst bi8:TcIquatcr.52.t)u:ri.i:6.imutabili nccrin
tatecomplebunt.atqsbocvfqsadertrcmos tcrminos
C9dit:idefl. i.<r . I : s . £5>cmcl eniin cftrcmus termin^. 1 2 8 .
eft*Ccntice vigicsatqjottiesvnitatcmultiplicata^nibil
t):p:io:equ.ititate mntabitur.£>iaufem imparce fucrit
oifpofitioncs^vn^mcdiustcrmin^inucnitur^atqjipfc
fibi^p:iamuItiplic9tionercfpondct.3n co n.^q^ o:dic
numero:um:vbi crtrcmus rcrmin^.64.pluralir9te cou'
£luditur:fola inueniturTna medictas: idcft.s . ^^uam 11
ocricsidcrtin feinctipfa5mukipliccs.64.ci:plicabit. 2lt
c^idcmrcddunttll! qui fupcrbanc m.dictatcm funtvt
ouduin bi qui fupcr ouas pofiri taciebant."lHam quater.
i^.^^.funt:-? fcdccics.4.idemcomplcnt . iRurfus bis.
3:.fatri fl.^4.non&ircedunt:7trigtC0 bis 0110 : eofdem
oimulflnt:': fcrael.g^. vclTnitas fcragicsquarcrmulri'
plicatareundcm numemm fineTlla varictatc rcfiitucnt.

CTiDenumeroparirer impari chjfquep:op:ictfltibU0.
Caplhi. lo.
griterautemiinpar numcr^efl qui ? ipfe quf
p dem p9nt9tis namram fubftanriam que fo:ti
tu0ert:fed intontraria oiuifione : namr? nu'
mcri pariterparie opponitur.SDoccbiturnl/
tfeig longe bic Mflimili rationc oiuidatur.itlam quoni
am par ert in p9rtcs cquales rccipit fcctroncm partcs ve
roriu0mo)cindiuiftbilesat(^5infcc9bilc6pcrmancbunt
Ttfunt.6.'o.i4.i8.::.tbisftmiIcs. jTDoycnimbog
numeros fl in gcmina fucris oiuifionc pai ritU6:incurrif
in imparem qncm fccare non poiTis . glccidttautcm bis
quodomnespartestontrarie oenominatas babent: $
funt quanritares ipfarum partium quf ocnominantur.
T^cq5 vnqua ficri potefl: Tt quf libct pars bui^ numcri
ciufdcm gcncrisocnominarioncm ciuantitatcm quc fu'
fripiat. :5empcrenim fi ocnominario ftierit par: quanti'
tas partts erit impar:'z fi fuerit ocnominatio tmp3r:qua
titas erirpar: vt in.is .femnda ciu6 pars efl: idcrt inedid
quod partrarie nomcn cft.9.quc impar cft quanriras .
Xemavero quf impareft ccnominatio:fcv:cui par plu-
ralitasefl.fRurfus fi conucrtas fcrta pars quf par c OC'
noiTiinario:tre0 funt:fcd tcr narius impar crt . ^jtnona
pars quod impar eft vocabulum. I .qui par uuineruiT^
2Itci5 idcm in alijsmncris qui funt parircr impares in
umitur.THecBvnquaftcripotcftrvrcuiuflibctpartis.fit
ciufdein gcncris nomcn 1 numcrue. fit autcm bo:u p:o
trcatio numcro:um:ftab vno oifponanmr quifuci5 ouo'
bus oiffcrunt:idcflomnib'imparib^n9turali fequentia
atc^ o:dinc(onftituti0.lHa(g bi A per biiurium numc

3lrltbinctiC4.

rtim mulriplfccnnir omnrs partrfr uiiparre.-rite plurali
tas oimcii fa fiT cict. TPonariircni p:imavnira0.i.7 port
bunc ciot ab I?oc Mioinie Mftcrr:ii1crt tr 0: ; poll himc q
njnii^ 3 fiipcrio:c oiiob^ideil. j.t \x>c in inftnitum : 7 ftf
buiiifin^dtoifport io.i. 3.5*7. 9.>i.>3.i5:. 17. H^i^cr'
jonariiralircr fcoucnrco imparee funt : quoe nuUue in
nicdio par nmncrui? E>iihnyuir.bos npcrbmarmm nu^
mn-ummulriplicctj:crt'icicebocrnoclo.biiJ vnmn idcit.
qui oiuidirur quidcm^fcdei^^parrc^indiuifibilcercpcri'
iinrurp:opr tnfci.abili0vmrarie narurnj.il^ie.^.bis.
y.bi^.y.bis.p.bis.ii.tocinccp^etquib^narcuiirurbi.
2. 6.10,14. is.!:.Ouo9fioiuidae:vna5rccipumtfccrio
ncmrccrcMin rcpudiaiircezquod fccuiida oiuifioabimpa
ri0 nicdicrarcparfiscrduditur.IDiBautem numcr^ad
fcinuicc^ciuatemarij fola oiiUntiacrt. jfljgjinta t>uo
^fct numcros.^.funr.TlNurfuBinrcr.^.t.io.tintcr.io.
<. 4 Tinrcr.H.i.is.idcmqu.uernariusoifterfiitiam fn
cit.IDi nicBomncB cjuatern-ria fcfcnumcrofirare n-au'
fcciiclunr. Ouod idci (o conrinc;it:quoniam ;r:uni g po
firi funtidcft eo:um lundamnua:bmario fc numcrop:C'
ccdcbantrquos quoniam per binarium mulriplicamm':
inquatcrnatium numcrumcraiit illa p:o3rrtrio . iDuo
cnim pcrbiemulrip!icari:qu3rcrnariltariunt fumma^.
3gttur in namralis numcri oiipofirione: paritcr mipa'
res numcri gnto locoa !'cDi»3nt:folig. 4. fc p:eccdunf.
J.ui mcdiotranfcunrcspcrbinarium numcTiim multi''
plicatia impanbu^ p:ocrcari. tConrrarte vcroee Dfcun'
tur bc fpccies numero:um:idcil parircr par:-: paritcr im»
par.quod in numcroparitcrimparifola ouiirtoncmrcci''
pir maio: ertrcimra6:in illo vcro folus mino: terminus
fccrione fotumecil.T quod m fo:ina paritcr paris nume
ri:abcrtrcnnraribus incipicnrir-r vfc^ad mrdia p^ogre
dicnri quod conrinctur fub crtrcmie tcrminis idem crt il
liquodconrincrurfubmrra fcpoilns.fummulis. 2lrcp
boc idem v fcp ad buas incdietatcs fucrit ventum in oi'
fpofitionibus fcilicet paribus.^Ji autem fucrint impa-'
rcsoifpofitioncsqiiodab vna n^edietitc conftcttur boc
idcj fub alfrinfccus ponris parrib^p^ocrcarur. 2ltcB boc
r icp oum ad erncmitatcsp^occlTio fiat.^n cacnij oifpo
fitione qoe cft. : .4. 8 . 16.tdc5 rcddunt. 2 .per. lo.mulripli
C3ri:quod.4.per ocronarium numerum oucri. Dtroque
cnim modo.32.ficnt.Quodft imparftto:dovteft.2.4.
« .idc facienterrrcmiquodmcdictas. ^Biaenim.s. funt
i6.quatuo:qu3fcrfunt.i6.quinumems aqoatemario i
feoucto pcrfictnir.3nnumcroveropflriterimpari II fuC'
rit vnus in mcdio rcrminu8:arcij fe pofito:um termino
mm fl in vnum rcdigantur mcdictas eft.St idcm co:U3
quocj3 q fupcr bosfunttcrminos mcdieta6cft,2ltcpboc
vfqEjad crxrcmosomnium tcrmino:um vtin coo:dinc
qui cft parirer imparium numcro:um.i.6.io. iuncr^ bi
nariuscum D.-nario.iz.crplcr.cuius fenarius mcdictas
inucmtur. S>i rcrofucrintDUcmcdicratce iunctc: ipfe
vtrfc^fqualesmintfupcrfeferminisconftimtis. vrc
inboco^dinc.T.e.io.H.^uncticnim.i.-j.H.in.i^.cre'
f£nnt:qnos fcnarius cu m oenario copulatns cfftncL^
q3bocinnumeroilo:ibustcrminisinifiofumpt03mcdi
10 cuentt vfc^ Dum ad cjcncma ventatur.

CTIDc numeroimpariter pari ci'ufcBP:op:ferari'bU0.
/Caprm. II.
ilTDparitcrpar numcrus eft ex xtrif<B (onfca'
< 1 medtctans loco seminacrtremifatc condn'*
dittir: vt qua ab vtroc^ Difcrcpct^eadcm ad al
tcrurrumcognationciunsatur. IDtcautcm ta
lis eft qni oiuidir in cquas partcs:cuiufq3 pars 111 alias
cquas oiutdi potcftr-r eriam aliquando partcs parriuj oi
uidunmrtfed nonvt vfqgad vnitatc p:c5rcdiatiir fqua
bili8illaoiftinctio:vtfunf.24.T.J8. JDicmmpofrunt
In mcditfafcs oiuidi:t co:um rarfus partc c in alias me
dictatce finc aliqua Dubitotione foUiuntur.^^unt ctiam

ciuidam alii numcri quo:um partes alias rccf pinnt otui
floncofcd ipfa Diuifto advmtatcm vfcp non pcrucnit.
%itur in co quod plus it^ vnarn fuiripit lcctioncfn :
bcr fimilimdincm panrcr parti^:lcd a parifcr impari fc-*
grc£!3rur.*3iico vcroquodvfiTjiidviuim fccrio illa non
oucitur: parircr imparcm non rclutaf : fcd a parircrpari
oifiunbifur. iConrinsitaiifcm buicnumcro': vrrapucba
bnc quf fnpeno^cs non babcnf:: vtraq; quf illi rcnpi-
nntopnn.rc.i^rbabctqiiulemquod vrrio^ non l.^abcnt
quod cum tnvnofoliiemaio: rcrminus oiuidcrcrur : m
fllio vcro folus mino: tcrminus non Diuidcrcrur: iii boc
neci3 folus maio: tcrinin^^Diuifioncm rccipit:ncci3 minoi
folus tcnninus a oiutfione fc iuiigimr. 1^35 1 partes fol
uunturi vfqjad vniratem fccrio illa nonpcraemt.ftan
tc vnitatcm tnucniturrcrminus.qucm fecarc n5polTie.
;0pfinctautcm qu? illi quoq5iccipiunt:quod qufdam
parre0aus'rcfpondcnt:ocnominanmrci3 fcciidum gcn"'
inum ad p:op:i3m quaiitirarcm: ad fimilitudmcm fal5
pantcr paris numcri.2llif vaopartcs connarum Dcno
minarionan fumunt p:op:if ciuanritatisad paritcr im
P3ri0f£il5fo:mam.'3fn.24.cnimnunieropareft;qu3ntt
tasparrisapaiinuineroDcnominata.lHam quarfa.6.
fccuuda vero.i:.fcrtavcro. 4.DUodccim3.:.quf vocabu
[apa:tiumaquanrifari8pariratcuon oifcrcpanr. iiTorra
rif vno oenomnatmir cuin rcrtia parsocro:octauavero.
J.visefimaaurcmquarta.i.qucocnominationcscu^ pa
rc0 fint inucnitmrur impa rcs quant iratce. t cum fint pa
rcs rummf:fuiitimp3rc8ocnominariouf8. 'Ifilafcuntur
autcm talc0 numcri ita vr iiibftantianT naruramqj^uain
in iplaai35 p:op:ia gciicrarione ocfisncnr^cr paritcrpa
ribu8?parircriinpanbU8p:ocrean.'iParircrcnim im
pareecnncri oudum o:dinarimponns tmpanb^^nafce'
banmr.paritcrvero parcs cv oupltci p:o f rciTionc . 101'
fponanmrigimromnc8ino:dmcm naturaUtcr impa'
rcs fub bis a quartuo: mcboanics onmcs Duplice» ci
llntbocmodo.

U-L5L1

_Z.l-2-

1?

1 4 ! s (

16 1

|64|

i:s

1

llaisigltur ita pofitis fl p:imu8 p:imi mulriplicarionc
concrcfcat:idcft fi quaremarij fcrnarius: vd fi idcm p:i'
mu8,fccundi:idcft octonarij ternariusvcl fl tdcm p:im'
terrii ideft. i^.tcmariue t idcm v fa^ ad vlrimum . vel fi
fecundU8p:imi': fecundi:velft fccundustcrnj Tcadcm
vfcB aderncmum mulriplicatio p:ofcratur. vel ft tatius
ap^imoincboans vfcBincrncmum nanfeat . gltq^ ita
quartusiomnes in o:dincm fuperto:e6 multipliccnt
cos qui fubipfls in oifpoftrioc fimtomncsimparircr pa
reap:otreabunt.lDuusautcmrci talefumamuscFcm-
plum:fl trcs quatcr muUipliccs.i :.fient: vcl fi.j. quatu
ozmulriplicent.: o.numernsrccrcfcct:vcl fiitC5.7.mul
tiplicent.4.:s.fuccrcfccf:atq5 boc vfcBinfincj.txurfus
fi.8.multiplicent.3.nafccntur.:4.£>i.8.in.j.fiunt. 40.
fi.8.tn.7.colligcntur.0.21rq5adbuncmodU5flomncs
in(mo:cs oupllcca^a fupano:tbu6 mulriplicentur:veirt
fuperio:e9 cofdcm infcrto:c8 multipli£cnt:cuncto8qui
nati ftierint imparifcr parcs inucmcs.^^fCKbccci] admi
rabiIisbuiU8numcrifo2ma:quod£umfucr t ipfa oifpo
fitio ocfcripttocp pcrfpecra numcro:U5: ad laf itudmcj pa
riterimparium:ad longimdincmparifcrparium nume
ro:ump:op:iefasinuenitur.£>unfcnim ouab^mcdie^
rarib^f quales oufcrtrcmiratcs: vcl vna mcdictarc Dug
buplicce omemiratcs. 3n longirudincm vcro parita pa
ris numcri rem p:op:ictatcmqj Dcfignat . £5uod cni? IB
ouabus mcdictatibus conrincmr: cqualcefta quod fub
ememieconficitur^vclquodab vnamcd cra'cnaiarur:
Cquale^cft illifluod fub vnifcHicrrrcmitatibuscontincf.
iDcfo-iptio autem quf fuppofifaeft:boc modo uaaeft.
au3nrofcDq3ino:dincparitcrpar:um numcro:u3 rcr'
nariU8 numcrus multiplicauit : quicucB c^ w p:ocrcati

aritbmcrtca'

faiifpzirtioranrWu orfpollhMftnrfueqiif wfdt? mu!
tiplicantequinario nart fnnt:fccundo lococonftituti foc
•ifcort vCTociuoafcytcnanuscftcros multiplicando p:o
«auit:«ofdc5itrtio confaipftmu«.loco: attpide rcliqu*

oefaipttonts parte perrccimu».

C^n bacfo:mula rcqucnrifimtlitudoparitcr pari» ct
pariier impans ad miapritcr pare oflcnditur.

f 8 [ ^ » —

1

Opra *89ioi

IT tOefcriptionie id iiTipariter parie in latitudinc : i 15
gitudtm aa pariier paris narura^ pertincntie c^oiuio.
lCapitulum. i ?.
aperius igitur Ciseft? ocfcriptionifl bgc raj:
8 tio e. idi ad latitudine rcfpicias: vbi i "otsma
terminojzvna medietas:ipfofcB tcrtmnosifi
ga6:t)uplo8 eos mcdictatcpp:ia repies vt.56,
"j.io.fatiunt.jfi.quoi? medieta9crt.28.a'medi^efl intcr
CO0 tcrmin^conftitutus.S^t rurfU0.:8 .t. i:.fl iunga« fa
ciunt.4o.quov.:o.mcdictasmedi^cortcrmin'inuenif
jRt vcro vbi ouas medietatcs bSnt: vtrfCB ertremitates
lunttf : vtrifqj medietatib^^cquales fiumvt.i:.t.56.cuin
ianjm0fiunr.48.bopnmcdiaates Abimct applicaue<'
ri0:ide(l.:o.t.:8.idemerit.at(^ inalia ptelatitudinis

eodco:dineQfwtnum£rinotatifunt.'lflgLyll<» »«"^'*«'
tio vtriufc^tatitudinis oifaepabit:idecBicodS o:die ic(
icrts numeri0 gnotabis: ? boc f m fo:m3 pariter imparis
■umai iit i quo ba^p:ictatS fup:a ii fcriptn e.itfsuc

iSuot

fiini a ad longitudme refpiciae vbi ono rcrmini xm me
dictatgbent q6 fit ej; muitiplicatis crtrcmirarib'': boc fit
nmedi^termin^fu^capiarpUiraUtatieauc^mcra . it^am
Duodecics. 45 .faciijt.^^y^.ill^fdi^vo co? rn min'\idf(t
24.I1 multipUccf :eordc rurfus.f ^g.pcrfabit.^trurfus
fi.:4.in.96.multipli£cnf faciiit.:304. 0^iO£m£dif ter^
min^^idcrt.^s .fi in fcmccipfii oncaf:idc.Ji04..^crf9nf.
•Hbiauttcrmmi ouobuiismedicratcsicludiit: quod fit
inulriplicagertrcmitarib^:!3ocidcreddif i altcrutrafa'
ina mediet9tib'ou£^.iDuodctiC9.n.96. multiplicatis.
li5:..pcre^nf :oue\>oco52 medierarc6idcit.:4.t.4s .f^ in
femeripfns multipUcenf :cofd6.iis::.reihruct . iStgMw
2 ad imitarionc cognarion^q? numc ri parir paris: a quo
^ricipatoerrac^a Ijfceirrcognofcif t gcncrara ,pp:icta6.
tEtiaUovolaterelogitudinisteadcroocfcnprioctinora
ta L 0uarc manifeilfic bunc numer ct p:io:ib'' ouob"

p:oacaium:quoniam eo^um rcriuct p:op:ictates.
C^numeroimparieiufc^oiuifione. jCa. 15.

iTDpflr eiiio<t?'ni)mmis cntqiii i pflris mime
i ri natiira fiJbihintiaa^ oiJliJrKt^cih £>iqiudC5
illc i cjcminfl mcb:a vqiJii oiuidi potcil: bic nc
fccanqucat vnitatie impcdir intcnicntiis.
Trcebabftfiniilifcrruboiuifloncs.quarvnacf parsS
isnumcrucqtiivocaturprim^^Tmcompoiltusj.ii^cttJda
vcro ci c\\ fccudus compofit \ tF r tcrtia ie qui quadam
bo:um rrtcdictateconiuncrVil:': ab viriufii? cognatione
Bligd natiiraliter trabit qui crt pcr fc gdcm ficundus t to
pofitus^fcd ad alioe tompararue p:un'^ incompofuua
inucnitur.

(TiZDepzimocincompofito. jCa^. 14.

X p:im"adem incompolitiie eft g nulla ali'
e am partcm babet niil cam qu^ a tota numeri
qu jtitate oenominata fit. vt ipfa ps no fit ni
ftrnitas xtfmt.iS.7M.ih^7.i9.i^r.9'3^.
•Jn biserffofingnlienulla vnil^aliapareinuenieturtni
fl quc ab ipfia ocnominaraert:? ipfatanrujvnitasvt fii
p:a iamoictumefj.^n tribUBcnim vnapars folac.ideft
terti3:qiKa tTib''f<5ocnominatacfi;'r ipfa tcrtiapa vm^
f a0. odcmci3 modo quinai ij fola gnta ps cfi:-! bf c vni
raB^atqjidcminfingulisconrcqucns rcpcrictur. JDiciC
flutcm p:im''i incompofirus quod nuUiiccum alrcr nu'
Bierus mcriatur:p:eter folam quc ciictis marcr c vnitar?.
Tnjq5tcrnaritl.2.non numerant:idciicoqut fi folo6&u
contra rrcs compares p9ucio:es funt. £>invero bina^
rium bis facia8:ampUo:cm rrib^concrefcit in. 3. ilDerig
fliitnumcrus niTmcmm:QUotiens vtfemcl vclbis vtl
rertiovelquotienilibctnumcrusadnumcnlcomparatus
necB oiminutafummaneqpauttaadtomparati numcri
rerminumvfcppcrucn:tvtbuofiad.6.compareg:bin3
rius nujner^fcnarium rcrtio metictur:p:imo8erso 1 in^
tompofitos nuUus numerusmctietur: p:ctcr vuitarem
folam.qm er nuUisaUjs numcriscompcftti funt fcd tm
fjcvnitatib^^in remctipfisatutismuUipUcatifcB p:ocrca
rur.Ier enimvn'.?.-: quincjcs vnus quinc^. 1 fcptics
rn^^.y.fecerunr.vf f aliigdem quos fupza ocfcripfim^eo'
dem modo nafcunmr.lDi autin fcmcripfos multipUta'
ri faciunt aUos numcros vclurp:imi:cofc|3 p:imam re^
rum fubrtanriamvimt^ ro:titos:cncto:um a fc p^ccrea'
ro:umvclut qucdi clcmenta reperies.o: fc3 -z intompol
ri funt: ; fimpUci gencratione ro:matt:atc)5 in eos omnes
gtptper bis .plati funt nnmcri rcfoluunf : ipfivero nec^
cr aUis p:odututur:ncq?in alia redutuntur.
CTiDe fecundo t toiitpofito. ^Captm. ij.

tFttJdus vero t tompofitus 1 ipfegdem ipar
f 'eftppterea auod eadcm imparis p:op:icr3tc
fo:m3t^efi;fed nnUam in fe retinct fubfiantias
p:incipalc compofitufq^ eft er: aU|S numeris.
babetcp partcs:? a fc ipfo ab aUeno votabulo oenomi'
natas.fcda feipfo oenominata partcm fola femperi bis
inuenicsvnitatem.abaUcnovcro votabulo vclvnam:
•vel quotUbetaU38:quatifuerintft5 numeriQb^iUetO'
pofiti6p:oaeatur.vtfuntbi.9.i5^.2i.:$'.:7.35.39.H5o-'
rumergofinsuUbabentgdemafe benominatas parteg
p:op:ia0 fc5 v nitates. vt .9 . nonam ideft, i . 15". gntade ti
fnaj^eandemrurfusvnitatcm.iintcterisquosfup^a De
fcripfimus idc conuenir.IK>abeHtctia5abaUeno votabu
loBtem.vt.9.terttam.idefttcrnaria5.T.i^. fertia idc.
5.?qtiintam:tdeft.5.2.i.verotertia5;ideft.7.feptimam.
j.-rinomnib^aUiseademtonfcquentiaefl . £>ecundus
flurem vocamr bit numer^:ciiit non fola vnirate metitur
fcd etia aUo numcro a quo ft5 toniunttuseft.lKec^ babj
in fequitquap:intipaUsinreUiqentif.l^amet;aU)8 nu
merispzocrcarur.^.quidcmcjctnbus.ij.vcro extrib'.
^S.f.ii.cTcthbue 7.7.1 cctcricodcm modo.£ompofit^
aute, oititur eo quod refoUii potefi in eofdcm ipfosa q-'
bus Didtur eiTc compofitHs:in cos fa\m qui tompofitS
numerum metiuntur.*lrtibil9tit quod oifTolui pot inco^
po(Uum eftrfed 01 reru neceiTitate compolltum.

CiDe f 0 qui per fe fecudu» t (oinpofirus ad alium p:£
inu0?intopofitU8eft. jCaplm. i6.

jsvcrocontra fc pofit(0:idcfi p:imo 1 incom'
b pofito:;fi;timdo-:tompofttoTnaturaU Diuer
fifateDiflunctis;aU^in mcdioc6fideramr. qui
tpfequidcincompofitusfit': fccCidiis: Taltcri'
reciptens mcfionc^^arcpidcoi partts alicni vocabuU ca
par:fcd cum fucnt ad ^Uum eiufdc generis mimerii tom
pararus:nuIlatumeotomum menfuratoniunc\itur:nfC
babebunrpa/rcscquiuoca0vtfunt.9.ad.2c.nullabod
comunis numero:um mcnfura mctitur;nili fo:tc vnitaf
quf omniu5 numcro:amcnfuratomuni6cfi.€tbi qui
dem non babent ? quiuocas partes.inam (juf in.9. tcf
riaefi^in.ij.nonefljTqufin.t^-.quintaffi^innouenari»
tion eft.6rgo bi per naturam vfric?5 fccundi 1 tompofiti
funt:tomparati vcro ad fcinuitcm p:imi intopofiriq^ red
duntunquod vtrofci5 nuUaalia menfura metimr nifivni
rasqufab virifq^ocnominatacihlHamin nouenari»
tiona eil:in. :y. vigcfimaquinta.

ClDe p:imi t incopofiti:': fctundi ^ copofit i:T ad fe qui
dem fetundi t compoftti ad alterutmm vero p:imi ■: intS
pofitip:ocrcatione. jCflp. 17.

^ncr9tioflnte5ipfo:u5afCB o:m8 buiufmo'
S di imicfiigarionc tolUgitur. quam kilKa 5? ra
toftenesctib:umnominabat:quodtikti6im
parib^^inmediocollocati^peream qua, tradi
(uri fumus artcmtqni p:imi:quive fecudi : quique tertif
gcncris videanmr cffe oirtinjuimr. IDifponanmr cnim
a rcrnario numero cuntti in o:dine5 impare0:tn qualibs
longilTTma^ po::fttioncm.^.sr.7.9. IMJ. .17. 19. :i.

isituritaoifpofirisconfiderandum^p^im^^numer^qnej
co:h5 qui funt in o:dinc pofiti p:imu5 nictiri poirtt.£>s
ouob^p:eteritisinum qui pofi cos efl poftrue mor meti
rur.^tfi pofteundein ipfu5 quem menfuscft : ali) Duo
rranfmifi^i funt:iUu3 qui pofi ouos efi rurfus mctitur.
^tincodem modo fi Duosquis reliqucitt: pofieos qui
efi a p:imo nnmcro meticndU6efi.tFodc(i5 motlorelicrif
Tcmper ouob"'^ p:imo in infinimm pcrgcnres metienmr
;6cdid non vulgo ncq5 confufc. iWani p:imus numcr^
illum qui cft pofi onos fccundtt fe locatos pcr fu2 qu.^ ti
ratem metitnr.Xcrnariusenim numcr^fcitio.^. metif .
£ii aurcm pofi noucnarium ouos rcliquero : qui mibi
pofi illos incurrerit:3 p:imo mcticndus efi per fecundi
imparia quantitatcm:idfllpcrqui!iarium . 1^35 fipolh
p.ouosuelinquam idefl.ii.T.i^.tcrnari^numerus if.
meticmr per fcamdi numeri quatitatcm : idcft per quina
ri) quonia rernarius.iy.quiquies mcrirur . iRurliis fi 9
quindenariointbc^nsouos intcrmifcro: quipofterior
pofituscfi:etu8p:imusnumcms mcnfura efi pcrtcr
ri) imparis pluralitatfm. *Biam fi noft. iS". intermifcro.
i^.^.i^.incurrit.^i.qucjfcrnarius numerus feciidum
fcptenariu metimr. ji.cni numeri tcrnariua feptima ps
eft. gltqsboc in infinifiiracifns^repcrio p:imu5 numcra
h binos inrcrmtfero omncs fequentee pofi fe mf tiri fcca
dam quatitatC5 pofiro:u5 o:dine imparium numero:5.
^Siveroguinarius numcms qui.in fetundo lotocfl co
fliratu9:velir quis cuius p:imfl ac oeint eps fit menfura
inuenire^tranfmiflis.^.imparibusquinmseique^me
riri pofiir ocrtirrit.^fntermittanturenis.^. imparee idefl
7.T.9.T.ii.^.i?pofiboseftqiiinfusocfimu8:que5qul
narius mctimr:fetundum p:imi (c5 quantiraiem : idell
rernarii.quincBem.ij.tfrtio mftirar . Slcoeinceps ti qc
rao: intermittat eum qui poH illos locams ef! : fecudus
idef^ quinarius fui quflntitareinftimr . 1^am poft quin
dccimintcrmiflts.i 7.1.19.^.2 1.?. 2 J.poficos. ly.re
perio: quo6 qutnariusrcilicetnumerasfua pluralitfltc
tmtitur. ^uinquiedenim quinartomubiplicflto. 2^ .

Zritlmciici

fticcttfcunt. OiVfTo poftbuncquilibrt.4, inrcmiittflf:
udcm o:dinierfruataonilanri9:quico0 fcijtnr (c{a<iu$
tfrtii.i.fcprcnari? numcri fummamagnarictmcrictur.
iltii;l.>fce(linfiiiitapcffTio. £ii vcrotcrruig numcrud
qucmcttripolTltcrquiritur:(i):inin'diorcliiiqucnnir:T
qucm fcprimum o:domonih"flucrir:bic pfrpiimi nume
rt.i.tcrnarii qujtitarcm mcticnduscrt.tftpoil lUum fcr
•lii^ intcrpoftti6:qucm port cos numcri fc rirs oabit : jj
quinarium i.pfrfc^mrcrtiicujmcnfnrapcrcnrrct. €5i
vcro9lioi3rurfu9rcrinmcdioqsrclinqiiat:illcquifcqui
turpcrrp.fcnariumnumcriiabcodfmfcprcnaqo metic
dU8 c(l:idcft pcr rcrpi qujrirarcm.arcp btcvfq5 tn crtre
mnmratud o:do piocjrcditur: S^n^ipic ntcrgo mcticdi
iriciiritudincm:qucm'adm5dumfuntino;dincm natu
ralitff impare0 conrtitnri. ilC)cticnturaiit pcr parc6 nu
mcrosabifiarioinfb.^antcepofitosinrer fcimparcs ra
tfl intermilTonc tranfiliaHt: vtp:imu6 ouos: fccundua
4.tcmu6.6.quartn6.s.qnm0.io.tlclfiloco0ruo6coti
dupliccnt-r fc6m Duplicarioncm tcrmiros inrcrmittanc
tttcrnariue g p:imue c numerue 7 vnus. ( 0i0cnirrt
pjim'vnu6Cil)bislocum fuit mu'.tipUter:faciatQ5 bi»
rnum. Qui to ouo fint:p:im^ouosmrdio0 tranfcar,
"Mlnrfus i'ccundu6 idcrt gnarius^ft locutn fuu> oupltccP
4 .crplicabit:b'c q«oq5.4intf rmiltar. 3tcm fi ftptcnari^
qui tcrriuscrt locum fuu puplifct:fcr crcabir. 35is cnin»
^Stnmu iungunt.biccrgo in o:dincm fc r relinqt. Quar
tiisquotu fi lonim fuum Dup:icct.s.'fiicfrffcfnr.itIcquo
«p.s.tranflliflt.atcp boc gdcm in t? tcris pcrfpicicndum»
AX)odum aotmcnflonis fct5m o:dinem foltocato:u ipf»
ffrics babif.lRam p^imuspnmit quem numtrrat: fcc5
dnm primit numcrar^idcil f cudum fc.i fcciidum phnt'
flucm numcrat;pcr f(?5m numcrat.-r rcrtium pcr tcrrium
t quarrfi itcm prr quartuin.tCum autfecodus mcnf^onS
fufcrpfrit pzimii qum numcrat fcS ui p:imuiti metimr.
fftjmrcro qucm numcrat per fe.idcrt pcr fct5in 1 tertium
pcrtcrriutn.i incftcriseadem fitnilifudinemcnfuracoti
ftabit. illiosergo 11 rcfpifias: Vf l q atios menfi funr: vel
qui ipfl ab aliis mcriunf rnucnicsomnium f^mulccBiii
nem mcnfuramffrenonpoife.nccijvtomncs qucqaan»
alium flmul numcrent. quofdam ^utcm cr I^is ab alio
poiremctiriiraYtabvnotantum numc rcuf . alios vero
Tt etia a plurib^.quofdam aufcm vt p:ctcrvnirarcm eo:5
nuHamenfurant.^uierc^o nuttam mcnfura? p:crervnii
tarcm rccipiunt:bosp:imo6 1 incopofitos iudicaniHs.^
yeroal quammcnfur mpzctervnitarcmvclalicnigcnf
partis vocabutum fo:ri5rur: cos pzonitcicmus fcciidos
atcu compofitos.Terriumvn-oillud senuo pcr fcfccuti
ditcopoflti^p^imiveroTincopoftti adaltcrunum cop»
riiri : bac inqflro: rarionc reperier. £)i eni? quofiib, illoe
numcros fcciidum fua; in icmcripfos mijlriplices qultt
tJtem:g.pcrcanturad9tterutru(ompar3ri:nult9 mcnfurg
comunioneiungunrur . Xrfsenimt.^. fi muttipliccs:
trcstfrtio.g.faaunt^-rgnquies.S^.rfddfnt. JS. IDisigiC
i)ult9frtcognatioc6muni0mcnfurf.*fRurfu0.5^.7.quo«
p:ocrcantfifLMiip9'-c6:biquocBin(omcnfurabtlc0 erfit.
^uingfsenimquinqjvtoicmmffl.^ . f-ptif6.7.f9c»
unt,49. €5uo:um mcnfura nuUa comuniscft : nifl fo:tc
oinnium bo:um.p(rcatri): matcrvnitfls.

<r^muent'onf co:um numerojum quiadfe fccijndi
'^(ompofiri funt:ad aliosvero rflati p:imi % incompoftti.
Caplm. 18.
navfrorationc tale s numfros inuenirepodi
mu6:flqui0 nobis cofd tu p^oponai ■: impct
agnofccre vtmm aliqua menfura comenfurabi
lC0 flnt:cn certc folavnitas vn ofq^ mctiatur:
repfriendi ars talis dl. jputiscnim ouobue n' mcri 0 in
{qu9lib':9Ufcrre bc maio:e mino:f 5 opo^rcbit.t qui tfli
ct^fucritrfi maio: crt:aufcrre cxcoriirfi s mino:em : ft vc
ro mino: fucru cu^ q; teliquo miou cerrabcre. Hitq^ boc

covfqs fa(icndij:qu6advnita0vlrimavic?retractionio iin
pcdiat:aut9tiqs numeius impsr nfCclTario fi vtriq^ nu
ineriimparfs.pponantur. Ofdnim Qrclingtiir nutnev
flbiipiividebisvqiiatem.ifigofiinvnumincurrarvictf
flinula fnbtra(tio:p:imi (ourra fc nccclfario numcri oi(C
riir:-? nullj atia mcnfura nifl fola vniratcconirKti. £)t vc
road a iQUcm numfnj; vrfuperius ot(tucll:fini6 oimi
nurioni0in(uricrit:entcn8 numa^qutmctiaturvtraf
<Hifuinas.ufiiufidcinipfuinorcmanfcrit: oifcm^^vtro
riii^cocin ciTcmcnluram. 2lgccnim Ducs nuincros.p'"
pofitos balieamus:quo0 iubcamuraguorcfrc : ancosali
qua mcnfuracomunismctiarur. •^to^btfint.g. fc^.t.
2 .bO(igitur f (ifmus modo rccip:oc.ioiminutioiicm.
5nul'cratn"^oe maio:emino:cin:boc cil:oc. J9.noucn2n5
rclinqucnrur,:o.5^]clM8crqo.:o.rurru0 minozcm rcna
bam^^^idcll,?.-! rclinqucnif.il. Jtrbifrurfusoctrabo.9.
rf licri funt. !. ^5uos fl oen-abo noucnario^rf licn rmr. 7.
^Jiiodflouorurfusfeptcnario c^cmpffim^fuperfunt. s".
atct; cr bisalios buos:n-c0 rurfiiin eiubcrant.quos alio
binano oiminutos folavnitas fupcrllcs cgrcdi? . iRur
fusfl er ouob^^vnumauferam^in vnotcrmin^^octractio
nis bf rebit:quf m buo:um illo:um nunic ro:u idc(1.9.'r.
:9.fo!Htn ncqsaliumconfiatccmcnfuram.bos ergoco
trafcp:imosvocabi.mus.^cdflntaliinuinerinobi0ca
dem condirioncp:opofiri.i.:i. 7.9.vtqu9les bi fintin
ueftig'*ntur(ii fibimct fucrinttnuiccmcoinparati . iRur
fus aufcro oc ma'o:c mino:is nuincri quatirgtcm.idcft,
9.be.:i.rclinquentur.ix.t5i;bis rurfus ocmo. 9. fuptr
funr.3.0uiflc): nouenariorftrabantur^faiari^Iinquc
fur. t>luibus itcmfiquistcrn9rium ocmat.j.rflinquen
tur.oc quib^trcs ocriabi nc(.lunt,atq.i bic c ilbi ipfi f qu«
lis.iHam.^.quioctrabebanrur vfqjadtcrnariujnumc
rum pcruencrunt.a quo quoniam cqualcs funt: ocrrabi
tninuic)3 non potenint . If r>og igttnr coiinenfurabitcs ,p
iiunriabimus 1 a\ < o:um qui.cll tcliquus tcrnan ■ mcnfu
racomunis.

^llia partitiopari0 ffcundum pcrfcctos imgtectos ■: vl
traquaingfcctos. jCaii. i9,

C of imparibus nuinf ri0 qultii'; inrroductfo
a Hispcrmittcbatb^cuisascrpcdiiumcrt.iRur

fus numcro:um p rium ftf fitfrcunda oiuifio.

211!) cnim eo:um funt fupflui.ali) oiminuri fc
«udumvn-afqjbabiradincs in^ qualitatia. ^lsquippc
itiequaUtas:9Utin maio^ibnsautin nnno:ibus confldc
t9tur.'3llienim immoderata quodamodo plcnitudinc:
p:op:ij (o:po:is modu, partiuin fua:?; nuincrofirate p:c
Cfdfit.^ttosautfmvcIiitipaupcrtatcinopcsopp^ciTorcp
t\uadam natur? fuginopia mino: quain irfifunt gtium
fum3copoiiit.afq5illiquidcmquo:um ptcsvlrraqua fa
«i8cfcfcpo::ircrunt:fupcrfluinoi9ntur.vtfunt.i:.vcl
1 h W^i cnim fuis parrib^coparati m9io:c; prium fuiii
nia5rotoco:po:efo:riunf. tgfieniin ouoofaani mfdie
«as.6.p0tfrria .4.50 quarta. ? .ps fatz. i .pars ouodfci
ma.i.cil. s^i^qj biccumutu''rcdudatin.i6.crcn^co:po
ti0 fui mulrinidinf5vincut.if\iirfus.i4.nuincrimcdic
taseft.ii.tcrti9.8.quarra.6.ffcn.4.ocrau3 trii : cuodc
<im9.:.viccflmaqu «rta vnumqmcmncs trii^inta tfei:
Tcpcndunt. In qtia re manitcllum c\\ auod fumn^a parri
um maio: cW.i fup:a p:op:iu5 co:pus epnidat. aitqs
bicquidf^quonias compofit? partcstoriusfummanu
mcri vinni n t: fupcrfluus appellamr . fPiminut^ vcro il
le(iii''codc5 tnodocompoflrcparfctnoti^^tcrminimultiru
dinc fuperannir.vt.8. vel.'9.ljabctein5 octona^partc
tncdi95:idf fl.4.babct t quartaj idfl> ouo . babft 1: octa
1195 idell vnu^quf cuncteinvnum rcd.i(te.7. (otligunt:
mino:e5 lij fumma^ roto(o:po:ccon(ludcntc0."if\urfu0
i4.babert medi(tatC5 idcil ffptf nariuj.babf nt fcptiina:
idcrt. J.babcnt quartldcrimas idcil.i.quc in vnu5 li coilc
(t(fint:ocnariinut}icri fninac5at (it:totof($ tcrmino

3rttbm:ti'ca.

m(noj. iJIfcBWqiifdcm bot modo funt.vtpzio: fllc qii?
fuf partcefuprrjrtijUxJ vidfariir:rai\;fiqij(s mnltf fug
naruram manibue nams vtffnruiwnue gigae: vcl m-
pha coumauff co:po:c:r r gcrion rc rgcminus vcl Qcad
vn^B mondmofufn natura in parnum inulriplicatione
fu.ripuit.lllc verovrrinamralitfrquada nccclfarcaptc
octracrar.uiruunu0oculanarccrctur:vrcYclopff iTonrid
ocdfcu0fuir!vclquo;5liomrratU0mcmb:o:naturalcro'
tiu0fucplcnituduiier>irpcndiumro:tirctur. '^utcrbos
Butcm vclutuifcrfqiialceiutcmpcrantiaemcdijrfmpc
ramCrumIimiri9fo:ntuefilillcnumcrne qui pcrffct'
oicif :virturie fc5cmii(aro:qui ncc fupcniacuapgrciTioe
po::igimr:ncc(onrra(rarur!usOiminutionc rcnTurritur
fcd mfdietatieobtincnetcrminum fuis cqunspartib'
ncccraiTaturabundantia: ncccgctinopia: vt f£)c vcl.:s.
Tllamg? fcnanus babct partcm mcdiam ideft.^. •? tcrna
Idcft.i.T ferta, idcft. i .quf in vna fumm.i fl rcdacr? ftnt
parrowmnumcrico:pu0 fui6 partibus inucnitur.is.
rcrobabftmcdifratfm. 14.1 ffptimaj.^. nfccarct qrta
idert.^.poiTidetquartamdccimam.i.-jrcpcrics incovi
ccfimamocrauam.i.quf invnumrcdacrcrorumparti'
bU8(o:pu8fquabunt.2s.cniminnct{ partcs cfficicnt,

CiDesCTiaationenumcripcrfccti. jCaprm.zo.

.Stantem in bis quoq; ma^na fimiiitudo virtU
c tis -z viu). n^crfictos cnttn uumeros raro inue

nie8:eorcHfacilcnumcrabilc8:quippc qui pauti
funtrcnimis coftantio:dinc p:ocrcati: at vo fuperfiuos
acoiminiitoi? longcmultosifinirofcprepcricsrncf vllid
o:dinib''pairiin ino^diiiatfcp oifpc^fitos: -ra nullo ccrto»
fincijeneracos.Suntaurcm pcrfccti numcri intra t»cna'
riumnumcrum.6.inrraccntcnarium.:s.inrra millcna'
ruun numerum,4%.inrra occcinmilia.Sijs.^tt fcmg
bi nun .cri ouobus pai ibus rcrminanrar.^j.T.s. femg
alrcruariminbosnumeroefummarumfinc perucniur,
"V^m t p:im5 fct &cindc. :s .*]Poit bos.496.idcm fcna
riU8 qui p:imus.poftquc .$1:$. idcm ocrcnarius qui
fcfundus.iOcnfratioaurcm p:ofrcariocB co:umefij:a
firmaq3nccquo3liomodofieripolTinr:necvrfi boc mo
fianraliud quiddam vllomodo valcatpzocrcari.SDifpo
flros cmm ab vno omnc s parirer pares numeros in o:di
ncmquoufcgvolucri8:p:imofc6m35c;rc59bis:':fip:i-'
musnumcrusincopofttuserilla coaccriiarionc facru»
fir:rotam fummani in illum mulriplicabis qu? poflcri'
aggrfgaucr39.;^ivotoaceruarioneta(tap:imu8 7 in(5
pofitus noii muenms fucrir fcd (ompoftnis t fc(undua
bun(rranfgrcderearcg alium qui fequitur aggrcgabis.
;£)i vo nc( Dum fiicrit p:imus 1 incompofitus: alin mr
fU8 adiunse vide quid fiat. fi p:imum incompofi'
tnq? repfric3:tuncin vlrimc multitudinem fummfcoa
ccruarionem mulriplicabis. iDifponanrur cnim omnes
panrcr parcs numeri bocmodo.i. 5.4.8. K5.32.64.I28
fariescrgoiratponce.i.cic^aggrcgabis.i. Xunc rcfpi'
tieseicbacaggrcgationcqui numcrus facrus ftcfunt.J.
qui f(5 p:imu8 1 inccmpontus cft:7 pofi vnitatcm vlii'
tnum binarium numcrum aggrcgaucras . £>i igif ter^
narium idcilquicrcoaceruarionecollcttuscft pcr binari
um multipliccs qui cft vltimu8 aggrcgat^^^pcrfcaus ftne
Tlla Dubitationenafcetur. 2Bi8eni.3.6, faount. quiba
bent vnam quidcm a fe oenominafam partcm idefi fcicrl
tres vcro medlctarcm f m oualitatcm. at vo ouo Pm (oa^
teruationcm idcfi fm rerriarium^qrn (oa(eruari rres mul
liplicari funr.CIiginriocro aurem codcm modo nafcunf .

cnim fupcr vnuin touoqui funr rres addas fcquc'
tcm parircrparcm idci1.4.feptcnariam fummam facic»
fedvlrimumnumerumquaternarium confequctcr ad-
iurera8:pcr buncigitur ft illam (oaccruationcm mulripli
caucris^pcrfecmsnumcms p:o(rcawr, £)cpties cnim
4. 2 8 .funt qui tfi fois partibua paribabcnd vnum a fe

oenominatum idcft vigeftmiloctaunr mfdictatem Pm

binarium.i4.Pmquaremarium.7.<cprim-U^ofm fcpre
narium.4.f'm omniumcollccrioncm quamimdcrimum
ouo:qui vocabnlo mcdictarisopponimr , tt rgo cuin bi
rcpcrtiflnt:ftali08 inucmre fcctcti6:cfldcni opo2fct latoc
Ttvelligcc.nPJonesenimvnumliccbit:-; pofl bun(.2.
i:.4.quiin fcprcnariummmulantur:fcd ttcboc oudum
rxritit.28.perfcctu0nuinerus.lI3uicigirurQUircquimr
parircr par idcfi.s .conrincns iungarur accciTio:qui p:iO'
ribus fuperucnien6.K.rcfiiruir,x.xd btcp^imusTin'
compoftrusnoncrt. IDabcr cniingcneriaalrcrius par^
tcm fuperillam qu? cfl afeipfa ocnominaratqumfamdc
cimafc^ vnitarcm. IDuncigimr quonia fciundusciU
compofims p^crcriro:-; adiungc fupcro^ibus conrmcn'
tem parirer parcm numcmm idcft. 16. Qui cum.i5.iun'
crus vnumac.^o.conficicr.Scdbicpzimus rurfusi in
compoftruseiT.IDuncigimrcujcvtrcmi aggrcgari fum'
mamultiplicarvtfianr fcdccics.3i.qui.496.rifplicanc.
K>f(autemcil inna millcnarium numc? pcrfccra 0 fuis
partibusfqua numeroftras. 'Jgitur p:ima vnitfls vir'
ture atq5 potentia non criam atm vcl rc ? ipfa perfccra c.
lRamfip2imamipfa5fumpfcrorep:opofito ozdinc tm
mcro2um:vidcop2imam atcB incompofitam: qu.i fi p
fcipfam multipli(o:fadcm mibi vnitasp^otrcatur. S>C'
melcnim vnum fola'/ncflfiot vnirarem quf parrib' fuia
fqualiscrt porcnria fo!um cgrcris criamaau arcp opcrc g
fccris. TRecr? igimrvnirasp2op:ia vir urc pcrtccra cil
quod t p2ima c1l t incopofira:'! per fdpfam inulriplicara
fefcipfaconfcmat.;5cd qinticcaquantitatc qufpcrfc
flt oicmm cfiropcris fequcntias ad illam QUf rcfcrtur ad
aliquid tranffcramuo.

C 3Dc rclata ad aliquid quaritatc. jCapTm. 21

1D aliQUid vero ciuatif atts t>upk):cfl p:ima bi
a uifio, 0mnecni5 aut ? quale cfl: aut tn?qualc qc

quidalfcriuscomparartoncmetitur. ^t {quale
c|uidemel!:quodadaliquid(omparamm ncq? mino:e
fumma infra eft:necp maio:etranfgrcditur:vt oenariue
ocnario: vel tcrnarinsrcrnario vcl cubitiJcubiro:vcI pcs
pcditt bis fimilia . ID^c aurc pars rclar^adaliquid quan
tirarisideftfqualirasnamraliterindiuifa cft . ^flullus
cnimoiccrcpotcfi:quodfquaIirari6boc quidcm ralccft
illud vobuiufmcdi.Bmnisemm fqualiras vnam fcr
uarinp:op:iamoderarionemenfuram. Jllud criain q5
quc ci quarir3S(omparamr:non alio vocabulo arqp ipa
(Uicompararur eoKimr. iHamqucadmodfjami^usami
(0 amims efl: virinufc^ virino:ira t^irimr^qualis cqtiali
^ncqualis ycro quanritaris gemina oiiiifloeft. iSccamr
entmquodmgqualceHin maiU0atc^minu6:quf cdtra
ria fibimet oenominationc funguntur.lflaq? maius mi
no2e matU0 e^:t minus maio:e mtnus efi: t rtrac^ no
cifdem vocabulis queadmodum^m (qualitatem oan
en fcd biucrfis oifianribufc^ lignata funt ad modu bifce
tis f(5 vcl ooceng: vel cf dcntis vd vapulanris: vel quf
tacB ad aliquid rdata alitct benominatis contrarijs co^
parantur.

C JDe fp2b' mato:is inj qlitag t mf no2i0. jfapfm. i ?,

2Iio:i's^ incqualitatis qnqppartes funt . 6ft
m cnim V na qug vocamr mulriplcy alia fuppartuu

lansttcrria fuperpartimsrqnarta mulriplcr fup
parttmlari6:qntamulriplc]cfupcrparttcn6.K>t0igiiur
gncg maio:isparribU6oppofitf funtalic gncp partca
mino:i0:qu?admodum ipfum maius m.ino:i fcmp op'
ponitur:qu? mino:is fpccice ita flngillarim fpccteb^'. v.
maio:isbi6 qu? fup:adicff funtopponunrur: vt rifdC5
noibue nunmpenf :fola tantii fubp:cpofirioc oiftanrea
£)i(iturcnim fubmulripler: fubmperparncularis: fub
fuperpamens:muitiple]c fubfupciparriculat is:« multi
plei;fubfupcrparricn0.

i6o

CJDe multiplid cfufcB rpedcbm arucB gcncranonib^

Clrfusmulriplcr eft pma pare m3ro:ii? in^qua'
I Iitan0:cuncri9 aUi^ anriquio: naturaii^ pr^nan

rio::vtpaulopoi1 SicmonflrabtmueJOic purcm
Rummis buiurmodi cil:vfcomparatue cum altcro: lUii
contra qLi^comparatuscflbabcarplue qui fcmel.j^
p:im5 ' n naturalis numcri oifpoftrionc concn jet.lR jcp
•dvnumajnctitiuifcquimf:oniniumo:c]inc multipli
onmfcquenfiasraricrarcrqjajlbdiunt. ifldp:imu ciil
<dfllvnitatc.:.mipUJ6 ^.tnplns 4. quadmplue: atCB
itfl in o:dinnn p:o5rcdicnrce:omnc6 tc)runmr mulripli
ces qu 'titatee. Ouod aurcm oicrum ert:plu« ifc fcflicUid
II binano numcro p:mapium apiv.': in inftnitum p tcr-
narium quarcrnariumq5 1 Cf fero:6 o:duif m fcqu*'UdCB
D:o(trcdimr . tContr a bunc vo oircrimuiatug cil iHequi
rocjmr fub mulriplcc^-rbfcquoqj p:im9 mino;i8 qua-
rifatie fpcciee eih li?ic aSt numcruit bnioi e(i:qui in altc
riU0comparationep:oducrue:plu0i5i(Imelmaio:i8nu
merarrummj:fua.rqu3ritateajmeofqu9lirer incboii»
f qualitrrcu oercrminane.^dcm aiir oico numrrat quod
mcritur. Oii^iiurbis folum ir,ato:cm nnmc :p mino: nu
mera«mftiatur: fubduplue vocabimr. (1 vorer: fubtri/
plu6.flquatcr:fubquadrupUi9:7fitperl?ffininftjil:um
p:ogrciTio:addiraci3 eos fempcr fub p:cpofitjone ncmi'
nabie^vtrn^ouov fubduplus3: Mum fubrriplue .4.
fubquadrnplue appcllcturt confrqucnter. >£um autc
namraliter mulriplicirae t fubmulriplictrae inftnttaM
co:um quoq? fpccieepfrp:op:!9S gcncrationce in tnft'
nita confklcrationc vcrfantur.if>icnimpofttis in natu^
rali conrtiiutionc numcrisfinguloe pcr fuae confequen'
riaeparce cUc:ae:omn umab vnopariuatcijfmparm)
ft fc fcqucntium oupltccs erunt:? buius fpcculattoie tcr
minu6nonocftat.*iPonaturcnim naturalie iiumcrus

i^.io.I^ommerso H p:imu5 fumas parcm idirt.i.pmf
oupluscritidel! vnitatie. Si Vo fcquctcm parcm idcft
4.ferundidupUis cfJ: ideft ouo:u5. £?i >?otcrrium parS
fumas idctl.6.terriinumcritn naturaliconfUtutioni: ou
pluseftidcftrcrnari). 5r>iiJoqu9rtum pareminfpicias
idcrt.s.quarri numcri idcrt quatcrnarii ouplus f .•jdccji
intfterisininftnitumfum^tibueflncaltquo impedimg
ro p:occdit. Xripltccsant nafmnrur:fi in cadcm oifpofi'
rione namrali ouo remper intermttramr: 7 qijii port ouo
fnnt ad namrakm numemm comparcnmr occepto terna
rio:QUi vt vnitaris rriplus fit folum binarium p:ctcrmir
rit. ^)Oft vnil 1 0110.3. funtquitriplus Tniusc. iRur''
fnspoft.4.» J.funt.6.qui fecundi numeri idcft ouo:un»
rriplU6c.ia\urfus poft.g.funt.7.t.$ . t portbos.g.qui
mtii numeri tdeft tanvii triplus c(l. 21 rc^ boc idcm in
f nftnimm fi quie faciar Hne viia ofttnnone .pccdit. ^ua^
di uplo:um vV) gcneratio inctpit fi quie tree numeros in
rcrmittat.i^oft vnum quippft.:.T.3.funt.4.quipmi
idcft vnins quadruplus e!l.*iRUfru9]un tcrmirero gna
rium^fcnarium:-: f4 tcnariumrottonarius mibi quartua
ccmrrit;triplue.f.intcrmiiTie:qui binarii idcrt fccijdi nu
meri quadruplusc ll. Jlt Vo ft po(l octotrcs terminos in
rcrmifcro idclt.^.-r.io.T.ii.buodcnarius qui fequif ter^
narif numeri quadmpluscft. gltcgbocidem in inftnito
PTogrclTie ncfciTecfteucniretlcmpcrcp vna tcrmino:ura
intermillTone f\ crcfcatadiccrio:ofdtnatas tc multiplids
num -ri viccsinucnirc mirabcris. £>icnim.4. inrcrmit
ras:anmplu0 tucnif :n qnq^: fctcuplue. fi icic fepruplus
frmpcrci^ipnusmuiripUcitarie nominevnominuain
rermiflionis vocabulop:ofreanmr.*lflam ouplus vno
inicrmitrit:mpius.2. qnadruDlue.3. qncuplue.^. €t
&rittqtp6adcundemo:dinemrcqucnriaei). tftocs qdi
oupli fm p:op:ia0 fequenriae parium numero:um pa
res funt.XripU >^o vnu6 fem^ parrermimie impar th^
•nnaiiU)r.)@u4drupU i^rur>ueiemperp«cinuuilodi'

nnrquantiratc. jCoflituunturqsa qiiartonumcro vno
cr p:to:ibMepero;dincpcfitie paribue itcrinilTo:pmo
pari binario.poil I.MK.s.mtfrmtlTofcitario. poil bfic.ii,
tranfmiiTo t>cnarto, 21tq3bo( idcni in cf rcrie. Ouincupli
vo p:opoftrio i-m rriplic le finiilirudiium altcrnarim pa
ribU0arq3 imparibue t ofitie o:dinatur.

CiDe fuperp9rticulariciufq5 fpccicbus caruqi gcncra'
rionibue. /Caprm.:^.

tlperparticujaris vocftiiumniisad alrciumco
f pararu0:qtjhjricii6babetin fctotum mino:fmi
partcm cius aliqua. ss)ui fi mino:ic babcat mc'
diVtatcm: vocatur ffiqualtcr.fi votcrtiam partcm: voca
tur fcfquircrt1u0.fi vo quarram: vocarur fciquiquartus,
■7 fi qntam: votarur rcfquiqntrts. 2ltcp bie noimnibu e i
infinitum DHcri6:in inftnitumquocviruperparriculariS
fo;ma p?ogreditur . t£ t mato:fe qutdcin numcri 15 mo
vocantur:mino:f 6 vo qui babcntur toti ■x co:uin aliqua
par6:vnu6 fubfffqualtcr:al c- fubfcfquitcrttue: altus
nibfefquiquarmetaliue rubrcfquiquintue: ntci? idf5
fm m9io:um no:m4 mulritudiiicntqj p:otcndifur.JtIo
eoaiitmaio:csnuincro0cufc0:mino:c0(oniiti0. iinip
parricularium Quoci?infinitacilmuititudo:ob camrcm
quodeiufdfm fpcciestntcrminabilip^ojrffrtone lungi»
rur.lHam ftfgualtcrbabcbtr quidcm Dticf 0 omnce poft
tcrnartum numc! um natualitcr tripltccs. iCoimtts vo
onines port binarium naturalitcr parce: bocmodo:vt p
nttisp:imo:ftcundU0 fc»5o: tertiustcrtio compa!Ctur:ct
oancfps.jDcfcribanturcnim lonatfrimi vcrfue tripU'

\ii[3\4\Sl6\7

8 19I10I

1 214)61 8 (io|i:li4

l6lS'10i

(himdus ciue triplic m:rcrrius v^o oupliccm:arcB in co
fitern9rtusbiiiario:vcI ft fenariusquaternario^vcl noue
nariusfcnariocomparccur^vclomncfi tripliccs fupcrio'
rcefioiipltcibus numaieconfcc.ucnribue opponannir
tmiolia idcft f^fcualfo-a p:opo:tio naftctur.treseni^ bnt
intra fe duo 1 eo:ii mediam partcm idcrt . i . fejr c;uocp c6'
rincntintra f .4.Teo:ummedietatcm idert.:. -: noucm
intra fc fcnarium claudunr:-! rius mcdiam partc:idert,3.
eodemcB modo in Cf tcrie. iccndum ^Jofiquts rccimda
fpericm fupfrpartimlaris numcri conftderarc offidcrct
idfll fcfc|Uttcrriam:qnaU rationercpfriat:ac Diffimrioq'
dcm buiuscompaiarionistalisen. gxfquitcitiueeii:^
mino:icompararuebabcrcum fcmetr ciue tcrttam ptc
ffdbiinucniunrurfiomnibuaa quaternarionumcroto
tinuatim quadrupUs conrtiturie^a tcrnario numcro tri-'
pl;tcs comp9rctur:crunta'i oucce quadrupii : comttee tti
pli. £>it cnim in o:dinc boc modo nflmer^ naruralis: vr
fub co quadmpli:': fub co rnplt fict. fupponatur fub p:i
mo quadruplo pmue triplu0 fub fa5o rccundue: fsib tet'
riotertiue:^ codcm modo cunai cturd^ p:tmi verfus tri'
pHino:djncm oiric;>irnr.

213 41^|6|7|S|
S|i2l26 w]:j.I:8(3j_

n9il:|ljJls|Tn:4i

ir^gifiiLtOiniUHi p:imofi cpmrarcfi fcrcuirerria latto
con'infbinjr.lHamfI.4.tribue compaics^babcbfit in fe
4.tomm tfrnarium 1 etue tcrtiam rartc m idc fl.i. <♦ fi fc'
<ivndum fffundo idfft oftcnaniim (cnario tomparcs: idi
inucn!C9:babcbi"fnim ocrcnariuercnanij rotum -rcius
tcrii3ptcidcll.2.7pcrfand2 ffquCriavri^ininfinitup
grfdifdijefl.'lgotandiiq; fn:qS.;.ccmire£^ runt:oucfs.
4.*ifiuifii9;d.comitcs:oufe6.s .t icod?o:dinetcteri fill
mSvocanf bncesfcfqtatii^comitesfUbfcf^quitcrtii:': tn
i uais ^mbummodil pontaconuenit (cruare vocabula«

3rttbmctia

(T Tk quodam vtili ad cognitionmi (bpcr
partiaUanbu^afcidcnte. Caprni.!^.

0( »at admtrat>itep:otundi(Timaq} in ittoTf
b o;diiiit)Ud inunutur.quod pnmus our pu"
muri.Bcoinedadr< tnuicem nuUanumcri in>
tmnirrionecopuUntur.Wa; p:tmifenullo in mcdio po
AcotTanrrunr.-lctundi intcrponunt.i.tcrcij duos : quarri
.5.^ ocinccps vna rfmpcrminoicquaipfi runtintcrmif
fionc fuccrefcuiit.atc^ hoc vcl in refqualtcrie: vcl in fcf
quinrcrri)d:vdin aliic fupcrparriculatta panibuenc'
cfiTcert inuiniri.lfliqucurquatfrnariue contra tanfl'
na comparuur:nuIlum tiitcriniAmU9: uoil.;.cnim mof
.4.funr.flt Ycro.6.conrra.3.infccadoicilicet fcfquiter/
tio: vna facta e\\ inteiminTio. 3nter.6.enim -r.s.folue efl
leptcnartusquitninrmiiTuseil numer^.iRurrue m.9.
C9ntrni.i:.cdpaitmu0:qui funtin oirpontid(tertii:t>uO'
rn mediopell tsKta trinfmiirio. 'Jnter .9.en! ec.ii.funt.i»
(t.ii.f(6mbuncmodum quarta otfpoiUio.i.QUints.^*

<ntermi(t{t.

C jDcfcriptio pa qu3 oocct f f rcris inf qmlitatfs fpafc
bu0iintiquio:?elTcmult<pli(em. iCapTm.^^.

Honiaaiit natwalitcr i fcSm p2op:ia5 o:dim'«
(onfcquenria:muUipli(ctu. in^qualitatie fprciS
cuit(tt6pifporutmu0:p:iniaq5fpfci? cfTc mon
flniuimus:U(et boc nobt« portcriozis opc ris ojdinc (la^
refcar^bic quoqj perilnnse ntcs td quod p:opofuim^ pls"
nilTimc bmiit£r(i5 ooceamus. ioit enitaUe ocfcriptio
in qua ponamr in o:dtncm vfcp ad Dcnartii numcrii (5
tinui numerto:do naturalie:? c(undo vcrfu Duplue o:
doicramr:tcrtiotriplu0:quartoquddruplud:'; boc vfq;
fld PC(Uplu.£>iccnim(ofinorccnuigqucadmodU3 fupcr

!>articutflri<; fupcrparricnti^^jcuctidalijdpjinceps erit
pecice multiplt(i8:i qufdam aUa f^mul infpiciemue cc
•d fubtilicare tcnut(Tima:f ad fcicntia vtLliiTuna : et ad
cjxrcitation^ mcmis locuRdinima.

Xetragotu.

Xonsitudo.

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longittido.

Xctragona.

Ci>^atioatc^n:pofitiot)igen(fo:nml(.' ttir:qui.f.a.4.niguUiifijimipienrc6:invigcno0 tcrmi^

^Capfm.:?. num ponor.ouplcy idcft pnma fpcdcs multipliritane

3 igiair ouo p:ima latcra ppoHt; fo:maI( qa( ofl(nditur:ita vt p:imuo p:imnm fola fu^^ct vnitatc :

r ^tuntangulum:ab Tnoad.io.t.io.ixedcntit vtjouo vnum fc(undu« fcoindS binario liipemadatrrc

r(fpidamur:7ln9fubtcrtoxd02dincoconipir{ ooatcrniiriOdbinarimtatiUtftatiujntribuozvrfcna'

htt0rernarium:quiirra0 qudrnim QttArimrii minitrofi
wterranrfedaiuirr.s.iinarfrnariumr^pcrcsindem cim'
cti rfqucntinn rcff ininone pluralirare picrcreanr.
vcrorcrrius anjuiua afpifwtur:i]ab.9.incl>c>an6 longi
tudinfm larirudincnuiitriccnisalrrircfUffnunKrisfr'
rendit:'! I.">i( cum p:im3 hnitudinc t loncanidinc compa*
retuntriplcicfpcficb^muiriplicitafiooccurrir : ita vt iila
eomparatiopcr.r.lirrcratn fiar.JDiqBfcnuiiierifupabfir
ftcadumparitatis faaam naturalitcr conncrioiifm."|P:i
mus cnim p:imum ouob^fnpcrar: vt vnum.j.lecudus
ihundum quatcrnario: vt binarium fcnartus.tertius tcr
tium fc]c:vtternartum nouenaruis.TadfUndc^fcrcrimo
dumpiosreirtonisaugcfainr.fjmmrem nobis rfilicct
« ipfa naturalisobicfit inrconitas^nibti nobisatra nu'
(binantib': vt in ipfo modulo oeffriptions apparfr.
X7i quis aurcm quarri angultterminum qui f(dcci^ nu^
meri quantitarcnotatus eih': longitndtncm latitudinS
c$ iii quadragenos oetcrminat veltrfupcrio^ibus copa
rarepcc4;.litter?fo2mam p:opo:tionefollata quadrupU
mtjltitudinetnpernorabit. IDifq^clt ozdinabilis fuper
fepzo^rclTio vtpriinue p:imumtrib^fiipcrci:vt.4. vnt
caton.j^fundus fcciidum fcnario vinfat: vtoctobina
rium. Xertius terrium noucnar io tranfcat: vt ouo ocn«!
rius tcrnarium:'? fcquentcs fummnlf tnu> fe felnpcr adi
fftfl quatiwte tranllliant. tEtllquis fubrcfiozcaafpiciat
«Rgulos idc, pcr omnes multipliciiatis fpffies cifqj ad
becuplum oifpofitilTimao:dinarionepcruenicr.x?i quis
Tcro in bic ocffriprionc fupcrparricularis fpccies reqiii'
ratrali modorcperiet.Sicnifecudumangulu^notetcU'
iuseil initin quarernarius:ciq5 fuperiafct btnarius^atfU
buncfcquenremquisaffomodetordinei: fefqualrera p'
potf 10 peclarabitur.lHam rertius fcfundi vcrfus fcfqtjal
wcft:vttrcsad ouo:vel fer adqu3tuo::vcl.9.ad.6. vl*
I? .ad.8 .'jtenici5 in ffteris qui fuut in cadcm ferie nume
ri:ft talis (ontugatio mtf(eatur:nullavarictaris oinituili
tudo rumpict.Sademtamenfumma^fUpcrgrcirto efti
bocquocpquf inoupltdbusfuir. ^:imus ehi; p:imii
ideiVtcrnarius binariumvno fuperflt:rccutidus verofif
(«ndum ouo fi tertius tcrtium tribus i ocinceps . £?i
rcroquartusozdorertiocomparenir^vt.^.ad.^.-rtodg
(ftcroso:dineconfe(reri8:fefquircrtia(omparatiofolligi
tur^vt.^.ad.^.vel.s.ad.e.T.iz.ad.^.vidcfne vrinot'
bus bis fefquitertia comparatio (cnfcruetfir . *iP:ctcrea
cos qui fub iprts funt: fi idcin faciens fequcnres vtrfus
airerutriseomparauerisomnesrtnevUoimpedimetorpe
(ies fupcrparrifularia agnofccs.lDof antem in ba( eft oi
fpofltione oiuinum quod omnes angularcs numcri tctra
goni funt.Xetirac^onus autcm oifinir vt b:cuilTime oi
tam ciuod poft 'atiu6erplicabitur:Quem ouofquales im
mcrimultiplicanr.vtinbatquoqjocfcriptioneeft.vn^
cnim feinel: vnus eft:': ert potcHate teti^gonus. 3tc bis
ouo. ^.funt.Xrr.^.^.quosin fcmetipfasmultiplicatio
nc6p:imi o:dinispcrfc(ere.£ircMm ipfoB vero quifiic
idciUir(uangularcs:longilareri numeri funr.lorigilate
rosant voco quos vno fefupergredi^tcs numcri tnulri'
plicanr. Circum. 4 .emm. 2. (imt 1.6. fed ouo nafcunf
o: vnoi: ouob^fu v nii bis multiplicaucris:fed vniras a
binario vnirarc p:ecedirur. vcro a ouobus tribus
bis em trcs fenariu reddunr. •rt^oucnar ium vero fej: ^ . ii .
(Iaudunt.q.i7.crtrib''n3fcuntur':. 4- Xcrcntm.4. ft'
unt.i2.i:3enariu6Vcroerouob'''r rrtbus.BiBcnim.j.
faciunt.G.quiomncs vnomaio:ib'' latcrtbue p:ocreari
funt.l^am (um.6.erbinariorernarioq5nar(unrur:rrc0
binarium numerumvno fupcrcranr (un(titp ali j ciufde
modi funt: vt p:imo 1 fecundo o:dine ad atrcrurrS mul'
tiplicatis tcrminis.pcreenrnr:iravt quod naff itur er ouo
bus longilateris altrifecus pefitte:'; bis medio tctrago^
no tetragon^fit: ^t rurfua quod er ouob^^altrinfcfus re^
tragonie:? vnomedio longilarcrobis facto nafcitur: ipe
quot^ tetrason^.i vt angulonim totius Ocfoiptionif

ad9nsuIarestetrflgonosFOilto:pvni'augulifitp:fnni
rnita«:alrcrt'^vero q contra c rertia.l6tiii vcroaltrinfe*
(usanguli fcfundaababcaiir vntratc6:7 ouoan^sitlanii
tmagonoB anguligquilfafiuntquod rubipfisconrinffi
ilIiquodtirabvnoillo:umquicilalrrtnlecu6ansuIo:5.
DlDnlta eni fimralia qu^ in i^ac ocfcriptioncvtilia pottut
fldmii 9biliafi5 pcrpcndi quf intei nn pioptcr caih^arpni
introduccndt b:euiratcm tgnota eifc pennittim'' . *IR-iifi
vciofld fequentiflp:opoiltujn(onuertamu6.

t

Cr2>etcrttainfqualifati6 fpecic quf oi(ititr fupcrpartt
cnstoeqs fpccif b^ei^^aritq^ gcne ratiomb-'. jCapi. ^
.tDiturpoH ouag p:ima6 babiiudince inulri
i pli(C6 7fupcf pticularcs: t ca^k qu? fub tpfta
ilinr fub multiplifcs:'; fubfupcrparttcuiarct»
tcrtia inf qualitatis Ipetics iueniru; :qnf a ne«
bis ruperi^fuperpflrtiens oida fcll^ec c afir qu^ ftt funt
numcr^^ad 9liHmfomparatufl:bab5ewntotumtnfrafe:i:
ei^tnfuperaIiquasptc6:vcloua8:vel.5.vel.4.velquot
ipaattulitirfomparatio. t^u? babitudotnctpita ouab^.
gtib^tertijs.T^am ft 0U4S medictates babucrir:qut illuj
intra leiotumcoerfcr^ouplus.pfnperparticntc (omp(H-
nitur.lDabcbit autem vel ouasrcrtias vcl ouasquitaa
vel ouas fcptimas vcl ouas nome.i ita proAredientt-
busriouaafolaeparresmino^isnumcri fijperbabue'
ricper cafdem parrcs imparibus numeris mino:e m«
io: fiima tranffendit.lRam fl eum babcat tomm t ouas
ciuequartas:fuppartifUlansnc«lTariorepcrimr.1Ram
oufquarrfmcdiftaselli^rfitfefqualtcrafoinparario.jSi
verooua8fcrtas:rurfu6ertfuperparriculari0.5Dufeni5
fe);rc pare terria ert. Quod fl in (dparanone ponatur fcf'
quirerrie babitudinid effutct fo:mam.i|boilbo6 nafcuti
tur(omirc6 g fub fuperparticntes vo(antur , bi aute fut
quibabenturab alio numercreo^um vel ouf: vcl.5. vt
4 . vel quotlibct alif partes. £>i ergo numems alium
intrfl fe numerum babcn.? et^^ouas partcs babuerit:fu<
pcrbipartiens nominatur ft vero ti es fuj^triparricns.q^
fl. 4 .fuperquadripartiens. atq^ ita p^ogredtcntibus in
infinitumfingercnominalicct. g):doautcnico:um na
turalis etl^quoricns oifponuntura tribus oinncs pi^rcs
atf^imparcd numeri naturalitcr pllituti:': lubbi6 apta
tur alij qui funt a quinario numero incipientcs omnes
imparcs.lIDtsigimr ira oifpoflri8:np:im'^p:imo:fecun
dU6fccudo:tcrti%rtio:iccreri(ftcris(omparciitur:IUB
parricnsbabitudop^ocreatur.^it cnim oifpofitio boc
modo. - T

1 ? 1

4

^'1

7 f 8 1 9 ;| 10 1

7

9

:ii

15 1 17 1 19

3 igitur qnari j numeri ad tcrnarium (omparatio
s (onftderetur:eritfuEpartie6illeq vocaturfupbi

pticns. IDab5 cu'ff' gnariu6 toto6 in fe trea 1 co
rum ouas Btfs:idcft.:.:£>i vcro ad ffgin o:dine fpccu'
latio rcferatur fupertrtpartiens p:opo:tio cognofcei'. atcp
in fcquentib^^per omnc 6 oifpoftros numfros ocs in infi
nitumfpeciesbui^nuincriconueniirnree o^dinarafcp re
(pidee. 2ltvero quentadmodum ftnguli p:ocrccnrur fi i
infininim qs(urctagnofccre:bif inodusell . i;Oabitudo
cnim fupcrbiparttenri6:fi vtrifq5termini6 oupltcetur:
fcmper fuperbiparrienri^ p:opo:tio p:ocrfatur. ^i eni
quisoupIi(er.5.ta(iet.io.fitrf6factcr.6.qui.io. conn-ji
fenarium (oparari fupcrbiparrientcm faciunt babitudi-'
ncm:-; bos ipfos mrfus fl ouplicaueri6:idcm o:do pt<y
po:rioni6a(cref(it.'JdcmciAftininfinitumfarics:ilflrum
p:io:i6babimdini6 non tnurabit. £>i vero fupcrtripar
ticntc6inuenireonrendi6: p:imo6 fupcnripflrtientes.
ideft.7-cft, 4. niplitabis t buiufinodt naftcntur . S>i
veroquier bisnari fucrinrrernaru muiriplicarione p:o
dureris:idem rurfns efricicnr. i^uod fi fuperquadripar
tientesqu^fldmodutn in infinitii p:ogrediflntur optctf

bb

•ddifefrpttmae wnim radias in qiwdrtiplti? miilripli
cf9lic«:idcil.9.7.J.^ coe iiuiilla miiltipluatioiicpiofc/
rcnturtrnrHim in quai1rnpium:T candcm fim p:opo:tio
ncm in offcnfa nimimin rationc rcpcrics. i rctcrc fpcct»
cs vna fcmpcrplut^ mulriplitarionccrcfccniib^radicibua
o:iunrnr.H\aditcaaurcmpwpo:tionumvotonnmcrod
in fupcnojc olfportrionc ocfcriptoei. quafi quib'omni»
llimma fupzadutf comparatiomainniritur.-jn boc Ciuo
<B vidcndumertr^uoniamcuni ouf partcBminoxpUK*
in maio:ib'Yunt:tcrti) fcinpcr vocabutiim fiibaudif . Ut
fiipcrbipartiins qui oiritnr quoniam ouae imno:is nit
mcri t.rrias partcebabctroicatur fupcrbiparticne tcrti'»
ae.ifrnim oicofupcrtriparricneiflibandirincccircftrru'
pcrtriparticnsqnartasiquoniam rrib'^npcrquarrie
ubcrar.iFf fupcrqud riparticti fubauditur fupcrquadri'
parricne quintae.t ad cundcm moduin in cf rcne vno
fcmpcr adictto fupcrbabitaf partcs fubnudirio fmSdtt t.
-vr to:um gcrmana comicnicntiaci? bie nomma bcc fint.
Ttg oicimr rupcrbiparricnaiJcm oicanir fupcrbitcrti'
Slui oicinir fupertriparticne ie fii fupcrtriquarf.r qui
oirimr fut^crquadriparrtenaridcm oicatur fupcrquadri'
qutiitue.cadcmcgnmtUmdine vfci^iuinfinitum nomi'
naproduanrur. . .-'j- ... .'.! . .":i:t5i

C£>cmuItipUaAipcrparri(Ulart. jCa. 29.

J6iturrtlar(ad aUquid quatiratie.fimpUced
i tp:imf fpcac*bf fbnt.iDufvcroaUcdicbiet
vclutcr ah^ib^^pzinc pt)0 (oponnnturvtmul
tipUtce fuperparricularce:T mu tipUccs fnp'
l»arri'cns.bo:6c^ (omitee fubinnlriplicce fupcrparticu"
larcs.-T fubmuUipUcce fupcrpartifntcs . inan<|3 in Im'8
vtinpzcdicrie p^opo^rionib^^.-mmozc? numcrii co:nm
quoqjfpcricsonincsadditafunrp^cpcfirionc oininriir
iQuo:um oilTinirio talie rcddi porcil. ilD ulriplcic fupar
partiajlarieclVquoricnsnuiner^ad numcrumtompara
luerbabct eum pluf^ remcl t a''rnam partcm.boc f ba/
bctcum aut oupUim aut mplum:aut quadruplum: auc
qnoticniliba:T ci^qu Jlibcraliquam partcm: vcl mcdia:
vclrcrtiam:vclquartamrclqufcunq3aUapar»iu5a:nbe
rationctontiscrit. IDi:crgo7 muIripUri^ fiipcrparticU''
lari (onfiflit. ^uod cnim comparatum numci mr plnfJg
fcmclbabctmultipUriecfl.lDoc vcroquod mino:cmift
babcndaparrctranf(cn(!it:ruppflrti(nlaris."3t9ce ejivtro
<P nominc facro votabulocrt.fpcciefcuilli^ad illarus fri'
li(ctfiuntimaa;incmp:opo:tionum:c)cquib^ipfeinime
rus o:iginc trabir,*lfl.i pma ps bui^vorabuU qiif multi
plicis noic poflcfTa c:muItipUci£< numeri fpc:? voeabulo
fioianda crt. C5uf vofiipparricularifi tll: codS vocabuto
tiutupabimrquofnpcrparticularienumcri fpcrice voc»
banmr.2?!(crureniinqui oupli^rinhabueriraUum nu
merum:'r ci^mcdiam parrairouplcj: fcfqualrer. qui ve^
roterriam:DupUt fcfquitatt^.qni quartam:onpl r kCq
quart'.-: orinccps.Si vcrotcrcumrorunKonrincat a
«''mcdiam partem: vcl tertiaifi: vcl quartam: ointur tri'
pler fefqnaltcr:rri plcr fcfquirerri':triplcv fcfquiquarms
t codem modo incftcris. JDiterurcpquadmpiue fcfqual
rer^quadruplusfcfquirerfi^^quadrupl^fcfqniquartue.t
quotienstomm numcrum in femftipfo fonrinucrit: per
muUipUris numcri fpfricsappcllarur.quam veropar'
tcmcompar rinumaiclaufcrit:fcnmdnm fupcrpartiai
larem (ompararionem babimdincmq; vocabifur. iDo-'
ram autcm ercmpla !?uiufmodi funt. touplcr fefqualter
f ft:vt quinq; ad ouo.babcnt cnim.y .binarinm nume?
bis t efmediam ideft. i. ©upk r vcro fcfquitertius c ft'
ptenari^ad tcrnarium comparatue. 2lt vcro nonenarius
8d quatcmarinjbuplcr fcfquiquarr''. £>ivcro. i, ad.J*.
oupla: fcrquignms. tF t bi fcmper nafcentur oifpofif is in
o«lincm a binario numao omnib' naturaUrcr paribus
fmparibue qu^^erminisrn conn-a eos omnes aquinart»

nnmero imparee comparcntur. vt p:(mum p^imotfccS
dnm fcciido:tnriiiitatio(aute'; DiUsentcrapponas . vt

fiioifpofltioltaUg.

I n 3 I 4 I y I 6 m 8 I 9110 I H I

[ s r? 1 9 r II ( i; n? i i/iTff nn

3 veio a Duob^^parib^^ommbus Difpofitijjter'
« nunie:illi qui aqninario numcroincboantcs: <^
nanonumcrorurfuercfe tranfiUunr comparcU'
tur : ontnes ouplices fefquialteros creant vt el) fubietci

4 l' 6

8 1 10 1 12 1 , 1

s

,10 1 15-

0 fe tranliliant:-: ad eos aptenmr qui a fcptenario
in(boanfes:feptenario fcfe numcro tranfyrediun
tur:omnes oupliccd fefquirarii babita Diligentcf (omp^

rationenafcuniur.vt fubieaa pcicriptio ntonct.

13 ( 6 I 9 rii I K I is I II \

\ 7 I I4!f il f 2S I 3y I 4: I 49

0

•J veio omnee tn o:dinem quadrupli oifpbnan
tur:biquinaruraus numcri quadmpli funr:vt
Tnitaris quadmpUie:'r ouo:um rriumc?; 1 qua
tuo::atc^ qutnari):-? cf rero:um fcfe fequentiuj: vr ad coC
aptentur a noucnario numcro uboanres: fempa fefc n o'
uenario p:e(edcntes:tun( DupUcts fefqutquartg p:opoz
tiontsfo:matcrctur.

4 I S [ IQ 16 I :o I hT

21 vero ipcriee buPnumai quee triplcr fcfquaf
t terabocmodop:ocreatur:fioifponantura bina
rionumero omnes in o:dincm parce:-: ad cos ft
ptenario numero in(boantcs:fcptcnario fcfe fupergredi^
tes:foUtoadaIterutrummodO(omparationis<aptcntur»

■ U-P~l. -l J . I :

f 7 i 14 r ?i I r ^

■^fautcmatcrnarionumcroingrelTi (untros na^
9 turaUs numcri t. ipUccs Difponam^:^ cis a oc
narionumcrooenariofcfe fupergrcdictcs o:dtne
tomparcm^^^omncs tripU(C8 fcfquitcrtij in ca ttrn)ino:a
(ontinuatione p:oucnicnt.

6

10

:o

9_

40

C iDe corumercmpUe in fupcrto:c fo^mula inuenicdts
Capitulum. 30.

j0o:umau:em co:umq?qui fequuntur qim
b pla intcgrc plancqj poifum' pernorare : fi m

p:io:cm ocfniptioncm quamfc(im'^(uin6 fu
perparri(UlariimuUipliriloqucrcmur:vbiabvnovfc5
in oenarium mulripUcarionu; fumma (omrcuicoilic^cs
Tcltmue acum; n intcndcre. 'i?ld p:imum enim vcrfum
oinnce q lcquuntur collati o:dinaras coucnicntcfq; mul
tipUcis fpccies rcddcnt. £]>i veioad fecundum cuncros
quitertii funto:dinisapt*uai8o:din3tas fpcnce fug
parricularisagnofces. 0uod fi rcrtio o:dini qiitciui; fut
in quinro veifu (omparc8:fupcrparricnns nuineri fpc^'
(ics pofitasconuenientaafpirics. iTOultiplcc vcro fup"
partitularis oficndiiur : aim ad lenindum verfum ocs
quifuntqumrivcrfue fcricccmparantur vcl qui fnnt
in feprimovel qui funt in nono atc^ ita fi in infinitu^ flt
ifta oefcriprio^in mfinimm bui^p:opo:ttonie fpccics.p'
(reabunmr. ODanifellum autcm criam boccfi: qnod bo
rum comites femper (um fub p:cpoftrione Dtecnmr. vt S
fubduplc); fcfqualta:fubdupU:r fequitati^. fubDuplc^
fefquiquart^.tcfteri quidemadbun( modum.
CSXmulripltcifuperparrientc. Ca. 31.

'Slriplc): vao fupparticus cquoticns nume
m nidadnomc^caparat^t^infcaliunuinerus

tetxm pUifqua ftmeV.nti^vtl oufie vd.j. vd quorlibj

SliirfP pttciilaeifcajnduni numm mpparticnne fisurl
nbocquoq5p:optcTcai)IIiinriipr^oictJninon aut ouf
llKdtcr9te0:nci.Bouf quarfv:ncq50uc rcttfrfed oui* tcf
: vel DUf quintf : vd ouf feprimf ad p:io:cu) rimilcm
confcquentia.inoncaritoiiTicile rcDmp:ioi: ciccpla po
Ilte:ti:bo0 quoq? i p:f tcr nollra cvcmpla numc ro« inuc
nirc.Clocabijai' cfi bi fcom p:op:ia0 pteei.buplc): fupbi
paiticne: vel ouplcr fupniparti( ne^ve l oupltx fupqua'
driparfieup.sf: t :urfue tnplc): fupbipartiene : er tripUic
fugcripartiens: 7 triplcjc fupquadripartiene : t fimiltcr*
tIt.8.ad.5.comparati taciunt ouplicc Yupbipartientcm
t.i6.fld.6.'r omne3QCiKT5ab.?.iMripicntC!?:o<tonario ft
fc^numero traiif^rediunf :compar3f i ad e os q a triblcbo
antcs tcrnarij kk quatitarep:ercrcunt.iRcc crit oift'cilc
altadct^^^iee fc^m p:cdicru moduin oiligentib'^ rcpire.
K)ic quoc\\ illud nicnnmiTe t?cbcm\iucd minojce i to/
mites non fine fub p:epofitioiic nominanf : vtflt fubdu
ple]cfupbipartien0:fubduplcrfuj^'ripartiene.
CTHDcmonilrarioquQdmodumomnistnfqualitasabi
Wualitatep:ocefrcrit. iCaplm. ^i.

t?ITaraiirinobi6p!ofundttrimam quadastra^
r dere oifciplin3m:que ad ocm naturf vim rcm
cu» integriratc maiima ra'ioneetineat . rX)3'
Sn^^gppcin bac kicntii fruct'cil:fit}6 non nc
ftiat quod bonitas oitTinita ell f fub fcicntiam cade ns:
antmocB femp imitabiiis i pccprtbilis p:inia natura'?:
1 fuc fubilanti;; oe(o:e ppetua. jnfinitum ^o mafttif oc"
deaisfrt:nulliep:op:i)0p:incipii8 nivum: fed natura
fpcrrans abonioitfmifione p:incipi)ianC^ aliquofi>
gnooptimffigurf •p:ena.componif:ietilloerro:is flU'
mi rcrincf . lHam nimia cupiditatcm:irf ci3 tmodica eflre
liationem:quafi Qdam )e<to:anim^pura intelligc ntta ro
bo:arus ai^rinsit.'; bas quc>d.imodo in^ qualitas fojmaf
tcmBatabonifaie<onrtituit.lDocaiiteritperfpicuum:ft
intellisam^ocfl iiifquaiitatis fpfcicsabcquahtanbVc
D)fTep:imo:diis:vtipfaquodamodo(quitas matrte cc
raditisobrinensvim:ipfa oce infqualitatis fptcics oz
AintfcB pjofhndat. S>im cnis nobis trcs f qualcs termi
mideil tre8vnitarc*:rcl.}.bini:vcltresfcrni: veltrcs
quaterni: vcl quatos vlrr^i libet poncrc. ^uod cnim in
•vnisnib^ierminifiicufnirtidcm contingit in cftcris.
tEjcbisigif fcSmpKccpti noftrio:dincmvideae p:imM
Darci muUipliccs:'; in bis buplicc s p:i"^:oc binc tiiplos:
ocideauadruplos:tad cundcmo:dtncm(onfequentes.
lRurfu0multiplicc8fttonuert9nrur:er bisfuppartituU
rcs o:ienf ^TC): Duplicib^^^dcm fefqualreri:c)ctrtpltctbva
lerauiterrii:eT;quadrupli0fefquiquartt: 'zc^teriin bunc
modii.St: fuppartitularib^vcroconucrfts fuppartienief
mfcinetclTcc.in vt er fcfqualrcronafcac fuEbiparticne:
fUBtriparticnic fe^otcrti^gignat:-: e% fcfquiquartorfuper
quadriparttcns.'iR?crisaiitpoiiti0necp conuerfts p:io
ribU0 fupparttcularib^^mulriplices fuppariicularcsojio
tur.ll\ectis fofupparricnrib^multiplices fupparrictea
cflExicnf .^^jfccpta aut rria be< funt: vt p:im6 numetuj
piiifio facias parem:f<55m ^o p:(mo i fc<i)do : tertio pmo
ouob^^fcctindis^terrio. IDo<iq;if<Din tcrminis fquali
bus feteri0:er bis qui naftcnrur oupliecs cmnr.2Dc qui
bus t)upb<ib'fl id^ fe<cris:tripli<c8.p<rcamur. T oc bta
quacftupliccs.atc^ tn iflnitum 0^6 formas numeri mul
tiplice8erpli<abit:ia<eantic;if.;.terminicqualecs.

^ \ 1 }— r^i I I

j^naf iracB p:imo pziin"? qualis ideft vnus.
p jSetndn s vcro p :imo fecfido ideft. 1 . tcrti'' vo
p:imo ouob^^fecundis 1 tertio par fittidcft vni ct
«Bob^Tttiei vnt.a funt.4. vtctl befcriptto.

T

I

^^di fne vt oupliei p:opo:tione fcqucne 02do text
n tuf. /acrurfuBidcm oe ouplicib' vtflt p:imu0
p:iinocqualts:idc<l vni.fca)ndusp:iniO'; Ircuft
do:)dfll vnii ouob^CiUi runt.5.nrfi'p:iiuo)dell vni DU
obuo fccundts \(3t(^A.i tct tio ideil quatno:. qui ftmul.
9 flunf.-t venif bgcfo:nta.

I

T

L »_JL_3_j 9 1-

tifr(fi0]roe tripHcib" id? {ccaie: conrinu^qua'
drupluspc)fab)f . iMrfUiin p^sm^^p^i^^iofqu'
idcii vn^fu ftfundtis p:imo 1 fccundo ? quaiia
idcfl ^.fltteiti^p^imobuob^^fccundifi itenio fqualie:

1 1

4 \

I ( ;

1 9

I 1 4

1 16

„ in <f tcrio qdem ad ban< fo:mam nib^is p:c
t cepris vtcmur. £3i vo q cr f qualib^nsn fut niul
tipliccs cos oifponam'':': fci^m bccp:ccfpra vcr
tamu^^itavtfonuerfbftnto^dine^fcfquaUcrfroupiici^J'
frfabirur.fcfquircrti^cr iriplici.fcfquiquart^f): ouadni
plo. £>tntcnim.5.bupli<f6tcrmini quiercqualib^crca
ti fontTavUim^ci1p:im^pona)rbuiufmodi.

I 4 I 1 r I I

^t tonflituamr p:imo t bo< o:d)nf p^im^^par idcfl. 4. ft''
(undus verop:imo -: 'f(udop9r:idcil.6.tcrti^vo p:imo

DUQb^feeundis^tcrtio idcft.9^

— I 4 ?_ f I I

i 4. I 6

T

jF«enbi iila fcfqualrcra quantirascrtcrmino buplieita
li«exo:if.nidf9m''nun<9deundem moducrtripliei a
nafcarur.oifponanf cni friplicfs fupio:fs:conucrfo fcilj
o:dincfl<ut oupley bi< clt quoci5o;do oifpofit^.

— iz_9z: i.z^-rjiiLZEZi

«^onamr ergop:im^p:imo ? quus fdcff.9 feeundus p:i
moi fcaindoidcrt.i:.tcrti^pamoouob^fecundis ^tcr
rtnfquustdefl.lfi. _, .

~ZZIlXZTZIT \

9_ \ I? l_'iZJZZ

^uv?U0?ecuda fpctife fi^pparticularis numcriidfftref'
<juitcrtt^p:o<rcat'ert.0uodftidcm oequadruplo qnifii

fatcre vclinfefqutquart^continuo nafcetur vr ntonflrabit
fubic(tabef<riprio>

16

16

:o

I

2?

321< fiquis idcm oc <un<tis t inftnirum pnn" multipli<9fi
fa<iai:<onucti.icntcro:dtncm fuppartini^aritat;? inueni
ct.^0uod fi conucrfoc fuppariiailaresaliquiB fcj^mbfc
p:gc£pta<onucrtat:<ourinuovidcar fuppartunres afcre-
fterc.': cj: fefqualtero quidem fuperbiparricns: cr fefqui
tertioruptrip9rtietisp:o<!caf.7(frcr)f<^m<omunc6oc
rominarionis frfficsftncvllao^dinisintcrpollatoena
fcentur. BDifponanfi&ifflc

z—:r ^9". -i-^i-^izz

i::)upio:tstgttoef<nptioni6pnmop:)m'fquu0nume
tU6 afcnbaf idcil.^.fecudus vo pmo 1 fcCo^idert.ij.ter'

1 9

6 1

4 1

. i .9.

1

triparticns inucnitur.fitcnint p:im8 p:opofttio fcfqui'
tcrt)).

■ I

16

I

idc\\. i^.fnundue p:imo i fcoindo idcft.:s .tatiM j^mo
ouob^re(undt07t<rtioideth49. lOmniacrgo lUmmi

■ 1 16

i: 1 9

r 16

18 1 49

iKunu? 11 iciquiquHiTiim (wkiii iiiiHJi; i^cniTi» lu^u»
dnparrtcne rtotim quantitnd p:ocrcabitur.Tt dl ta tbi'
tM quam ftippofttam vidcg.

I iS I T

:5

4r_i

81

iRcHat qncmadmodum cj; fuprrparrifulafibus'? fupcT''
parrimrib^multiplicccfuepartifntce nafcanf oftcndc
rr. 0HO2um binae trn faaa ocfcriptioncs. jcp fi rcctii'
^nonconucrfum fcfquaUcrum ponim' : ouplcj: fuppar
tiojlarie cttreftit.ftteniboc modo,

' J » —

TPoruwr fct3m fuuio:cm modum p:imop:im^(qua(id

bU0 fccundis 7 tatio (quali» ic

-

4

9 1

4

10

:5 1

Xt^b^quideouplcicfefqualterafumma p:odu
cta ti\.S>i vo fefquirertin non pucrfum ponam'^
oupl^leratcrri^uenif .rt fubicaa 8 faipiio oocet

9 r 1:

116 1

9 1

49

Xveroftad fuppartiemce animiiconucrtamue:
cofcpo^dinatim fc»5m fupto;a p:ccfpra oifpona'
mu6:multipli(cs fupparticntcs o^dinatipgcni'»
tosrcBtm^.iDifponaf cni^ iupparricn*b?(fo:muIa.

9

15 1

:5 1

i5cribanmr crgo p:imu0p:imofquu8 idcft.9.
;©cc»du0p:imo t fc(ndo:idcrt.:4.tcrti^p:imo
ouobus fccndis t tertio idert.tf4.

9 {.

:5 _

1

.9 \

:4 I <^4 1

•jdeenc vtcj: ftipbiparticntc ouplus fupbipar
0 ticns cyo:m6 fit. 21t vcrofi ruptripartienrcj po»
namrouplcc Huc oubio triparricns inucnif vt in
fubiecn ocfcripnonc pcrfpicnum eft.

...

16

L_il_

i 49

1 16

1 44

1 i:l

0 ribue mulriplicc« ruppartimlarce tc! mulripli
tcs ruppartientf0O2iunf . 0uarc (onftat omniu
inCQualitamm ? qualirat? c? p^incipifi.cr cadc eni: inf q"
liacfida nafcunmr.Sc oc bis quidc bactcnus oiifcif duj
r?(rcdididim'neirelinftnitafccrcmur:vci circa rcsob
fcurilTimastncTfdicntiumanimod cctincntc0:ab vtili
o:ibUdmo:aremur.

/tnttUbcrp:imu0.

CT^^fntipiunteapirulalib:! fecundi,
:@ucadmodaAd(qualitatcm omnisincqualtrae redu*

carur. iCapiluIum. i.

3De tucniMo inimoquoc^ numcro quot numcros eiuf»
». dem p:opo:tiomspofTttp:c(cdcrc:co:uut(^ Ocfov

ptioocfcriptioniftpcTpofttio. Capitulum.
^uodmultipforintcmallum crquibus fuperparttmla'>

ribus medtetate poftta inttmalUs fiat: ciufcB inucni"

fndireguln. lCapituIum. 5.

2> P fc (5<\intt quatitite qu( in ftguris gcomcmcie ^

dcramrcoisratiocMummagnimdittu. Cap. 4.
SDcnumeroHncarf. ^apitulum.
SDc plani0re(tilinci0fisurie:qtiod(Bcamm triangulu;
l?zm(ipiain.i)t. ^apirolum. 6,

30ifpo(itt'otrfangnIo?Hmnumcroaim. iCaprm. 7»
/Oclateribuetriansuio:umnumcro:um. ^ar. 8.
«Degcnrrationctrianotulo^umnumrronim. /Ca. 9.
iOequadratisnumcris. /Capttulum. lo.
iDcco:umlateribU0. iCaptrulum.
3Df quadrato:um numero2um scncrationc mi fuTqj oc
co:uml;ttribU0. CapituUjm. i:#

JC>cpmtagoni0CO2Umcplatcribu0. Capitulum. ij;
3Dcgcneraiionepcntagono2um. jCapituIum. 14.
iDcbccagotn0Co:umq5gcnaarionibU6. Ca^plm. 15*
2Dc beptagoni0 co:uinc^gcncrationibu6:: coisomni^

• um figuraram inuenicndc gcnerarionis rcgula ocftii
ptionifqjfigurarum. /Capitulum. '6.

S>cf(riptiofigurato:umnumcro2Uittin ojdine. iCa.i/*
^ui figuratt numei i et quib^figuia^ numcri 0 fiStratcg

<f6 f liangul^numcr^^oru^ rcliquo? pncipiu fit. iCa. 1 6 .
*lPcrttncn0ad figurato:um numcio:um ocfcriptioncm

fpeculatio. .Capimlum. 19.

JDc numcri0 folidis. iCapituIum. :o.

iDc p Yf amide quod ea fit folidamm figuramm p:incipia

flcuttrianguluoplanarum. Capimlum. :i.
£>cbi0 PYramidi0 quf a quadratis vclc^tcris multian

guli0figuri0p:ofi(if(unrur. iCapiiuIum. ::,
^olido:um gcneratio numero:um. iCaptmlunt. : 5.
2Dccurti0pyramidi0. )CapimIum. :4.

iDc (ubis vcl aircribu0 ve latcrmli0:ircl (unci0 TlTplje

ri(i0:vel parallclibipcdis numcris. jCapitulunt. :5.
JDc pte alfa I5gio:ib'numcri6 co:ijcp gnatioib". jCa,:6.
JDe anrclongio^ibus numeri0.'? oe vocabulo numeri al

tcrapartcIongiO2i0. Capitulum. :7.

Auod <K impahbu0 quadrati : paribU0 partealtcra

Io»gia2CS'fiant. ifapimlum. :s.

EJcgcncratione Iatermlo:um co2umcBocfinit6f . iCa.:?^
iDetirculanbus vcl fpbcritis numcris. (CapimKt.Jo:
2:>e ca namra rcr qu? of ciufdc natur?:t 55 ca qu? of alte

rius nawr?:': qui numeri aii nlf piutti funt. iCa. 51.
:©uo(Jomnta cjrriufdcm namra 1 altcrius narura cohfti'

ftant:idcBin numcrisp:imu5vidcri.jCapitnlU5. 3:.
3DeeiHrdf3arcjpaltfriU0 numcri namra qui funtquadra

tus ?partcatteralon3io::omne6 p:opo:tiouumbabi
^ i wdincsconflarc. Capimkim. 3^.

^uodc)c quadrati0 Tparte altera Iongio:ibu0 omnia

fojmarum ratio confillat. Capimlum . 34.
0a&idmodij qdrar: a ptcaltcra ldgio:ib^:veI prcaircri

loRgio2Cflcj;quadrari0fianr. jCapimlum. 3r.
i@uod p:incipfllircr ciufdcm quide vt fubftantif vnu-af

• fccimdo vcro loco imparc0 numeri;tertio quadrati. et
quod pnnctpalitcr ouaUrae rircriiisfit fubtlanrif :Po
vo lotoparcs n"mcri:tcrtto ptcalrera I5gio:c6.

iaitcrnari pofitis qdrans t ptc altcra longtoab^^q fltco:|?

torcnfue in oitfcrcntiie 1 in,ppo:tionibu0. jCap. 37.
*^:obatio quadraro0 ciufdc in ciTc narur? . Caplin. 3S.
;Cubo0ciufdfmparti(iparc fubftantif quod abimpari'

busnafcantur. fapimlum. 39.

tDcp:opo:tionaUtatibu0." /Capimlum. 40.
;©uf apud antiquo0 p:opoHionalit3S fiicrit:qua« poflc

rio:e0addidcruur. jCapitulum. 41.

:©uodp:imumoc caqitf Tocamraritbmcrica p:oi.Yo:'

tionalita0Oicendurncft. jCapimlum, ^ 4:.
SDearitbmcticamcdiftatc:cturq?,Pp:ictatib'. iCap. 43«
JDcgcomcni(amedictatf:ciufq5.pp:ictatibu0. iCa. 44.
;@uf mfdictas quibuorcmm publitamm C.anbus com

parcnmr. Capimlum. 45.

jguod fupfrfictc0 vna ranmm in p:opo2tionaliratibu0

mcdietateiunganror.lblidi Tcronumcri t>uab^mcdi<

tatibusinmcdiofollocanmr. Capitutunt. 46.
JDcflrmonicamfdicr9tcciufcpp:op:ict«ttb'. jCap. 47.
^^uarcDfaflf isrmoni(amdiet<i0 caq oigcfta ?.Ca. 4s.
23cgeonietricaarmonia. iCapitulum. 49.
^^umMidnwdn pftttutisiitttinlfftJUOt)^ «rmie; aritb/

3ritbmctiC{i

1

iiKtica t atmonia mro-eoe itirdtcrad altrrnmir. ara^ oe

cozumgcncrationibus. Ci^pirulum. yo.
^iribud mcdiaaribue qucarmonicv i dcomctme (5

trflriffunr. Capitulum. yi.

JDcqujtuo: mcdictsribud quae poikri .id unplcndum

ocnarium [imirc adtcccrunr. .Capitulum. 5^2..
JDiipoftrio pcccminfdicratum. Capirulum.n.
Dcmanma^pcrfcctafYmpbonia quftribus oukn"

dtturuircruaUta. jCapiniUim. 54.

/iniunrcapirula.

(T^^ncipirlibcr fcamdus.
C^emadmodumad f qrjalirarcm omnisincqualirae
reducamr. Capirulum p:tmum.

Hpcrio:i8 lib:i oifpiiratoe oigcduj f : quc
admodumrora inf qualirattd fubiUnria n
f p:incipc fui gcncris f qualirarc.pcr flcrit . £">5
qucrc?clcmcta funt:c)ccifdnn p:tiictpali'
tcr omnia coponunmr:? in cade ru rfu? re^'
foUitione fatta refoluunrar. 11 r qtfi articularie vocie clc'
mcnta funt Ifccab cis 2 r>:llaba:?.pgrc(T9 contoncrio:^ in
eafdcmmrfu0rcrminarure)trcmfl6.candcq5 vim opri'
ner fonus in muftcis.^am vcro mundum.4.co:po:a n5
igno^am^^cfTtccrc.inaqs vr air cr imb^ircrracu anima
SnunrurTigni.fcdinbccmrfusciue.4.elcmcntafirpo
rtrcma rcfolurio.^ra igirur qifi"c)Cf qnalitaris niat gie cu>
eras infqualirarie fpccicsp:oficifci vidcmus : ois a no/
bisinfquaUraeadfqualirarcmrurfusveUit ad quod>'
dam clcmentum p:op:ij gcncrie rcfoluamr. ll3ocaurem
irina rurfue iti^pationc colligif .cacp rcfolucndi ars oag
quibuflibcrrnb^rcrmini0in{quaUbU0quidc:f5.ppo:ri
onaUrcrconftiruri0:idcil vteandem medi^ ad p:imuni
vim p:opo:rioni8 oprinfar:qua q eft eirrcm^^ad mcdins
inqu3Ubcrinfqua!traridrone:vclin mnUipltcib' :xcli
fupparrifularib': vf l in fappaitienrib^:vcl in bis quceic
bis p:ocre3ntur:boc cil mulripiicib^^fupparricularib^: vl'
muiriplitibus fupcrparricnribus cadcm arcp vm ratio
ne indubirata conflabir. T(b:oponri6 cnim tribus \r oi'
crum cfl rcrmini6cqui8p:opo:riontb'o:dtnati«3: vUi'
mum fcmpcrmcdiocftrabam^^iipfun; QdfmvUimnm
p:imijtcrminii (ollocemus:quod oe mcdiorclinquitur:
recundum./Dcrcrriavcrop:opoiUo:um rcrmino:um fij
ma aufcrcinue vn5 p:i tiium -x ouos fccundcs cos qui
medierare rclicri funr.^ id quod cj: rcrria fumina rclinqui
tur:rcrriumrcrminu5(oiifliruemus.tlidfbisigUurboc
fflcroin tnino:em modum fummasrcucrri:': ad p:incip^
lio:em babitudinC) coinparariones p:opo:rionefq? rcdu
(i. vr ([ flr quadrupla p:opo:rio:p:imo ad mplam : inde
idouplam.indcadcqualiratcmvfcprcmearc.^rflntfu
perparrifularis ferquiqiartus:p:im"oad fefquircrriU5:in
dcidfefqualre^^poflremoadtres fquales rcrminoare'
dire. i^oc autc nos eccpli gratifl in muUtplia tin p:opo:
lionc oocfbimus.j&olkrtcm i^oin aUjsquoqj infqua
liraris fpccicbus id f rgicnremreadcm ro p:!fffpro:um iu
uabU. tConfliruaritur enim rrt s ad fc rcrmtni quadrupU'.
"1 , s 1 m \ ii9 '\
' Clferigirurej:medio mtno:c:tdertet; rriguaduo
a bus octonarium:rfUnquunrur . ?4. t p:imHm
octon9riumrerminiiponcs:fc^mVo quodrcU"
quuQt fueriter niedio:tdc(). :4«vt Hnt bi ouo tcrmini.s*
^.:4.2?eremovero:ideft.i:s.aOfcrvnup:imu:idcfl.8.
couosfecundos qutfunrreUqui:tdcbi0.:4.?rcUnqun
tur.yi.lE^isoifpofiristerminis^ejrquadruplis p:opifi
qoz f grari p:opo:rio rripla redacra c. :^ur. n .birermini.

1 S 14 I f -

31: bis anr ipfis idi n fccei i0:fld buplit rurfud(5
e parario rcmeabit.l^nc cni pzimti mino;i f quii
idcft.s .1 cj: fcaindo aBfer p;imu.i^.reUnqucnf .
©5 et tertio ideft ej;.7:.fluftr p;imu:ideft.$ .1 buos fccn
doeacua bi0. 1 iA attf cUquo par0.3:. ^utbue pofitia

■d t»nplfl6 B:opo:rt'oneg babinido rcdigUur.

I 8 I 6 ( Tz I

IDcm vcro et; bi» fl fiarircm ocrn ad f qu alitaris
i fumma8cUquabimus.'iPonecnip:iinti niino
rifquii^idcrt.s.iaufcrer.Kj.ocronariiKrcmancr
s .gbus oirpofiri0:ct: rcrrio i di ll .3 : . fumptis pmo: idciT .
S .1 Duob'' fcdie idcrt ocronari ja: fupcrfunr. s . Quibus
otfpoiirisp;imflnobid fqualirascadir.vrfubifctefum^
ntulfooccnr.

I 8 ^ S 1: S I

•jncigirurAquisadalias infqiialtrarts rpccico
b aium tendar cadem conucnic nriam inrUubaiircr
inuenicr.Ouarcp:onuncijdumefl: ncc vlla rre
pidarione oubirandum qnod qucadmoduni pcr fc confla
tis quariraris vnirae p:incipttim 1 clcmenriJ efl:ira t ad
Bliquid rclarf quatitatie c qualitas marer cft . JDcmoflra
uimus cni quod btnc t cius p:o(rcario p:ima fo^cr:? in
cam rurfus poflrcma folutio crtr
CTJDc inueniendo in vnoquoq? numcro quor nnma-of
cuifdem p:opo;rioni8pofrttp:occdcre:co:umc|3 Defcri-
ptioroeftrtptionifcperpofttio. iCapitulum.

£)t aiit qucdam in bac re p;oliinda t miriida
c fpcculatio t vraU nicomacbus cnnocopbaron

tbco:cma proftcicns.-z ad plaronicam i rimco

animf gciicrarionem^-Tadinrerualla armoni
Cf tJifapUnf.^fbicnim lubcmurp^oduccrcarcpcrtcdcre
tres vclquatuo; fefqualtcros: vtl quoriibj fcfquircrrias
p;opo:tiones:'i fefgquarrastopararionce.carqs fc(udU5
p;opofiruo:riine fepeconrinuas iubcmur c)crcndcre. *Me
flutem boc labc:c quod.^ fcmpcr qdcm marimo:frcquen''
tius infcraci (iar:bac nobis rarionc in quot numcris qud
tipoflinrecfuperparriailarcsinuerttganduniefl.0e9
cni muUtpIiccs tantarum dmilium fibimet p:opo:rionn
p;in(tpescrunt:quoto ipH locoab vnttatc otfcciTemnr.
^uodaurcm DtconbimctfimUium:taleert:vtc>upUfc
pcr muUipliciras vr fuperius ocm S fcquaUtros crcer: et
triplcrflr our fefqutrcrrio;u:quadrupUis fcfquiauartis.
n|b:im^crgo ouplcr vnii folubabebtr fefquaUc?:.fc(un'
dus ouo8.rcrrt^rres.quarru8.4.'? fc»3m buc o:dinc5 ea"
dem fir in irtniti'i p:ogrertio.'lfleq5 vnqua ficri por: vr vf
fuperp:opo:rionii numc? vclabcofil Dcnunutto: fqua
bilisab vnitare locarto.;0:tmuscrgo oupUrc binaiiu«
numeiu6:gvnij folfi fcfquaUcrumiccipit^tdcrtrcrnartij»
S^inarius.n.coriarcrnartucoparar^^fclquaUcracffKUp
po;rionf .Xcrnarius ^o quonta mcdifratc non rc«pU:ii
crtaUer numerusad quc in roncfcfquaUcracoparerur.
^uflrernari^vo nnmcrus fcbus oupicr crt.bic ergo ou'
00 fefqualteros p:fcedir. rt cntin ad ipfum quidcm (5
pararus fcnariue numciusad fcnariuin vo qiri mcdicra
tembabcr:noucnarius.cfunrouo fcfqualtcri.ad.^.fcs
6.fld fervcio.9.lRouenflri^vo quonia mcdictatc(ar(t:ab
baccopararionc fcclufusert . Xcrti^ vo Dupkr crt. s. bic
ergo.3.fcfqualtcro6 antccedit. jComparatur cnim ad ipm
puodcnariusnumerud.adouodcnariu.is.ad.is.riirfus
17. 2lt vcro. ;7.nicdio farcnt. 3dc quocp in fcquentib^
euenireneccrtecrt.quod nos (ump:op:ia o:dinatione
iubdidimus. £?2p.n.bo( oiuina quada? nccbumana (5
ftjtutionc rpccularionibus occurrU : vt quoiicnffiicu vUi
mus nuincrus iuenif :q loco buplicio ab vnitarc fitpjjr:
taUe fit vt in medietatcs otuidi fccana^ nori poiTit.

fXaritudo._-

1 I

: > 4

s 1

16

3:

; 1 6

1

.24 / 46

an 1 9

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39

1 71

gu i

57

54

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Ifl

$i

J6Z

ris l_

:45.

IDem (onringir eria in tripUrib^ . cr illie ciincf
i quitertii p:ocreflntur. lHa,qn't p:mtU6 riiptet l

bb }

^HtbmctiCii.

frrnariii» nummisrbibrt vnum fcfquifertium:idci].4.

XCuiiiti qiia(crnaru rcma pe non pot inucHin : arq? idco
biccpirntoarct.iixcnndue vcro quicrtnon? babsad
(c Duodcnjnum nunuv fcfijrcrnu.Hr^uodcnflri^arit quo
tiiam b-i rcrri.i p«irtc:in rcfquitcrtia.ppo.Tionccomparflf
fld t\i nimicrTcdccim^quircmcprie fcnionc foluruscrt.
11 igtnufcprc aiir quonia t rriue c triplevb^ ad fc fcfqui
tmirirriMiinrafct:^b (mrfudad quadrai>inrao(tocadcm
p:opo:rionc coparaf . Cui fi rctasinraquaruo; appofiti
f ucrmc:candc rurfue vim p:opo:foi0 ciplcbunr. i^uoe
tl'tac^inraquaruo:adnullumfcfquiraritirurfu0aptabi0
qifi partc tcrtia non rcncnrur. Hltq^ boc in amctie rriptt
(ibueinucnimr^vrcttrcm^^ciufdc? p:opo:tionie nuinc
ni9tanto6antcfcp:c(cdcntc0babct:quato pjimueco:?
00 vnitafcoirccfTCTit.ftquitotfupcrfcciufdc p:opo:ti(J
nis bJbucrit nunicroe quotue ab vnitatc p:im^ co? ia'
(cnciue pare qua illi coparatud numct '^poHit cad^ facct e
i)po:to<5 iucnifi ncqat. £t triplitis gdS l:f c c j5f(riptio.
Xarimdo.

1 I 1 ? I 9 1 17 l Sl 1 14^

1 4 1 II l ^6 1 lOS

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1 1024

T quadrupU fcciidum ban( fb:main ocnnprio
fl efl:3dquainfc5q"iap:io:ib''inrtru(tu0ac(clTc'
ritrnullarationctrcpidabif^i^CTCftciisquidctn
moltiplicibuseandcm (onucnicntiain pitnotabit.
Xatimdo.

( I 1 4 1 16 1 64

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31:^1

b admodump:iu0oflcnfumcft:p:imo0circmul'-
tiplicc0.:£>iqdfm ouplicc© fcfqualtcro0:rriplt-'
(C9 rcfquiicrtios: % cMx multiplicce (u(to0 in o;dme fu-
pcrpamcularcs crcant.jf llctiam in biebocquoq^nnra
bilc. T^jqj Tbi p2ima larimdo furrit ouplct: 1 fub cifdc
qui funt vcrfu0£ominuialtcrnatimpofiti:fc(udum fcri?
laritudinis oupliccscmnt. i5»i vcro fucrint triplitcs:-; u
fcrio:c0 o:dinc6taplafcifui0 tcrmini© mulripliMtioe
fupcrabunr. iflr in quadrupla quadmpli.aiiBboc infini
ta Duan fpccularoc no falltt. Slngularcs atoium multi
plicc0 cucirc ncccffc e . frnt at bupli(iu qd2 triplitee: tt (
pliciu qdrupli(c0 qdmplo? Oo ancupli. 1 Pj eadc o:dief
icomurabile ronc5 flbimct (ij(ra pfcntiSt. g^uib^ c]cpofig
fldfcquent5opcn0feri(!(6peten9oirputatioconuettaf,
C^uodmulriplcrintuallSctgb^^fueparritularib^^mc
dictare pofita intuallie fiat:eiuf(Btueni^diresulfl.^a.^.

'3 iS'* ou? p:im? fupparriwUree fp?s t>iuganf pjf
0 ma rp?0 mrtiplicira^ero:if . 0i6. n.oupleicec fcf
qltcro fcfgrcmocp pponif •.1 ois fefqualt 1 fefqter
tt^oupli(eii)gunr.i^atemari^fefqualrcrSouo:|^:qtuo:
lcfquitetTi^cemOTi.fed.4i0uplug ouo:uni.

fcfqUAltcr fcfquiteitfn»
3(}io;itur fefqualtcr 1 fcfquitereinsvnum onplicf
6 com'ponunt. iflt vcro fi fuerint medieiae -; oupl^
intcf DupWcm imediiipotcflvna mcditta^taluj
<nuentti:qu(kad alrcram crtrcmitatcm fcfqualrcra fir : ad
•Ucramfcfquitcrtia.21lrrinfau6cniuipofiriafcn<irioet
tcrnario: idcfl buplici 1 mcdierarc : fi qi atcrnari'' in mc
dio collo(crur:ad rcrnarium numerum (tfquiratuiir coit
tinet r6nnn:od rcnarmm v^o fcfqualtcram.

ouplus

i

4 /

<

(efquitertiu0 (erqualterl
Cttcigimr oKtum crt: 1 oupliccm a fcfqualtcro
r fefquiterrio quc coniungi : 1 bd0 oua0 fuppartt
(ularis fpccics oupliccm p;o(reare idcfl p:imam
fpecicm muUiplicis quariraris.^dxurfu^ (]t: p;ima multi
lMi(i0 fpccie:idcflecoupli(i:t pma fupcrpairi(ulan:idell
ferqualtcracontiucs multipluis rpcucs : idcfi tnplacon
iungitur.'lflac^.i:.fcnariinumeriOupl^eft:oc(fmTero
^o(toadouodcNarium fefqualter:quud fenariumnH
merumtripluscft.

ouplus ifefqualtcr
% ponris;cifdcm.6.?.is .nouenarius in ittcdieti
teponatur.erirad fenarium fefqualrcr:quiad-i8.
(iibduplus^.i ad fenflrium.is.tripluseih

txiplat

6

9

fcfqualtcr ouplus

X odplictigiturcfefqualterotffplecrsirio p20
C po:tionis ey o;itur 1 in eas rurfus refolutione \t
tta rcuocarar . i5i autem bicidcft n-iplus nume
rus qui ell fpeeies fcmnda multiplicis fetunde fpcan fu
perparritularis aptcmr : quadmplitonrinuo fo^macon
rccimr:T in eafdC) mrfus partes natutali parririonc fol
uetur.feajndum modumqucmfuperius oemonltrMi'
mus.

2tritbmcrtc9

I

tnplua fcfqmtmi^
3T<roquadruplU8 rcfi: ac rcrqtiiquaitua iSSlomc
# rcnt:quincnplu0 cgirinno ftct.

^ qofmuplutf

4

16

quadruplna fefqutquartus
' Z H quincupiue cui n (c/quianio: tno)c k&aj^U pt%

qutncuplus fcfqurquintu^.

XcpitafcciidumbancprogreiTionenicunaf mul
• tiplicitatis fpcefinc vlUrati ozdinie gmuratioe

nafccntur. 'Jravcro vt ouplus cum fefqualrcro tri
pltttm ffccr.T rriplus cum fcfQtcrtio quadruplu.quadru
plnscum fcfquiquarto quincuplii.-zcftcrieodcmodcvt
nullttd banc continuationcm finie impcdiat.

<r©c B fc prtantcquatitfltc quf tn figurie gcomctrici»
conAdci^turcoidrooiummagnitudinom. Caplm. 4.

\ €c qnid? oe quititate qnam frt5m ad aliquid

b fpcnilamur ad p:cfcn6 oicta fufficiant . THunc
aiit in bac fcqucntia qu? dam ^c ea quantitatc
qucpcrfeipfamconrtat ncqjadallquid nfcr^
Cjpcdiam.qu? nobis ad ea p^odefTe poffuntrquf poft bfc
turfus ocrcUraaJaliquldquantirarctractabim^ 2lmac
mimquodamodomatbcfcos fpcculatio alrcrna p:obatt
onumrJncconrtitui.lHfic ai5t nobis oe bie numerie fcr
tno futurue crtrci circa ftcuiras gcometncas 1 ca? fpatin
oimenfioncfcp vcrfanrar.idcihoc lincarib''numcriB:';
triangttlarib^el quadrarisrtjtcr ifcp quos fola padit pla
na oimenrioncc non tc in? quali latcj? copofitionetonitt
ctia. flbe folidie ctiam.idefttcubis: t fpbericie vel pYra
inidisUarerculis enam vcl rignulis 1 cuncis qu? omnia
<)Uidcm geomctricf p:op:ic conftdcrationie funt. Sed fi
nutp^ gcometricc lcicntia ab aritbmetica i^clut quadam
ndia ac matre p:oducta cthita cttam eius ftgnrflmm fe

mfna irt ptimts numeris »tiu<-nt'mu0.-|fManum flqiniff
ftcimusqnodomncooifciplinaebfc itcrcmpta confunic
rct qiias minime conihtuta inftrmarct. ll?oc .utc; co^tno
ficndutn crt quod b^c figna numcro:um pofira qiif nur c
quoqibomiMcsinfijmaruin c^cfgniirioncbcffribiit: no
iiaturali inil tutioncib^mata funt. vtcni quinani fubie
ctamnotuiamngnantoe.v.vcl ocnarij quaiii oficripfi-
mus oe.r.': alias buiufmodiiion natufapofuit^fjvfuai
affinrit. Quinci; cnim vcl 0CCC5 vcl quoilibj aiioe tl!is^
nomiispcompcndion tarcvolufrunr:ncquoriin8vni
tares quie monrtrare vcIlcr:roricns ei virgulc buccrcrrir
IRoiiiautcm qtioticnffficiBaliquid monftiare volumus:
«1 bts prefcrrim fo:mulis:o:diuararutn vitgnlarup mul
titudincm non grauamur apponcre.:^ um cnis quiq;,vo
lumuflcemonnrarcriacmu^quincijvirHulasrouciitiuf
CBcas boc modo. 1 1 1 1 i.icum.z.roridcm.T cum. lo.ni
bilominus.q:natu;aliU8ert qucmlibcrnumcrum qua
t96infcretinft:totvnitatibU'3C»ifgnarcquamnoruli8
^fliSiturvntasviccmoprincspuncririnreruaUi: lot»

Situdinifqp p:incipiuin:ipfa vcro ncc inrcrualli ncc lon
Stmdini8capar.qu^jdmodunipu(iftump:incipiQqui'
dcm Itncf cfl arq^ inrcruallt:ipfum vero ncc inromalkij;
neclinca.i^ca3enim punfrnm puncto fupcrpofirum vl
ium cfFicit intcmallum: vclut ft nibil nuiU lungas . iHi
bilcni eft quod cx nuUo:um p:ocrcarione nafca; ur. adc
quippceriamcircafqua itatcs p:opo2rio inaiicr.lfla^ 11
quotlibet fucrint rcrmini parcsrtantum quidcm cil a p:i
nioad fccudum:quarama fccundoadtcrrium. £)ed iter
piimfi 1 fc6m: vcl fcbm-r rertium:nulla crt intirualli lo-
Situdo vcl fpacinm . S^icnimrrfslcnarios ponas boc
inodo.6,6.6.qucadmoduin p:imu6cft ad ffcundum;fic
tfl fccundus ad rcrrium. ioMntct p:imum 1 fcc undu;
nibilinrc :ert.6.enim.?.6.nullafpacii intcrual'.a Pifiuii''
Sunr.^raeriam vnitas in fcipfa inulriplKata nibil p:o
crcat. £xmel c nim tn vnum nibil alind cr fe gignit qua
Ipfacft.i^am quod interuallofarctctiam vim gigncndi
interualla non rccipit.quod in aliis numcris non vidC'
tur euenirc. 0m-nig cnim nuincrus m fcipfum mulripU
Iani0:alium qucdam efficir ma:o:cm quam ipfccrt.idc ir
coquoniam inrcrualla muiriplicata maio:c fcfc fivafij j>'
lijcitateoiflcduiir.ld vcroquod fine inrcmallo cft: plua
quam ipfum ert p.:ricndi non bab, potcrtatcm . boc
iSirarp:incipio:idcrtc]cvnitatep:imaomnium longitu
dofuccrcffi!:qucabinari) numcri p:incipioinaincto«
refcnumcrogcTcpl!car.qiioniamp:imumintcruallum li
neacrt:ouo vcroinrcruallafuntlongirudoilarirudo.i.
|!neaTfupcrficics.Tri3frgoinrcruallafunr;longirudo:
latitudo:alrirudo:idcrt liii'ca:fuperftcics : atq? foUditJS.
•^:eter bf caut alia i'itcruaUa inucniri no poiTiinr. 2lut
fnim vnuminreriiallument quod longirudo ertaurali
fluid quod ouobus inrcmallis crpofitu? crt: vtfi qua rc»
longimdincm babrat t laririidincm.vrl rrina intcrualli
oimaifionepo::igirur:ft longirudinc:altitud nc: larira'
dincq^cenfcmr.fupza quc adco nibil inucniri porert : vc
ipfo:um fct monium fb:mf ad iiitcnialIo:um naruras «
numemm fompoiiantur.llnumciitm interuallum ou-
06 in fe (ontinct morue . vt in r ribus intcruallis fcv fcfe
ntotuum fumma conftciat bocmodo.grtcnim in longi'
tudine antci rctro:inIarirudincfinirtra t bocri^ : in alri
tudinc furfum ac Dco;rum.'lficccirc crt aurcin vtqufcgd
fucrit folidum co:pus:boc babcar (ongimdincm larirudi
nemq? 1 alrirudincin.'? qn cqiFid bc c rria in fc conrinct:il
lud luonominc folidiim voccrur.lf^vccnim rria rirca
omne co:pu8 infcparabili coniunctionc vcrfanrur: ^
in narura to:po:um conHirura funr . ^^uare^quirquid
vno intemallofarer:il!ud fo:pus folidumno c rt. 'inam
quodouofola inrcmaila rctincr : illud fupcrfirirs ap
pellawr. ^mnisenimfupcrficirs fo^a longimdinc ct
latiudineconrinctur. t biccadcm illa conucrflo rcma f
titt. €)mnc enimquod fupcrfuiee cft: longitudincm

iHrltbmetfa

i larittidinrm rictincr.t quodb^t ittinetrniudeft fuefid
C9. IJ?fc afif fupficie* vno tin inicTuallo folidi cozpona
oimcnfionefuperjfrqiif vnonirfuainteruallo lineatn
vinnr.qiif longitudinie namra rctince larirudinis ex^
pae cil. Ouf lineaeo quod vn'c interualli fo:tita natu
ram a fuperfidc vno iiueTuallo.a foliditatc ou bTpaci)»
TinciturnPuncnii^f aliorurfue inrmialloa lincavin
citur:ipfa fc; c|Uf reliquaf bngitudine, Quarc ftpuctuin
vno idcin intciualloalineafHp?rcditur:idema fupficie
•vinntur r»uob":tnb^rero inierualli oimcnrt nib^a foU-'
ditate rciinciturtconftatpunaiiipfum flnc vlla co:po:i0
niac^nimdinc velTnteruani t>iinenflone:cuiTi longirudi
tiifiTT Utitudinis i p:ofunditarifl crpcre fit ouim inrer '
Ballovccp^uicipiu;:-! namra infccabile:qiiodsreciatbo
mon vocantridert ita oiminutum artj5 paruiiTimum vc
ri^parsinucniri nonpoifit.tFrtigif punttup:imi irer"
Dallip:in(ipio;non tnintcniallum.-rlincfcaputrfcdno'
dum linea.iTiicur linca quoq.; fupcrficici pjuulpifi crfcd
(pfa fupficics non efl:-: iccundi inteniallicaputcfl:fc65 1«
menintcruallum ipfa non rctinct/jdcm quoci5 1 in fup
ficif: roncm cadit:quf i ipfa folidico:po2t0 1 triplicie in
tcmallinaturale fo:firinttium:ipfa vero nectrinainter'
oalli oimcnfionc Mikndif :nc( vllacratTitudinc folidaf*
CT/DcnumcroUneari. Capitulnm. 5".

^c etia in numerovnftas gdem mm ipfa Unt
9 arisnumer^^nonfittinlongitudincttibirtcnti
numeri pncipiu cfl.tFt Unraris iiumerus cuj
ipfe roti'latitudini0 erpcrs fit : in aliudramc
fpadnlatimdinieevtcnti numcri fo:tif inifium. fou0
cics quoq? numcro:um mm ipfa foUdum co^p^^non fit:
flddira tam^ alttmdini fclidi co:po:ie caput ell. IDoc au
tm pl.inius bis etcplis liqnebir. linearie nutncrue c »
ouob^incb ang^adiecta fcmpcrvnitate in vnuin cudccg
oucmm quantif ati0 cjcplicata conserics . vteW id quod

fubiedmus.

I II I iii I nn I iiJii~"f

CTiDc planie rtcnlineie figuris^quodcp earum piindf
piumflttriangulus.

lana vero fupficies in numerie inucnif :qu(5
p riens a t rib''incbo3f ione facta addita ocfcripti
oni0laritudinc:in fequcnrium fenaturalium
numero:gmulritudineflnguIioil3tantur._vt
flt p^im^triansulu^ numcr*. fecundus quadrat^. rerti»
qui fub quinq5 anguUs tontinctur: qucm pcnragonum
greci nominant.quart^betagonus:ideft qui ferangulia
includitur.quint^bepragonus. fcjctus cctogonue: idcrt
qui.y.vcl.S.angulo^Ujterininisoilatantur.-rcftctico'
dcm modortngiilatim pcr namralcin numcru* anguloa
augcant in plana ft? oefCTipttonc figuramin.lDivoidk
circo a ternario numcro ind?oant:quod Ifltimdinie? fu^
fictci f Iu0 tcntarius p:inripiij ert. 3n geomctrica quorp
ide planius inuenif . ^Dugenim lincf rcctf fpacium non
connneot.i ois niagularisfigura^vel tctragoni: vel pg
tagoni:vcl bcragoni^vel miuflibetq plurib^angulis c5
tineftflamedierategfingulosflnguloslincf.pducanffoc
eu ciuidunt rrianguli: quor ipram figura aiigulos babc
re ptigcrit. Quadratu enis ita buctf Uncf in.4. pentago
nn in.^.be)cagonn in.^.beptagonu in.js tftero* in fuo
rum ansulo:um mo menfuracjs triflnsulosparriuti
tur. vt crt fubiectfl ocftriprio.

i\yfm in ri-ta cnim mflnsutfl oiitiparof ,

iE>eob(c ftgui a p:inccp t^c'1 latimdinis: vr f f
fl tetf oes fupcrficies in b-jncrcfoluamur:ipavc
roqiioniam nullise!^ p:inctpi)60bnoria:ne'
flbflUfl birimdinc fumpfic ini:iu m fefc ipfa lefoluatur
3df aut 1 i numet is ftcri fequcs o^ia o:do monfirabit.
C/Difpofitiotriangulo:umnumcro:um. ^Cap. 7.
;£)ti.giturp:imu0triangulu0 numerus q fo
e Us tribU0 vnitaribus ouripaf :f m fuperfiriei
pofitionc triangula fcj fefcrtprioiie:^ poft buc
quiciic^fquflUtfltemlflteruintriiiaUtern fpi
ctflfesresflnt.

' 3 6

A

A

A

X verotriangulafisurammeiquis irabiu^
knttin aUae ftgurfld non rcfoUiitur niflin iif

CTiDe atcribustrianguIo:umnumero:um. ^a. 8,
S) bi'c niodii in infinita.pgreflto i: ocfcfy o:dinc
9 trii^guU f quilatcri.pcreabunmr:'; p:inm oium
poncridq(5evvnitatenaf(if:vtbfCvi (batrian
gulus fir:no in et opeatcp acm . "i5artcun(to:ti c matcr
numcro:um:quicquid in biequi flbcanafcuntur numc''
ne tnucnitur:ncceiTee(lvt ipfa namrflliquadam potelli
te ptiticat bui^iaguli lat^^cllvnitas.Iernari^^qui
p;imus eft opcre 1 acta ip(o triangulus : crcftctc vniratc
bmariij numc:? lafbabebit.^yi eni? 7 potefiatepmitriS
guli.i.vnitarie vnitasUf^^.acmvo-? opetriaguU pmt;
,i.ternanj ouaUtas^qua greci oyada vocjt.jscxBi v^o tria
guli qui ope fltq5 acm fc;5us c. i . fenarij :crefcente namrali
numeroin laterib^tcrnari^^ucnimr.lcrri) Vo.i.ocnari^
quatcrn3ri"^lam0 ptinet.7 qrri vo idefi.if. quinari^lat*
tencr.-r quiti fenarius.^d^iBvfcB in infinimm.
CaDc gencrarione mangulo:um numm):um. iCt. 9.
21 fcuntur ant nianguli oifpofita naturali qu3
n titatenumcro:um:ft p:io:ibTcmpermuItitU'
do fequctiuin congregctur.^ifponaiur cnim

naturalie mAier^dt modo. ,

'I " jri I 4 f 5 iAL7 ( S 9~r"
,\ bt6 igif ft pjimiim ninnmjm fuma idcft vni
c tsittm;babco p:iniiim triani>nUiv.qui crt vi t po
rfflato nondum criam acru necopcit. Il)uic fi fe
cnndum ac^^jjucro q in natui ali numcronim oirpoTtti
one oercriptuseil idetl binariumrpnm^^mibi triangulus
opcrt 1 ami nafcif idell rcrnan''. Oi buic rerriijlrt: n«
nirali numero adiccero:rccundns mtbt ojjc i actu triSgu
luspzocrca £'up vnu cnim cuo fi tcrtium idcrt temi
riumaggregaucro rcnari\)rrcnditiir;fc(unduofc5 trian'
jjulufl. ifeuic i5o ft conrcqucntem quatcrnariumruppo"
wero: ocriTrPe^plicaiuriqui ftmi^^actu triangur.quo»
jplataaMfponendad ruplone ^elcriptionie eremplar:
cunaos m'angulo0 numeroe flnc vlit^oubitationie erro
ribus pernocable.t quanrae vlrim^numa^in fe vnita^
ces bab5 qnem rupioiib^agsitgabte^roripequi Hrtrian
Sulue rnttateebabebittn larere.^^mtcmarium quieft
P2im^actu niangijlusadiecro binarto vnirari feceram^:
ot bic ono0 babet in larcie. t renannm bie adiecta ccrna'
riiquaritatc p:odU)um*;(Ui'latu8 rolitrc0conrincnt;ct
id2 in aliiscunctif quot vnitatee l^abcnrem numeru; fu
pcrto:ib^a29regabi0:toc vnitatib^et^teni (ontinebun
tur.

CjDcquadran'0numert0. iCap. lo.

^adrams ^ numcr^efl:qut etia ipfe quidem
-'4| latitndinemtMditrrdnoninthbue angulis
vt fuperio: fotma^fs.^.^pfe quocp ? quaU la
mtim oMncHltoncpo::igitur. ir>nr 3"irHmoi.

1

1

1

1

• '

1

1

1

1

1

1

1

1

I

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

iCJDcto:umlateribU0. <Cap. n.

jfdinbisquocprc^mnaturalemnumcralatc
1 f mmau^cnrafuccrefcorji^tim^^enfYiTpo
tentia quadrat^idelt vnitaorvnnmhab; in la
tere.£)rcundU8 ^quiaau pzim^^idcft.^.t»»
obus E lairra pofltiecontincnir . Toriue vero idert no'
uem qui renrndus ert opere:n-ib' in latcre ^>ortti0 aggrc
^rur. €t ad eandem fequenriam (uncti p:o(edunr.
Cra^c quadrato:n generatoc rurfuf(p be co? Iatmbu0.
Capfm. i!.
afcunfaut ralc0 numcri er naturali» numc
n ribttpolUione:no quf admodum fupio:c0 tti
anguUtiPt ojdinatie ad (e inute? numcri? cd^
gregen<f:f5vnofcmpinrcrmilTo qui frquirur
fi (um fuj?io:c t>el fttperiozib^^eollisaf :o:dtnatos ct ft
drato0 eificiet. SDifponatur tnim naturalio numcr^boc
Biodo.

' I 1 f n J f 4 t f~f 6 f 7 I 6\9\^0\"f
X bi0 igitur (1 vnii refptcil:p:im^mibi nare po
c teftatequadrat^.2>uodfivnoreH(top:io:ttCTtio
iuntcrorrccundus mibiquadrat^^rfficirur . H^aj
fl ?tiorditro binario ternarifi appofuero^quaternari^^mi'
bi quadrar^cro^inir.^Juod fi mrtu« relicomf dio quaf/
narie quinariij llmiliter aggreganero: quadrar^mibi ter
tiU0 idcft nouenari^pcreamr.^Bn^enim •r.J.t. f .noue5
colligunt. 2It vero fi bie intermiiTo ftnario fcprenarium
tonga5.torai.i6.eiTHmacon(refrit:ideft quarfiquadr{»ri
-|iumero(lta0.t5tvtb:miterbui'fo:ma pcreattonis ap
IKircacflmnai Ipare^Hbimetapponanf :(oliocaro fc5 na
lurali numero:quadrato^ o:do teremr. £(l etta^ in bis
b(( natarc fnbrilita^ 1 1mobiUe e:dinario:quod rot vni
tart0 vnafquif(^ qdrato:a rctimbit in latrrcquari fuerlc
ntHnmadpinii(tion2|>p:tap8resati.il^flmin p:imo

ejuadraro qffi vno fir; vn^crt (n latere.ln femndoidcft

quarcrnario qifi cr vno ■: rrib* pcrcaf :(tui ouo funr r^ r^
mini;binario lanie tc%if.t in noucnario quonia trib^nu
merie p:ocrcanir:lam0 rnnarioconnnetur . j^tqj idein
inaMidvidenlKcr.

Cr2?epentagoni0eo:n<i5larerib^ iTa. I5.

iEntaccon'>ero numer^ert: q ipfequidcm i la
p rittidinc fct5ni vnitarc bcfcriptie quidcm . 5.
anguli6(onttn(tur:cncn0 fc5 iat(nt>^cquali oi
menfione oifpofiris. S>um a5r bi.
{ » 1 i \~ir\ n 1 ;T1 f 1 ' 70 I
J0dcquo(j5 mo eo:u5 larcra fuccrefcunt. '[f\a ozi
t nii poteflate pcntagcni idert vnf^ide vnue fpa
riii latcris tcnct. i&ccundi vero qutnarij qui eil
■cra iplb atq5 opiTc pMm^pmtagonue^btni p latcra fi%i
funt.Xertius vero idert. ii. rribusm latuciauctueert,
^uarrua.::.4 numcro:Q in larerequantifatc oillcndif.
2lt<Biidctncfreri0fci>mvnitari0p:ogrciTionem in na^
turalilcit; numero fecundum fupcrto:um figurarumin''
cremenutendunmr.

C2?egmcrarioncpcntagononim. iCa. i4.

2lfmnf atit bi numcri q ertcfi i larimdmf qui<B
H atigulO0 pad6r:ab cad? naturafnumm' quarira

teffefe(oaceruata;ita vrouob^^fp ttmccr; numc
fw fupfo:! vel futio:ib'vinc20 rcrnario (u an inacnd^c
«ggregcf .lHlq< vnitati intmiifie ouob* 1 trib^ fiqtuo?
ingaa^ n-ib'ipf5 (Upcntvntrarf ^qnari^pmragon^pcrca
bif .iPort.^.^ollinfmiiroqnario -: frnario.y.aggrrgff
l>uodmariSpcragonijp(reabi0.TRa(^ vn^T.^.t.^.nu
ineri.i;.ctrpI<t»ar.lK)o(?rtaItififiet.lHaft.io.vcl.i;.vel.
ifi.vcl.19.vd.::. vcl.tj- ,fupio:ib'ctiicri0 adiHtcriefeodej
i^uo rupiu0 mo pgtagoni fiit.Pm lopio:! oefcriptiong.

I :: ] fi 1 70 19: j 117 CZIH
C2Dc be)casoni0co:aq5genenitionib^r~£^^ ifT

ff^ragoni ailrq fcx angHh'07 bepragoi q. 7. mr-'
b fu0 l«crib"orinfnf :P5 bnc modff eott larei? ang

ntfra fuccrcrcfit.^^afp 1 n-iacsufi numm n5 pcrca
tionecB ipfo0.numcroe iiigebflm'q f f*f i nali oil"^c!l(5e fc
qu<Tcnf:t fetifivnitatetranflrfnf: qdrari V^onumm.i.
terrag5ip(rcatiofi(batcr nunicriPQrnoinfttiilTo copu
labanf :a1,fc binario fupatSr pcragoni vo m fmt ex ouo
tJH0 infp^g r^Iicrifqj q ferernario viwcJr. Bcox, quocc
talia augmta bfjragonovvel ocoqonor veI.9.Tare? fiou
ra vcl.io. vel quoflib; alio? (5pft>ri,pg\eirioc^)finf .tJt
cni in pentagono bnob^^trermilfi© eo0 ingebain^q fe tcr
twno fup8rmr.ita nw in bejagono trib^lntermtlTi^ (&•
iogemu0 g fc qremario n-ifeant .t erfit ^d^eo^ nidicco «
futtdatnta:ey Qb^igcris o?8 bctagoni nafciintur .

I I r f I 9 I iri 17 j-ir-i—

3rtri?mctfa

^ 't fld oindem oiiinm mkqucntteintco ab bif
e_ feyaHgiito:utnfo;mv nafaiiuur.

I 6 [ ly I 18 ! 4> I > 66 I

q 'Cio»> iidTu£}io;7m inoduin fdl} oefcnptoe : I pzo
p:U^o:dimbuoi.nTnorabi6.
C IDcjHpraijoiUi^ f c:umiB c^cncranonib^.-t comunis
oaimiisurarumtnijenundi gcnerurioiue rcgula ocfcri'
ptionili^ti^rarum. iCaplm. i6,

prein ^ atignlor fijura eil: nim ad codcm
0 o:dincm pzosrclfioiua vnoplufquflm in.6.an
Su!o:um ftc?ura mimcro inrcrmiflb fiipto:i (O"
luntcnp.lfiamfi iiuatuo: intcrpofltiequi fc
ft cnnnario rincanta3grcc;.iucri0 : bcpragoni contnnio
iii>ura nafcctur. vrbi numcrinnttc:um ladiccei vtfU'

ptrme oiauin c fiindaincnta.

\ i \ 6 '

II

16

ll

euivcrocy bis (onftant bi funti

0ucm moan5ii!o:uin fc^mcundcm o:dmcm
n fo:ina p:ocrcaf :ira vt fci5m fqualcin p:ogrfllio

nem p:imi quoQ5co:um numcri oillcnt.l^am
in triangulo qui funt numeri: quf p:ima fnpcrficici figu
ra eih vho fcfe t Jtum numcii p:ocfdunt:qui fdlicet co?
njtura Defcriptioncmci5pficiunt..3rntetragono i>o quf
fetundua cil ouob^^fcfe luncti numci i Tincunt.t in pcn/
tagono trib'''? in bexagono.4.? inbeptagono. s. buiuf"
€Qm mWw eH tnodus.K^ocaut nosfubiecarum fo:^
mmm oeiiaiptionce ooccbuut.

i.t. 1.2.3. i.:.5.4«

I 3 6 10.

1

1

1

1

1

1-

i

1

1

1

I

1

1

r

I

■

«

1

1

1

1

1

1

1

CTjDercriptio ^gurato:um numero:um tn o:dme«
Capitulom. 17.
'Jmilver aot liccbit 1 alia^ fo:marij qu? pliv

l 1 ! i re.jS>edqmtaciU"^oculi6fubiccrarfrinenf :fu
. 'i — Ij^adictarum fo^mammnumerofttaein fubtc
in'p:e t>efcriptionc ponatur.

^ Irrianguli

6- 1 10 1 K 1 M 1 is

1 ( quadratt

r[4

9 l 16 ! 1 ;6l 49

ulpentagoni

As

is 1 :8

■55: iji 1 70

'45 1 66\9i
6S f 8i( II:

( bcragoni

l\6

1 beptagoni

■H7

1 r'34

atcB quod triagnlud numerus cmnium rcliquo:u5 p:in
cipiumfit. is.

3« igif ita fefe babeti^b^quid in bac re fit conft
b quc0iuelligem^.j0cscnimtetr0goniqui fub
rrilgulie funt namrali o;dinatoe oifpofiti: q:
fupio:ib%i9guli0paeanf : illoziicB (oltecrioe
quadrari figurajpponif . Quamoj eni rctragon^fit ejcvno
^ trib':idert er ouob^fuperio:ibu0triangulis. iRouem
veroertrib^^.^.fedrtricBfunttriaguli. 2lt. i6.cic.6,t.
lo.t.^J.cj^.io.i-.ij.^d^cp in fcqucnrio:dindquadraro:t:
conftans atcB tmutabiie reperiiur . n^cntagono:u vcro
fummc conficiimf cjrvno fup fe tetragono t altri n fif£%ii
gulusprtituto.lflacB ^.pcntagon^cxqmoj fup fcipoflto
tetragono:': e)c vno qui in triangulo:^ o:dIc ponif aggrc/
gatur. iDuodect -^o pentagon^cj: nouenario fup fe qua^
drato:«trib'feaindotriangulonafrif.Oigintiduoverp
cr.i6.7.9.c|uadrato fcjatcptriSgulo T.55^.cj:.:^.T. io.T I
o:dinem ad eundcm modum intucnre nulla cunctatioto
trarietatis impedict. :^t vcro fi bcMgono e lib:ata cyami
narioneperfpicias: errifdcm triangulis 7 fuper fepoftg
pentagonie pastrcanf .iRaniS! k% bocagon'':^^ quinarto
pentagono -: vno qui eft^ in triangulo:um o:dine oifpofi
tU0 nafcitur.l^ec alia ert 02igo. i^.bciragoni: ntfi e% ouo
oenartopentagono 1 temariomangulo. @uodfi.;8 .rur
fumbcji^gonume^ quib^ fuperio:ib^nafcatur addifcae:
nulloainucniednifl.22.pemagonumfenarium(B trian"
gulum. ^tc^ boc in ((teris. 1^C( bun( gcnimr^ o:dincni
beptagono:^,p(rcario rcfutabtt.l^acB eit: fup fe bcinagoif:
^eiremin^poftjgtriigulispcreanf.jSeprgcntbcptagon'
mkit:<ji ktmio bQ»8gono t vno ptau triagulo.td . w

3lrltbmertcii

ro bfptagonus rr. rj-.bcrasono t rmnrfo triangulo ton
iug5itar:.t,^4.ct.29.rnlicfrcr3gono:T fcrjario irianssu'
Io:at(5bocin njrifrts inoffcnrumrepirc liccr. Giidce nc
iginir rtpnm^^oinm triangurciincto? (umaecfficistrt
omnium procrcationibue mifccatur:
<r i^wincnsadfisumto^um numcrosuni oefcrtptionC
ftJccuUtio. jCaprm. 19.

3 vcroomncd fi ad latimdinr; fucrint .(omp>
b rati:idcrttnanaulitctragoni9:vfItcrr9goni pi
tagoni«: vcl pc nragoni bctagonis vcl bi mrfufl
brpfigoni's:fln£aliqiia oubitanonctriangtilis fcfefupcr
sbat.^d^anc^fircrnaruiintridngulum quatcrnano vd
qaatcrnariumtctragouumquinanorvcl quinariuj pen
tagonum rcnariobciagono:vclfenariumfcptenario bc
ptagonocomparcd:p:imo fcrriangalo idcft fola tranfeut
"vnitatc. 2!t vcro 1} fcnari^conti a noucnarium: vcl bic c5
tra. I;. vclbic contra. if. vd. y.tontra.i s. p.^e inucnicn'
dia oiflcrcntijs comparcnmr : fccundo fe trianguioideft
tcm8riofupcrabunt.l!Dccc5vcroad,i6 t.i6.9d.::.T.::.
ad.:s.T.:8.ad,;4,rtcomponas:tcrtio fc trian^ulovtn'
(cnt idcft fenario. 21ta5 boc ri rc notabimr in aliis cunctis
fequcntib'lc(cpcrfpcctum:omnefq5 fctriangulia antctt
dcnt. 0uarc pcriccre vt arbif ro: Dcmonllratum i omni
um fo:mamm p:incipium cUmentumq^cifctriangulu;.

C©cnumeri0folidis. £a. :o,.

3ncvero ad figurae folidss faciliojjria ?.*^:f
bi cognito cnim quid in planis numcro:u j ifigu
ris visiipfa quatitatis naturaliter operef ai
foltdos numcroe non crit vllacunctatio. £fi
cutcnimlongitudini numcro:um aliud ititcraalla^ tdcft
fupcrficicm vt latitudo ollcndercmr adictim^rita niic Uf
titudtni flqui s addar cam quc alias aItirado:alias craiTt'
cudo.altas p:ofunditas appcIlatur:folidum numeri co:
puscrplcbit.

<r2De pYramtde quod ca flt folidarum figura^ p:in(tp{
umllcuttrtangalusplanaram. iCap, :t.

3dcmr aat qu^admodii i plan is figuKs triin
0 gulus numer^ p:im^^:fic in folidis q vocatur
PYramidpfiinditattse^ p:incipii}. 01um qp
pc rata:? i numeris figura^ipneccffc e(\ inuenirc
pzimo;dia.^fl aur pyramis alias a triangula bafi in altt
tndine; fi^re cnges:alias a tetragona aliae a pf tagona : r
ftSm fcqucntium multitudincs angulo?ad vnuj cacu
minis vcrric? fublcuata.TPortto enim triangulo atc^ oi
fpoflro:fi p trcs angulos flngulf rcctf lincf flantcs poni'
turrbfc^ tres inclincnr vtad vnum mcdiam punctum
vertfccs iunganttfirpYtamis.^u^cum a triangula ba
H pzofccta fltrn^ibus triangulis per latcra toncludimr boc
modo.3(t.a.b.c.triangtilKm:fibuicigif triangnlo per
trcs angulos criganmr Iincc:t ad vnn panctn puertanf
quod^.b.ita vt.D.punctii no fitinplanof^ pcndcns: il^
Iq fc^linc^adipfumcrect^vcrttcc? quodammodocacu/
mcn.o.raciet:? eritbaris.a.b.c.vnatriangulum:plat(
ra ^ tria triangula idcfl vnum triansulum.a.b.b.al(ud
vcro.b.o.c.tcrtium vo.t.o.a.

Xcm fl I trtnigona bafl p^cfldfcatur:-! itd vn5
i verticc ci^^lincf oiriganf :erit pyramif quatuoz
triangulo:ilp l9tcra:vno tin tctragonoin baft
poflto:fup qua figura ipfa fimdara c.-z n a pm
fagono ftirgant an^ Iincc:quinci5 rurfus pyramis tria
gulis tonrincbif:-! n ab bcjcagoiio fcj: triiigulie nibilomi
nus:T quatofojqj angulos babucrit figiifa fup qua^ pf
ramis rcndct:tor ipfa pcr latcra triangulis (ontincf . vti
fijbieais pcfcriptiomb^palam eft.

Cr6olido:umgenerfltionumero:um. £a. jt.
3(unmr aSt buiuimodi pyramidcs boc mo.

0 1^:fniapyramisoctriangulo:fc$aptrami9
oc|tcn-agono:tcrria PYtamis oc pctagono:^rni
prramis ocbc^agonoanrapyramis oc bcpra

sono Qnta pjramis oebcptagono.^dem in cf tcris prtat
numcrts,*Wam qtft lincares numcrosee oi]cim'^:quiab
vtio p:ofccri in infinimm currcrcnt vt funt.

1 1 1 1 ij; I 4 1.6 LtJMj^^

CJDebispYramidisqueaqdratiarelatfteriemuttii
fiuUeftguri«p:ortciftuntur. lu

ant o:di narim (dpofitis « i fc inmcc co oiflaii
b tia tunttis fuDfides nafcebanf ."Ut fivnS ? ouo
iug(re8:p:im'triagulus naf(cref:idcfi.5. tcum
bis adiagerem^tcrtiff. i.tanario^fenari^^triangur/urfua
ocrarreret.i pofl bos ten-agoni vno intcrmilTo:pcragoni
^ouob':h«)C9gonitrib':beptagoni rclictis quaruo: na
fcebanf .1^0(^0 ad rolido?(o:po:ij^(rcarionc:ipff no'
bisifupficics naturalicfiguratf |)uenict:'; ad facicndas q
dm pYramidas a triagulo ipfl nobis trfanguli (oponcn
di funt. 2ld^(rcandaf voPTriimidas a rc^agono^tctrago
ni.fld eas w qu? ffit a pentagono : pcnragoni copulandi
funt.T illf guf funt ab beragono vcl bcplagono no nifi
l>tpgono:o vcl.bcptagono:um copulaiionc nafccnmr.
•p>:inrcr0opoteftatc trianguf vnitas c:cand?cp ctiam
poncm' virwtcpyramidaj.feciidus vcro trianguP 2 tcr
itari^.qu? fi (5p:imoc6iarcro.i.ca vniratcquaternaria
•nibipfnnditas pyramidisc)C(rcfcit. ar ^o fi is tcrtiii fe
nariaiuwo:ocnariapyramidis.pcrcabifaltimdo. Hdi»
fl oenario ia]cero.:o.numero:ii pyramis vcniet.atcg iti
ijicaiicaaaiijseadMiratiocQcutatiomscn.

iHrtrbmcrtca.

■XrignsoU'.

4^

10

20

I)ac isiturconjiincrione nacire ci\ : vt fcmpcr
t qui vltimus rtc coniugflto:um nunicro:uiu : is
quafi quod ammodo bafls nt. iCuncf is enim Uti
c^inuciiitur^Tquianrciprumnumcriconiungdtur^mi
no:c6circ ncceiTccrttvrqj oum iid vnitatcm octractio rata
rerucntat. qu( punctiquodammodo i vcrticis obtinc'
atlocum Iflflncpin.io.pyramidefupcrfeF additifunt.
;.fltm vnus.q fcnarius fupcrfltrcrnariam quantirate.
ipfl vcrorres vnum pluralirate tranfcendunt. qui vnus
ffnemutn terminum p^ojrcirionie offcndit . iiimulis
quoq? ratio in Cf tcris p:ofpi(i porei^tft eo:um p:otrcatio
nes oiligentius rolueris perfcrutari. vcro que fur
a taragono pyramidC8:cjdcin tetrasono:um luper icco
poftrionc naftunmr. jDefcnpiiS «nim cunttie tettaso
nis ideft. ,

m 4l 9 ! 16 I i ?6 I 49 64 [Ji±igg_L
- 31 vmtatcm p:imain cr bac oifpofirioc p^cfuma
0 eritmibipotcilatCT vipYramisipfa vnitas^no
dum etiam operc atqj attu. 2lt fic buit tetrflgonu
njpcrponam idcft . 4. naftetur pyramis quinq? numc
ro^um^qucouob^ranriim numeris p latera pofitis con
rinetur.£>in verobis fequcntes. 9. adieccro : fiet mibi.
14 numcro:umfo:m3pYramidis:quepcrlfltcra tribus
vnitatibustoncludariir. intqjbuitft fcquentem tftrago
num. 16. fupfrpon9m:trianariamibipTranudi6fo2mfl
P20duciriu.3n bisquoqjomiibuspTramidis^totcr&t
rnitatespcr latcra quant?in fcfucrint numero:um fl3
aregfltcquantitates.lHani vnitasquep^ima pTiamia
cft vnum folum ideft fe ipfam gerit m laterc. auintpvc
roqucconf^antcr vn3T. 4. Duob^perlateraDcfignanir
•7. 14. quc oc trib' numcris tompofitie fit : ternario nu'
mcro in latere poftto confiituitur. H^ant autcm pTrami'
dum scnerarioiicm monfirat fubiecta oefcriptio.
Xeri^goni.

1 4

9 I 25 I ?6 49 I 64 I 81
lg?Trflmidcs a fctragonis»

loo

I I I ^ I 14 ( 50 I j5 I 91 1140 1 204I ^-S^lfsJI
Xadcundcm modum cuncff a cftcris multun'
e gulis p^ofectf form? :in altio:is fu mmf fpacia
p:oducunrur.0mni8enimmulto:um angulo
rumfo:mfle);fuiscnerisfisura vnitari fupcrponta ab
vno ingrcdicntib^fld pTtJmidum confluucndas fignrfla
vfcBi'n«nfinitap:ogreditur.tErc): boccqmdemflppartre
nccede crt riiangulas fo^mas cfterarum figu; arum ce pn
tiptumtquod omnis p vramie a quacunqs bafi ptofecra
vcl fl quadrato vel a pent agono: vel ab bcrasono vcl ab
bcptagono vcl a quocunc^fimiliumtfolisiriangulisvP
(B ad vcrricem conrinctur.

CiDc curtifl pTramidis. vigcfimuquariff.

jCircautcm opo:tct qu? funtcurt? pTramidc^
f Vf l quc bie curt?:vcl quc tcr curt? : vcl quatcr:
-r ocinceps fccundum numero2um adiectiong
t^feaacnimpTramiscllrqucaqualibcf ba
fip20fc(ta vfcpadp^imam vi-r poteflatcpTr^mtda per
ucnit vnitatcm.Sn veroa qualibet bafi p20fecta vfcB
id TniratcmaliimdoilU non vcncrit:curt3 vocabi^.TfRc
tteq^ buiufmodi pTramis tali nucupat ionc fignatur : li
^?fcB ad f ttrcmitarem punaiicB non vcncrit.ll^fcautcj
tft: vt fi quis. I6. tctragono adnciat . 9 . atqjbuic, 4 . ct
«b vltcrio:is fcfeadiccrione vnitaris fufpendai:pTrami
disequidem figuracfl^fedquomam vfqs ad cacumS vti
ris non ertrcuit;curra Tocabitur:i babcbit fummitatem
non iam punoum quod vnitas cl):fcd fupcrficic^^quod

cftquili^bet numeras fctundu; bafis iUius anguloe po:
r«ctU8:atq5 vlrimus aggregatus. iflam fl tctragona tuc
rit bafist^quadrataDiminurlonc fanper afccndit.T fl p^'
tagona bafietfimiKtcr.-zflbcwgona^ilIa quoq^vltimj fu
pcrficies crit beicagona. ^rgo in cnrta pTt^midc tot crit
9nguIo:u5 fnpcrfiacs quot futritbafts. £ii'vcro tlla py
ramisnon folnm ad vritarcin cvrremiratemq5non per
ucnit: fed nec ad p;imum quoq^ opcrc t aau multi angu
lumciue gcneristui^^fucrir bafis^bisairta vocabituf. vf
(ifl. 16 .retragonop:oficifccn6 vfq.vin. 9 .tcrmmum po
nac:necpcrcrefcatad. 4. quocitq^ tctragoni ocftitrintt
totieneeamcurramffleoicfmus.Cltfl vnitae ocfucrit
P2imu6quadratus:furt3m qua; grcfi kaoluron votant
.Jdi vcro ouob^^tetragonis beficit:tdert vnitarc 1 coqiii
feqmiur:vocaturbis"curraqua>gr«i oikaoluron appcl'
lanr.@uodfitribustctragoni8:tcrcurta oicitur quain
grcci trikaoluron nominar:-? quotciiq? retragoni fuc rint
minus:totifn8 iUani p>*ramidam auram elTe p:oponi-
mus. IDoc autcin non foliim a tctragono pTramidis: fcd
in omnibus ab Dinni multiangulo p:ogrcdienrib^ fpc'
(ulflrilifct.

Cr5Dc(ubi«vcl afferibus vcl latatulis vel cuncis vcl
fpbericii^fpflrfllellibipcdis numcris. iCflprm. jcjcv.

^ oe folidis quidem quf PTramidia fo:mam
ft. obtincm f qualirr r c rcftcnrib^ : a .pp:ia vclut
y/,^.^ ?. radiccmultiangulifigura psjgrcdienribusoi
: cmm cft.tEfl alia rurfus quf dam (o:po:U5 fo
ttd02nm 02dinflbilts (ompoftfio:eo2um:qui oicunriiroi
bi vel fliTcrcs: vel larcrculi: velcunci: vcl fpberc : vel pa
ralcltipipedi.qucfuntquoticn8fupcfft(ic8cona-afcfut:
1 ouctf in infinitum concurrcnr. SDifpofiris cnim
in 02dincmtcn^agoni8.

j@uoniam bi (blflm longimdinan Iaritudinem<^fo:riti
funtTalrimdinecarcnt^fiperlfltcrafolain vnam mulri
plicarionem rcapianr:cqualcm p2onebunt p:ofundirflte
TVIain quat'-:o: rctragonns ouoababct in latcre:-: nat'^5
tjcbiscuob''. IBisfmm ouoquamo: faciunt. IDoscr
go ouoscr Ipfluslatercfi tuulripUccsfqualifcr: cubi fo:
ma nafcef ur.iHa? fi bis bi nos bis faries^oftonaria qu.li
titflscrcfcif^iclUnimusbiccubus.iHoucm vero tcaa
<;onu6quoniam.5.babctinlatcrc:t factus crtcraibuef
fc muItiiiUtf aris fi cnim v nam latcris mulriplicattoncm
9dianrcri£f:rurfU6a'iu6fubusfqualiIflrcmm fo2mario
nc crcfcit. Xtr cnim riC6 fi ta*tioourcris. 27. cubifigura
P20duatur. tEt. 16 . qui cfi er . 4. fi quateraugcfcar : fc
ragtnta quatuo- (ubus pari latcrum oimcnfione (ralfa
biriir.-rfcqucnrcsQdcmten-agoni fecundum eunde mo
dummulnpli(afionefa(tap20uebiinfur. 'lotautC) ne
ccircefi vnitatcsmbu6babfaf inlateretquof ijabuit p:i
mufl ille rcn-agonu6 cr quo ipfe p2odu(tu6 cft. iHa qin,
4 . rcoactonus buos rm numcros baber in laretc: ouos
quofpbabetotfonariustubue.T qm noue tctragon^tri
buspcrlatus vnitatibu6fignrabant:foIo tcmario, 27.
aibilams v2get«r.tftquoniam. I6. tcn-agonusquam'
0: vnitamm lams babcbat :fotidem .64. (ubu« in lare/
rcgcftabitvnitatc^.^uarectiam vi •: potcftatcaibi q6
cft vnitas vnus crit in latcrc. J0mnis cnim tcn-agon'
vn9qu{dcmfupcrfia'c8cftquatuo:3nguIo:u5:foridcq5
Iafcram«0mnisflutcmmbU6qu' cr tcfragono:um fup
ficicin p2ofunditfltcm (o:po:t8(rcuit: pcr fctragoni fcj
lamsmulriplicams: babebitquidc^fuperfiaes. 6.qua
rum ftngula planimdo tctragono illt p:io:i f qualis cft.
Xarcra vcro.u.quo^nm vnumquodqjfingulis bie que
fupcrio2is fucrc tcaagoni f qnum ell. i',vt fuperi^ ocmS
ftrauimu6:totvnifammcfI,2lnguIo8 vcro. 8. quo2um
nngulis fub ttibue bniufmotli corincmrrquales p:iO2C0
fucrctetragonivndecubus ipfe pzoducmeell* mr&o:

2lr(tbmettfa

mrarflliKr p:oftifo nonifforg (it tltbim foztrn oefmptl
funcrubircri tetnsonimfcanmr.ttfbie tcm^ie a
fiibnofiri fuitf: nibip:oit€bunmr.

iRumerusnaruraUa,

■I ' I : f U 4 I H 6 I rr

Xfrragoni.

fCubi.

h I M :7 [ H i;y [ :i6 1 34^ I

; X qnoniam omnid cubu? ab ^quilatons quadri
f ti9 p:orccru6:fquu9ipfcoibu6 partibueeil. iRi
t laritudiii lositudor-r bi& oiiobus compar eilal
tinido.? ftSm fcr partcsndeil furfiiin oco:fum:oe]rtcra fl
liiilra:ante:pofl:(lbifqiulcf?ncccn"c cit. butcoppofitu>
conrmiki5fcopo:rcbit:quincqj longirudine? latitudi
ni:neq5bff Puop:ofuiiditati geratfqualia : fed cunctia
infqualibusquauie folida (igura nt ab^quaUtare cubi
longttTtmeoiilare videatur.MDiflurcm funt : vtflquiefa
aarbiBfrC0qiiatcr:veIterqua crgnquifs.7ali9 buiuf
modiqocpinfqlesfpacio:?: gradus in?qualtrerp:oue'
l>iiirur.Il3?cautc5fo:ma greconoicfcalefiog vocaf.noff
1^0 jrao JtJ ponum''oiccrc:q6 a mino:f mooo vflut gra
dib^^irffcata^teandc^ftcfurj grcci gda fpanifcori. iHo«
«ntcunf iJ p itum^ c»icerc. tenim quosab qualibet ilti
recon rtrinfcnDJ (imco0lo;m3r:iifi^latitUMnie: ncc^
•Itimdmisbabira ratione: quantucomodu fucritrtan'
lavel altimdini mtnuif vflcrairttudiniprundii^neam
gef . Wce idf 0 bo9 plf rijqg. nfCf ffe cll oibus partibue m
f qualib^inucniri. ^uidam vero boe bomifcoe vocmr.id
cil quafda arulas quf in ionica grfcif rc gioncrt ait nicbc^
macue Ixx modo fo:matf fucrunt: vt ncc^ altitudo la /
rimd!ni:ncqB b? c longitudini toiiucnirf nt.Docaf afft alt
teqniburdJ iiominib^quf nac.p fequi fU|20acu:T:iudict
m''. '3?f c^ibi gqualib^^fpaois fe po:;ig5tibn0: bni^ fo2
mc qij J oirim"' gradata oiftributoc oifpofitfnnedietate»
funt:nc(5 omnibusiiifqualcs.qoos grcc paralclli/
bipcdos vocant. latini nomcn boc ita vnifojinttercopo
fimm babcre no polTunt."tIt ramcn ioem pluribus oictff
fit:ca na quc bx nomitK vocamr ligura:^ altcrnatim poll
tis latimdinibuscontinetar»
C jDc partcaltcrii Ioitsio:ibusnomfri0:eo:«cB gencrsi
tionibiw. Xapimium, ze.

Oiufmodi vff 0 fojmas quale s funt qof vo
b canmr a grccis bcteromifte is nos oic rc poflu'
muspartcaltcta longio:fe . qua^rfigurarum
nnmcnisquocp bocmodo oiffmicndiKsciL
•^arterftcra longio: cft numcru8:qufm fi in lati^udtncj
ocfcribaat ipfcquidem.4. P^oucnirlarcrom T.^.angit
|0JU5 fed non funms f qu-Iibue fed femper mtntie vno.
TRancB neclatera lateribusmnctacuctisfqua funt: ncc
longimdinilatitudorfcd vt oictiieil : cumbincalteraps
maio: fucritrvnotm mino:cni p:fceditacfupcrat. Si
enun numcrum namralem oifponas in o:diiiem:T fecn^
dum pcr p:imum multiplicc s: talis nafcaor nommis:
■velft ffmndum per rfrrium:vcl fi tcrtiom pcr quartum:
Tflfi quartum pcr quinmm.omncfc^bi vnitatf tantum
additamulciplt(enmr:nafccnfparrcaUfralogio:cs.2:>i

Ibonamr cnim numfrus namralis.

1 I : I r? \ 6 \ 7 \

^ttnm quidem bactcnus. siquis igimr taciat vnu bi^
facictbuo.^tmrfuB bistres facicr. 6. tcrquater farict.
l:.quater.^.lacict.:o.tbocmQdo8d cundem o:dincm.
^uimnc^ igimr ita facti ftmt ; p:o(rcabuntur partc alte
n longio:c0:vr fubiecta ttefcriptio oocc r. 3n qua f^ qui'
busnumerismultiplicatinafcunturparrealteralongt
o:e0 fup:a afaipti funt. ^ vcro nalmiuur fubtcrius.
fobnocati.

I

1 1 1

1 1 1

I II

T I TI

:o \ ^o

11 III

II 1 1

riiii

1 1 1 1

iiiii

I ri I

iiiii

iiii'

II III

in I

iiiii

CSDc anrc longio:ibu0 numeris:T oc vocabulo nume
tiparrcaireri}longio:i0. /Capimiam.

lN\go fi ab vnitarc ranrum oircrcpcnr qoi mul
e nplicantor:Of fcripii fopfn^numcii p:otcndS
tur.^Si vcroflliquonumcro vttcr ffptcm vcr
rer qnq? velaliquo modoalio'; non eo:um la
icra fola oifcrcpent vnitatc : non vocabitur bic nutrierua
l)arteaItcraIongio::fcdantclongio:. <?litcrnm. n. apnd
PYtbflgo:am vel fapicntif cius l3f redes nulli alif nifi ta*
tum binarioafcribebatur.l^uncfllteritatis p:incipiuni
eiTc otcubant.t^andcin autcm naturam -: ff mrer ftbi fimi
lemconfenricntcc^ nolIamaliamnif1p:imeoflm ingene
ratamtB vnitarfm.23inario0 aut^-m nutnerus p:imua
crt vnitati DiirinitIis:idfirco qt3 p:imu0 abr mtate oifiii
gimr:atci3idf09ltfric3ri8 miufdamp:incipium f"utt:q6
flbillap^ima^ffmpcreadcmfubrtantiafola tanmmeft
vmm oiffimilis. r 'Ocritocrgo oiccntur bi numcri par
rc alrera Iongio:e0 :quod eo:um latcra vnioe tanmm fe
lcadiecfa numcroritatcp:eccdiit. Slrgomentnm fft autcj
flltfrirarcm iit binario iiumfro iuflcconilitui : quod non
oicitur altemm nifi c ouob^ab bis in quos benf loquf n
dirationon nfgligitor.Sliiipliusquod impar numcr*
fola vnitatf pcrtici monftrfltoscll:parvero fola oualira
tc ideft foto binario numcro.*l^am cuiufctic^ medierae g
vnu6:i!Ic imp^rcft.cui^^vero.^.bicparitaterccepta^in ge
minafqnaMnungimr.0uflrfoicfndnmcftimparc5 nu
mcrumciufdematcumfuan natura tcncntis inattabi-'
lifcp lubftanrif ffTeparticpcm : idrrco qiiod ab vnuate
fo:merur:parem veroaltcrinsplenunictTenatur^: idcir'
co qiiod a Duaitratcccmpletor.
C Quod cr imparibus quadrati:cic paribus parrealtfra
longioze» fiant. iCapiru!uin. is.

Z vcropofiris ino:dincin ab vnttfltc impa
fl ribus:Tr..bbtS90u lifflfepatibu? ceffti( ns
toaccruatioimrariuni rctra-Tonos ficit: coflcer
uarioparium fiipcrio:escflicif taitc altcra fd-
Sio:e0. 0uare quoniam f ctragono:um b? c narura eft vt
1 ab impanb^^p^ocrecnrur^qiii funt vnitarie ptjrticipts
idefteiufdem imutabi[ift^fub*^ant;(;(un( ifq^pottbu»
fuis f quatcs flnt:quod t anguli angulis:-: lafcra larnib'
Tlongifudinicomparcftlarimdo:oiccndu3 cft l?utufmo
dinumfrosdufdcmnaturf aiq? imiirabilie fubflanrif
parricipf6.'jfllosvcronumros quospai tr alrci-a lon^
Sio:csparifa8(rf9t:9ltfrius oicfnnisiffc rubflaniif.
IRamqufmadmodum vn''^ ouobuo vno tanmmaitfr
eft:fIcbo:um latcra a fctanmm vno fontalrcra:? vna ran
tnmoifffmntvnitate. i^oarcoirponanmrin o:dincm
omncsabvnoimparcs:'» fobbis omncsa binario nu'
mcroparcs.

I. 9i II I I5_l

1 1 4 16 1 6 [ 10 I 11 f H

e tpaiii1cmcffi'cmciqik\1am<5ddtb:ma (iiifdar»i
crt impanratiis. Ou? in rctnm eiiifdcm ncc niura
bilia fubilanrif crt: vraini rcl icipiam multiplicaucTit:
Tcl in planitudiiicvcl in pwfunditarc: vcl ft 3lium qucli
DcrnutncrumpcrffipCjmmulripliccna p:io:i9 quantt'
tati'3fb:mjnonoifi;rcpcr.injq.>ft vnumrcniclflKicevcl
fl icmcl vnum lcmcl.vcl ii ouo rcuiclrvclfl trce fcm I: vf
fi quatuo: rcmcl;vcl il quclttxr alium nmncrum muUi/'
f>\Ua:A qu.ltirarc fii j is qucm nuilf iplicar numcr' noii
rcccdir.qiiod cirta alnim numcrum non porcil inucnirr.
n(i>ari6 vcroo:dinie binarfnumcruep^inccp^crt. quf
oualirae cum UKodcm o:dinf paritatie ftf :tum p:iiuipi
iim totiuecilalrcritarie.inaqi ft fcipram multiplicctvr
pcr latitudincrn vcl f tiam p:ofxinditarciu: vcl ft que nti
mcriim in luatonglobfr qu.uitJtciiucontinuo altcrcto:i
tur. TOarn bia ouo vcl bis ouo bis ft facias: vcl bis rrcs
vcl bis.4.vel bis.f . vcl quclibcr aliuj multiplifcf ^gfas
binc naliirnr ali^quam p:imo fucratinucnitnr. H^arftt
turaurcmcr:fupcrto:e ocfcriprionc tcvpzimo o:dieoc3
tcrragonibof modo.Unuiu cnim (ircfpoccrie^piiin^p»
tcftatc rerfagonug cft . i:?in vcro vnuni tnb'' foaccrua-
ncris.4.rett35onu8cro:itur.llDu!£riquinariumiunc!35
noncnariusrurfusotfurrir.IDuic fifopulf9.7. 16. qiw
drari ro:ma (e fu^^gcrir.^dfmqj ft t cf rcris facias cmnes
tomDCtciitcr quadratos vidcaap^ocrcari. 3t vcrocr fc-»
cundo paritatis o:dinc idcm functi parrcalrcra |ogio:cs
h tnr. in jiB ft onos p:imos rcfpcj;cro:buiurmodi mibi
ju.mcrur otfurrit qui fitei bis vno. £um vcro ouobua
fcqc-rntcs.^.iiijca-o^paricat fralongio:rurfih"?crir ffna
rius fc; qui lir et bis rribue. jCui fi icqucntcm agsrcga^
uc onafcctur mibi r^uodcnaria fo:ma:qucfircr quatirrri
bus. Quod ftcontinuatim quis raciataincto»? buiufmo
di numcroi? i cot^crf nri o:dinc p:ocrcatos vidcbit. Qui
Ocfcripnonc icj infcrio: tb:ma ocmonlkat.

TRidifcii z~zizzzz7~zr

Xcrraisioniidcftquadrati.

I i 4 f 9 f 16 I 15 I

Tl\ad!ccg. •

2 J :.4.f i.4.6.[ 2.4.6.8.! 2,4.6X10.^
•partcaltcra longiotcs.

( 6 I iT~f !0 I 30

CTiDe s^neraticnc latcrfUlo2umco:umcp oiflrmitio-'
nc. Capitulum. 29.

^\oo autcm fupcri^larcrailos t)idm':c}ue fiSt
q 1 ip^gdcmTolidc.ftgurf bocmodofiiint.^^uo
tiens cqualibus ipaciis in longiradinem latitit
dincmci5po::ffti9:mino: bis additurairitu'
do.nt funtbuiulinodt.^.tfrbis.qui fimr.i8.vcl.4.5
crbis vclalio quolibctmodo.vrbisin longitudinc^la
ttitudincmcgcqutf minoialtimdo oucarur.lDi ocftniiv'
tur b3C modo. larcrculi funt qui fiunt cv f qualibus cq /
litcr in minus.iHircrcs vcro 1 ipff qnidc, figurf funt fy
Iidf:fcdbocmodovtCT:fqualibu8 fqualitcr oucartrur
in maius.TRam ftfqua fijcritlarimdo longirudinii ma
io: fitalrirudo:iIIf figur? a nobisanercs^agfcfisclofidcf
nominanrur. vr ftquis bof modo fafiar.4.qu3rcr. nout'
es:qui indepzofreantur alTcrcs nominari funr. Spbcni
ffi vrro quos cuneolos fuperius appc llauimus bi funt
qui crinjqualibus infqualitcrouftipcrinfqualta creuc
re. £ubivcroquie^(qualibud(quaticerper(qualta p:o
duai funr.

C 2Dc (ircularibus vel fpberiris numcri».
jCapirulum 50.
*lPro:um verofubo:umqu3riciktifucrit ira
i ouctt:vtaquonnmcrocubl(cquatitati8 laf

coeperir in cunde^altitudinfecvrrfmir^dtfrminitur^nu
mcrus illc f iclifue vd fpbf ncus appctlamr : vr futit mul
ttplicarionc^ quea quinario vcl fcnario profifircuniur.
"Wamquinquicsquinqsqui fir.ii.flb.f.p^ogrcffue tit
cofdcni .5.ocfiiiir.€t ft bos rurfum quinquic s oucas: l
cofdcm.5.co:um rerinin"^vcntcr.0uinqcs cntm.:^ .fiut
izj-.iftboeiurfusqutngcsoucas^in quinarium nume^
riim errrf mtriis rcrminabitur. 2{rq5 boc vfci=;in infinirii
idcm fcmpcrcucnir. ^uod in fcnano qnoai(onucmr(5
fiderari.lDi aurcm numfrt idfirco ficlict vcl ipbfrici vo'
<antur:quodftait fp?ra Vflfirfulusin p:op:i| fcmpcr pa
(ipi) rajerfionc fb^manir. i£il cnim circulue pofiro quo
dam punao -r aiio eminus oefirorilli^^puncri qui c min''
firus cll ?qualirfr oiilans a p:imo punfto arcudufrio: t
adeundcmioaim leucifio vndemoucrifoepcrat. i:?pbe
ravcroeil fcmifivculi manfnteoiamcrroarcfiduaioiad
cundcmloaimrcucrfto vndcrcuetfto vndepiiusfocpcrat
fcm.Hnitas quoci5 virtutc 7 potcllate tpfa quoqp (ircu-'
tus vcl fpbf ra f .quotiens^nim punautn in fc mulripU'
taucris:in fcipm vndccocpcrat rcrminatur. S>i enim fa
ciarfeincl vnumvnusrcdir.-rflbocrurfueircmclidcni
cft. ^girur ft vna fiierir mulr /plicatio fol^m planitudincj
rcddcttafitcirailu^.iSi icJ5a: morfpber^conficimr. f
cnim feajnda multiplicario cflTccf rir fcmpcr cfi p:ofimdi'
tarie.^^jc.j.igituri.^.paufasbuiufmodifo^masfut»'
ffripfimug.

I

6

1

?6 ...

I

:i6

I

6:5

1:96

1

'3':5 1 7776

CTBcnaturarcrum qiie oiciturViufdafn natur? i ocea
que oicitur alreri^naturf qui numeri aii narurf coniii''
tti.funt. Capitulum. 31.

lC oe folidis quidcm figiuis b?c ad p:efen3
9 I>i(tafuflfi(iant.0uiautcmt>cnaturarcrp:o
pinquis inuefiigantesrarionibus: qutq^ in
matl:»efeosoifputarionc verfariiquid inqua'
CBrcc(Tctp:op«umfubritinimeperitinimcq5cdidcrunt:
bi remmomniu5nanira6ingcminaDiuidcnrc0bac fpe
(utarioncoifiribuunr. SDimnrcnim omnesomnium rc
rum fubftantias (onfiareoc ca que p:op:tc fu^cp fcmpcr
babinidinis cft ncc vltopcrmuranir.^ ea fc? narura quc
\>ariabitis moriiscl^ fo:rita fubftantiain.vF t illampm»
fmutabilem naturam vniusctufdcqB fubftanri? vocar.
K)an(vcro alrcrius f(5 quod a p:ima illa immobili oifte
denspTimafitalrcra.^uodnimirumad ^fniratem pcrti
ncr:t ad bualirarctn.qui numcrus p:im^ ab vno Oifcc
dcn«atrerf'a(tu6ct\.5ftquoniflm(un(riffaindumvm/
tflrisfpefiemnatnramq^imparec numeri fb:marifunt:
<10i<p tx bis (oa(eruati9 tctragcni fiunt oiiplici mo riuf
dcm fubfianrt?p3rti(ipcse[fct>taintur:quod vcl abfq
litatefo:manfurrerragoni:vcl(oa(eruati6 in vnum mi
merisimparibus p:o(reanrur.3lli vcroqui funtpares:
quoniam binariinumeri fo:m? funt:quicyi cr bis coaccr
«aricoltctricpinvnamfongerifmpartcaltcra longio^ea
numeri naf(uniiir:bi lecundum ipfi^binarii numcri na'
turam ab elufdem rubrtanri? natura oifcciTiire oicuntur.
putaturcp alrcrius nanirf cifc parncipcs: idcino quonii
(um larcra rerragono:u5 ab f quatiratc p:ogrcif9 in ? qua
litarcm p:op:tf tatimdinieambitum tcndant:bi adifcco
Tno ab f qualitate larcmm bifccifcriint^atqj ideo oilTimi
libustatcnb^i quodimodoaltcris afe coniunguntur.
iQuarenobisnomm eft quod ey bie eaqiif fuiitinboc
niundo(oniun(tarunt.3utcnimp:op:i(iinmutabilt8
ciuldcmc^rubfiantifefiquodoeus vclanima vclmes
cft:vcl quodcij<BP:op;if naturcin(o:po:alitate beaiur
aut'mutabili8 variabitifcEi namrf :quod co^po^ib^indu
bitantcr vidcm^Mciderc.UHde nunc nobis monflran.<'

dam (ft:ba( gnnmfl numffozum natUM quadrato:U5 fci
lim t parrealccra Iongio2um:aicta8 numcri (peciCQ cun
ctafic babitudincd vel rclar^ad aliquid quanritarieiTt
tnaln pltcium rcl fuperparriculsrium t cf rcronim . tcI
id fcipfamconfldcrarf :vt fbntiarum guae oudum in fu^
pcriozcoifpiitationc ocrctipfini%fo:mari.vtqucmad
modum munciud a imurabili titutabiliq^ fubitantia:nc
omnia numcrus cr tctrasonis q imutabilitatc pcrficiii
rur:« erparrcalteralongioMb''^ murabilitateparticipac
probcturciTcconiunct''. €tp:itnoquidcm oifiribucn^
dum e\\ qui funt bi quoe p:omcc38 vocanr: idc il anteri
o:c partc lottgio^ce. vcl qui quos betcromikcie ideft
Bltcra Iongio:ce. t?rt cnim partc alrcra longio: numer^:
quicijcp vnitarc tantum latcricrefcit adiccra. vtfunf 6,
K5 bi5.;.vcl.;2.rrc8quatcr.7 confimilce. 2lntmo:evc*
ropartciongio:crt:g fub ouob^numeriebuiufmodico^
rincnir:quo:um larcra non poifider vnitatie Diffcrcnria:
fcd alio:um quo:ricilcj5 numero:um. vt rer. vcl ter fex:
Tcl quarcr.7. ^Juodatncdo enim longitudinc in p:c«li'
jcio:em modum po::e(ta mcritoantcrio:epaitc longio:
oicimr.jCuraurcm parrea'rcralongio:C6numcri oican"
rur:fup:a iam oictum cil. Quadratl vo quontam f quaj
btitudinSlongitudinigcmnt:p:op:ivlongitudinievel
ciufdem latimdinieaptitTimcvocabuntur.vtbie.i.tcr
5.quater.4.T cgteri . nfbarte altera vcro longioree : c^uod
noneadcm longirudinetendantur:a(reriue quodam"
modolongicudinierT partealteralonsio:c0 vocontur.

C Qnod oiaejc eiufdcm namra 7 altcri^hatui^ conflrtpt:
idc^innumeridpzimumvideri. jCapitulu^. 32.

jQ^neant gcquid in p:op:ia natura fubftan'
0 n'9 quceftimobilc:tcrminatum Dcfinitaqscrt
quippeguod tiulla variatione mutef : nun$
ciTe ocfinat:nijquampolTitcfrequod mn fuit
Sltb?c vnitae fola c|l:'j que vnirate fo:manf :comp:ebg
abilieToeterminarftciurdemf bfianti? elTeoicuntur,
€a vcro funt quc vcl ab f qualib%cfcur velut quadrati
rel quos ipa vnirae fo:m3t:idcrt imparee. 'j?it vcro bi-*
nariue-rciicrip.irrealtfra longio:ce:qui3finira fubrtan
tuiDifcdTcrant:variabiii6 infinitfcp fubilantif nomin»
tur.£onilat crgo numcrueomnis ex bie que longc bifin
cra funt atcp eomrmrxx imparib^fcs t parib^. IDic eni
flabilitaerillic inllabtlis variatio.bic fmobilie fubfian"
tt( robur:tllic mobilie permutatio.bic oefinira foliditas
bicinfinitacongertiemultinidinie. :@u^fc5cum flntco
craria:tn vnam tamen quodamodo amidriam cognatio
nemcpmifccntur:-: illiue vnitatieinfo^mationeatqj re
gimentovnumnumcrico:puselTicifir.iRoneigoinuti
liternecp imp:ouide qui oe boc mundo Deqj bac comU'
ni rerum nanira raciortnabanruribanc p:imam toti''^»
difijbrtanrif oiuifioncm fccerunf.sEtplato quidem in ti
meo riufdcm natur? 1 alrcri^^^nominar quicquid in mun
do eft.atq; altud in fua narura pcrmanere putat indiui
duuminconinctuqsi rcminoiump:imum.aIrerum oi^
ntdbilez'; nunci5 in p:op:ij flaru o:dini6 pcrmanene.
•^b^lolaue vero necefte cil inquir omnia que funt vcl i
finita vel finitace. iDcmonfirjre fcj volene omnia que^
cucpfunteicbie ouobueronfiflcre.aut er infinira fC5 efli»
aure]cfinita:adnumcrifineoubioflmiIirudincm. IDic
cnimervno7 ouob^^-rimpariatq? r^fi coniungif. €juf
manifefia funtcqualitariearq^ infanalirarietciufde^at
<B alteri^^^ocfinit? atqj indcfinitf c iTc fubflant if . :0uod
TidclicetnonfiuccaufaoictumciVomniaqueciconn-ari
ieconfificrcnr^armonia quadam coniungi atqjcompo''
nf . enim armonta pUuimo:um adunario 1 oilTenti^<
tium'tonrenfto.

C iBx eiufdcm atc^ al reriue numeri natuia qui fut qufl
dratusTpartealteralonsio:o?ep:opo:rionumbabitU'
din(0conilare. ^pitulom. 33«

'^ffponanf crgo in o:dinem non iam parc 0 at
e cp imiiarceocquib^quadrativcl paircaltera
Iongio:ee fiunt: f, bi ipfl qui illie coaccrnatia
in vnumcTBredactieT quadrariT parrcalrcra
Iongto:e6p:odcuut.3tacmmvidcbinAfio:umqucd3
tonienfum t ad c? tcrae numcri partce p:ocreanda8 ann
ririam:vt non flnccaufa boc in omnibuerdi^^ab numc'
ri fpccic natura rcra^ fumpfllTc vidcatur.x.iint igtf ouo
verfue ten-agono:uin ab vnitate oiuj:': a binario nume
rg parte aItcralongio:um.

I 1 4 I 9 I 16

2 I g I I:

:o

:J

50

$6

j0:um igtmr fi p:imum comparcc p:imo oupli
l> quatitaeinuenirur^quecflp*!'!^^ mulriplicita^
fpccies.^i verofecundumfcciid.:bcmioIif qui
titariebabiradop:oduafur.i:3itcrriuinterrio:fciqutrer
ria p:opo:tiop:ocrc3mr:^-»i quarrus qnarro:fcfQUiquar
ra.-jftquinramquinto^fcrquiquinra. ftbincfuperpar
ticularium no^mainin quauielongiffimum fpaciuj p:o
Srcdicn6:integram inofTenfam qj repcriee.^ta vr in p:i
nia ouplt p:opo:r5e vnitat ie foliue flr oiflrrcntia. iDuo
naq5 ab vno fola fcmper oifcrepant vnitare.^n fcfqualte
ra vero ouo:umcll oifterentia.in fefquitertia trium. i fef
ciuiquarta.4.^ bcincepsfecundu^ rupcrparricularcs foz
mae numcro:um:quod ad biff"erentia atrinctivno tantn
crcfcitadiecto numeruin eicplicane naturalem.

s I
s

Q

16

20

5n vcro fecundum retragonum p:imo parte al^
0 tera longio:i comparee:-? tcrrium fccado : t quar

tum tcrtio:': quintum ciuarto eafdem rurfue p:o
po:tione6efftci gnotabie quae in fupio:c fo:ma oefai'
pfimue. Sed bic oifferentif ab vnitarc non incboanr^fs
fl binario numcro in infinitum per eofdcm calculoe p:o'
Srediuntur.Srircg fecundU6p:imi ouplue.rcrtrue fccu
di fefqualrcr.quartU0terti) fcfquitertiue. fcbmeandeni
conuenientiam qu^ fuperiue oemonfirata elh

3

Sk,

s

2

2

1 4

6^

ij

S S

20

Cfrfuequadrariinuicem imparibud oiiTeriint:
parte alterailongto^ee paribue.

apiiferenric imparee.

TTZrEz

1 4 |_?
^uadrari.

II

I 9 1 16 I ITl ^6 I 49 I

jDiftcrciirigparce.

1 4 i <? I s I 10 I i: r T4 f

: \ :o ( ;o 4: I

l{&artealrera longio:ee

• "i^cJftinterp^imum ^fecundum tcn^Jonuj
fl p:imumparrcalrera lon^io^em ponimue: ad
vtrofq5 eo6 vna p:opo:tionc coniungirur . 'Jn
xirifc^ enim p:opo:r"onibU6 Oupli mulripliciras inue
nitur.^in ttrotntcr fccudum terrii]c)5tetra£cnum feca

cc i

3(rltbmcti«:

dumpamaUeraldngio!fmponfli3 fcfqiMltfrf wmpara
tionit^ ad vrrofiu fo:iiia (ompomriir. i n iiitcr tcrtiu; i
quarmmretraisonumtcrtiapartcalrcrii loii^io:cm coH'
flitiuerrcfquitertia fpce narccrur-z idcin in cunctiefcce
rid:(iicLi0 fupparti(uUre3 Ipce Uicnire mirabcrts.

prittias
i

W
§

o

5'
9

p:imus

H

. Iccundud

.L4 .

5"
i:

quarius^ quartu»

l6 l§| 20

'16

ouplu0

fcfquaUer

fcfquitctti'*
quintusfjfquiqujirt!»

X ad cundem modum in c^teris conucnir iniue.'
c ri.HvurruBaponanturouotcrra^oni e)cfiipef«'
Oefcriptisndea piwfi fccundno:'; in ynutolli
gantur:'; mcdiu0co:uinparte altera longio: bie imilti'
plicctur :terrafsonu0 fir. lHacp vnus 1.4. i» iungantur.
5 faciunt.cozirmbinanuspartealtcralonsio: ftbisort
catur:quatuo: racnmt.qui iuncti.9.flne vlla bubirariont
conftcicnrquicrtnumeruaquadratus.tttadcundemo'
duminalii3l?xmodobifpoi\ti6nunierts quo0 lupra
oefcripfimue ideifuonnat mtcUigt. S)i vcroconuciras
1 inta ouos p:imum 1 fecundumpartealtca lonsio^ea
fecunduin te trasonum ponas^qui iu o:dine quidctu fc
nindusert:lcd actu-; opere p:im'^ • cvouob^^partealtcra
longio:ibu6 consrcgatis:'; bis multipluato mcdio tctrsi
gonorrurfus tetrabOnusconftcirur.iRanqj intcr.cJ. 1 m
narium numc? qui unt p:im^ t fccudus partes altera
logio:es n ponatur quat;rnarr o:dinc fecundus: pjim"
aauterragoiV^^-Jcomungaiifouotfc^laciunt.s . Tuin
fi bis oucantur medi) quatuo: faciunt rurfus octonaria
flui cum fuperio:ib'iun(tifedccim.tetrasonum pandut.
s 13

TT 9
I " \

tctragonus
aquinq3
is

4?

tetragonus
{i fcptem
5i

18

1

36

64

Xetragonus tetragonus terragonus
aquatuo; afejc abotro

Xlud quocB noopo:tet mino:e admirationc fii
i fcipere:quod fetijdum p:op:ias naturas: rbi al
tnnfccus Duotctragoni ftant : 1 vn" partealtera
longio: inmcdto ponitur:tetragon'g nafcif ille femp ab
imparip:ocreatur.lR5 ejrfuprrto^ib^^vno 1.4.1 bisiiiul
tiplicatobiiiario^fact^^eft nouenarffetragonufl.gfcjarri
busp^ccreatur.Teremtres.^.raciut.qiJitcrnart^^impar
cil niimcrus. tFt feques g quatuo: ^ .o. 1 bis multipli
cato fenarioconiunctuseil.^^.rctragonus^tipicej iinpa
ri gnai io nafciif r ontinenti port ttrnarium . Quinquica
cnigncB.i^.p^ocedunr.-rgnariuspoiltcrnariuniimpar
cftnumcrus.S^tin frqucntiquocpcadtmratto eft.lR5
quier.^.T.ig.tbis C)Ucto.i2.quadrat^.49.p20ducitur:
ille 3 ffptenario impart fit pofl quinarium continenri.
^Ptice cnim.7-^9.crf3nt. 2lt vcro vbi ouo altrinfec'

p^ite altera Iongio:e0 vnn medium tetragonnm claudur
om ncs cv IMS g fiunt tetragoni a parib^p^oducunrur.
'(rtam qui er ouobus t.^.parte alrera longio:ib'^ 1 qua'
ternariobismulriplifato.i6.tctragon"factu8cfl:illc a q
rernario numcro idert pari p:oduatur. kluarerenim.4.
lCj.funt. £t in fequcti quoc^ o:dinc Tbi et lcnai to ouo
dccim 1 bis in fuc fummam bucro noucnario.36.fiunt:
«]c conrincnti pari fcnario copulantut . &)C% cnim fevies.
36.rcilituunt.lflec min^in candcm rdncm cadct cv.i :
1(3.1 bi6.i6.tactu6.64.tctragonus.lDiccnim (% ocfon«'
rioconrinentipoiircnariumnaftttur. ^Dctiescnij octo,
64.tetragonum iungut.^t in aUis quoq? fccudum cun'
dem modu fl idc facias ronis o:do non oifcrcpat.
C ^uod q: quadraris 1 partc alrcra longio:ib'' otntua
fo:mammrarioconnftar. fCapiiulutn. 34.

X lud vero quod ej: bis ouob^tota oium to:m9
rum videf o:ta pwlario: non mtno:e conndc
i ratione notandum cft. if^aq? trianguli g tun^
ctas alias fo:m9S ficut fupcrt^ooaiim'' colle/
cti p:oducunt:bi6 iuttie^clut (% gbufda? cle
mcntiso:iunf.iR3q5ervnop:imotctragonot binario
primopartealtcra longio:ctcrna i^^triang.ilus copulat.

t cr binario vcl quatcmario:idcrt ex fccundo tctragono
fenari%«angulu6,pcrcaf.£)cquatcrnanoquotri 1 fcna'
rio:oenari^triangulu8 nafcitur. t ad cundcm o:dincm
(umtatri9ngulo:uin r^^tiotonrtabir. 5Dtfponanturcni>
alternatim int€r fe tctraqoni 1 partc altcra longio:cs.qui
vtmclius periictarenf:"p:iu8 in ouob^eoe vcrnb^oifpo'
foimus poi! aurcm cofdcm permifcuimu0. 1 qui ejcinde
trianguli nafccrentur afcripftmue.

Xetragoni^

_f_Li_4j 9 [ 16 I K ( ;6 f 49 I 461 si|

partealtcratongio:e6.
"Tt^lTTTi I 20 ! 30 |-4P I 7: 1 90 I
tetTagont'? atte a pane longio:C6 altcrnatt. '
I 1 1 : I 4."r6~I

lliJknSjil-ii

9 jj: 1 16 1 :o 1 :? [3o [36 4: [
zi1:S] 3^145 1 Ss\ 66|7S T

Xrianguli.

<r ^uemadmodum quadrari cr parre altc ra longio:ib'
V£l parte altera longio^ee cr quadratis fianr.

£apitulum. 5^.
jf "Dnis vcro tetragonus fi et p:op:ium latua
0 flddarur:veleodemrurfu6ocmatur:partcalre
ralongio: fit.l^aq?.^ .tetragcno n quis ouo
iungat: vel ouo Dctrabat. 6 .addcndo pcrftciec
t>uot>etrabendo.at vterqs figuram conrini t parre altC'
tatongio:cm quf fc5 magna crtaltentatis vis. 0mni3
cniminfiniraT indeterminata potentia:abfqualtta5 m
turar^afuisfefinibue conrincti fubnantia oifcedens:
flut in mai^^erubcr^r aut i mino:e oecrcfcit.
ir^^uod piincipalirereiufdem quidcm nt fublhiricvni
tfls:fctudo vo locotmparcs numcri:teitio quadrari.t qd
p:intipfltitcrDuaUtasaltert^fitfubftk)nti?:fetudo Vio lo
<opare8numeri:rertiOBtealteraIongto:es. £ap. -6.

^nflatigif p:imo quidem toco vniratcm p:o
C p:ic imutabilifqgfubflantifciufdccp naturfr
oualitarcm ^o p:imam altcritatis nuirarionif
<15 c(Te p:inc{ptum. S^ccundo vo loco omncs i
parcs tmmeroe p:optcr vnitatiecognarioncm eiufdem
atcBimutabiUs fubflanrif ee participcs^pares i^oob bi
narii numericonfo:rium9lteritaribus cire permtrtos.
Xetrjgon^squocBadeijdem modum tonfiderarimani
feflumcft.1l^a5quodeo:um compofitio -rconiunctioejc
imparibusfit:immut9bili eos namr? p:onunaabocon
iunttuos. 0uodveropartefllteralongio:c0crcopul9ri
onc paritTpcreflnf:nun$3bi5ltcritarrvaricr9tc fcpanf.
CiHItcrn^tim pofitis qu9dr9tis 1 partc 9'tcra longio^
ribue qui fiteo:um confenfus in bifTcrcntia in p:opo:
iionc. jCapituluin. 37. »

3riri?njctiC4

lliid igirar pcrfpirinidiim cf!:qnod fl idm tt

i tragoni 7 parrealrcra longioKs oir^^onanmr:
ita vtalfcrnatiin flbi perinirti finr.Tanra i bis
crt coniunctio vtalias fibi in eirdcm p:opo:fio
nibne comunicent:oifcrcpentantem oiffcrentije. Sllias
rero oijfercnnis parce nnt:p:opo:tionibu» oirtet.?ri'
fponanturemmin o;dtnem idemilli ruperiozeetetrago
ni:'y,2artcaltera longio:egab vno. ,
f I fTf 4 I 6 fTf < j6 'f :o f 2) I so I

TRgo in fupcrio:cto:mula boc ma)cimcinruedui
C cft.lRacBintcr vnu5quiciUctragonu6"r.:.DU

pla p:opo:tio ert.inter.: .T.^.^upla.lDic crgo tc
tragonug cum parre alrcra longio^cratq^ biccum fcquen
tctciragonoreadcm p:opo:tioneiunguntnr : ciflTcrcntija
•vcronbnifdem. Wancpouo^umarlx; vnius fola vni'
rasttiffercntiaelhrcdidemouoa quaternano folo bins'
riorcIinquunmr.*iRurfu6ft.:.ad.4.fpeculeri8Duplaert
p:opo:rio.fi quatuo: ad fcy habitudincm fefqualteraj rc
cognofces. IDtccrgoin p:opo:tionibu0 oifcrcpant i x>iO
fcrcntifsparcs funt.lHaqj'? quamo^aouobue-z.d.a q
nio: codem binario oiilant.^^n fcquentib^iam eodcm
tnodoficat in p:imid futt:rarioconiUt. 1^am cadc5 p:o
pomocf1:Diffcrenti|9non cifdcm.TBa5.4.ad.6.t fejt ad
nouem fcfqualccra p:opo:tionc'iunguntur.6.autem qua
tcmarium ouob^.9. vero fcnarium tnbue p:ftcrcunf .
3n fequcntib'' ctiam eadcm ratio fpeculabitur.t fcmper
altcmarim nuncquidcmc^dcm p:opo:rioncd: ali^oiffc'
rcntif funt.niit autcm o:dine permutato:bifdem Oilferc'
tijsalif p:opo:tionc9.ir)empcrc^inquibU9 Oiffcrunt
fefidum namralis numeri o:dinf e rctragoni T parrc al'
tcralongio:c0 fcfefupcrabunr:tantum quod gcminag fa
nrnlie naturalie numcri fir p:ogrcffio. s^uod mirum vi'
dcri non oebct.no© enim if as fummae tctragono:um ct
partcaltcralongio:um seminamusadp:ima0 fecundiT
q^p:opo:ttone0.

s

I

S

s

i

.ts

i
.1

s

aDiffcrcntig.

{dcm quocB quoqs oiffercntif mirabilem in mo

c dum atotopcr fcquenree partcs t pereafdej vni
tates quibu0 fupcrius creuerunt p:ogrcdiuntur
"^icB inter rnum i ouo r anrum vnitas mtercedit:QU?
vnitari cui ?qualis cft totu c binarij ^o medictas . €o'
dcmmodo intcr.^.T.^.ranrij ouofunt.qbinarii totum
fnnttquatcrnarij medietas.^ntcrquarcrnarium vcro-;
ftnarium idem ouo funt:9d quatcrnarius medietas^ad
fcnarium gs rcrtia.Trcs iJoa fequunf qui inter. 6.i. 9.
tonftimti fimt medij:funtquidem fcnanj bimidium:ps
TOtatia nouenarii..€trurfus tcrnari^^qui nouenarij ter
tia cl\:ouodcnanj quartaeft.': ad eundem modum vf
cginlinctn oefcriptionisgeminatis buiufmodi parti'
buBficut ipa quoqj fumma:;?comparaiiogeminata cll:
{Quas partium p:ogrciTtonesafpicif0.
C^^^obatio quadiatos eiufdS cc natur?. jCa. 58.
Xlud aut apcrtilTimii flgnumcrt ofs tctraga;
i nos "mparibus clTecognatcs: quod in omni
oifpofltionc ab vno vcl in Duplicib'' vcl in tri

pliribus talis namr? o:do c onfcritur vt nfi quam nirt fc
cundum imparc ioniin tctragonus inurniaf . ^Difpona'
mu6cnimino:dinetiumerod:p:imoquidcin ouplos:
Deindcrriplos.

[1 4(11 16 ! 5: 1.641 I:siII?6"
T?T9h7"\ 81 1 :43l7^9l :>87

65 6 J

'}igiturinvtrifcti vcrfib^^p^fmos afpi0fl6:fingu
losquosinucniflqnoniamtcn-agoni funt:in iin
pare loco funtconrtitutuquonuim p:iint funt.
S>i vcro tcrtium lotuui rcfpcrcris.^-^z. 'noiabis : quo
ruin bica ouob' p:ofiaraf :ilIoin tcrnarius cncat.qui fijt
loco impariconrtimti, Quintum ocindcH vidcas I0CU5
J^.t.si.rcfpicics.fed vnusaquatcrnario narcif:alreru5
noucnari^^crcat.^ t fi nonii locum lurfus afpn iae; tctra-
gonos pnotabi6.:s6.656i.qiio:um fupio:fira.i6.infcri
0: voab. 8 i.'3dcm fi in inftnuum facerclibcat iiulifcrc'
panrcrincurrir.

CTiCuboe ciufdcm participarc fubHantig quod ab ipari
busnafcantur. iCaplrn. 59.

T^flvocubi q qu.iqua tribue intcruallia fub
i latifint:tamen p:opterfquaIetn multiplica-
tioncmparticipant imutabilis fubilatif :ciuf
demqs naturv funt foci j;non alio:um qua im
parium(09ceruarionep:odunf nunqua vctopanu.lRa
fi omncs ab vnitarc imparcs oifponantur : iucti figuras
cubicascrplicabunr.

'Jl;3l5l7l 9l m I3|l?fl7j l9l:lT~Tr
bis igitur qui p:im'efl porcrtate 1 virtutc p:i
i mumcubumfacict.'3(uncti voouoquifequunf
ternari^ fcil? 1 quinarius fccundum eftuiuiit cu'
bumtquielloctonarins.^jfunctiautcm.^.quifcquuntiir
fcptcnariusnoutnariufcB^^.ii.fubumficunt^q.^^.nu
merocontinef qui cittenius.tEtfequ^resquatuozquar
mm.i qui fequunmr.s-.quintum.T ad eundem modum
quotus quifcB cubus effiatuntot coniuncrione impai cs
apponunriJr.llDocaiitem ciligcnttus fubiecta ocfcriptio

COCCf.

I 5 7 9

15 i

151I7I19I ■"

1 j S

1

:7 64 r _

p:i'
mus
ab
vno

rccundus 1

flbis
1 ouobus
1 bis

tcrrius
atcrni
bustcr

quart'
aquatcr
quatuo:
quatcr

C*Dep:opo:tionaIitatibus. Capttulu^. 40.
% oe bie quidem fafficicntcr oicmm crt.nunc
c resaanVonet quf dam c»c p:opo:rionibU6 oi '
fputanteequf nobie vel ad mnficae fpcculari
onc6:vcl adailronomicas fubtilirates:vel ad
gcomctricf confiderationis vim:vcl criam ad vrtcr lecri
numinteliigenriam p:odtifcpolfint: aritb.netica intro'
diKrionccomodilfimctcrminarc.grt igit p;opo:tiona
litas ouarum vel trium vcl quotlibct p:opo:rionum af^
fumprioad vnumatc^collccrio atautcmcomunitcr oc
fini9mu0:p:oporeionalitascrt ouamm vcl piuriump'
po:rionum fimilis babitudo:criam fi non eiidem quan
titaribus-rDiftercnriisconrtiraff fint . JDiftcrentia
cft intcr numc roe qujritas. n(b»pomo cft ouo:um ter'
mino:um ad fe muicem quf dahi^Bifuao 1 quafi quoda
modo contincruia. 0uo:um compofirio quod cfficif : p:o
po:tion9lecrt.f]ciunctisenimp:opo:tionibu0p:opoi
tionaUtas fit:^n tribue autem tcrminis inimma p:o'
po:rionalitas inucnif .f itcriam in plurib" fcd longio:.
vtbinariusad vnumquonia^ Duofunttcrmini:oupl5
obtincr p:opo:noncm.fin vcro quamo: contra.:. tmpa
rcs:': bic quoqj bupla p:opo:tioert.quo0 trcs terminc«
n (ontinue confidcrc0;er ouabus p:opo:rionibU6 fit p:o
po:tionalita0.€tcrt p:opo:tion9lita6:vnum ad buo;T
ouo ad quatuo:.€ft cnim p:opoztionfllitas vt cictum

(C 5

^(rltbmcrtc*.

cfl collrctto p:opc:tionum itt vnum que rf dactfo . fir rtl
ani in loncitonbud. Hla; fi quatuo: Uiie octo vclie ad
iungcre:': bie.16.-: bie.5:.i ocinccps ouploe qui icqutt
tur:'tirinojnnib'Puplap:opo:tionalirae cj: p:opo:riO'
nibus c>uplis . '331^ quoncr^s vn ^atcu idcm rcrmin"ifa
cuobuetirojmfcrcrminiecomunicartvtad vnum ouj:
firjad alium coujcs^bf c p:opo:rionalira0 conrinua roca
tur:vt vnusoUviqnaruoz.tfilcnimfqualiraeiMbieii'
po:rionie.T qucadmodum funt.4- ad. 2. fic ftmr ouoad
vnum.ff^t runuia qucinadmodu? vnuead ouo:fic ouo
ad quaruo:. J5r fccim qu irirjrcm quoqj numeri codc mo
do cil. 0uarum enim trce fupcranr binarium:ranruni
bmarius vnirarcm.i quamm vn''aouobU6 mino: eft:
tantum b inariue a tcrnario fupaaf . £)in.vcro aliua ad
vnumrcfcrturtcrmin^:9Uu0 vcroadalii:m:nccclTccba
bitudincm oi>tuctam vocari.Ut adgqualitarcm qutde>
p«)po:rioni0funt.i.i.4.8. ©itenimfunt qucmadmo
dum ouoad viium:rico(toad quaruo^.^rconucrnm quc
adm:tdum vnus ad ouo:fic quaruo: ad ocfo. t permu
tatim qucmadmodum quatuo: ad vnum ficocto ad bi^
narium.;&enjndu5 quariratcm vcro numcri: vtfunr.i.
J.5.4.qu3nn)m cnim vnue a Duobus vincituntanmj
ternariueaquarernario fuprratur.tft quantii buo vno
ri ncunr:ranto teniari u quarc rnai lue tranfir. ijbcrmim
eriam quanto vnus tribue mino; eil tanto binari^ qua^
rernario. velquantoternariue vnitatem fupn^^t; tltobi
mrim tranfgreditur quaterndriU0.

C Qu? apud antiquos pjoiiorrionalitae fucr»t:qs po/
ftmaddiderint. JCapimium. 4t.

.^nfeilV quide; 1 apud anriquio:c8 not? :qug
C «^fld pvfDago:? vcl platoni* vel arinotclis
ftieritias peiucncr nt: bfttes mcdicrarce fTic
aritbmetifa:gcomctrica:armonica. ifbort qs
pjopo:tionum babitudinee trce alif funt quf fine nomi
ncquidemfcmnmr.tlocanturautcm quarta:qnta: vcl
fcrta.que fuperius otctis opp fir? funt. 2lr vcropoflcri
p:oprcr Dcnarij numeri'pcrfccrionc5 quod erat" pYtbago
rfcomplacitU6:mcdictatcsalia0quatuo: addidcrunt:vt
in bis p:opo:nonaIiraribus ocnarif quantitatis to:p^
cfficcrent.ioecundum quem numcrum t p:io:cs quicp
babimdines compararioncfcp oefcriptc funr:vbi quic^
mato:ibusp:op :rionibus quoe votanimust^uccs^mi
no:cs aprauimusaUostcrminos quoo comircs oi):im'
'Jnde criam i n ariibrelica arq, ardDytf p:ius. lo. p^^dica^
niento:nm o<fcriptione:pTtI?agortcum oenarium ma
nifertumcrtinucniri. 0uandoquidcm •rplatolludio'
flflTimufl pyrbagorf (etundum cam cifputanoncm oiui
dit t ard^yras pyrbago:tcus anrcarillotilem I5 qbuiclas
fltambiguum ofccm bf(p:edifamentaconlhtuit. ^nde
ctiam.io.memb:o:um parriculf.indcalta permulta qu^
omnia pcrfcqui non cD neceire.

Quod p:imum nt n quf vocator aritbmetica p:opo:n'o
nalitateotcendumcft. Cap. 4:.

%inc vero oep*opo:rionaIitaribns occ^ medt
B ctaribus oitendumeft. Jftp^imumquid^oe
ramcdictarcn-a(t9bimn«:quc fccundu^ qna
titaisf qualitatem ncglecta p:opo: tionis pa<
rilitafc eonflimto:um termino:um babimdines fcruat.
% bis aurem quaritatibus medietas ifta verfaf : inc^
bisfpcculandacn^inquibusafeipflstermini oiffernt.
^uid autem cfTcr c>ifferentiatcrmino:um fuperius ciffi
nirumeft.ItDancautcm e/Tearifbmctifammedierat? nu
incro:um ipa rario oetlarabir:quoniam eius p:opomo i
«umeri quantitarefoniKlir.Quf igiturcaulaert buiuf'-
modi ttrmino:umb9bitudincmiocftaritbmerit9m cun
ctiealijs pwpottionalitaribus ante poncref p:imum
quodbancnobisin p:in(ipio ipfa numero:um natura
s vid notundis quatitaridopponit.l^uiufmodienitn

p:opo:t{one0quft^adrermino:um oiffer^ntias pcrri'
nentrvtpaulopoft ocmonrtrabirurin naniralisp:imij
numcri oifpoflrtonc cognofcimus. JDcindcqiiod fupcrio
reUb:o oirpHrdniibusnobisapparuit aritbmcticavim
gcomcrrica mv^ murica anriquio:c5:'; quod iliara bas
flmulinfcrrc ;fuol9tavcroperiniact.^^uaieo:dic;> fpu
r^tto p:ogrcdietur:(i ab ca p:tus incboandum fit mcdie /
rarc:quf in numcri otilerenria non in p:opo:tioni0 fpc"
cularionc verfatur.

C^earitbmerica medietate eiufc^ p:op:ietatibu9.
Xapirulum. 43.

"aiitbmeritam medictatem vocamus:quoti?»
« vcl nibus vel quotlibetterminis pofiris: w

liB arcp eadem oiffcrentia inter omnce oifpoii

tosterminos tnuenttur. 3n qua negIecrap:o
po:tioni6 (qualitace termino:u m tantum biffcrenriarii
<efp«ailatio(urtodiwr.vr.i.i.3.4.5.(j.7.8.9.;o.

i^bacenim naruraUs numcri oifpontionctH
i t)ui0 (onhnuarim oiffcrentias termino:um tu

ret afpitere: (etundu^ aritbmetttam medicrate^
^a tennino:um tntc fe oifcrcpantiacil.Cqual s eni>
luntoi(ferenttf:fedcademp:opo:rio9tq3 babinido noti
cfl.£?iigiturintribustcrmini3Con(idcr9'io fit : conri'
nua p:opo:rionalita9 oicitur. £>inf 0 bit ahue ou)f 1 alt
us(ome6:ilIi( vero vn-iceflntaliitvoeabif oifiunttame
dietas.idiigiturintribuetantumterminie fetunda (5
tinuammed ctatem(onfpe]ferid:vel tn quamo: : vel in
quotUba aliis fctundum bifiunaam:eafd m fcmg oifife
renrias tcrminoujm vidibi9:tantum folis p:opo:tiont'
bus pennutatt'8.3d (1 in vno quis nouerit reliqua eu5
rario non latebit.£pit (onrinua mcditas. 1. 1 .3. IDte vn?
aouobus?.:.atribu0 foliecantum flngulisotdant. et
iunte(dem otf!erenri( p:opo:riones veroali^ . iHanc^
t)uoad vnum ouplus eft.trcs ad ouo fefqualter.i: in
rcria idcm vidcbis.^in aute^ pamifccns-: aUquosp:g
cerienecligad:'! inbis aliquam fpenilarioncm ponas:
id(m potmteuenirc.lBam n f qualc* tcrminos intermic
tas:? lefe in p:io:c oifpofuione p:(tcrc<^nt.fi fingulos in
tfrmittas:foUu6 binarij notabitur bijterenria.ftn vcro
ouo p:?terea5:rcrnarii.ft ncs:quaternari). c ad eundem
modnm vno plus quam intermiferis: eritilla qua5 qtie
rimue oiffercnria termino^um.l^amc^ n in tribus termi
ots finsuU relinquanranbtnarius fcmper intcrcrit.
SDiffercntic

intcnnifn

3dC0 nc vt cu5 f.iperius in nattiralis numeri ol
V fpontione fc fermini flngulis p:cterircnr :p:cter'

niilTis ouobus 1.4. vnus ad trev r-r.^.ad quina
riumcomparanbmarium folum in oif^henria rcrinuc'-
rtnc.fl^cc non aiam m oiflunaaeadem verfabitur obfcc
uatio.

lOifrcrcnii(

!Hritt)tiicric»i

17»

intemifd

Jllibns i5imr vcfligiis inflrtf ntfm millus ab
I «dcmftmilimdincoTo:abdiKcr.:)rfljqjfi puo»

inrcrnuttas^rernflrius oiftcrcnnam (ontincb r.
flrrcfl:quaKTnflnuf .fl quaruo: qumanue:? quc in con^
linuie p:otv»itionitiU0flfti5oiriun£n0. OualiraeaurS
p:opo:rioni6cfldcm non crir quiiuie fintf quie rcrmint
ciffcrcntije oiftributi . s^uod fl (onuarmv^ionamr : xt
nondfdciuoiftcrcnnjscadcm qiMlirasp:otio:t6i0cuc
niar^gcomcmca talie p:opo:rion3lira0 non arirbmctiffl
nominamr.jFrt autcm p:op:ium hurmedictans quod
II in n-ibue tairiinifl fpcfulario rutcompofine cprrcmi'
tatibUiSilUfummaquginrcrcrtrcmirarcecihnon lototj
tum:rau5cnamfirquaruatcmedicta6 Ut flponantur
I.:.;. vnue 1 ttce quamo: rcddunt, 2?uo vc 'O qni mc^
diuemtcr vn-ofcecflrquarrnari medictasinuenimr.
j0uod ft bie mcdieratc3 oucas f qi us crir crtremiranbn»
36ie cnim duo quamo^creanr. £->in vcroctifiunaa ftt:
quod titcr rmr(pcttrcmiratibU0(omporiti6:boc fTou
•buemcdictaribuercddirar. £>1 eni; lunt.i.:.;.^-'**^^
1 qustuo; quinanum creantrouo t trce mcdi) in eunde;
lurTuaauiDarium fursunt.

conKnus

nituunr.

1 '

3

t>l9 0U0

4

Mfcontfnui

0r ini boc quofB folida p:op:tetate coninncni;;
f quodqucmadmodum luntomnfBtfrmini bu

iufmodi oirpofinoniead fripfoe^ita Ibnt oiflTc'
rcntif ad oifferfnriae conilimtf .'^ance; omnie tcrmin^
llbiipfi ^ualie eH 1 bifferenti^ oiflvrmtije funtcquales
3Uud qaoc^ fubtiliue quod mulri buiue oifdptin^ peri
ti ntfi nifomacbue min$ antea perfperemnt : quod in
cmni oifpofirionc vcl conrinua vrl oifiunctatquod coti
liemr fub ouabuecm-cmitanbue minuecfi eo nnmero
quicr mcdiaatcfonfifimr tanmm quanm' poflunt buf
Inb ft oifferenri? (ontincrc qu? inter ipoB ftmr tfrminoa
conlhmr^.i^-inamuecnimtrfe terminoe buiufmodi
3.y.7. Si igimrrice feprieeaugfanroTnn.jt.numemni
cadu'^t.'0uod fi mediumtcrminum idcft.^rtn frmetip;
inulripli(aucrie:quinquiceqmn(e fac unt. 15:. €^tbic
numerueab eoqufm crtremitatee .-ollictunt quarcrna
liomiiozcfirqucm ftilicct oiffercnrif (onftount . ^nter
trf6cnimt.J.T.7.bini interfunt.quoeftin fefc mulripU
cc6.4.rcddunr.b!6cnim ouoquamo: fiunr. TRecre igif
t)iftumert:in bafbuiufmodi ofpoftrione qpod conrincf
(bbcrritmiraribueminueefte illonumero qnifitcr mc
dictat: tanmm quantum cilfercnric in le roultipUatfc r<

Dartum vero p:Op:ium buiufmodt oifpofitio
Q nie notami': quod anriquio:ce quoci; l^abuerc

nori(nmum:quod in ba(p:opo:tionalirate vel
tnedietate in mino:ibud tcrminie maio:cs p:opo:tidee
in maio:ibU6 mino:e6 (ompararionce ncceiTc cil inuc
itiri.TRj(j5in c»irpofirioncba(.i.:5.mino:e6funt termi
m.i.^.2,mfliou6.:.7.5.t.:.ad vnum ouplue (ft. 3. ve
ro ad 0U06 fefqufllict :fcd maio: cfi p:opo:tio oupU qul
fcfqualtcra.^n armonica aure^ mcdic tare ceontrario cuc
nirc^onringit.^n mino:ibU0enim terminie mino:f9
p:opo:tionc6:in maio:ibU0maio:p:opo:rioni6 quan
titaecunodimr.K^arum vcro mediftamm idctl aritbmc
ticeat(^armoni((:gcomcrrt(ap:opo:tionalirae mcdia
cflre'notflra cft.quf vcl in maio:ibu0 veliin nuno:ib^ rer
minie cquae nunKro:um qualirares in p:opo:rionalir9
tccufiodir. ^n crmaiue vcro 1 minus : fqualitas loco
pontmr medierarie. £t9caritbmeti(aquidmi mcdieta
cefflriscicinmcft.

ClOcscometriai mcdietatcciufca p!op:ta<itibu0.
.C^ptmlum. 44

'SncTcroqiJcbflncftquitur gcomeniea mc
n dicta0 crpcdiatur quf fola vel marime .ppo:
ttonalitae appcllari porcfi:p:optcrcfl qtiod in
ea.eifdem p:opo:rionibU0 tennino:um vcl in
nM{o:ibU0 vel in mino:ibU6 fpcvulatio ponimr . IDic
cnim f qiia fempcr p:opo:rio mftodimr: numcri quanti
taemultimdoc^ne^ligiturconnaric quimin aritbme
ti£a'medietfltc. vt funt . i . :.4. 8 . 16. 5 2 .64. y el in rripla p
po:rionc.i.5.9.:7.8i Uclft quadmpla vcifi qufcupla
•vcl fi in quamlibctmultipliritatf m nuimro:um fircon
ftirata t)iftaio.3n bi^ eniiu quoriber terminoe fumpfe
ri6:erplebunt gcomenicam mcdterarcm . qucadmodum
enimp:io:adfcqucntemitafequcn0fldaltum . €trur
fne:fi pcrmirte faciae tdem erit. ir>i enim ponanmr rrce
tcrmin(.:.4-'7'$.qucmadmoduUunt.8.fld.4.ita.4.ad
Zijfltc^boc fi conuerta0:quemadmodum funt.:. ad.4,
lc[rcmnt.4>ad*s.

iDupli

£HipIa

Cl (I in quamo: tcrmime vt llint.:.cr.4.8.cc
V i'.qucmadmodumc(l p^imn^ad^^crtffi.i.j.

•d.8.ficeritfec6duoadquam"i:ideil.4.ad.i6
Clira(5enl|»po:tioqidraplflcfI.5Ft(onucrfimqucfldmo
dumquartusSfldrc^m^itatcrtiuenotatur ad p:imum

Slrttbmctfca.

K!>o( vrro etiam/oiltunac lifct . 'Vlm quemadinodtim

cil p:iitiU9 fld fircunduinridcil.:. ad quarno:: flctcrti^ad
Quaminrid f .s .fld.i6.': wnucrflin qufmadmodumfaij
dua ad ii:imum:idftl.4.ad ouo9:ita quarnis ad tcniu:
ideil . 16. ad . s . idq^ m oinnik>ut3 rara confidcratione pcr^
^icicd.

fOupl» iDupIa

quadrupla quadrupU'

2Ibctautfmp;op:iumbuiurmodimcdirta0quod
9 in omni oifponrionc faundum banc p:opo:ti n«

litarc m tcrmino:um oiffcrentif in cadcm p7opo:'
tionetontrafcfunt quatiKrmtipritcrmini quo:um fnt
ipff Diffcrcnrif.S>iuccnim oupliconrrafcnnt termini:
t»uplfcrantcttam oilTtrcntif.rtuctripli:tripl?.fuicfecij
dum qiiamlibctmultiplicitattm:fadcmin oiifcrcntijs
multipiicitas crit :qu3 p:imfl conftderaiio inuenit in tcr
minis.vt fuoiccta oefcriptio monct.

24

lOifrcrenticouplg

1 1

4 f s

"64llijs_l

64 1 256 1

n

Xermini;oupIi

■^llli iQmrbubiumcfre pofcft quodcumomnea
tcrminioupliflntritaoif^crcntifquoq? co:u5 ter
mino:um ouplf cnc vidcan'ur:n vnoii inueter
tnino in oiftcrentiie:omnee pcnc &irpofitoi3 fubtcr rcr^
mino0quo:umllintiprf Dif^crcntif:fupcrio:o:dorcddi
dcrit.tf n'ctiam aliudp:op:iumquodomnisad mino'
rem maio: terminus compararus : ipfum mino:cm re/
tincttiiffercntiam.T^aq3binflriusadvnitatein:ipflvm
ratcoifFtrr.T quatcrnari^inario:ipobinario. ^oftonari
U6 quatcrnario ipo quarernario.': ocincepe maioyis alij
ipfla mino^ib^ab cirdcm ipfis biflferUnt quos nutficro
fltatcp:ctercunt.f tboc quidcm in onplci p:opo:tione
cadit. S)\n vcro flnt tripliccs p:opo:tioncs:maio: tcrmi
nusa mino:e tcrmino ouplicato mino:e termino oifTert
tJt n fint.i.5.9.trcs ab vno:binario oiffcrunt:in qucm
vnitas idcfi mino: termfnus ouplicams ctiindat.T.?.
a|tribusfenariooiflrcrunt:quem ternarius ouplicams
gdufit.^i in alijs cactis eiufmodiVatio rcpcricrar. £>in
vero'quadmplice0 fint:triplicaro mino:e tomino maioz
terminus a mino:e oil^flbit. S t n Qutnquupli : quadru
plicato.? fi fcrfuplirquinquuplicato.'; vna minus mul
tipUcfltionc quamcfiipfa mino:um admflio:e6 ccmpa
ratiotcrmino:um:min :cmHumerus maio: ejiiperflt.
gDtfferentifouplf _________

' I J_2 I 4 I 8 1 16 I [64{i:8i

Ti~T ? nrrs i u ■ ^z"\ 64 \ its i:>6

Xermini oupli

IDtfTerentiftriplg
T"i8 I y4 H6Z I 489"

"TTJ6
lilJ-

1 US8 \

\ 9\ 17 I 81 I 243 I 7:9 l :187 I

Xerminitripli
iDifferentifquadrupIc

i2j48ri9:r768 [loTrr
4M6 ■ ■ -

JI

i::88

j 641 :y6T 10:4 1 4096"! 1638 4

Xermmiquadrupli.

JSc fltit p:opo:tionalttas 7 fn ali js omnibus tr
b fuperparticularib^^vcl fupparticntib^^inuenitur

buiufmodi p;op:iffate in omnibus confcrnata:
r t in continua p:opo:rionc:quod fit fub crtrcmiratibus
fi trc6 fuerit tcrmini:boc a mcdietatc multiplicata confur
Sat. ioi entm fint.j.4 • s .quod ftt er bis. s . idcm fit et: q|
tcr.^.Hcl fi fit tn qufltuo: terminis oiflunaa p:opo:tio
quod lit fub vtriftp cjrn-cmitaribus td ou.irum incdieta
tum multipItcatiocconcrcrcat.DtH fint.:.4.8.i6.quod
fit cx bis. i6.idert quatcr.s .rcddanir. tErcmpIar autcm
nobis marimum ccrtifrimumcp ftf illud: vbi q: ? quali
tare oirim^^omnes incquali! atts fpccies fundi. 'jUic cnt?
an omntbus vcl multipUctbus vc I fuperpflrricnttb^vcl
fupcrparr icularibua vel in Cf rcris coniunctts scomctrica
p:opo:tioalira8cuilodinir;basomne8p:op:ictate6iis
fup:adi)t:tmu0Corinens.0,uaita verocftp:op:ifta6 bu
iulce medictan6:quod vel in maio:ibu6 vcl mtno:ibu8
ttrminis^qualcs fempcrp:opo:tionc6 funt.THainqj fi
ponanrar,:.4.s . i6.5:.64.tnrcr bos omnes oupta.ppoi
tioeil.Slppairtctiambff p:opo:tionaIita8in bints pjo
poztionibus ab vnitate llternattni parte altcra longio:!
tus qufldratifqi3 ^irpofitis a p:ima multiplicitaris ba ^
biradine idefl a ouplici per cunctas fupe rpartiailaris ba
bitudines p:opo:rionercB oifcurrcs quod fubiecta «^fcri
ptionensnarameil.

Xctragonus

I 1

partcal.lon.

: 1

oupla

Xetragonus

4 1

oupla

parteat.lon.

6 1

fefqualtcra

Xctragonue

9 1

fcfqualtcra

[iflrte al.Ion.

I: 1 fcfquttcrtia

Xetragonus

1

fetquitcriia

parreal.lon

20 1

fefquiquarra

Xetragonua

:f 1

fcfquiQuarta

tiarreallon:

1 50 <

fiefquiquinta

Xctragonus

56 1

fefquiquinta

patteal.Ion.

4: 1

fcfquiibta

Xen-agonus

49 1

fefquiierta

C @uc medietares quibue t cmm publicarum Hatibus
comparenrar. Capiralum. 45.

Xcpidcoaritbmetica quidcm ei rcipubltcc cd
a paramr quc paucts rcgie :idcirco quod in mio
ribus ct%rminis mato: p:opo:tio ftt. ^Dufl -
eam vo ntcdtctatem optimatum oicunt ce rcm
pubIiC9m;idco quod in maio:ibus rcrmtnis mato: pzo^
po2tionflIita6inucnirar.43conieffica medictas popula
ris quodammodo *i ei;(qualitateciuitatiseil . 'K^tu^
vel in mai02ibU6 vcl in mino:ib'^(qUflli oium p:opo:ti
onalitatecopomtur:'; c\\ interoninesparitasqugdame
dietatis (quu tue in p:opo:ttonibu0conferaantt0.

C^uod fngficies vna tanmm in p2op02rionalitatib'
medietateiunsanf;foltdi f onumeri ouabus medietati
businmediocollocantur. jCapituIum. 46.

;0ftbccigirartcmpU9tft:Tteirpfdiflin^nun{
quidam nimie vtile in platouica quadam ot"
p fpurarionerque in rimei cofmopeia baud faali
cuiquamvelpenetrabili rarione verfarar.
.^mnesenim plan^ftgur^que nulla airtradineaefcunt
vna tantummedietatcgeomen1caconrinuanrar;fllia 4
iungai non pctc II inueniri. vnde ouo tanram in bie in
teruallafuntfonniraia;ap2imofcilicetadmediu;:<7flme
dio adtertium.53i vero fufrinrrabi:oua6tanrambabe
bunt mcdtetate6 vbi tertia inucniri non potcrir:fecundo
Scometricam.frilicctppo:tionfm.rndcro:mf folidftria
interualla oirantur babcre.J^iUnim vnum tnreriMl^

larltlMncrtca

«7«

lom fl p:imo ad ftcmidumtT d fewndo ad rfrKiim : eta
itmoad qu3mi;:qijf cil fdliccr portrcma ^trtflnria. iKe
£tf ijitur r planf fi^urt ouobu^ itumiallin : f r folidf tri
buecontineri ouuntur.S>inrcnim ouorcrMgoni. 4. Tci
licctrt.9.bo:umigtnir vnue taiimm mcdiue in ca/
dcm p:o;.-»o:tioneconrtitui poreil . "ttlanci^ fcnariue ad.
4 . fcfqualrcr etl : ct . 9 . ad icna iuin codcm modo kU
qualter. ll?o< aurem idcircocuenirquodfingula larera
(Ingul0:um rerr.igcnovcfficiuntftnariam meilicratem.
THIcuquarcrnaru tctraHont U ue binariVrt: noucnarii
Kman',bie'gomultiplicatt fcnariui pcrfccerunr.lBis
cnim rree fenanut? cfl. tFt quotienfcuqs oatis ouobus te
Iragonie conim mcdictarem volum^inucnirc^larera f 03?
multiplicandafunt:Tquic]cbiB p:ocrcabunc mcdietaa
cft, autem cubi ftnr. rt, 8.?.:7.oue tanmm ^ nrcr boa
«ademp:opo:rioncmcdictatc0Coniliruiqiicunt.i!.fcili
Crti.is.natB.i:.ad.s."Z.i8.ad.:7.fcrq"alrfrar.in up:o
po:tioticiungunf.3n biequocijCflilcm larer ratiocrt.
*B.mq3 cr rijocuboci p:opinqo: ert: vna medicraa ouo
latcra colligir:cv airernanm vcro pofiro vnum . ^n aUa
quoqj mcdicrat: idcm crt.iPonanf eiiim ouocubi 1 i me
dioco:um ou? mcdicrarce quas fupius otj:im^.s .Duo
decim. is. :7.ocronarii igie latu^ c!> binariue : bis cnii»
binibiaocronanumfeccrunt.XcrnariusTcro. zy. tubi
latuseil.Xci enimtrc0fer.:7.rcrtiruunr. ODfdicraa
igif qufiinra octonartum ci1:ideft.i:.mutuatur ouola'
tcra ej: p:opinquo Hbi cctonario 1 aluid r nu5 larus cr al
trinlrcui* pofjto.:7.cubo.-p3i0fnim bimrcr.i^.padiit.
Ct.is.cadem rarionecuolawaa p:opinquoftbi.:7.cu'
bo collibit:'! vnu5 ab alrrinfccus pofiroocronano.Trca
cnim ref bi6. i s .co ncludunr. ll?oc autrm vniucrfalircr
fpcculandum cf!:ft'rctr3sonu6 tcrragonrm mulriplicct:
fine oubio terragon^p:oucnit. ©(n vo gtc altcra lon^ior
fctragonuj multiplicct vcl tetragonu6 prcalrcra loncti»
rcm:nunqu3m rerragonu0:fcd icmp anre longto: crefcic
Tlvurfu0 ft cubuo (ubum multiplicaucnr:aibi fo:ma coir
ficif . £n vero ptealrcra longio- cubuin: velcubu© parre
lllteralongio:em:nijquamcub^p:ocreabit.boc fcil^ fcc5
dum ftmiUtudincm paris atcp impariB. iPar cnim pa^
rcm ft mulnplicet:femp par nafcimr.c tmparimparcnt
fi mulripticet.impar ptinuo p:ocrcaf .£>i vcro mpar pa
rcm: vcl ft par imparrm multiplicct:par fcmp c):o:irur.
jboc auf em facili^co^jnofcif (% lcctionc plaronie in lib:is
Cercpublica:eo loco qui nuptialie oicit^qucm cr pcrfO''
mmufarumpbilofopbu9introduc«.ic?£dnunc3d rer^
tiain medietatcm rcdcundum cft

C tOt armonitatmcdictatc eiufcp p:op:ictatib'. Cfl.47«

iRmoniaautcm mcdictaB cH: qu? nccB cifd?
g oiftcrcntu0 necfquio p:opo:tionibu0 confli
tuirar:fcd ilUinqua qucmadmodum maxi
mus tcrmin"'ad paruiiTimum tcrmmum poni
lur: fic oiffcrcnrii mafimi medii contra oiffercnriaj mc
diiat(BparuilTimicomparaf.Utftfint.3.4.6.velft.:.3.
6.S>en riu0cnimqnatcinarium fuarcrriaparre fupat:
ideft ouobU0.quarcrnariU0 ^o tcrnarium fua quarta pte
fuperuenir:idcl] vno.tf tfcnariu^rcrnarium fua medie
tare ideil rribu0.rernariu0 ■vero binarium fuaparre rcr /
tta idcil vniratc rranfccndit. 0uareinbi0 nec^ cadem p
po:riorcrmino:uinefl:nci:B fiTnrcfdcm Diffcrcnrif . fau
tem quemadmodU) mayimua rerminus adp^miffima
terminmn:ftc oiffcrcnria majrimi -: medij ad oiffcrcnriaj
medii arcppoflrcmi. iRaiic^ in bacp:oro:tione quf cfl.
3.4.6.maio: tcrminusidcftfcnarinsadparuiffima tcr
minum ternai iuin oupUi0 cft -: oiffcrenria marimi 1 me
dij idcrt fenanj t qnarcrnari) Ono fciliccrtad oifTerentiaj
mtdii 1 vlrimi idcil quarcrnarii arqjtcrnarij qu? l vni
ta0 oupla ^fpicttur.XPCd boc quocg fubicaa oefcniiitto'
ncmilratur.

b»ffcfcnif(©opI{

eiffcrentiftriplc

1 I : I 1^1^',

I

2

i

5 1

1 J "

* M 1

T

tcrminioupU

terminitripli

abct au^^cm p:op:tet3tem qucmadmodum ci^
b ctum crt contraiiam antbmcncc mcdictati.3n il
lacniminmino:ibu0 termmion^aio: erat p:0'
po:tio:in maio:ibU£i mino: in bac vcro in maio:ib^ qui
deinfcrinini0maio: cllp:opo:tio: in minoabu© vcro
m no:.lfl3nq5inba£oirpor;nonc.5.4.6.trc6 9d quatu-
o: (omparati llfquitcrtiambabitudinfm:fcvvcroad qru
0: fcfqualrcraiij rcddunt:(cd maio: cfi p:opo.'tio fefqual
tcraafcrquitctriarai tnmquantum p0 tcrtia medicrare
tranfcend C. ')uficigiirin:diera0 qufdam gcomcrnta p:o
t:icq5ClTep:opo:tionalira0 ludicatur. fiil5 inrcr eaevbi
in maio:ibU0 terminia mino: cit p:opo:rio n mino:ib^
maio::'r inrcr cam vbi tn maio:ilJU0 maio:eft mino:ib'
mino:.3naeftenim vcrep:opo:rion Ura0 qu^ mcdicta
tiaquodaiiiodolocum obrincn^:': in maio:ibU0 t 1 mi
no:ibU0:cqu3libu0 p:opo:rionum comparationib^ co'
tinef .ll56cquoq3fignumert ouanimcrtrcmitatum me
diameiTcquodamodogcomctricam p:opo:tionem . Il^i
q5inaritbmetiCJp:opo:rioncmcdi^rerminu5eadcmfu5
i>artc 1 mino:c5 p:cccdit 1 a maio:c p:? ccdirnr f5 alia pte
tnino:t0aUa vopartemaio^ie.ioitcnimaritbmctica oi
(jjofitio. : .3.4. iCernari^igif nnmcru^bmanu tcrtia fua
parttp^fccditidcflvno^ta quaternariotertia fuaprc p:f
ceidinir ideft vno. 2lr vcrotcrnariua non eadcm ptc mino
ri9mino:cm vincit:vcl maio:i0a maiore fupamr. 11^5
CBmino:cmidcftbinarium vnofaperat:ideftipftu6 me
diftatc binaru.a quatcrnario vrro vnorclinquif :quf pa
quatcrnarij quartacft.TRcac igirur oicrum eft mediii rer
minumin buiufmodi mcdietafe;cadem fui parte t mino
rcni xm<x 1 maio:c fiigari: led non cifdcm partibu© vel
m(no:i0mino:cm tranfgredi:vcl maio:i0a maro^cn-an
fcendi. Contrariearmonica mcdiera^ p:opo:nof0 babj
IRacp non eadem ptc fua rncdiu© tci minu0 in bac.ppo:
tionc vclmiro:em vincit:vclamaio:cfupatur.fedeade5

S>re mino:i0 mino:cfn fupat : qua prc maio:i0 a maio:e
iiganir.'Jii bacenim oifpofttionearmonicaquf eft.:.3.
i.tcrna iu6 binai ium rcrna fui parrc vincit : idcm terna
riu0 a fcnario a rora fui quantirarc fupcraf :idcft rnbus.
3dcmq5 ipferernari' mcdietare mino:i0 vin(irmino:e5
idcft vno.-: mcdictate maioiis a m io:e rcrmino vincirur
idf ft tribua . £>cnarij enim mcdie rae ranariue cft . In
geomcrrica vero mcdicratc neqj eifdcm fuis parribu^ me
diud vcl vincirmino:em vcla maio:e vincirur.necp ea
dem pairc vel mino:i0 mino:cm fupcrar: vcl maio:i0 9
maio:e rclinquirur.fed qiia pai re fua medin^ rermin^mi
iio:em fup rar:cadcm parrc fua m. io: rerminue mcdiuj
tincit.fe^iiod eftvtmedieraaarcg crrrcmiras fqualib^
mcdieritemetcjrcrfmitatemrcliqnamfuia parnbue fu
peruadant . Jn bac cnim oirpofitione quc f ft . 4. 6 . 9.
tci tia fui partc m:diU0 rcnariu0 quatcrriarium fupe /
rat: idcrtDuobua :ttcrtiafuipartc rurfua noucnarina
liuuriamYin(it:idelltribU9.llDabetautemaIiamp:o'

:Hritbmctfa

p:iVfatcm armoniai mc dirtas . rt nim oiwp f rtfrnuffl'
cojiti viium rcilactavA incdicrae muUiplKamrit oupla
quiUitdt^ colli.situr quainfl fc multtplitcnt ou^cnrcmi'
tarcs. t3intciumbitcTmini.3.4.6.i:n itsitnrtcrnarium
< fcnariuiniungaenoucnariiimfadce^ciuipcr quarcrna
rium ouuue. if;.cffitit.quod n fc ipf^ cvircmuatce mul
tit'liccnt:'t tianctrce foi;ic0.is.conticiunt:quodcllp:to^
ndrumin(ounidium.

56

C^tiarc oicta flrarmonica mcdictaeea quf oigcl^a c(f .
-Capitulum. 4s.
£>nfldcrandum fo:i1tan vidcamr:turbancar
C monicain m dictarc m vocemns. fCui^hf c ri'
riocll.iiuoniasaritbmcrica oifpofitiocquas ra
tum pcrpiftcrcnrias Muidit quantitatc^tsco
metnca vcro rcrmino - f qua p:po:tione coniu n?! t. ^lrve
ro arinonica ad aliquid quod;unodo rclata {onndcratidc:
neq, folum in tcrminie fpccularionem p:opo:rionii^ ba
ber:ncct5 folumin Difl^crcnriie:fcdinvtrifq?(omunitcr.
%mTtcnim vtqncmadmodum funt adreqrtrcmi rcr'
inmi:rtc rtf9io:is ad mcdium oiffcrcnria : conn a ttifTcrc tt
tiam niedsctarie ad vltimuin. "Jldaiiqiijd aut tonfidcra'
tionem armonif p:op:tc clTc in p:imi lib:i rcnim oiU5 oi
uiftone monrtrauimue.Jpiarum quoq5 inullcarum cott'
fonanturuj qnao fTinpbonia0ncmin9ntp:ot^o:rionc0
in bacpencfola mcdierarcrrcqucnrcrinucniae. lHamcB
frinpbonia oiateifaron^quf p:inc^pB cil 1 quodamnfo'
do vim obtincne flcmentirccnrtiriiitur fc? in cpitrira p>
po:rione:vtellqu3ternartue9drernarium : inrinfmodi
fl-moniciemcdietaribU6inucnitur.i&inrcnimriufmo>'
di armoiiicf inedietatie tcrmini qno:u5eictimioupli fint
^tmrfuealia bu ufmodi oirpolltio quor ejctimi fripli .

1^14 1 6 f fi-j 'TiTT CT

{fnariueigiruradtcrnaritim ouplue'eft. fd^au
tem in atia oifpoftrione fenarius ad binarius tri
plus.lboiUiTLfSiturftoilfcrenriae tollictamua
? 9dreinuiccincom'iarcmu9:cpi>rira ppo:tio colligitur
vnde '?iarc(Taron fympbonia reronabir.Hnffrtrfscnini
c.6.tei narius cih-r intcrbinarium 7 fcnarium quarcrna
rius:qui nbimct coparari fefgtcrria cftjgfnr ppft^|-|f>n^^
[ 5 I 4 f 9

i

ffldf m quocti; mediftatf t ^fape ntf rympbo /

niacomponuurrqitam lltqimltcia babitudo re^
ftituir.lHam in vn ifii3 oifpofirionibus bie qug
fubiccff funr:in ouplici fcnariue ad qu ncrnarium fciql
tcrert:inti iplicircrnanus ad binarium:c)c quib^ vtrtf'
oiapcmc fYmpbonta (oniuiigitur.

jSDcfqualtera.
IDiapentc.

1 5

1 1 '\-^

5 , "

iScrqualtcra.
SOiapente.

jQn banc anrcm 0 apafon f onfonantia quf fit ej:
ouplici.vteil fubiccta fo^mula.

«Duplci:

iHrripUci quocg&ifpofitionerimulPiapcnte et
i oiapaion fYmpbonu coinponitur : rciuflnsfcf'
qualttiam 1 DupUcem ranoncm . quod fubif cii
Ofrcriptioootet.

ADcfqualtcra. «Duplej:.
iDiapcncf. £)ibpafon.

Xripler.
lDiapcnrc7 0i9pa'on.
T quoniam triplue ziim continet fonlbnanti-'
e as oiapcnre fcilicrt t oiapafon : in bui^ tiiplici»
polUione in oiftcrcntije eundcm rurfue triplur»
rfpfrtcmus fccndum fubtcr ocfctiptum inodum.
Xriplud.oiapcntf otapafon.

' 1 oifferfnti?

A 5

^ 5

Xftinini.

oupla 'vo oifponf maio: tfrmin^ad mf dif fff
mtni ptra ft ofini ttip\"i,i rurfud mio: tcrmin*

■dmedff fomniminomKnnmumcompinti oifrcreti
liimtriplu0clT.

SDifrfrfnrif

f

1

■

/

V

P

4

« 1

Xirmini.

Hflaatem matima fifmpljonia qu? vocatur bi»
i ctflptifon:vclutbi9 Dupluin:quoniam oiat afon

fYmpb cc ouplui p:opo:rione(olli«;iiiji :tu
k ftiunaurcar.nonicf mcdietaEismtafmt.Ti^am m ou
i^ici pzoponioiie mcilrtctmmus ad muious fuic^ oifti:
rmtuiin quadruplusinucnKur.

jDiircrcntit*

1

4

Xermtni.

1^ tripli(ibu« quoq? cttrcmitatib'maio: oifftrS
. { tia ad mino:cm oifl\Tentia5 quadmpla cftiT bia
/ oiapafonrYmpboniamemittit.lHacuin oifpofi
lfonf.2. j.6.c]crrcmo:nm Djffcrentiacrt .ideft renarij i bi
mri|.4.mino: vcro oiffereftaidol ternarii i binariivn'
4.autcm vno cjuadrapla maio: efl relationc : que copara
tio bie oiapafon confonanriam tcnct.
CZ5c5Cometricaarmoni3. Capimlum. 49.

j0antautem quidam armonicam buiuftno/
X dimedictatem idcirco quod femper bf c ppo:
tionalitas geometrttcarmoni{ cognatacft.ar''
moniam autcm gcomctricam cubu otcut . 'Jta
tnim nc longiwdinc in latiwdincm oirtcntuecil in al
tttudinid (umulu (reuit: vtcr (qualibu0 pzoftcifccne ad
{qualia pcracnicn*:fqualitcr tome fibi conuenicne
tutit. ID{C autcm mediCTas in omnibueeubie quecgco
mcttita armonia pcrfpic mr. 0mni8 er.im tubue babj
latTa.ii.angulosocto fuperftcies fct.IDicauremo^do-?
tif^pof^tioarmonicacrt.srifponanturenij.^.s.sz.bic er
goqucadmodilcflmai^^fermin^adparaifrimum ita Dif
ftrcntia mtio:ie i mtdii idpantifTimamcomparatur.

rpenii nac^ i j ad fer oupli funt.oiffcrentta vQ.U.<t
•aouarij qrernaif c.QJtonadi vPi fcnatii ou9.oupU(i$c

ictica i7

f

rone oif^abfit ouob^^quatHo: comparari.TifxUifue ocona
riue q mcdictaoeft alia tua parrc mino:e5 p:^ccdit:7 alia
fua partc a maio:c p:f(edimr.c3dcm aurcm parte mino^
ri0miuo:em fuperar:qua partemaic:team9io:cfupera
tur. •Hlurfus fi ctrtrcmitatceinvmimicdisanturiame
dierateoctoitario miUiipliccntur^Diipl^critab conumc'
ro qucm fol? crrrcmirates multipltcarf pcrfacrint. iDce
«utem in hac DUporttione fympboniaG muficae inueni'
mug.IDiarcffaron quidemcocroadfcrquonias p:opo:
tio fefauitcrtia ci>. tHr ciadcnte. 1 1 . ad. s .quomain ca qug
fcfquaircracomnarario Dkimr inca Diarcutcconfonatia
reperif . ^Diapafon vcro qu? cr ouplici nafcimret:. • :.ad
fct (omrol^rionc ptcducitur. iDia^afon vero i oiapentc
qu? tripltci? optinent rarioncm;ht <ab qrtrf mitflrum oif
fcrmriaad oif^crmriain mino:fm.'inancuDuodcn3rii t
fcnarii fcr Differentiafrt.miuo: vc^ccrt oifftrcntia oao^
narii^ffnarindcrt.J.duirfn.iruisadbMiarium triplu»
crt:-: oiapafon fimuUoiapciitcconronanriam foiucll'
la vero maio: confbn rnria quf crt bis Di^pafon : quc cj;
quadmplo fitin mcdij rcrmini idcrt octonari);'r ei^oific'
rentif (omparationepcrfpicif :quf inter octonariu; fcna
riumcB reperf . ^>uarc p:op:ie itq^ conucnicntcr buiuf •
modi p:opo:tionalitad armomca mcdietae appeUatur.

<r ^ucmadmodum (onrtitutis altrinfcai© Duobus tcr
minis^arirbmcricat gcomctricaarmonifainter cos mc
dictas altcrnctur.atq^ DC co:u 5cncrattombu0.

j0gautem p:eftarc Oebcm^quati ^''qucmad/
n inoduoatocalamoetrn-cmis fo^aminib^ ma'
nenhbus inu(\rismos(rt: vrmcdiu; fo:am5
perrnurantc0:atq3 aliud aperientcs aliud 01--
gitisocdudcnrfSDiucrfbscmittantfonos.tlelcum oua
bus altrinfecus p:otenft6 (o:dis medi j ncrui fouum mu
flas velailringendotenuat vel rcnurrendo grauar^ira
quoq; oario t uob^^numeris nunc gdcin aritbmencam:
winc vero gfom tricamtnuncaiitarmonKam mcdictarc
€TpcTi3murinfercre.vtrf(tinnp:op:iuqj mcdictatis no
men fit:quod mancntib^^ectrcmiratib^ljuc atq, iHuc tcr'
ripcrmurariqBVidcatur. tf^oterim^autcmbancin duo'
busalrrinfocus pofiristcrminis vcl paribus vcl impa
ribuspcrmutarerita vr(umaritbmcri(amponim'^mcdi
tatem oiffercntiarum tanmm ratio ^quabiUrarq? fcruc f .
jCnm vero gcomctri(am:rata fc p:opo:t:onum iuuctu-'
ra (iirtodiat. oinaiit armonica fiat oiftcreuriaram (om'
|)aratio ab tcrimno:um p:opo:rione non Difcreper . €t
llnt quidem p:imo parcs pontf qu?dam f ttrcmiratceriu
tcr quas baeomnes mcdteratcs opo:te3tintcrnccfcrc.to
^.^o.^iPii^igimraritbmcricainediaas aptctur . ^nter
l50scrgoft.:5.pofucro:eritmibi aritbmetita p:opo:rio
ciffcrc htiarum quantirarc immutabilitcr curtodita. i bii
iufmodt 'cilitct r>ifpontionc.io.:5.4o.L1idc6cntvtQUin
<Jcnf fefc fiimmulf quanttrare tranfccndant, Om nefgj p
pnctarc e quas fup:a oij:im^in ntfdictate aritbmctica
<onueiitrf:3b bac buiufmodi oifpofirione non rcpics alie
tiao.lHjq^qucmadmodum vnHfquifq3fo:umtcimin'
«d fetpfum crticnioniam frt>i f qualis crtiita fuut ad fe in"
uiccm Difflrfntif:qtnflbifuntf qualcs. t qiianromaio:
termin^^medtiiti anflf trantomcdi^^vincir mino:cm.tFt ft
trc mitatum «ggrcgario mplcj: ert n;cdif rate.'? mino:um
rcrmino:um p:opo:tiomaio: crt illa compararione qu^ i.
tcr maio:c«rcrmiuo« contincmr. !f r tanto mino: crt nu
mcras qui ftt e% multipiicatis ctrrcmitaribus ab eo qui
fitcrmulripli(atamcdtctflrc:QU3nmm eo:iim oifferen'
•tf mutriplirate rciWuunt. "^ftlud quoqj quod mdic^
tascadcm fui partceramaio:e vinciturt mtno:em ipfa
rupcracmt.uon eadcm aitr parte minozis mino:em tra^
<U:vflmato:isam3io:erclinc!f.qufoc«f(5p;op:ifrarcs
non alteriusnirt aritbmcti'-? mcdictatis funt . Ouod
fi fupcriud oiaa mmiineritUao;: tta ciTc indubitan'

arttbmctfCii.

t(rtnrdlig(t.lilttrrudrtinKrcordnn.io.f.4d.vi'g!tfcon

ftitiuinrrtarim gcomftrifa mcdirtas fum fuispropnrt»'
tibu6 cuncne ao:ifur:aritt>n«:ca medictate pcrcunrc.

bic cnmi oifporttionc. lo. :o . 40. qucmadmodum cfl
maio:admcduim:ncmcdiuBademtmum.t?^tquodcon
nncturabcrTrcmuatib'^(quumeft ci quod amultipUci
iticdicratccomplctur.iDitTcrcnrif quoq5Co:umineade5
funr p:opo:rionc qua icrmiui. Crcmcntum vcro t Ittii''
nutio p:opo:tionum fccndu; tcrminoenuUaen^rcd ma
io:um rermino:um p:opo:rioamino:um termino:um
p:opo:tionc non oifcrcpar. £ii vcro armonifam iiicdiC'
catemconinn?erevclim.i6.mibi uumcnisintrr cictnmi
tarcs vrrafqj ponenduecft vt flt boc modo.io. I6.40.
Tfluiit igitur licet in buiufmodi oifpontionc omnee ar-'
monicae p:op:ictatc0 agnofcere.qua cnim majrimue ad
pjruilTimumtermin''p:opo:rioneconiungtrur:cadcm.p
po:tionc Diffcrcnrif ad frinuicon comparahtur . t qui'
bu0partib'^inaio:ig3m.'io:cmedi'vin(itur:ardcmpar
ribu0 mino:i8p:etcrit mino;cm.:Sui0 vero non cildcj
vel a maio:c vincitur: vel tranfit mino:cm.^t in maio'
ribu0termiui0maio:eftp:opo:tio:inmino:ib''mino:.
€tfi in vnumct:t;cmiratc6 redigamr;'z mcdictarie qus'
rirateconcrcfcant:ouplu0 indc conftcitnr nurncr^ab co
qui ej iblis multiplitatie oyrcmitatibus p:ocrcatur. jHt
<p Ijocquidcinincerminif p.nbuGconft tiirumtl}.2lt
vfroftimpare0p:oponanMr vrfunt.s-.-z.^vaptat^mC''
diu0.:5.aritbmeticam p:opo:rioncm mcdicratcmci5con
fttfuit.lRamfirint.f.^j^^j-.cadfm fcfc numcro:um qua
ritatctcrmini nanfgrcdicnrur.T omiiis fupcriiie oictap
p:ieta0 aritbmericf ntcdictario in bidtcrminie cuOodit
j&cdfl.i). numerummcdium ponsm vrfinr.5.15. ^s- «
Scomcnlcam medietarein tcrmini nlabuntur: f qualib^
tcrmino:um ad fc inuiccm p:opo:f.onibU6 oiftodirifl,
'i^ouem vcro fi inrcr vtrofq? tcrmino0 ponam : vt fmt.
5.9.4?.fitarmonitamfdicra0.vtquafummam9]rimus
numeru0paruiiTimump:cccdir:cadcm maio: oiJftrcn'
riamino:emoiffcrcnriam vincat.^ua vcro oifcipltna
buiufmodi medierarc0 rfj^crirc poiTimu0 Cjcpcdieudum
cft./Dari0 ouobu0 rerminie:n arirbntftic:im mcdictates
Conftitncrcopo:tcbit:vfraq5cftcttrcmita0toniungcnda
quodqj er ca copularione colligitur oiuidcndum.ifcp nu
mcm0 qui ej: oiuiftonc rcdacniBellarirbmeticam mcdie
tarcm intcr errrcmitatt© locafuecflfiticr. vr. to.7. 40. fi
iunrcro:cft'icmnt.5o.quo0n oiuidain.:f . rcdduntur.
llDic critmediu0 tcrmiir^fctundum aritbmcficam p:o'
po:tioncm.L1cl fi illum numrnmiquo mm: mino:cm
fuperat oiuidas:cuma=i mino:i fupcrpona6:c.uodq5 in-
dctnncrffcitmfdiumponasarirbmcticaincdicfaeinfoi
matur. iHam.4o.t>cnarium ti iccnario fupcrar.que^ n oi
uidae.iy.fiunt.bunc fi mino:i idcrt ocnario fupcrpofuc
ris.ro.-r.y.nafccntur.qucmfinicdiumconitiruae^aritb'
meticf medicratieo:dofo:mafur. a3comcrricain vcrort
rarioucm vciligc0:ci^numcri qui fub vnifq, cjrtrcmitari
bU0 tontincrur tetragonicum latiip inquire: 7 bunc mc"
dium ponc.lHam fub^^o.-: ocnario numcro.^oo.conri^
ncntur.Si enim ocnarium i.^o.multiplicco: bitnumc
njgcrcfcit.IDorum igirurquadringcnro:um rcquirc tt"
riagonicumlatu0. bi funt.:n.Uicie0enim.:o.4oo.effi'»
riuntur.'iRepcrtumcrgo lafquadratom mcdium confli
riics.Ucl fi eam p:opo:rioncm quam inter fe oaritcrmi''
nicuflodiunt oiuidas:': id quod relinquetur mcdium ter
minumpona0.lRacp.4o.adocnarium quadruplue?.
5ginir quadiuplom fi oiuida^ ouplum facie^rqni c (iu
fif et.:o . 5flam.:o.ad omarium ouplu0 cft . IDunt ft mc
diumconftitua9:mfdiftatfm gcomttritam perferet.2lr
monicam vcro medieratem tali modo rfperife.cifTcrcn'
riam termino:um in mino:fm tcrminum muUiplita.ft
poil lunge termino^.-; iujtacum qui indcconfctnie ert:
tomifte illum numcium qui c)c oiflrcrenriis ? tcrmio mi'
nou puduaus cfl. ^um cum larinidiocm inucncrie:

addiiecani mino:{tcnnino.<i quodindccolligitnrmedi
um tcrminum poncs.io.cnim.t.^o.fiunt.yo. iDiffcre
rii autcminter.io.'7.4o.5o.funt.qucm fimulriplicaoin
ornarium:idcil i mino:em:Oecie0.3o.opo:tet.3oo.clTic<
C0. Quoa.soo.tuxta cumcomirteQC)i:tuncri0 vnifqjco
fcctue cn:idefliut;ta.50.facifnt.cnim quiquagice fenoff
t inucnitur latitudo fcnariii0.IDunc igitur fi mino:i tcr
minoaddaefacient.itf.-z bicnuineiuB mcdi"^conftimt*
intcr.io.T.^o.armonicam p:opouioncni medietatemcQ
fcruabit.

CTiDctrib^^mcdictatib^^qucarmonicf 'zgcomctricf con
trari^funt. Capituluin. ^i.

€ quidcm funt aupd antiquio:ce inue ntc p/
b batcq5 mcdictatc^.quae idcirco longi'' cnoda
riufq5 tracrauimu0tquod bf marimc in anti/
quo:um lcctionib^^mucniuncur: 1 ad omnc pc
nc vim cognirioni0 eo:um vc r fatur vrilitas . jCgtcraa
flufem p:f fcrcundo rranfcurrim^^^idcirco quod non mul'-
rum nobi0 in Icctionib''p:ofunt.fcd tantum ad implciv
dain of nani nuntfri quantitatf in . fcluf nc latfaiii nc vc
fintaliquib^igno:atf oep^omim^^^felidcnmrcniin b? fu
p:adicti0 medictatibu^ cffe contrarif cx quib^o:igincm
trabunt.iErbiecnimcriamiftf funtconihtutf . tfc ftaat
quarta mcdictaa quf oppofita videturarmoiiicf :in quii
trib^rfrminis ponti0:quemadmodum cft marimue ter"
minus ad paruilTimuin:fic Dtflcrf nria mino:um od oif"
fcrenriam marimo:um.Dtfunt.$.f.6.fcj;adtcrnflriU5
oupluB. t fuut mino:c0.j .7.$.ma,n'mt vcro bniua oi
fpofttiorti0.6.T.5.iDiflxrcntia vcro mino:um quinani
f(5 1 ternarij.:. funt maio:um quinari) ■: fcn rij. i.qui.:.
advnumcomparari oupiumfaciunt. -Jirgo qucadmo'
dum f ft marim'rcrminu0 ad pamifTimum fic inino:u5
tcrmino:um Oiflercnria cft ad oiffercnriani maximo:um.
liauctautcmoppofitain •: quodamodoconriariain riTc
bmc :'ncdiftatcm armonicf mfdiftati:idcirco:quod in il^
Uqucadmodumcrt marimu^tcrniin^^adpamiiTimum:
fic maio:uin tcrmino:um oifl^crenria ad oifl^crcnnaj mi
iio:um. IDic autcm ccontrano . €ft autcm p:op:iuin bu
iiismedictati9:quoniamquod tonrinctur fubmaumo
termino t medio:oup2u5 c;l eo quod cont inerur fub mc

dioarq5paruifTimo.ir)cnc0enimquinci5.5o.funt:quin
quies vcro trc0. 15. JDug vero alig mcdicrate^ quinta fci
licer -: ferta geomfriicf mfdicran conrraric funt: t eidcm
vidcnturopporiff.tErtautem quinta infdictae:quorie3
iuriib^tcrmini0 ctucmaJmodumcftmcdiusrcrminus
fldmino:cm tcrminum:itaeo:um oiffcrcnria ad oiflerc'
riam mcdi) atc^ maio:i0.iHam in bac oifpontione.:. 4.
^.quaternari^^ad binarium ouplus cft.i^d intcr quaterna
rium t binarium ouo funt:intcr quatcrnartii vcro ma
to:cmrcrminumidcrtquinq3. i . Touoad vnum ouplt
funt. jContrarium autem gcoiticmt, medictari in batp •
po:rionc cft:quod iit illa qucmadmodum maio: tcrmin'-'
ad mlnozcm cflet:ftc m4io:um oiflffrenria ad oiflerenria^
inino:um. bfc veroconriariequcmadmodum mino:e«
0d feterminifunt:n(mino:um cifTercntiarermino:iiad
maio:um oifftrcnriam comparatur.tEftaurcm p:op:iu5
inlTacquoc^oifponfionequod lUud quodtonrincf fub
maio:etnminot medietatcoupIU5ertcoquod fubvtrif
CB cjrtrcmitarib^conrinctur.^lflam quinquice quanuot
funt.:o.quinquic0 vcro.^.funt.icr.^o.Dcnarijoupl'
cft.£>erra veromcdiftascftquandoirib^tcrminifi con^
ftituri0 quf madmodum f ft maio: tcrminug ad niedium:
fit mino:um rcrmino:um OifTcre ntia ad oiflFcre ntiam ma
pmo^um.^jln oifpofitionccnim qu? cft.i.^.e.marimuf
tcrroin^fld mcdiumfefqualtcrcft.oiflrercnna vcromino
rumidcrt vniU9t.4.ternariueeft:mflio:um vcro idrS
quflrcmarii r fcnflrii binarin^.Xemariuo flurcin binti^
rio comparatue fcfqualteram babitudinon p:opo:tionif
cfftcict.tEodcm flutcm modob^c quoc^ mcdictae gcomc
tf t((COBtraria (ft quemiidmoduffl t (iuintfl:p:optcr pi»'

3rirbmctici

1

poufonem Mfltrmtiimm a mtno:ibU0 ad mMoiee rer/
minodconuerram.

<r/Dcquatiict:mcdict£»ribii8qua6poffcri ad impledu
oenanumUm;tcinadiccaunt. jCapituUim. Si.

Ibjquidem ftmt fcr mcdictates quarii trcs
e flpytMsoIa vfiiiadplaroncjariftolcnKBma
fcninr.^pofl vcro qui ifccun funt bae trcsali
flsocquibue fupza DiiTfiuimus fuiscomen'
tariisflddfdcre. Sjcciucnsautcniftas o.ucmadmodum
cinmu3 ad implendam ocnariam ciuantitarem alia^ qj;
tuormcdicriareeapporuir.quasnonadcociuis in vercrS
Iib:i0inueniat.lDasi5iturnooiqi!ain polTumusb:cuif
flmeoifponamus.nP^fimacnim quccHcarumino^dinc
rero fcprima mcdicras boc modo coniun^itur; cum in
tribusterminisqucmadmodu; crt majrinius tcrminiio
fldrltimu5:fic mavimi'; paruiiTunircrmini oitTcrcnria
ad mino:um oifTcrentiam ttrmino:um . vt in bac oifpo
firionc.(5.8..9lHoucnariu0 ii-itur adfcnariu, lcfqualter
rll.quo:umcil oiffcrcnriatcr'nan'ue.H\"5ino:um vorer'
inino:um:idc(Vo(tonari|T,fcnari|binariusoiffcrcntia2
qui ad fupcrio:cnt tcrnariuni comparatus f^or fcfqual
reram p:opo:tioncm ,i:?ccunda vcro intcr quatuo::fed
octaua in o:dinc p:opo:tionalita8 cll : quoticns in tnb''
rerminis qucmadmodum funtextrcmitarcfii ad fc inuiccj
comparatf:nceo:um oifTercntiaad maio:umtcrmino:5.
;)ifTercntiam.vtrunr.6.7. .*lfloucii5iturad.6.fcfqual
rer dl.-r eo:nm oifTcrcntia tcrnarius effqui comparaf^co'
tra maio:um oiffcrcntiam:idclt fcptenanj i nouenari) 3
binarine clhrcddit fcfqualtcram p:opo:rioncm . Xcrtia
rerointcr bas fequcntcs quatuo:.nona aurem in o:die
p:opo:iio efl:quando tribus rcrminis pofltis qua? p:o
po:rionem mcdius termin^adparuilTimumcuiloditiea
rcrinctcictremo:nmoifTerentia admino:um oifTcrcntii
tomp3rata.vt.4.6.7.5Bten!m.6.ad.4,fcfqualtcrc.quo
:um e(\ oitTcrcnria binarius.fcptenarii vero-r quatcrna/
rij ternflrius oif^erentia ert.qucm 11 ad fupcrio:em binari
um comparcmus fcfqualtcrap:opo:rioncconiungitur.
i^uarta vcro quf in o:dine occima crt conHdcratur in tri
bustcrmini6:cumtalip:opo:tioncmcdiU8 termin^ad
paruilTimum comparatur:qualt crtrcmo:um oifTerentia
connamaiojumtcrminorum oiffcrcntiam p:opo:tione
toniungitur . V t funt trcs quincij octo. sQuinarius enij
mcdius tcrminue ad tcrna; ium fupcrbiparticns eft. ,
€^jiremo:um vcro oifTcrenria octonani fcilicc r 1 tcrnarii
quinariue.quicomparatuscontra maio:umtcrmino:w
oifTerentiam fc5 quinarij t oftonsri j qui eH rernari^:'; ipe
quoc^ fuperbipartiens inucnitur.

C£)irpofItiot)cccmmedictflmm. ^Tap 5:5.

3fponamU6 iginir cuncrao medictatcs m 0:'
o dinem: vt cuiufmodi omce Hnt faullime pof
fmt inteUigi.

ilrirbmetKfl | ifi>:imfl | i | 2 [ 5

;6eometrica |

;e»ecunda | i | 2 | 4

Slrmonica 1

Xertifl

6 1

cbntrartflamionic^

^uartfl

J_IJ_
2 [ 4

61

contrariageomc.

:@uinta

S

contrarifl gcomc.

£>ei:ta | i 1 4 | 6

inter.4..p:im9

;5eprima ( 6 1 8 1 9

tnter.4.fe(unda

;0ctau3 \ 6 \ 7 [ 9

inter.4.tertia

iHona

4

l6_17

iiuer.4.quarta

iOccima

i

S I 8

CT iDc mmtM 1 perfcaaifYmpbonifl m riibus oiften
AtoriiucrualUs. ^apitulum. 14.

6" llatergo bc m flvim.i pcrfmaqj flrmonfa cif
r fcrcrc:quctribusinfcnialIisconituffl macma
vim obrinctinmu/^dmcdniarriiuctin^prra
menris^tinfpecu^ationcnauiralnuM qiuifio'
nnm.^^tenimFcrfccrinsbuiiifrnodimcdicfare nibil ^o-
reririnucnirirqucnib^^inreruallis .pducta pfccniTinii co:
po:i8 natura fublhiri5ci5fo:titac ll?cccni mo (ubu qno/
iljnina oimcfionccraiTatum:pIcnamarnioniamccmo-
Hrauiinuo.lD^caurcmbiiiurmodiinvcnietur: fi ouob''
tcrminis conf!uutio:qni ipfl t ribus crcuerint intcruallis
longitudinc:lannjdinc:7p:cfunditate;ouobuiufmodi
tcrmini mcdij fucrinrconflituri:': ipfuiibueinrcruallis
notati:qui velabfqualibuspcr fqualcs fqualifcr nnt
p:oducri:vclabinvqualibuefldinfquaUafquaIircr:vr
9b in? qiialibus ad f qualia cqlircr vel quoUbct alio mo
doati^]taaiarmonic3,ppo:tionccuflodiant:aliotainc
modo comparari faaanrarit!?meti(a=; medictatcm: bifqs
Scomerrica incdietao quc intcr vrrafqj vctfatur oceiTc no
polTit.^n quamo: cnim tCTmiliis fi fucrit quemadniO'
dum p:imu8ad rcrtiunj^iic fecundus ad quartum: p:0'
po:rionu5 rarionc fcilicct cullodita;gcomctrica mcdictas
cjcplicatur.iFt guod continctur fub crtrcmttatibus cqnij
erirei quod lub vtraq^ medicratc ad lcinuicrm mulripli-
tataconficiiur."iRurfii6n ma)iimu8 quasuo: tcrmino:u5
numeru6'adcum quinFi p:opinquus cfl ralctn babcat
oifTcrentiam quaicmidcmipfcmaicimo p:opinqu^ad
paruilTimum:buiufmodi p:opo:rio in aririjmcticacon^
fidcrationep:oponicur.sFtatrcmo:umconiunttiobU'
plev erit p:op:ia mcdictatc. £n veiointer quatuo: qui
ert tcrtius tcrminus f qua partc quarti quartuni tcrmi'
num fuperet:t {qua p:imi a p:imo fuperctur : armonica
buiufinodi ,ppo:tio ?nedicta9 pcrfpiatur . ffjt quo^ (3
tinetur fubcj:nemo:um aggicgationc tmultioiicarionc
medictatis !?uplcr cfl eo quod fub vnaq? ev trcmitatc co'
ftcitur.Sirautcm quoddambuius Difpofitionis ercm
plar boe modo.6.s.9.'2.itp3j^igituromnes folidas qua
titateselTenon oubium ciTTScvcritnvnafcuntur cjrvno
bistcr.i2,autcmerbi8 Duoter. II?o:um aufcmmcdie'
tatC8:octonariusfit lcmel ono quatcr.iHoucnarrus vC'
ro fcmel trcs ter.omncs igitur rcrmini coanari fibi: -: tri
bus interuaIlo:um oimcnfionibus notatrfunt . 'jn bis
igiturgcomcrrica p:opo:rionalira8iiuicnitur:fi.r:. ad:
8.vel.9.adfenariumcomparcmu8.Dtraci5 enimcom
parario fefqua'tera p:opo:riocfl.c quod contincturfub
ertrcmiratibus idem cft ci quod fit ev inedijs . iflancu
quod fit er ou 0 dccics fer^f quum efl ci quod fit cr octics.
p.,8GeomcniCflcrgo p:opo:rio buiufinodicfl. gntbme
ticaautcmeflflouodcnariusad noucnarium^inoucna
riusadrenariumcomparctur.^n vnifq5 enimtcmaii'
cifTercntia c(\.i iunctc ertrcinitatcs mcdietare buplf ffit
;£)ieniin iunicrisicnariuin': Duodccim:racics.iA. ciui
cftnouenario mcdio tcrmio oupltjs.^ti bis crgo geomc'
tri(amaritbmcticamci5mcdictarcm perfperimue . If^ic
quocB armonii a medictas inuenitur:fi. i : .ad. 8 . <: rurfifs
$ .fld fenariuin comparenuis. $5ua eni^ parrc fcnarif ocro
nariusfenanum fupErat:idcflparrctcrna:cadcm ouode
narijparteoctonariusfupcratur. ^uatuo:cniinquib^
ottonarius a ouodenario viatur: Duodenari j tntia pars
cft.^tfi evtrcmitatcs iungas.fi.fciliccfr.i i. eafq5 p octo
narium medium mulripliccs.144.iunt. ^Juodfifeevtre
mitates multipliccnt:rer frilicet 1 2 .facicnr.72.quo nu
mero.i44.buplU9cft. ^fnuenicmusbicquoq^oinnes
muficasconfonanrias.lilancp.s.ad.^.i.^. ad. i2.com
parari fcfquitcrriam p:opo:rionem n ddunt:-: fimul oia '
tcfl"aronconfonanriam.i5»cvveroad.9.vcl.8.pd.i2.com
par3tiredduntrcfqualrcramp:opo:rioncm:fcd oiapcnre
fympboniam.iDuodccim vCToad fcnarium confidcrati
Duplucm p:opo:tioncm:fcd oiaparon frmpboniam ca^
nunt. Octo vcro -r.^.ipi f ontra fe nui^ii 'podcrari cpocdo
umiungunt.qui in mufico modulaininc tonos vocaf .

dd

(UKomiiium mii(1(0:um rond:um mmlbni cStmniie?.
J^mntumenimeiUonndlitlc parutfHmnd. '^lndenotn
rflquod oiateiTaron i oiapenteconronantiaratono» oif
fercntiacft . rtatfintcrfcfquitcrtiamTrcfqualtcram p:o
ro:tione^ toiactUpocdoueoiflctentia . ^iusautemoc'
?aripcioni0 fub tcrexcmplaradiecimue.

'jb:opo:tionalita0scomctriGi.'- *

^efqualterc p:opo:tione0»

€jnmo:nm mcdtonimc^ multiplicationw.

l^^opo^tionaUtae; aritbmctia.

Z)iffcrentif.
3 $

6

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iz 1

■ \ • f

CmAit»te0 (anfteadnounarumi mediuro ^uplf
ftint.

*^:opoztionalita0arm(mi(a.

'dbarted mino:i0 tmio:ir(^'tcrmino:um.
2 4

r ' I !i ■! ' I

^unctceictrcmttatest pcr medium muUiplicatc

iConfonanticrnafkf.

' ;6erquitertia ^&efquitcrtia
^pocdous

jDiatcfTaron ^tefTflron

EZI

Se/qltcra iDtapcit

2Dupla
SDiapabn.

ftnl0 iilritbmeiicc

»/4

€^V>octiioc ilT)unc3ltbfrpM'mtie. T^KXmmm ^lftu
fKam tuturalircr nobis effc coniiincrani:-: inozce vcl bo
ncliirc:vcUumcit. /Capitulum. i.

tpnium qtiidcm pccptio fcnfu
um (ra fponrc ac naturalttcr qui
bufdam ruientib^adcft: Ttftne
• bie 9i3l non poiririntcUigi. £»5

noufqucco:ijdcmcosnitio:ac ftr
ma pccptioanimi inuciUgartone
colligtrnr.3!Iabo:atncrtcnim:cp
fcnfum ijcipicndis fcnftbilib^rr
Dusadbibcmne. Quf veroftr ipfcum rcnruum:recndii
quogagimiie:nfltura:7 qucrcrum fcnfibiliiippnetas:
id nonobuiii nc£i3cuilibeterpl!cabilcecp6t:nifiqu? con
ueniens iuucrtigaho vcrirjrtccontcmplationc Mreverit
^dertenim amcris moualibus vifus^QUi vrrum vent£
tibugadvifum figuri8:anadfcnfibilia ra^s cmilTis
cflrici3tur:inter oocros quidcm otibitabileclhvulgiVquo
c^ ipi oubiratio pzcterir.TRurfue cum quie triangulu>
rerpicit vel quaorani:facilc id quod oailie tmctur ; agno
ftir:£)ed quf nam trianjiUi vcl quadrattm natura:a lus
tbcmatico nccelTe ? pcrat . 3dccpoe cttcris fenfib^ oici po
teiVmarimccp ocarbitrioaurium:quarumvi0itafonoe
captat :vt non m5 bebia iudiaum c3piar:DifTercntiaftp
cognorcar:veruiiKtiambelcfteTur ffpi';ft oulcescoapta
tlctt modi fint:angatur veto:fi oiiTtpati atcp incoberete»
fcrianr fenfum.^lindefin vt cum Tint quatuo: matbereos
oifriplinf :cf terf quidem ad inuelligationera veritatis 1a
boient: iipuftcavero noji modo fpeailationi: vcrum rti
am mo:alitartconiuncr;i fir. 'H^ibilcfiemm tam p:op:i
um bumanitatis:ej5 remitri oulcibue modis : allringi'
<5 contrari)0. 3dcB non modo fefe in fingulis vel rtudi |'s
vcl f tfltibus tcnet: verum pcr tuncta biflijndirar ftudia:
1 inf^nte8:aciuuence:nrcnon ctia> fenestra nararaliter
flflfictu quodam rpontanco niodis muficis adiungun^
tiir: vtnullaoiofltfras:qufac<intikncoulci6belcctatio
nc fe iunaa ftt.lDinc eriam internofci potcrt : <$ non fru^
flra aj^btone Pictum efl mundi animaii muftcaconuc
nientiaHlint cpniunctam. fCim eiiim ec co:quod in
bisefiiunctuconucnienfcrci5coaptatum:illud ejcipim^ '
<p in foni3apteconuenicnrerci5coniunctumert:eo£^oe /
lfcramur:nosquoq5ipfo8eade5 fimilitudinc compactos
clTc cognofcimus, %iiaertcnim ftmilitudo: EDilTiinili / /
tudo vero odiofa atcB contraria.WDinc etiam mo:ii quo-^
<Bmacimf permutationee fiunt.lafciuus qutppe ani
mus vcl iprclarciuio:ibu6 odcctatur modi6:vci f? pe eof
demaudienscito cmollitur^acrt-angitur.Trtv.urfusafpC'
rio: mens vel inritatio:ibus gaudct : vel inriratio:ibus
afperamr. IDincert etiam qp modi mufici genrium voca'
bulo Pcft^nari funt:vtlidiusmodug:: pb:>-sius.^uo
cnim quart vnaqufcp gens gaudct : codem modus ipe
vocabulo nuoipamr. jOautocnim gens modts mo:»
Hmilitudine.lRccpenim fieripotert:vtmolliaouri6:DU
ra mollio:ibU6 adnccrantur :aut gaudeant. ioed amo:c j
oclettationcmcB ( vt oiaum ert) ftinilimda conciliat.
'andeig>lato eriam mafimecaucndum ejcirtimat: ne be
ncmo:ara mufica aliquid permurcmr.lRegatenim e{ vl
lamrantammo:umtn repu. labem: quampaulatimoe
pudentiat modcrta muftp inuerterc.;©tatimcnim ide?
quoq^audicntium animos pati:paulafmiq5 bifccdcre
nullumqs boneih ac rcai rerinere vertigium:ft vcl pcr la/
friuio:e8 modos inuaccundum aliquid vel per afpcrio'
rcs feror atc^ immane mentibus illabarar. iBulIa enim
magis ad animus oifciplinie uix^ auribue patet . fCi
crgopcreas Hlitbmimodiqjadanimumvfqg bcftcde'
rint:bubitari non porcrt^qnin ? quo modo mattem atc^
ipfafuntcffitiani^atcDtonfo^mcnt.^dvero-rintellisiin
gentibuspotcrt.'lf?am quc afpcrjo^cefuut gctarum:ou
ffio:ibus bdcaiturmodis.^u^ vcromatifuet( mcdiO''

crfbH0.JfuTiidboctempo:e pfnenullHmeft.^^uod ve/
rolafctuumac moltecrtgcnu6bumanum:idtotumfaDi
cisactbcatralibus niodtetcnctur. fuit vcio pudeue ac
modcrtfl iiX>uftca:Duinfimplicio:ibi)0o:gani6agcictur
Obi vero.varic pcrmtvrcg^; tracrara crt: aniifit grauiratig
fl'95Virrati6modum:t pciicintnrpitiidincmp:olapfa
minimum antiquain fpccicm ftruar.tJndn^Uaro p:eci
pttmininicopo:rerepuCT08 ad omncsmodos audiri:
iedporiusadvdUnrc8:acilmplice0.atci5bicmaiimeil
lud rcrincndum crt:q' fi quoquo modo per pat uiiTtmas
mutarioncs biucaliquidpamurarcf :rcccn0 quidcm mi
nimc fcnriri:port veio magnani tacere otfiVrcntiaiii: i p
aurceadantmum viq5oclabi. ^dcirco magiiaincc cu'
ftodiam rcipu . itb lato arbitratur ill^uficam opttiuc iuo
raram:pudentcrq5coniunctam ita:vt flr modcrta ac fim'
pley:? mafcula:ncceft'cminata:ncc fcra:ncc vana. >cHiod
laccdcmonu mavimaope n:rtiaucre:Duniapudeos~Tbfl
letae Crctcnfipgo:fin^magiiop:eaoacriruo pucrosoi'
fciplina muftcf Brtisimbucrct.f uitenim id antiquis iit
iiie:em:oiuct5pcimanfit.^uoniani veroeis tbimotbe
«8 nX>ilefiU6 fuperea6:qua8 antc rcpaaat: vnuin ad'
didit ncrau!n:3tmultipliao«:m muficam fccit:cvcge
re oe laconica. jConfuItumc^ oeeo ractum ert. ^uod inrt
gneeft fpartiararum lingua.f litteraj in.ilv.rcrtentuim
ipfum occocoufultumeirdcm vcrbis grfrisappofui.

C^Juodconfulram id frilicftfonrinct.^fdcirco Xbimo
tbeo ^Dilcflo ^partiatas fucccnfuilTe : muUipliccm
jtX)uftcamrcdden6pucro:umanimt'6iquo6acccpat cm
diendos:officerer:'r a virruris modcrtia p:cpcdirct. et $
armoniam^quam modert33 fufccperar^in genu6 cb:om9
ti(uni:quodmoliius ert:inuerrifier.'X|rai£ir"r futtapij
cos mufiff oiligentia:vt eam animoe quoq^ obtinerear
bitrarenrar: LlulgatHm quippecrt : q^ ffpe iraaindias
cantilcna rcp:elTcru:$ rtiulta vd tn co:po:um: vd i ani/
mo:um atTcctionibu6 miranda pcrfecerit. Cuicninicrtil
lud ignorum :qi pytbago:a6cb:ium adolcfccnrem tau'
rominitanum fubpb:ygi) niodi fonoincitamj fpondco
fucanentc rcddidertt mirio:cm t fui compotcm.iHam cij
fco:rum in riualis oomo encrcl',ufum : atq5 tlle furcns
vcllct oomum amburcre^cumc^ PYrb.igo:98 ikllarii cur
fu6(vtamosnotrarnu6)infpifcrcr:vbiinrdlcvitfono
pb:igii niPdi incitatum mulri8aniico:un; adnionitioni
buea facino:e noluirte oefirterc:mufari modum p:ccepit
fltcBitafurenrie animumadolcfccnrisad rtamm inen'
rie pacarirtimf rcmperauit. 0uod fctlicer. . lulltus
t6memo:9tincoltb2o:qucm occonniiisfuie conipoiu
it:alitcrquidem:fcd boc modo. jScd vt aliquaftmtlira'
dincfldductusmavimieminimaconfcram: vtfumvi'
nolenri fldoIefccntc8ttbiarumeriamcantu(vtfit)inrtin
<timuliai6puc5icffo:e6frangCTcnt:admonuincttbifin5
vt fpondcumcancrft:-^ytbago:a6 oicirar. sQupd cum
ilU ffcifict:tai ditatf modo:um i grauitare canenrie illo'
rum furenrcm petulanriflm confedafie . £»ed vt fimilifl
b:cuitcrcvempla conquira:XoT?andcr:atQ5 ^lrion dDe
tbimncue leibio6:atcB iones grauilTimie mo:bi8 rant*
cripuere p:fftdio. bifmcnias vero Xbeban' jBoctio:u5
pluribu6:quo6 fciatiri oolo:f8 to:menfa vcrabatit : mo
di6 funftae fertur abrtcrfl fie molertiae. .ecdetiatgmpe
doclcd cutrieiudbofpitcmquidaglfldio furibundus in^

dd :

iijdfrctHT f i^illf parmn afcufatiotic pamnflintiinflcrir'
fc mottum Diatur cAna.'i:itaii,i iidolcrccinic irijcuin1i.i ti"
pcr<iirc.1n rjiituui vcropnrcvpbilofopbic rtuilije vic
nniiUcarti:? iniioruir:vrpvtbago:ici cum Oiurnafi fom
iiorcfolucrciucurae.iiuibuidiiuantilcnif vterciitiir:Yt
ci6 lcnis •: quic uu fopo: irrcjjcr. ltAc\\ tipcrecti alije a
burilamnicLl g ilupo;eiii Ibmni confunoncmqj purga'
bani:yJ]iiiiiirum i'cifntc6:ij' toM noilrf animc {o:po!if
q; compj^o tnufica coniuncta flt . Illjm vrfcfcco;po:ia
aftlcnii? babcf :ita criam pulfus co:di0 fiionbus inc rafl
tur. Ouodjciliccr iDcmocrirug H:>ypocrati mcdicorra^
didilVc rcrtur:cumn]mquafl infanum cuntfis JDcmo»'
criti citiibu6 id opinantiDue in cuHodia medcndi caufa
viff xf. i3fdquo2fumiifa:" Quia non poff ll pubiran:'^
' qum nortrf animf i fo;po;i>3 rt.ini6 ciif3an quodaino">
dop:opo;fiombiio vidcaturfcfomporitue^quib^armo/
iiicapmodulanoneepoflCTio: oifputatio coniungi CO' 1
S pulariqi inon!)rabit. jfndc cjl cnini : g' infimcd quoqy
^ ^annlcna <Dulcie obrccrar.iHliquid vcro afpcrum: aP
<}5 niimitc ab audicndi voluptatc fufpf ndit . Tflimiruiii
id ctiam oinnis f fae p jtirur:cmnifq} fcni*. Quf lic^ fi
ti)? actibue oiilribuM fint:vna t.-nifn cT)iifKf oclccrari
oncconiuncra fiint.Ouidfmmftrraim in flaibiis lucr^
ipfjs modnlaiiruroolfnrfs^^jE^iJod inarimrniulicb:f f:
Tfoini canfico qiiodam oulfio; fiatcaula flcndi.^d vc
rocrianifuirantiqnit<inmo;cm:vrcanru8tibif fucfib'
p:cirfr.-Ifitigci> H5.ipimug idtanuebocvcrfu. Co:-
nugraucmu^iraduncotibia.-cuirfneroe fucmm p:odu
Cfrc manc 0.7 qui fuauitcrcancrc non porcll : fibi tamfii
aliquid cjnit:iion quodcumaliqua voluprarcafiiciat id
quod canit:ffd q quandam infifam oulccdincm exani'
«13 p;ofcri-nrc8 quoquo inodo p;ofcranf: belfctanrur.
iRonne cti Jin iliud manifcflum cfl:in bellum pu Nnantt
umanimostubarumcarmincaccciidi^^QjJftvcrifimile
cit ab animi pacaro flani qucmcl^ ad furo:em arqs iracott
diampoiTfp:oferri:lllonffloubium. qpconf.iibatf mS
ti8 iracundiani: vcl nimiani (upiditatcm modcflio: mod'
poflltjflrinscrf.Quidq^cum aliquiscantilfnam liberr'
tiugfluribusatqBanimocapit ad illud ctiam non fpon
tf c nuerritur: vt mofuni quoqp aliquem fimilcin auditf
canrilcncco;pUo eff n^^at:-: cp oiiininoaliquod mclos a»
ditum fibi mfmo^anim^ipfebecerpar.Htcrbisomni"
bue pcrfpicue:ncc oubitantcr apparcat ita quidc nobis^
muficam naruralifcrciTe comunctam : vt ca ne fl vclini'
quidcm:carcrcpolTimue.it5uo(ircainrcndenda vis mc
tie cfl: vt id quod natura eft infitu; : £xienaa quocp pof
flt tomp:fbcnfuinrencri.£>iciircnim in vifu quoq}n5
fufficit crudirie colo:e8 fo^mafq? tonfpi(ere:mfl ctiii qug-
f(fbo:um p:op;iefae:inucflic{aucrinr: £?icnonfufticit
cantileniemuflcie oelc(tari:nifl eriamqualimterffcon-^
iunctc flnt vocum p:opo:tionc oiftatur.

>i

C Zrc6clTc2a&ufica8:in quooc vi £X)ufl(C narratur. ' \
tfapimium. :. ' '

*iRin(ipioi^itur&c03nfi(a oilTcrfnti illucf
p intcrim oicf ndum vidcrur : quot ii\">ufl(f gc
fifraabfiuefludiofls (omp;fbfnfa fflc nouc
rimus. £nintjutf m ma. ^tp;imaquidcm
tnundanacfl.occunda vero bumana.Tfrtia quc in qui
bufdam conftitura c fl inflrumentie: vtin iCytbara vel
tibi|e:(crerifq):qufcant;lcncfanuilanmr. £tp:imun»
ca quf fl mundan9:in bis marimcpcrfpiticndaefl: qo?
in ipfo (f lo vcl compage clcmento:uin: vel te mpo:u3 va
riftate vifuunir.g?ui cnim ficri potefl: vttain veloircfU
tna(bina tacifo fiknticpdirfu moucamr.^^t ft ad noftraa
flurcs ronneillenonpfrucnit.feiuodmultieficn ofcau
fie ncfcfle efl:non poterittamen motue ram v(lo(:iTim^
vtima5iio:uiH(o:po:umnullo8omninofono8(ifrf:(a
p:fffrtim rantafnrft llarum (urfu6(oaptatione coniu
ai:vt nibiljquccompasinatum^nibUitacomixtumiH''

teUi?t pofl^it.lHamcB alif crfcl(!o;f8:alif inf(rio:c8 (ernn
tar:i3ti^itaomncevquali incitationc voluutur: vr pcr
cifparee lUf qualiratce rat''(urfuuin o;do oucatur . n'
df non potcit ab baccf Icfli vertipinc mtueo:do modula'
tioius abflflcre. 'jain vcroquattio; clc mcnro;um ouu rfl
tatc. coiitrariafq;pofcntia0:mft qiifdain crinonia cou'
iungcrft:qui ficn polTct: vt in vnnm co:pue ac macbina
coniifnirfnt.Sfdbffomnieoiufrfitaeitai tempo:uin
Tarictafcm parif': fiu(tuum:vttamfn vnum anni (o:'
PU0 f ffifiat. Undfflquid bo:um :quf ranf am varie ratf m
rcbue m«niflrant:animo -r (osirationf oiftf rpae: cuiKta
p(rcanf:nf((vrit3 oi(am)(onfonuinqr.i(C[; feriifnr. tFt
vt in ijrauibue (o:di8 !)i( vocis modu& efl: vt non ad f a
tirurnitatcm grauitae vfq? oefcindatiatq; tn acutis illc
cuflodiruiacuminie modue:ne nerui nimium rcnf^ vo-
cie tcnuitate rumpantur:fed totum flbi fvrconfcntancus
atcp conucnif ne:'lta f tiam in mundi )iV)uftfa pcruidC''
mus nibil ita ciTc "niniium pofTe: vtaltcmm p:op:ia ni /
yntctarc oilToIiiat.Derum quicqnid iUud efl:atit fuoe af
fert fru<ru0:aut3li|3amiliamr: vf affcrant . TBam qnod
£onflring!tbieine:vcrlarat:to::crffla8:maturarautu'
liU8:tempo:.iq3 vicilTtm vel ipfa fuoeaftcrimt frucfii»
-vefalii» vtafferantfubniiniflrant. iDequib*'poflcri'^
ftudiofine Difputandumcfl.iDumanam vomuficam qf
quis in fclcipfum ocfccndit :iritcTligit. ^uid cflcnim: q>
8llamiii(o;po:eam rationie viua(itareni(o;po?imif(e
ar:nifi qu?dam (oaptatio:^ vcluti grauium laiiumqivo
cuin quaft vnam confonanri.im cfficicne teinpcrario:'
:0uidcftautcm aliud q^ ipfius intcr fc partee aninif (5^
iungat:quf (vt illriflotcli pl.i(ct) cr rationabili trrario^
iiabiliq5(oniuncta cfl:'0uid vero q> co;po:ie clerrcnra
permifceat:aur pariceftbimctrata coaprarione corincarf
j©cd bebacquoq; pofteriue oicam.Xcrtiacft g.T)uft(a
quf in quibufdam con^^.ftcre Diatur inflruincn-ie. iPcc
veroadtniniflraturaurinrcntionc:ttnt:ruie:3utipiritu
vt tibije: vdjMequfad aqua moucnnirrau'- pcrcufrio'
ne quadamvrinbi6:qiic in (on(aua qu? dam virga frca
feriuntur:arq5 idc Muerft efllciuntur foni. ?Dc bae iginir
inftnimenco;um flX)ufifap:imumboco}.icrc pifputadij
videtur.5>fdp:oemii fan0eft . muncDcipfts JPOufifc
clcmcntie cft filTercndum.
CiDc vocibusrac oe cT>un(^cicmcnti8. £a. 3.

^nfonanti3:quc omncm muftcf modulano"
c ncm rcu;it:p:e e r fonum ftf ri noii poff ft. £>o'
nue vfrop:frfr qucdam pulfum pcrruiTionc
05 non rfddiiiir. itbulfueatg^, pci aifl*io nullo
inodofflrepotcft:nifi p;f(fflcrit motue. ^ifni^fuucta
rtntunobiIia:nonpotfritaltfrunialreri(oncurrcre: vral
terum impellaturab altfro. ©ed cuncfie flantib^otu
CB care nribue nutlum ficri nccefle fonum 'Idciito riflfini
tur fonue p(uflio aerle indilToUita vlq5 ad auditum.
fTDotunm vero alij funt velo(io:ee:alii fardio:f6:fo;5
dccpmotuu)n ali| fimrraiio:fe:aIii fpiffio^cs . iRain (I
qui8 in (onrinuum motum rcfpiciacibi aur vclocirarcm
autrarditate> neceiTeeflcomp:fb:ndat. S>in vfro quis
mouf ar manum:aut frequcnti cam moucbit inoturaut ra
ro.gtfitardue quidc? fuerit ac rario: morue: graucenc
ccflccflfonoocfllci ipfatarditatc^rrarirarcpcllfdi . £iin
-vcro ftnr motue cclcrce ac fpiiTi^acutoe neccflc c rcddTlo'
no8.7dcir(oenim idc ncruueft intendatur ampU'^:acu
tnm fonatT^^rremittaturgraue. 0uandocnim tenfio:
cfl: vclocio;cinpuruin rcddir^ccleriufq? rcucrtitur:'* frC'
qticntiue at fpifrme aercin fe it. s?Jui vfro lapo; ffl:fo'
lutoe af tardoe pul fue cftcrt:raf ufq5 imbcatlirate fcricn
dt ncf oiuriue ncmir. itlfg^fnim qnoticne pcllitur to:'
da: vnuecdi fantum putandue eft fonue: aut viiain in
bi8ClTeper(ulTione5:fca rotifneacrfmtur^quoncne et»
to:da tremcbunda pcrculTcrit. Sxd quoniam iuncte funt
velmme fono:um:nullointcr(9i^cdoauribU9 fcntitnr

XIDufica

f f vnue fonu^ffnrnm pdlit vd (puis : vd anim»:
quiuis rtfrcpcc'pIimbu3conilft:5T3Ui0 i-itndecrtflr/
dio:ib'; rari'^2ib'^:.iamie vcrocKclfrib''ac fpiffie. vflu
ti flconum:qucm turboncin vi.xanr:quifii oiiigcnrcrcj:'
to:ncr:cicp vnam vir^ulam colojis rub:ivf 1 atci iue ou
cat^tcumqua potcil fclcriratcconucrrat :iunctotU6CO'
nne rub:ocolo:cvidctur infccruff ,. Vion quo totus ita
fit. SKd (p parres purae uib:f virg? vclocitae! fompzC'
bcndat :i . pparnt non finat. *5ccl oc bi» poftcrius.
•jgixur quouiam at ur? vocct> fpf iTionbus 7 vclocio:ib'
motib^^infitantur. Oraucsvcrotardiojib^fltraris. li"
fluftaddirionc motuum cr srauitatcicumcn intcndi: oc
mcrionc vcro moninm larari ct aciminc cirauiratcm, cj:
pluribuscntm motibueafumenf^otrauiraetonllat.^n
quibus aurcm pluralitai» oiffercntiam facit:cam nc ccirc
ert in qufldam numcrontatc conflftcre.omnis vero pau
ritao «d pluraliratcm ira fcfc habcr: vt numcrus ad nu'
nierumfomparatue. tEojumvcroquf fcnmdu^ nume
nim confcmntur:paitim rtbi funr^qualia^partim qua
lia. 0uocirca foni quoi\5partim funt? quaJe6:p»rtim vc
ro funt ififqualitate oirtantfg.gcd in big vocib': quf
nulla inf nuaUrate Dffco2dant:nuUa omnino confonitia
c ft.ct cni.-n tonfonsntia ert t»i(rimiluim intcr fc vocum i
■vnum redacta conco^dia.

CTSDcfpccicbusinfQua^itaris. iCap. 4.

vero funt in? qualia:quincB intcr fc modff
q incqUiili- atis momenta cuftodiunt. glutenis
«Itcrum ab alrero muItipUcitare tranftenditur
aut fln5Uli0p3rtibu«:aut pluribu3:aut mul
ripHcitafe 7 parte:aur multiplicitafe i partibus. ^ t p:i
mum quidc inf qualitatis gcn^ultiplci: appcllaiur .
gft vcromul'ipln::vbi maio: nnmcmgmino:es'numc
rom baber in (e tomm vcl bis:vcltcr:vel quatcr:ac oein
(ep^^nibilcp oe- ft:nibil fjiubcrat: appellarurcB vcl ou'
plum vcltriplum vel quadfuplum:atcj5 ad btiuc o:dine
in infinita pwgreditur. g>ecundumvcro in? qualMtis
gen*ert:quodappfllarur fupcrparticul«re:idfrtnim m«
fo: numcrus mino:nn numerum babet in ft totnrT vni
ciusaliquani partfmicainqjvcl oimidiam: vttrcsouo
rum:i vocanir fcrqualrcia p,'opo:tio:vclterti3m: vtqua
tuo: ad trcs:-: vocamr lcfquifn-ria. 21dbuncctiam modii
in poftcrio^ib^^numeris pare aliqua a maio:ibu<« fuper
mino:e0 numeroa continerur. Icrtium rcro ^cnug in'
Cqualitatigeft^quoticns maio: numerus toium tntra fc
mino:em continft^Teiusaliquantag inrnperpartfs. ct
fi Duag quidemfup:a connne^^vocabitur p:opo:tiofu
perbiparticns: vt cft qnmcp ad rrcs. Sin vcro trc9 fug
fecontinet:vocabitur fupcrtriparticns : vr funt fcptcm
•d qn9tuo:.€t in cfteris quidcm, cadcm fimilirudo cc
potcft. Qaartum veroin? gualiratig cft gcnus: quod er
multiplici:^ fuperpartinilari coniungitur : cum fnl5 ma
io: numcms babetin fc mino2cm numcm> velbi«:vcl
tcr: vel quoticnftibct:arq5 cius vnam partcm aliquam.
€t ^icum bisbabct:-? ci^oimidiampartcmtvocabif bu
plo: fefqualter: vt funt quinq? ad buo. £>in vc o bis mi
no:(ontincbitur:TCi%rtia pars: vocabitur ourlex fcf;
quirertius:vt funr fcptem ad n-es. Sin vcrotcttiofonti
nebimr:teius ^imidiapars^vocahrurtnplejrrcfqual'
tcr: vt funt feptem ad duo . 2ltfB ad eundcm molum in
(ftcrig tmuliiplicitatie:^ fupcrparticularitatis vocabu
la varianmr . 0uiumm cft genus in^qualitar is : quod
ippcllamr mulnplerfupcrpartims: quando maio: nu'
mcra0mirto:emnumerumbabainfetotum plufCB f^
tnd-.i ciue plufiS vnam aliquam parte m. t fi bia mi
t02 nurnmig mino:em numenim contincbitiouafqjri''
infupcr partcg:vocabinirouplC): fuperbipartiens : vt
funttres adocro.irarfustripleifupcrbiparti^g: vtfut
tresad vndccim.Slcoebigidcirconuncftrictim acb:^
uitcrerpUaimus:quoniamiulib:is:quosoc 21ritbme
titti inrtttutione (onfcripfimusroiliscmiue enodauim^.

C:©uf inf qnfllffutfs fpfries confonanrits aprcnt ur.
jCapituIum. 5.
bisigitur mfqualiratisgfncribiJe poftre
c mapuoquoni.imc]Lft!pfrio:ibugmur3 funt:
rcltnquainug.iOctribug vcrop^ionbus fpc
(Ulatio facicnda cft.sir^princrciainir niaio:mi
idfonfbnantias potf ilafCj vicfetur multtplevrconfcquc
tcr autcm fuperparricularig: Cnipcrparnf ns vcro ab ar
monif conancntia fepflrfltur:vtquibufdatup:ctcr iP>to
lomcumvidctur.

C"iCur mr»lriplicita9:T fupcrparriailaritagfonfonati|0
ocputcntur. tCapiruliim. 6.

21 naci5p:obanturcomparaticni confcntanca
C quf iuntn8tur\f?mplifia:{Ftquoniani c.raui
tas t atumen m quantitatcconniUint^ea ma^
)cime vidcbuntur fnuarc naturam connnctif
quf t>i(rrerf p:op:icrarcmquantitatis poterunt cuftodi
re. TPlamcum fit alia quidcm ofcrcta qua' itgs:alia VC'
ro(onrinua:ca quf oifcrcta t ft:tn minimo quidcm finita
cft:fed in infintnini pcr maio:a p:ocfdir.lRanct'i i ca mi
nima vnirascademcpfinitaeft.^n infinitum vcromo'
dus pluralitfltisaugctur^vr nuincrug qui cum aftnita
incipiat vnitarc:crefcfndi non babet finc3.*ilNurfug quf
cftconrinua:ror3quidf3 finita eft:fcd pcr infinira mtnui
tur.lineaenitn qugconrinu3cft:infiiiita fcinpcrparti'
tipne oiuiditnr: iL um fit ciue fiima vcl pedalig vcl qu?
(uc^fllifl ocfitiira menfura. Quocirca numcrus fcinper i
infinita crcratrtontinua vnoqusintitagin ifinita mmui
tur. tOJuItipltritag igimr quoniam o-efcc ndi fincm tio
babet:numerima):imcrnuat i;flmram.£>upcrp9itinila
ritas autem: quoniamininfinitumnriro:cm minuit
p:op:ictatfm leruat continu? qultitatig. flD inuit autg
inino:em:cum fcmpcr cum (onrinct:-: eiug"vIToitriidil
part(m:vcltatiam:vclquaitam:vclquintant.lPlamf2
pcrparsamaio:c numcrooenominataipfa oecrefcit.
*lflam cum tcrtia a iribus ocnominata fit: quarra vero a
CiUatuo::cnm quamo: trcg fupctf nt:quarta pon^ ili5 ter
rifl minuiio: inuenimr. ijupciparficng vero ias quoda
modoaflmplicirate oirccdit.Duagcnim vcl trcs vcl cj'
tuo^babetinfupcrpartfs^^anmplicitatcoiffcdcg cjU'
b rat ad quandam partium plura'itatfm.Ti'\Ui fus multi
pliritasomnig in tntcgritatcfeconrinct.ltlaitt oupluj
big babct totum mino:em.XripIum itcm tcrtiofottnct
toium mino:etii:atcBfld cundcm modnm cftfra.£5uy'
particulantfls vcro nibil integrum i'cruat:fcd vcl oimi'
dio fuperflt:vcltcrria:vclquarta:vclq«inra . S-edtamS
ttiuifloncmflngulisacfimpticibug parribiis opcratur.
^upcrpartiensflufnnififqualitai? nccfcruat intcqru:
n(( flnsulis adinTit partcs . 21tq5 tdco fccundnm -{pr.^
tbago:t(oe minimc mufios foiifonanttls adbibf f . -pio
lomeus tamcn ctiam baiic p:opo:tionfin intcr confoni
tia8ponit:vtpofteriudoftendam.

Cr^5n{ p:opo:tioncs quibus cofonanri) s muftris aptc
tur. ^Cflpimlum. 7.

lludramen e^cognitum ocb5:q>omncsmurt
1 (f confonantif aut in ouplici : aut in niplict:
flut in quadrupla:aur in fcfqualtera : aut i feP
quiterfiap;opo2ticncionfiilaiif. ^tvccabiC
quidc quf in numcns fcfquitcrtia cft^oiatcffaronT^ui'
in numnis fefqualtcra: xDiapcnte appc Ilatur in vociF'.
J0uf inp:opo:rion;bug oupla cft:Diapa(on intonfonl
riis.TripIa verooiapente:ac&iapafon.Ouad upla au
tem bifdiapafou.ift nun( quidem vntuerfaliter:atq5 in
diftftteoicnimfit. jboftcriusveroomnis ratiop:opo:^
tionum lucebit.

<rJ3uidfltfonu0:quid intcmallum: quid(on{incnria.
lCflpitulum. 8.

dd ;

Onm Ujitw c vMiscarus Cftimelw.i.apnia
4 mclo in vnam iiucnrioncm. ^•«onij^ verc^nort
iTciuralc niif voUim''oilTintre: iixd fiim qui
QTf (c c>icif ur plMbcngus oict" a fimilituclic lo
qucdi.cpeeyVECTO oc i .'jntcrualtu vo eil fom acufi gra
II ifiv oiilaiitia. iConfonatiacrt acuti fom jrauilii^ mittii
ra fuauitcr vmfo:mitcrci3auribU9accidcn0. SDiflbnati
tia vcro cil ouc»:ij fono:? fibimct pcrmiitov* ad aurcjvc
nicn^iaipcraratcuinioaiiidaBCufno. "rtTajOUin fibimcc
mifcf ri nolunr:'; quod.imodo ime^ vtcrcp nititur g'
ucnire.cumct5 altcr alteri offuit^ad lenfum vrerqjinfua'
ujtcrrranfmittitur.

tl iHonoc ludiciuin oandiiec fcnftbus^rcdampli^roni
cccredcnduin:iquoocfenfuumfallacia. ^Cap. 9.

d oc bie ita pioponiuiue : vt non oc iudia
0 um fcnfib^oem^^^iy^cfe a renfuaurium buiufce
arti lumaturomnc p:incipiu. iRam ft nullus
efTetauditus^nulIaoino oifputatio oevocib'
crtitilTer. £>cd p:irtipiij quodimodo: t quanadmoniti
onie vicem tcnct auditus .'iPoilrema vcro pfc crio: agni
tionifq5 viein rationcconfillit:quf ccrtiercsulisfefetc
nene nullo vnq^ nTo:e p:olabitur.TRam quid oiuttu»
Oicenduciloc erro:efenfuiim:quandonccomnibu0 ea»
dcm foitiendi vismcccidem bomini fcmpcrfqiialis?.
Vrurtraautcm vario iudic;oquifi0Cc>mirter:quodvcra'
citeraft'ccfatiquircrc.'j(dcir(o 0ytba(\o;icimedio quo
damfcrunturitincrc.lrtJmni-comneiudiciumocdiitau
ribue:': qiicdain tamcn abeis non nifi auribnsejrplo:»»
tur. 'jpfasT cnim con fonantiae aure mctiuntur. s^uib'
vcro mtcr fcoiilanriisconfonantif oiffcrant: id iam n5
fluribu0:qnarum funtobtufa iudicia:ll'd regulisrationi
q5perniittunt:vrquafiobfdicn0quidam:famulus(p
fir rcnfu0:'3uda' veroatq? tmpane raio. 'Wam licct oi-
um pencartium arci^ipfius vi f momentafcnfuum oc
afloiic p:oducta fint:nullum tamen in bi0 i udioum ccr
pim:nulla vcricomp:ebenfio:fiarbitnu3rationi0 abfcc
dacjpfc enim fcnfus cque marimis minimifq5co::um
pitAir. iRam ncci5 minima fcnrire proptcr ipfo:um fenft
biliU) paruitatem potcil:? maio:ibu0 fcpc tontiinditur
"tit in vocibus:quf II minimf finr:oifficiliu0 pptacau'
ditus:(ifintmajcim(:ipfiu0fonitue intentione furdC'
(dt.

COuemadmodumT{bvtbaso:a0p:opo:tione0(onfo'
nanriarum inucrtigaucrit. jCap. lo.

fc igirur marimc caufa fuit:currelicto aurium
b iudicio.iDYtba(^o:as ad regularum mometi
tamic!rauerit:quinulli6bumani0aurib^cre'
den9:quf partim natura:partim ctiam eictritt
fc(u03ccidentibug pctmurantur:partim ipfis varianf
ffatibu0:nulli0etiam oeditU0 inrttumentis:penc6qu€
ff pe multa varictas atq5 inconilantia nafccrctur:oii niic
quidcs fi nemos velie afpicere: vel aer bumidio: pulfus
obtiidere.:vcl ficcio: c)cciearet:ver magnitudo (o:de gra
uio:cmrcdderetfonum:vcl acumcnfubtilio: tcnuaret:
vel alio quoda modo ftatum p :io:i6 conflanti? mutarcr:
n cum idcm eifct in cf tens inilrumentig: omnia bf c inco
fulta minimf (^cftimansfidcioiufftuans inqulrebat:
quana ratioiicfirmircriconilanter confcnantiarum nio
menra perdifccnt . Xummrerca t>iuino quodam nutu
p:erericn0 fab:o:um ofricinaspulfo^ malleo^ eraudiuit
cr oiuci fis fonis vnam quodamodo (oncincntiam per'
fon.^rc.3t.uairuradid quod oiuinquircbar. attonitus
a((clTit adopus.?? iucd (onfidcrans arbitrarus cil oiuer
fitatcm fono:um fcrientium vire0 cf^ucre. 'Mtq^ vtid
flpcrrius colliqucret:murarcnt inrcr fc mallcc^s impcra /
uir. Ocd foiio:um p:op:ict30 non in boium lacerfis bc
rcbar:fcd mutaroo mallcostomitabaf. tlbi igif idaiad'
ucrrir:mallco:um pondus craminar. €t(fiquincn ecnt
fo:temallci:DupIircperti funtpondere:QUifibi fccundo
Diapafon confonanriam rcfpondebant , ^undem ctiam

qui ouplWft 3lio:refqaitcrtiumarfen'^(ontp:cbcfidic
fldqucmlcilicctoiateiraron fonabat.:^daltum vcroque
dam:quieidcm Diapentc(onfonanriaiunscbatur:cuu'
dein fupcrio:ia ouplum rcpcrit cife fefqualtcrtt5. SDuove
robi:ad quosfuperio: ouplccfcrquiterrius 1 fefqualter
ec p:obatu>3 c(l:ad feinuicem fcfquioctauam p^opo^tio'
ncmperpcnil fuiucurtodirc. Ciuiinus verocil rcicctus:
qui cunctiSiTatmconfonang.itum iqiftiranre •^\tba
So:am conlonantif muficf partiinMap^fon^parrim oia-
pcute.partimotafeiriron:quc cfl confonaiitia mimma:
vo(arentur:-i^:imu8 ipvtbago^^sbocmodo rcperit:
qua p:opo:tioncnbuuetbfC fono:umco:da lungcraur.
ift vt (U dariU8:quod oictii cfl: iom yerbt graria mal
Ieo:um quariio: pondera:cii;f fubtcr fcripti^ numcris co
tincanfur.i;.9.8.6.lir>ii^irtirmaIIei:qut.i2.T.6.ponclc
ribu0 vcrgcb9nt:oiapaionin ouploconcinentijam per
fonabant. ilTDallcu^ vcro. i:.ponderum ad mallcum. 9,
£t malleu0.8 .pondcTUiri ad maIlcum.6.pondcrii fecit'
dumepiriitamp:opo:tioncmoiatciTai-on(onfonantiflia
Sebatur. iQoucin vero pondcrii ad .6 . 1; .ad . 8 . oiapen'
teeonfonantiam pcrmtrccbant.incuem veroad.s.infcf
quioaaua p:opo:rioi\c refonabaiit t9uum.

CT^uibus modis varif a ifS>Ttl'a50:a p:opo:tionea
confonantiarumperpcnffnnt. jCa. 11.

^nc tflitur oomum reuerfu 0 varia cramina'
b tioneperpcndit;an in bis p:opo:rionib''rafio

rrmpboiiiarumtora coafilk'ret:lDunc quide

f qua pondcra ncruis aptans^f o^uqjconfonl
tiasaurc oiiudicansifl^unc vcro in longifudmccalamo
rum ouplicitatem mcdiet.;tcmq5rcitirucne:ccteras q^p
po:fioncsapran0inregerrima5tidf oiucrfa crpienria ca
piebat.i2>f pc: p:o mcnrnrarii modo CYarbosfquo:um
pondcmm acetabulia immiten0:£)cpcipfa quocp aceta
bula Diucrri0 fo:mata pondcribus virgafrcafcrreaue
percuticne nibil eC oiuerfum inucniiTc If rarus cit . l^ic
f t ouctu 0 longiriidinc (raiTitudiii cqp (o:daru5 vt eyami
narefaggTeiTiiscrt.^jtaqjinucnitreijulam^oequapoilC''
rius Ioqucmur:quf er rc vocabulum uimpfir: non <prc'
Sulafirlinca:pcr quaminagnitudinc0co:darum fonii
q5 mcrirurrfcd cp rcgula quf da5 fit buiufmodi mfpectio
fira firmflqj: vt nullu inqujrcntem oubio fallat mdicio.
CTiDw Diuidonc vo(u:caruii5 crplanarionc. £ap. i:.

^d ocbi0bacfcnu0.inunc vo(um Dil^crenri/
8 80 (oUisamue . £)mni3 cnim \oj: m ftnc"

d)fi3 ffl.-iitKwnfinua.-aiir Dfaltmatifc nuf oWttircuj in
ccruado rufpcnrd.-: conrintM iiiiiddc:qi)j loqiicnrc^: vct
p:c»fam o:anonc lcgcnrcij vcrba pcrairrimus . fcftinai
enim tnnc vot no bcrcrc i acaria t grauib'Yoni9:f5 tpve
lotiflrmrc vcrba pcurrcrc crpcdicndifq} fcnfib': crp:im2
difct^fcrmonibuetonrinuc vocieimpcr^^opcraf.IDiafte
maritcaurcmciUa:quamcancndorurpcndimU6:i qua
non poriue rcrmonibue^rcdrnoduUsuifcruun^.tEncp
Tovbfa rardio::-; pcr modulandaa varicrarce quoddas
faticneuircrujllu;:noracirurniraris:r5rHfpcnff actflf
tJ? ponue tanrilt Pf . n3ie( vr albm'aummat)addif rcr
ria o:ta:quf mcdiae vocce.poifirincliidcrcuii fc^ beroa
pocmatalcs:m'':ncrt3?rinuonirfu:vtp;ofi:neci5t"ufp<ti
fofcsiuo:iq3 modo Toei0:vttanricij.

Cl ^uod infinitarcm vocn bumana na fimcrit. iCa. 15.

^dnuf conrinua voicc:? ca rarfus qua octur
, 0 r nrVaurilcna:natiir.!literciuideinfinitf funt
^onfidcrationccni'; atcfpta null'' modus vel
euolucndis (crm nib'fir:vcl atuminib^attol
Iendie:c;rauitaribu6 cp larandis. :£>5 vtri fqg natura bu
manafmr.pp.iil finc. (Conrinuf eni voci tcrminii bumi
nu« fpij«fccir:vln-aquenullaronevalctctccdcrc. Xato
enini vnnfquifiB loquimr prtnuc:qu3rtl namralis fpn»
flnar.lRurfup oiaikmjriccvoci na boium rcrminofatit
qucamra^ co? vocc graucci? oetcrminat.^lrmeni vnuf
quifcij vcl acumcn valct ertolkre:vclDcp:imeregraui/
tatcm:quitu vocte ei^naturaiiterpatifmodua.

C^uismodusfitaudiendi, tfa. 14.

•^inc qui0 modus aiidiendi fit^Ciflcram^.Xa
n Iccniqniddafieriprueuitin vocib'': qualeco
paludib'' vclquietisaquis iacto emin^mergi
njrfartj.Tjbii^cnit naruilTimti o;bg vnda toUifiit.SIkin
de maio^ib^i :bib''vndaru globoe fpargit atcp eo vfcg:
oti farigat^^mcrusab clicicdi 9 flutrib^^coacfcar . £>cpc5
poftcrio: 1 maio: vndulJ puiruD<bilio:cDiftundirar.
g> fi quid ftr:ql5 crcfecrcs vndas polTic offciidcrc :ftati ille
mot''ieucrrimr:'i q(\ ad cc ntrum:vndcpfccr^fucrat:eif-'
dem vndnlis roriidatur.^^ta ij^iturcfiacr pulfus iiccrit
fonu:pc!lit aliit primii:? quodamodo romndn fluctfiae''
riscict.^racp oiffunditur:touim circonantiij fimulfe>
ritauditum.atqsiUicrt obfcurio: vor^quilonsi^^ftetcrit
qin ad en Debilio: pulfi aeris vnda Quenic. ,

(T^e o:dine tbco:ematum.i.fpeculationum.
jCapitulum. 15,

0^0 igirar ita.ppofitie oicendu videtur : quot
b gcnmb^^oiscanrilcna tej;atur:oequib' imo

nit^ tucntionis Difciplina conHdcrat. :&ucau
um bgt:iDiatonicn: iCromaruij enarmonico. tDequitf'
ira ocmijcrplicandii c:fi p^i^^oetenwo^dia oilTenim':et
qucadmodnmauct^ncruo:u numer^adid quonocplui
raliraserttvfcupucnerit.ldaQtfict: i5i p^i^^tdmemoje'
mus:quibugp:opo:rionibu6ftmpbonifmufttc mifte
(intur.

C£>e confonanrifs p:opoirionum:T tono:'! femiconio
Capiralum. 16.
'lapafontonfonantia e(l:quf fit 1 ouplo vt b^c
0 cft.i::.g?iap'cnte voQUc pftatbig numtris.?.
5.53iatcflaron veroc:quf in bac.ppo:ri5e eon
flftir.^.^.Xon^^^o fefQuiottaua'ppo:rione to

tludimr:£jcd t bot nodu pfonantia^vt. ^ .9.iOiapafoye

ro t oiapcnte tripla tomparatione tolligiwrbocmodo.

j.4.6.^^ifdiapafonquadmpIatoll3rione pcrficirar. :.

^.s.CiiatciTaro veroacDiapcte vnumpcrfitiunt oiapa

ii3nbo(mddo.:.5-4.

Z>iapcnK

1 «

5

4 1

V 1

C"*Wam fl roF voci ooplo flt awta vf l grauis: oiapalS
lonronantia fiet. £>i vov vcxi ftfqiialtcra p:opo:tione (it
xtl ftfquitcrtia: vel ftfquioctauaaoitio: grauio«B.*Disi
ptntt:«loiatclTaron:vcl tonumconfonantiam rcddct.
Jtcmfi oi«pafon.vt.:.'T.4.'J 5iapcntc: vt.^.-J.^.coniim
gantur:tnplam:quf cil oiapafon i oiapcntc:cfficiItflm
pboniam.$ fi bie oiapafon fiat: vr ouoadquarao:: i q
tuo: ad orto:quadmpla fictconfonantia : qu? cft bifdia'
palbn.g? fiftfquaUera:? fcfquitcma.i.oiapcntc:'; ofStcT

iron : vt ono ad trrs:? tre? ad quattio: ccjhiunsantitr:
iDupla.i.otapafon nimirum nafcimrconcincntia.^ua
tuo: cnim ad trcs fcfquitmiam cptincnt p:opo:rioncm.
Xvee Tcroadbinarium fcfqualrera collarioncliuncnm''
tur.^idcmquatcrnariueadbinarium appoHtid cupla
rt fomparationccopulanir. £>cd fcfquitcrtra oiatcfTa»
ron:i5cfqualtfrap:opo:tioDi!jpcntccon!onantia crcac
HDnpla vcro ©iapafoii efficit frmpljaniam. iD;atdTar5
igitur a( oiapcntc vnam oiapalbn concincnriain iunguc
^urfu«tonu0 in fqua Diuidi non poteft.curautcs: po
ftcriue liqucbit, tt^unc l^ocstanrum noiTc fufficiat.q' nfi'
^tonuein gcmtna^quaoiuidimr.^ccp vtid faciilimc
tomp:obctur:£>itftfquio(tauap:op,^:tio.s.9.lDo:um
nuUuenaturalircr mcdiue numcrue incidct . iDos igif
binario mult{pliccmu0:fiunt bie.S . I6.bi6.9.i8. in^
tcr.i^.autcm.^.is.vnue numcrus naturalircr intidit
qmcftfcilicct.i7.^5ui Oifponanturin o:dincm.i6.i7-
I8.3gitur.i6.ac.is,collati fefquioctanam rctincnt.ppo:
honcm:atcBi*lcircotonum.j£>cd'j)au(p:opo:fionc5.!7.
numcruB mcdius non in CQualia partirur. Comparat^
fuim ad.i6.babct in fc tomm.i6.7 cius fcrtamdeama;
parrcmfciliccc vnitatcm. £>i vcroad mm ide(hi7.tcrti
U6ide(l.i8.numcru0comparctur:babctcum torum: %
ciU0 occimamfeptimam partem.iBon igitur ijfdt 5 par
cibus 1 mino:cm fupcrat: i a maio:c fupcraiur. £\\ cni
tnino: pare lcptima occima:maio: foctadecima. £>; vtra
CBfcmitonia nuncupantur.l^on $ omnino femitonia
Oc^quoflncmcdia^rcdquod fcmum oicifolctrquodadin
tcgritatcm vfcp non pcrucnir.^cd intcr bft vnum ma'
iU0 femitonium nuntupamr:a(iud minus.
C^n quibua p:imi0 numcri^ femitonium conftct.
.C^iitulum. 17.
Dodvcro ftt inrcgrum ftmitonium: aut qui'
4 bU0p;imi0numeri6tonfter:nunccuidcnti
UB crplitabo.^dcnimquod ocDiuifionc tc
ni Dictum crt:non ad boc pcrtinct: vt fcmito'
flio:um inodoe voluerimu^ ortendcre:;!£>cd ad id poti'
qjionumin gcminafquaoiccrcmusnonpofle oifiungi
©iatclTaron :quf crt confonantia: vocum quidem e qua'
tuo::intcmallo:tjmtriuin.jtonrtat autcm crouobuoto
ni0:'znontntcgrolemitonio.£>itcnim fubictra ocftri'
ptio.i6i.:i6.z4i.:S6.Bi i5itur.i9:.nunKru0.:j6.tom
parctur:fcfquiartia p:opo:tio fict:at oiatcflaron concinS
tiamrcfonabit.Q^cd ft.:i6.ad.i9:.tomparemue: fcfqui-
ottaua p:opo:tio cft.eft cnim eo:um oiffcrcnria. : 4-qUf 2
ocraua par e oc. I9:.cil igimr tonus.lRurfue ft. :45-
2i6.toparctur: crit altera ftfquioctauap:opo:rio.iRam
co:um oifrcrcria.:7.par8.:i6.p:obaturottaua'. •|l\crtat
comparatio.^f^.ad.:^^. Quo:u5 biffcrentiacft.i5.Qui
o<tic0 facti mcdietatcm.:45.non vidcnri)rimplfrc.'Wo
f igic femironifi: fsmin^afcmitonio.tlitmiintcgrn c?fe
mitonifi.iurcputaref .€)ico¥ oiffercnria: quf eft, i^. fca
O(tic8medictatc.:45numcro:opomiflcfquarc.«rtq5
vcrn femitoniS min^ :45.ad. :r&.comparatio.

piatcflaAoiy

»77

CJDiaKirironaoiaprnrftdnooidirt. €a^. is.

'fci rfus oiapnittfonfonaiitia vocuni (juidem
r tft quinq5 intcruallo:um quatiio:: triu? tono
rum:T miiio:c rcmironio. iPoiiatiir i<ic numc
ru0.i9:.T nTcfquHrcr fumatur: qut adcuni

oiapcntt faaat confonanrtam . Sit iiittur Mumer'*.:^ 8 .

3giturl>o:um tfupcriuelJcp^ebcnfov.i^^.poiiaiuur i

mcdionumcribi.:i(5.:4}-5^- fitbotmo fo^mata

l<fititio.i?:.:i(5.:43.:56.:ss.

C3n fupcrio:ci^riir ocfcnptione, ins. 25-6. ouosto^
1100 7 fcmitonium contincre nionrti ati funt:*fKert9t igif
«>mpar«tio.:56.fld.2S s .quf c rt fefquiottaua idcrt tonus
co:ij(p oiSi cft.5:.quf crt o«aua pars.^ffi.Oftacp mdftra"
tacrtoiapcntcpfonantiactrrib^tonts fcmitoniocg fon
flarc.c^rcd oubium oiarcfTaron ? onantia aceniij nona'
ginta ouob 'numcrifl vfq, ad.:^^. vcncrat. Wfic vero oia
pcntc ab ci fdem . 19: . numeris vffU ad . :s 8 . oirtcnditur.
;©upcratijr igitur oiateiTaron pfon Jtia ad oiapctc ea
po:none.quf rter.z^^.T.^ss .numctoa ptinetur.2ltf bic
toii^.oiarciraro igif i^mpbonia a oyapcte tono trafccdiC
CiDupafon quinc^tonie:i ouob^^icmitonija iungi. ,^
^apitulum. 19.
^apafon pfonantiaconftat ex quinc^ tonie: 1
> ouobTcmit nii0:quf tamf vnii nd iplcautto
nu, 0in cni monftratu c oiapafon cx oidpen
tc? oiarciTaron pfiftcrc:oiate|Tafon rcro.pba/
Mcftffoiiobustoni^tfcmitonioconftarc : oiapentce]C
tfibU9toni0K femitonio:flniuliunc(acftKiunt quinc^

totios.^rd qm illaoixjfcmitonia nScrJir intcgrc mcdie
tari0:co¥ piunctioad plcnii vfci^ nopucnit:£xd mcdic
tare quidc fupat:9b itcgruatc rclii qintur.if ft ciapa
ibn fcciidum bancroncm quincj tonis: 1 fcniitonus
oiiob'':^^!!? ficutad intcgrii roinlnoafpirat^ita vltia in
tcgrii fcmiteniuj p:odcunt. ciuf bo:a fit ro: vcl quc
admodiiipff pfonantic muflcf rcpianf : portca liquidi'
crplanabitur.^ntirea pnti oift utationi lub mcdiocri in
tcllic^ctiatrediiliraBadbibcdaf.tunc vcro firina 01*0 fi'
dea "fumcda c:trip:op:ia vnijqi:odq3 bcnioilrdriot cla'
rucrit. IDi0 igif ita oifpoAti^ paulifp oc citljarf iiei uie:
flc oc coy noibU0:quoq5 mo funr addrti:oilTcram'': kiui
co^: cj fit nominii.n?>i0 cni p:iniii ad noticia vcHicti'
bU0 fattlccrit fcicntia qiif fequuntur:amp!cai.
C"iDcaddirioncco:da¥:camq5noib^- iCap. :o.

3mplicc fuilTc p:in(ipio muficani rcfcrt nitbo
e macue adco:vtqu9tuo: ncruiotoraconftaret
3dii5yfo3 ad ozpbeij ourauit: vt.p^inV^quidg
ncru"? quart^oiapaiTon pfonantia refoiiarf t
jf^cdii vcro ad fc inuicc arq^ ad evtrcmo0 oiapctc at oia
teftaron:a(roniKiHil veroietscftctmcofona : adimira
tion? fcilicet clDuftcf mundanf:quf cvcituo: conftatcle
incnti0. Cui^quadrico^di HDci turi"i>i(ifur hiucnto:.
^uiuta vcro(o:da poft d)o:cb'arbi0 tili^adiun)rit : qui
fuit !LYdo:5 rcv.W^yasni© vcro pb:iic fciru bie appcfu
it nerua. g>cd fcptim'^neru% rcrpandro lcfbio adiunct'
cft fecundumfc5planetarumfimilitndincm. 3ncDbi0:
quf grauiflima qmdem erat : vocara 5 bYpatc quefiina''
io: atqj bono:abilio:. 'tl nde ^ouC-cr bxpaton votant.
jConfulem eodc\n quoq^ nuntupant ncHiiitc.pptcr ckcI'
lentiarn oignitatie . tfacg faturno cft artributap:opter
tarditatc mot^:-; grauirarcm foni.TParbYpatc vcro fccij
da quafi iu]cra'bypatcn pofira t collocata. licbano^ rcr'
ti9idcirco:qin licbanoe Digitus oicif: que no0 indiccm
■vocam^. jDrf(U8 a Ungcdolid>anon appcllat.tFt qm in
cancndoadca (o:d3:qHf erattcrtia ab bypate^inder bi/
c!it^:qui cft Iid3ano0:inuenicbatur:iddito ipfa quoci5 It
<bano0arpcllat3 c.Quarraoidrurmcfe:qm tntcr fcptg
fempcr cft mcdia. ^uinta i paramcfc quan lu wa mcdia^
toUocara. g^cptimaaut Dr nctc:quafi ncarc idcft infcrioj
3ntcrquam netcn:-» paramcicttcft fcrta:qu? vo(4f.,r pa
ranetcrejoafi iuvta nctcn locata. iJitaramcfe vero qifi tcr^
tia ert 9 ncrc:eodem quoc^ vocabulo tritenuncupatur: vt
fit pefcriptiobtc.

Cl^isottaua 0amius'Xtcbaon juJiunicit tatcpinter
I?a2amefen:qu( ^t true oiciturti paraneten ncruum n%di
URi coaptauit:vt,iprcteTU^eCret anete.€tparanicfe qni
Cm votttaetl lcAum:qu$ poll nicdtdm (oUocsiMiur trt^

IC0 vcronom2pcrdidft:po(!f9CB interea: arq? paranttS
tcrtiu0 a nctc locamscft ncru^:qui oignc tritcs nomC' ci>'
(iperct;vt nto(to(o:()um faundU5 Xrtbaomsaddicione
bocmodo»

C5n fup-onVisif oU9b^c*ifpoflriomVfpta(o:di:Totfo
co:di.fpraw:dumQnu1?oicirur fYncmcnon: quod^con
lunaum. i3cro(o:diun vcrooicjnigmcnon quodcftoi'
fiuncrum.^n fpraco:do cnim crt vnum tcrra(o:du»n:bif
parcparhrparc: licbanoe: ODcfc. 2lliud vcro mcfcpa*
ramcfc:i^ara-crc: iHcrc : JDum mcfcn ncruum fcaindo
numcramns. ^ltqj idco ouo rctrfl(o:da pcr mcfcn (onia
g»inrur.*jn octo(o:do vcro qifi oao funt (o:df : fupcrio/
rc9 quaruo: ideft bYpatc-^arbyparcXicbanos: jOOC'
fc. vnum rctrflco:dum cjcpknr. 2lb boc vcro Oifluncnim
flfCB intcgrum in(boat a p9rflmcfc:p:ogr(ditur<p pcr tri
rcn:'? paranctcn:? finitum ad nttcn.T cft oiflunctio^QOf
vocatur Dtcseufld.Xpnufq^eA omntUt tVt(ee: i -fm

(oaptauit (o:da5.XimotbcU9 vcro rX^ilf fiu9 vndcciina
^uf qiioniamfupcTbyi-arcn.arq-.paibyparcn funr ad
dirf :byparf qiiidcmbyparon vocar? funrtquafin^apmf
tnasnam:tsrautirimc5rauiimi:aurcrcellcnrf9 crcillfn
tium. iocd vocara ell p:ima inrer vndfcim byparc bvpa
ton: C^ccfida vaoparbypflfebyparonrqin iurra bypa'
tcn bri^aron coMofarafil.Xariaqug cudfi in enncaco:-
do bypbyparc vcabarur:lichance byparon eil nuncu
para.€Iuarravobyparfflnriqufirfnuirncn,c. Ouinra
paibrpat^i&crra iKbanoeannquu.f.bcne vocsbulu,
^cptimfl mefc.^^aaua parflmcfc.l^onfltrite.lDcciina

1 btpaff^^H

1 jibipatc
-] Itcbaor

1 sl

f o 1

M *^ m
/ V

-J Vwntfc

\

tritc

1 ^

1 o
f ^

•n pflratioc

/ 3 J

r9mcfc0:l^i(igitur mcfa tanmm quidcm nomw obtf/
fiuir. iBon enim c ll mrdia pofiiionc.q: in o£roco:do cof
quidcm fcmpcr mcdif repeiiunrur.^-^cd vna niedia non
poteil inucniri. iJb^opb^allue autc m pcriotcs ad gta
uio:cm partem Tnam addidit fo:dam: vt faccrct totu eii<
lica(o:dum. ^u? quonia m fupcr bypaten eft flddita:lbv;
pcibypatccftnuncupatfl.0ufp:r^quidcmt)um noue
co:darom ranmm cffttcitbara bypc rbypate vo(abatur.
IHunc autcm lid^anoe byparon oidmralue fupcradui/
ti8.3n quop:dine.atct3 iiillructioncquoniam ad idue^
t>igitum vcnicXicbanoeflppeUfltacrt.^Jcd boc poftc
riU0 apparcbit . '^une vcro ^ nnmozdi o:(io iK le ba^
ber.

I
z

I

4

1

. J

1

1

S"

1

6

7

1

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1

9

' 1

1 IP^Ypcrbtpati

2 K>Ypatc

T^ibYpate.
Xtd:ianoa

l^arameft
Xriit

THcrc

pflrebyparo.rarbypflrcbypaton:licbflrosbypat6:bT
patc. 21liud vo l3ypate:parbypatf : 1 ul?i»o6: iTOffc. € i
h(C quid^ pmncta funt . Xcrtiii f o i paramcfc:trite para
nctc^lRetc.ii^joni intrr fu]:iueteria(o:dum:ciuod^bt
f fltf byjat5:pdibyparebypflron:Xubano8 bypato: bt
patf mcfon:': intcrinfimii:qbcp9raincfc:rrirc:paranete
nctf:ftrFofttionenv dii'iterrdto;dii:q(5cbYparc: parbY'
pflre:X icbano6:mc 'c^tomm boc mcdir.m tctrfl(o:du mc*
fon vocflmmiC qiafi mcdiaru:vocarur(t^cumfldditflm2
to 13 byparc nufo. pai bypflrt mcfc:iub joe mcio: mefc.
^m-w iter boc mefon (ara(o:du:{ 'mi^:<^^ S.nctarum:

»78

mtfteiinfetineomnc tetmoz
dum CitiUiiictar& idxtt^oie^eas
mmon vocamm eil a addttt
mento rcilkcr boc. iJbaramc
le|oie5eugmcno:mrc DtCjeug
nunon:paranrte oicjeugmc
nonrnete oiescugmcnion : vt
it Dcfcriptio.bot modo.

CCftigitur bictnter para^
mcfcm at mefen otfinnaio at-'
CB «5 oic^eugmenon tetnieo:'
dtimboevocatumc. ^uodfl
panimclc aufcrarur:? nr mefc
triK.parancte. nete: tunc con
innctaideil rtncmena erunt
tria tctraco:da : vocabinirc^
Tltimum tetnKo:dum ftnc /
incnonbocmodo.

C;5cd quontam in batvrt f
fupcrto:c cnd ccaco;di otrpoft'
tionc mcre:(iu( p»pter mcdiS
collecationcm ita vocata c:ne
ce p:ojcima acccdit t longc ab
b^pane vltimidoinat:nccp
pzuim Diilanrif rctinct locu$
■Ihid vmim tctraco:dumad^
tonctn cf\ fuper neten oicscus
fnenon:que quonias rupcrua
dcbantaaimincnetas uipcrt
n0(oUocatad:omne iildtetra
co:darabTPerboleon vocatn
cd.bocmodo.

ll3YPflitl)>'Pflton
iParbrpatcbYpaion
jLicbanos bYparon
K^YPatcmcfon
1^>afbtparemeroij

Xidjanoe mcfon
«'Defc

^aramcfeoft^fltgmc

Xritc bicseugmenon

"lP>aranctc oicseugme
non

"f^ftc oicjcugmenoii

K)YpatcbYpaton
T^rbYpatc btpatS

XCtbanosbrpaton
^ l^YPftt^ mefon
1 l^rbYpatcmcfon

Xicbanodmcfon
'tfDefcrtncmcnon
XritcfYncmcnon

1 T^aranctc frncmcnS
I*KetcfYncmcnon

JE)YP«fbYpatoit

iParbYPatcbYpatS
XicbanoebYpaton

IDTpatcmcfon

•tfbarbYpatcmcfon

Xicbanodmeiisn
filDcfc

*^ramcfe

Xrite oicjeugmcnott

•j^araetetoicjeugmcnS
l^ctcoic3cugmcnon

XrifcbYperbolcon

] Tp>arancrcbYpcrt)oIc5

iRctcbYpcrboUon

\

C ouonijm nirlli? mefe nott fr.it lof o medirJ^ tM
pi^ byparn? .icccdcbar : 'Jfcirco fiiper byt^arae byp aton
Bdilitaert vnaco:da:iiuf oicirarp:oaambanomcno8.ab
«liqiiibus flutcm p:o'mflodo0 oicitur , totioiiuegro oi^
flane anea quc eitbvparebvparon: iftipfa quidem
idcd p:oflambanomeno6 a mcfe octaua ei\ rcfonan» tuj
u oijpafoii fYmpboniam.^adcq^ad lid^anon brpxon

refonat oiatcfTaron ad qiiarram rcilicettquf Ifeanoc bYpa
ton ad inefon rcfonat biapcnrc fympbomam i td ab ca
quinta.iRurfusmcfca paraincu oirtattono:quccadem
mefead nctem Dic^cugmenon quintamfacit Mapftccd
fonantiam: *3uf lutc oir^cugincnon ad nctc bvperbo-'
kon cjrta fadt oiafefTaron foi-arii .7 pzoilait^banoincnos
sd nctej I? YE boled reddit bifdiapafon pfonaiia.boc m6.

9}

• -fibronam
banomC''
_ no0
i HDrpott
bTpaton

] patbr •
patc bf''
paron
I l;cbano0
bYP^ton

inefon

'p9temcf5

. licbanof
' mcfon

] ^arane'

] Xrirc eic

jcugme '
non
1 iParant
teoicjeug
ftienoii
. iHcte Die

mciion

i XritebY''
^boleon

3 iJ^arlctf
bY£bokd

iHetebY'
]^boleon

ClDiSfnffibuscanHUnarum. , jCapitulum; ji.

5«iginirfrpcditis:t»tfcndum cft oc gencrib''
b meloium. g?untflutem tria biatonum . cb:o
ma. tFnarmonium-r oiaroniciimquidem ali
quantoouriue-rnamraliust tCbroma vcro
rft iam Quafi ab itia namrali intentione ocfcendens in'
moliue occidf ns.-gnannoniumverooprimeatcp aptc
con'nnmim . Cumfint igitur quirc^ rctr2to:da b vpatS
mefon fynemmenon. oicjeufmenon . bypctboleon
bif om nibue ^cc undum oiatono canrilcnf p:ofedit voy
ppr rpmironipm.tonumactonum.^nTnoterratotdo.
itflurfus m aUo per fcmitonium tc num ac tcnum:a( ocin

cepe.^dcoc^ vocamr oiatonicuni quaf! quod pcr tonum
flcpcrtonump:octredi3tur.iCb:oma aurcm quod oicitur
colo:.quafi iam ab butufmocJi intcnrioncp:ima muratS
cantaturper femironium i fcmitonium i tria fcmitonia.
% ota enim oi atelTaron confonanna crt;ouo:um tono:u5
acfcmitoniirfed non pleni.Iracfum ert aurem boc to/
cabulum vt i)iceretur cb:oma a fupcrficicbus : quf cum
permutanturinalium tranfcunrcolo:em: fnarmoniiis
veroqiiodeH mac;ie coaprammcn: ^uodcanranir in
omnibue retraco^dis pcr oicfln n oicfln i oiatonu;. JDic
nsautem eftfcmitonijoimidium^-^^tflttniimycficmm
ocfcrtptio per cmnta tetra(o:da biffutrcne. boc tnO''
do.

ClDeotdtfK (boubnim nomi nibosc^ Jn tribns s^t
iit>U0. jCapuulam.

Hnc igtair o:do (o:d«? t>»(l)onf dus dl oiuj
n qu? pcrtria gcncra variantur vcl inconftan'
tio:dincoifponuntur.*g>:imaeft igimr p:o
Hambanoraenosquccadcs Dicitur pzofmclo
dos:Sc£undabYPflrebTpaton.Xcrtia parbTParc bYpa
ton. ^uarra rero vniucrfalircr quidem Udjanos appel
latur.i3cd fi in oiatono senerc aptctur:oicitur licbanoa
bYPaton &iatono9.5>i vcro intb:otnatc : oiciiur oiaro^
nos cb:om3tice.Tel Ucbanoe bypaton tb:omat ice :
autcm iucnaimonio:oicimr lubanos bYpaton cnarmo
nias vcl oiatonos bypaton cnamionios.i^oit bancvo'
tamr btpatc mcfon : JDebint parbrparemcron . Sltq? bic
licbanos mefon fimplititei-.3n oiatonico quidem gene /
rc oiatonosmcron,3iKb:omat£lubanosmcfon cb:oma
ticcveloiatonosmcfond?:omatlce. ^nenarmoiiio oia/
tonosmefonenarmonios.vcllicbanosmefon cnarmo
nios bas fequitur mcfe . -poW banc funt ouo ten-a£o:cla
partim fTnemmcnon:parfim oie^eugmmon.tEt fTnem
mcnoncrtquodpoft nicfcn ponituridcll trite fTncm^
mcnon . ©cbinc lidMnoefvncmmcnon.cademindia
loniw oiatonos fxncmmcnon: 3n£b:omate"vero vcl

oiatono0 rtnemmcnon d):om«ricc:r<I lifbanos fYncm
mcnon £b:omati£e.'Jn cnarmonio vcro vel oiatonos ff'
ncinmcnon cnarmonios: vel licbanos fTncmmcno enar
monios.-^oft bac netc rTncmi.non . £)i vcro mcfc ncr"
uo non fit fTncmmcnon tctra£o:dum adiunaum. £Kd
fit OiC5cugmcnon:cft poft mefcn paramcfc. JDc binc tri'
tc ojC5eugmcnon.'3ndelitbanosoiC5njgmcncn. @Uf
in oiatono.2:>i3tonosoif5fugir£non.3n fb:omate.
tum oiatono6oic5eugmcnonfb:oniati£e.nim Itcbanos
t)ie5cugmmoncb:cmatice.3nenarr.oniovcrotum Dia
tonosoi jcugmenon cnarnionios.njmlitbanos oic^c/
ugmenon cnarmonios.tF adcm vcro oicitur i paranc tc.
tumadditione vcl oiaroni vcl cb:om3tis vel enarmo'
ni).x?uperbafl ncrcoic5Cugmmon:trtrc bTpeibcleon:
jparanetebTperbolconiparanctebTperbolec n. tFtquf ^
paranctc bTperbolcon:eadem in Distono oiatonoe bp
pcrbolcon. 3« fb:omatcvcrocb:om9ticebTPcrbolcon.
7 ncnarmomo verocnarmoniosbTperbolcon. barum
■vltimacacftqucertnctel^Tperbolecn . tFtfitocfcriptio
ciufmodi vttriumgenciumcontmeat oifpoftttoncm .
7nquibu6 ? ftimltmdincm nominum oilTcrcntiam
pcr norabis. vtn neruinmilcs.tn omnibus mmcis qui
funt oiiTimilcsfolUganmrfiant nmuloiiines octo t xi
ginti.JtDocautem monHrat fubicaa ocfcriptio.

j.icbano6 bypatonoiatonoa
^YPatcmefon

•^-irtoypatc mefon

Xkbanos mefon otafonna

p^£g__ — ■

XrliefYnmitneaoir

IJ? :te rmminciion '

•^aramrlc

Iriteoicsciigmmon

•jpjrjnetc Dicseu.oiatonog
'iRete Di£$cugmendn

Xrttcl>yperbJleon

i^iranetc byybole5 &tatonoa
TBgtcbYperboUon

H^ypatebypaton
f^arbypatc bypaton

J.icbflnog bypgtoHcb«>iii9tt«
j^ypatcwcfou
•jbarbypatemrfon

licbanoe mcfon cbzomatice
/COiTt

Xfitcryncmmcnon

if^aranctc lYngmcnon cb;d.
IBctcfyncmnicncn »
"^f^ramcfc

-g^iteoiCaCUgmcnoH

•^rancteDic5cu.cbK)ma~
1^ctcoic5cug"hienon

TritebTPcrbolcon

Tfeiaranete byeboleon cbzoma.
THetebYperbolcon

A

Cr^Of Cntfntfffoccs (n fingulifl gencribus p:opo2ti»
nee. jCapttuIU5. 13.

;0c igitur mo ^ fincpla retracozda t gencru5 p
b p:ictfltc8 facta partitio 2. vt oia quid? Diatoni

ci gcncrie gncB terraco:da ouob^^tonis acfcmi

tonioptircmur. SDiciturcgtnbocscncrc ton^
fncopofit^idcirco qrn integer poniturmecaliquodei ali
«d interuallnmiungirartjSed in ftngulisinrcruallie i
tegri ifunt toni.in cb:omate vcro fcmitonio ac fcmitonio
incompofitocp tricmitonio pofita oiuifio cftc^^dcirco aot
fncompofituj boc triemitonifj appellam^: qtn in Tno col
lotatum ef! intcruallo.potcft autcm appcllari tricmitorii
im in diatono scncrc fcmitoniij ac ton^. no efl incom
poflru m.ouobng cnim id pcrficitur intcrualli6:£t icnar
tnoniogcncrcidcmf. ^onftataiJtoroicfi^-rDieri ^oito
no incompoflto:quod fcilicctppttreandecam incopofltff
nncupamus:qtn in vnocollocatum e intcruallo.
C^uidfitfynapbe. iCapituluiu :4.

d in bie ita oifpofitis cctnRitutiTq? tetraco:

disfynapbcefl.^uam piunctioncm oiccrc la^
« tina lignifiratione polTumue^quotif ns ouo te

traco:da vni^cdietaetcrminicontinuatatqi^
ceniangit: n in fcoc tctr«o:do.'

^tHfinonium

^;ollambanomcHJg

H^ypatcbypaton

JbaibYgate b ypaton

Xid?ano8 bypato enarmowioa
BDypacemefon"

l|barbYpate,mcfon

i.tcbanog mefoncnarmoniog

gjjefe

Xrtte fYnemmcnon
tDaranetefFngmcnon enartn

"l^te fxucmnK?'??

•^araaicie

Xrue oicsciigmenon
l^aranetc oic^cu. enarinontog

iRcteoie5Cugmcnon

XritebYpcjibolcgn

-j^aiflnae]>yp«^^
•^ece byperbolcoii

ZJ

pate
byp-i'
ton

bipatz
bipatd

no8 bi

, X ^ — J ' . E?^^'»

'tnapbe J i JKJypa

temefo

•fl2)ar '
bypate
mefon

licba'
noeme
. fbn
3 Obete

CBDoc igiwr eft vnum tctraco:dum bYpatc.parbYP**
fc.Iicbanog bypate mcfon. 2lliud vobyparc mcfon. par
bYpatcmcfon.Ucanos mcfon.mcfejn vtrifcp tsiturtt/

tracordi ffl ci\ aruriiTima. iPoilfiiorie ferosrauiiTima.
J6ilcH;til3conuinct(Ovn3,fa(5miq5Co:dabTpatt mefon:
ouorctraco:daconiungcni?: vc cadcm bvpatonac mcfon
tttraco:do m fupcrio:e ocraiptioncadiaiir:f rt igirur fy
tiflpbctquc coniunctio Oicitur:ouo:i] tctraco:dD:iimror
media: i:7upcrio:i3 c}Uidcm acutiiTinia:pol1crio:id vero
gr-iaiiTima.

<r|J3uid flt oic5cufis. jCapituIum. t^-.

3c5aJfl6 vcro appcllarur : quf Pifiunttio oici

0 ct potcihquoticns.ouo terraco:dfl roni mcdiC'
tate fcparanrur.vtin bisouob^^tetrafozdie.

I UDYpatemcron

1 ifbarbypatf me
fon

litbanos mc-'
fon

filOife
■j iRiflramefe

Xrite oiejeus'
mcnon

1 Tp^aranetc i>it-
^ jcugmcnon
Mitc oicjcug^
imcnoii

CTSDuolsitur tc raco:dacceuidcntcrapparcr quonia?
ouidemotto funi co:de. idcd oicj uflecri.i.otfiunctio i
termercn^paramefen^qncinrerlcpkno otftcrrc tono.
oe quibuscuidcntius ejLplicabitiir^fuin vnutn quodcp
ftudiof»ueevpla"andnm poilcrio: tracratusalTumpfcrit
-aedotlt5cnnu0intucMti quinc^ non ampltue rcrra'
to:da rcpertunnir bYpaton.mefon.fYncmcnon.oic^cus
menon.bYP«rbolcon. .
C^uibus nominibuencruopappeUaucnt albtnn^.
jCapimlum. :6.
Ibinus aot earum nomina lattna o:atoe ita

1 intcrp:etatu0 c:vtbypara8 p:inopalcsvoc9
ret. uDcfae medias.rYn^'"'^"*^ coniunctae.
Diejcugmenas oifluncias.bYpe rboleae ewel'

lmw.S>cd nobts tn altenoopere non crit immo:adu5
C^ui ncrui quioua ftdcnbUB comparcntur.
jCapiralum. :7.
Xlud tame,intcri oc i'npcrio:ibtietctrafo:di«
i flddcndum vidctur:q' ab bypate mefon Yf<K
adneten quafl quodd.i o:dinis oiflunttionifm
alerti6o:emplarcrt.in8inq3 InP^K mcfon fa
turnoSattnbutfl.paripate veroicuiali circulo conflmi^
liecft.Xifbanon mefon ni2m'tradidere.i:?ol meion ob;;
tinuir.trircnfYnemenonvcnus babct.paranctem fyne
mcnon mercunus regir.ncte autcm lunans ciriuU tenct
ocemplum. marcue rullius contrariu o:dtnem facit
iHam in fcjito Ub:o berepublica flc att. f t natura feri vt
cxtrcma ei: altera pane grau»tcr:e): altcra autc acute fonct
auimobcamfunim'illertellifercurfus;cuiusconucr^
floertconcitatio: : acuto ■icircitato^mouctur fono. /ora"
uifftmo autembif lunarisarcg infimus. namterra no"
na ivnobilifl manens vna fcde fcmperberet.bictgitur tiil
usterramquari filentiuinponit.f. immobilc . portbac
lui p^orim^a filentio cft:oat lun? srauiffimum fonu?
tt nilunii p:c(lambflnomcno0. mcrcuriuf bypate bf

paton.vfiiusparbYpatcbrpaton.Sonifonpcbvraro.
mars bYpate mcfon .iuppiter perbYpate ncfoii. f.nurn''
licanos rnefon.celum vltimuin mc fe. Ouc vrro fmr barii
immobilft?:qucvcrointoium mobilcs: quc auifminio
biks mobtlcfq? conflrtant:cum oe monofo:di rfaularis
oiuirionerracraucrocntlofusaptio:c)rplicandi'
CTQucfitnaturaconfonanriartim. ta. :s.

Cnfonantiam vcrolicctaurium quocv fcfus
oiiud(cct:tamen ratio perpcndir : Ouoticns
c cnim ouoncmi vnograuic:cintcm1uutur: fi
mulci5 puin reddunr pminuquoi^amoclo et
fuauem fonum.DUfq^ voces quafi conttincff in viumi
coaleffunt.tuijtfitca qu? oifttijr fonforfanna. fCvtn xe^
roflniulpiilfi fibtquifa- irecupir.nff tMnilcfnr odflurcm
fuaucm arci5 vnii cc oiiob^compofitum fonii:ii;i:cert quf
OtcituroiiTonantia.

CTHbiconfonantierePiunrur. Ca. :9.

1R bisaot comparario!b^"-'iitatis atq? acu
i mim^bascofonantias. ifec inuenin:QU?
fibicomenfuiatcfint.i.quf uora5 poiTunt ba
bcrccoimincmmenfuram:vtinmu!r«r-|icib*
ouplum ^ertillaparsmerinir: quf interfuoscrt rct'
minos Diff rcnria: vt intcr ouos:': q uo: binfli iusvrrof
<p metif :intcr ouos atci3 fev.quf mplarrt bihari' vtrof
<^mftiatur;intcrnciufm stqsccro ecdcm vmt3c>i: qug
vtro ci5 mct atur . •(Rurrus infuparpanifn-anbtrsri fef-
qualtcra fit p:opo:tto:vtquafuo: ad lct:bina»tuecrt:qni
vtrorcu mett Jtur.qui. ffil) vtro:umcpc!, &iftctenria. cp
fi levqui citiaf;t"p:opo:tio:vt Ti ocfo fi:nartoconiparcn *
tur:idcm binariu? vn^ofcg, mctitu; :i'.1 vc onor, c uc mt i
«tcris genenbug infquflSjrfltum.-quf fupra rfniJtnnie.
vtinruperparttfnrc.*i}^anifi>ui!inanum ad tcrnanum
<:omparcmus:biiiani:squi(o:iimbiffcrcnria c ntunu
metitur.lllam li i'cmclte;nariocon>.parar" nitro:(ff:t:iu
pltfatuscvccdit.^tim bis quinariocoparanjsiminc:?:
tertio vcro'ui.:;gredif.3tq5 idfircebcf pnnin incquaU
tatisgen'aconronanricnaturaMilUi girur.atnpli^q^in
bt6:quf pfonannas fo:in,qnt:mu!ra nmilia rnnt.iii bis
Teromintme;iJ p:ob9tur bocm5.'W.7qj Dupltlnibil g
aliudniTibi8funplij:XriplunibUaIiudnifirfrfiofim''
pluni. ^Juadruplum veio idem c Q' quarro fimplii. S)cf
qualtcruin:bt9 in dteras. Serquireftium vcro tcrpars
terti \quod baud racilc in fvtcris in? qualitarum gcncn'
businucnirur.

C ^Quemadmodum plaro ricat ficri cc n 'bnantias.
Capimlum. 30.

Xato vero boi modo ficri in iJurcconlbnantiS
p oiaFTPcccn^e cft inQt velocio:e cjdc cf acutio

rem lonum.bicigiturcum graucni p^fancrit i
flurem cclcr ingrcditur.offtnfa quc crtrcina ciu fde co:po
ris partc quafi pnl ue irerato motn rc ucrriiur: £!edia>
fegnio:;ncc ira fcleii vtp::mo impetu fmsiTus aifurnr.
:0uocirc3 grauio: quocp. tCutniwuriam qranio: rcdi^
cn8nuncp:imumgrauifono vcnifnii fimrtte occurrit:
miffcrarei:vnanicp(vfaitplato) foiifonantiam mikct,
C ^uidcontraplatonem nitbomacus fcntiat .

tCapitilum. 51.

€d id nicbomacus no arbifratur octfi veraci
9 tcmHecBcniflmtliiieefonronanria:f5 oiiTimi

Uum potfin vnumcsndcquonfonantiajve

nientium:graui'vciograui fi mtffeatur:riul^
lam.f3fcrcfonfonantiam:quoni;i bauf fancndi fon(o:dia
flmilimdo non f ftlcu:f3 oiiTimiUmdo. Quf tum oirtct i
ftngulis vocib^:fopuIaf in mi>:ri6:£55 ocbint poti^ni
cboiiiafusfierifonfonautiamputaf.inonirqrvn^tm
pulfus c:qui rimplicc modum vocisnnitfat^irfd ff mfl
perfuiTusncruus ffpiu^acrc^ pcllcsiiuiUascfticirvo/
te6.£)cdquiacavelocifasc):cuflrioniG: vt fon'' fonum
quod3modoc6p:ebendat:Diitanna non fe:itif Tqft vna
vo)cauribU6 vcnit.S>iigiwr jjcuiTiones grautiim fono

ec :

ru c5mf (liMbileo ftt pfuflToinb^acutojnroiiov; vt t biep
pctiontb^-qiint^ fiit>;armilim^lRon£Diibiii ciiiiniphi
comciiriiratwfibim£ttnifi:caf:vnati5vo(ijcft'iciat(onfo
niiiitiflni.

jnugconfon3nn9ciu.imcritop:e(ed9t. jCa. 5:.

€d inta OC0 c[me rctuliin^confoiiatias b?n
0 dnmiudiciuctvtiaurcitaquoci^ in roncqiw

l>ara mclio:c opo:tcatarbirrflri.€odc iianci?

nidaurisatfitirur fonie : vd oculuc afpcctu:
QUO animi iudkm luimcris vcJ continua ?Btitiite,-ip^:0'
poftto cni numcro vcl linca nibil S racili' qua ei^oupltJ
onilo vcl animocontucri. 3tcm poft oupli uidicium fca
tur oimidi|:poit oimidifi tripli.port triplii partis terti^.
Je>uc 16 qin facilio: cll t"upli Dcfcriptio:optima nichoma
cugputat Diapafon coiifonatia:poil bmc Diapcntc;qu?
mcdiu tcnct.bincoiapcntcacoiapalon : qii?triplum.
jCf tcraqs fcnmdu; cunde tnodu fo:m.iq5 oiiudicat. THo
vcro l?oc ptolomCccdc modo:cuiu0 onincm fcn£cntiam
potUriiiscrplicabo.

C^5uoftntmo9aipi?daqufoictafuDt. iCn. 55.
jDO nia tti quf ocibinc oilisenti^^crpedicda fuc

0 fumatl nu nc ac bjcu itcr atrctitcm'': vt in tcri in
fupcrficic quada b{c aium Iccto:is aiTucfaciant
qui ad iiircrio:c fciaj poftcrio:c tractationc t>c
fccndct.lflunc vcro quod crat pvtbago:icis in mo:i:: vt
cum quid a magirtro p Ytbago:a oiccrctur: binc mill%'
tioncmpctercaudcbat.jidcdcrfltcisro ooccntie aucto
rita8:idc5 ftcbat quam oiu oifccntis anim'' firinio» oo-
arinarobo:atu8 ipfecadcm rcru rSncm nullo it t»occnte
rcgirct.itaet n»nc Ieao:i6 fidei: qiif p:fponin)^:coincn''
d3mu8:vrarbitreturoiapaf:nin oupla.Diapcntein fcP
qualtcra.lDiatelTaron inTcfgtcrtia.2Diapcntca(Diapaf5
»n rripliri.bis oiapafon in quaprupla p:opo:tionc conli
flcrc."ip>oll vcro-; bocrooiligentr^cxplicabit . quibus
modisauriumquoq^iudiciofonfonantif muftcg colli^
Santur^ccfcraqjoia^qucrugi^^DiCfa runr:amp!io: rractfl'
tuscdilTcrct.^ ttoiium rcfcjoctaua faccre.ppo:rione: cii
<^ in Duo f qua oiuidi nonpofle: ficut nulla ejufdem gc>
ncris p:opo:tione8.i.Tupp3rtifulari9:oiatciTaron cnaj
coiifonsntiam ouob^tonts femitonioq^ confiilcre. femi'
tonij verocc ouo maiiis ac itiin^: IDia^ intc ^ utem trlb^
roni9acmino:efeniironiocontincri. iL^iapafonverogin

toni9 ac DUOb%ino:ibu9 fcmitoniig eppleri: iiccp ad
fc)cton:9 vlloino pcrucnirc.becoiapoikri'^'* numciom
ronc 1 auiium iudino comp:obaboatci5 bf c baaenu9.

CQui4fitmuficus. jC^pituia. ^4.

Dnc ilUid c intucndum quod ois arg omuiT
n q^etiA Difcipllna l?onorabilio:e naturalitcrb»
beat roncm qua artificm:quod maiiu arq5 oge
artifici9 occrccf.fOJuUoeni crt mai^^atc^ alti
U8 fcire quod quifcg fa£iat;'cLsipfumiIlud clTiCcre:$ friac
t cnim artificiu co:po:alc quaft fcruien^ famulatur. 'Alz^
tio vcro quafi'ona imi^at:'? nifi tiian''rcciidutn id quod ra
riofancit:cfFiciat:frurtrant.^uatoisiturp:cclario:efci
cntia muficf in cognitionc roni9:quam in ope cfTiciendi
atq5 actu tan tum. f. i^tuin (o:pu6 mcnte fnpatur: %uotf
•f.ronisepp^feruitio ocgit:illavc:oimgatatq5adrcau
t>cducit.3' nift parcatur ci"impcrio:CLpcrs rationi9 op^
tituIabit.^Undc ftt vt fpcculatio ronie operandl actuna
cgeat.iilDanuum verooperanullannt nifirone Ducan
tur.^am vcro quaiita fit glo:ia merirumcp ratio}ii9:bic
intillisi poreil . 9 cctenC vtita Dicam) co:ijo:alc0 arhft
CC8 non et Difciplina fcd cv ipfis ponu9 inilrumentis ce
pcrc vccabuIarT^asCitbarcduser citbara: vclribicenc);
tibia:cftfriii5 fuo:«in ii]ruinento:uin vocabulisnuncu
pantur:i9 vero cii muficus:qui rarione pcrp enfa iCanen
di fcicnnam non Icmicio opcri9:ic55 impio fpecuUrSis
fllTumit. s2uod.f. in ediftcto:um bcIIo:iifi5 opa vidcniuo
t in (ontraria f(il5 nunnipationc vo(abuli:£o:um naqp

nolbus vel cdificia in faibunnirvel tiucutimr triumpbi:
quo:umimpioacroncniinilitutafuntnon quo:U5 ope
rc feruitioci5 pfccta. Xria igitur funt gcncra:quf circa ar
tcm muftcani verfantur:Unum gcnus cftqiiod inftru'
mennsagitunaliud hngit i£arinina : Tcrnum quod
inrtrumcnto:ii op"carmc?tXi oiiudicat. £?ed illud quidc
quod i illrumentis pofituni cfi:ibici5 roram opam confu
mir:vtfunt citbaredi:quiq5o:sanocctcrilii5 iiiuficciilru
mcnti9 arnfi(ium,pbant:a mniicg fciennf intcllectu fc iu
cti funt.qifi famulantur( vt oictum cll;iiec quicqua aftc
runt ronis. £>cd funt totiU9 fpccKlationigcrptcs.jSecii
dum veromuficam ascntium gcnuscftpoctarc : ^uod
non poti^fpcculanoncac ratione quS naturali quodam l
ftincm fertur ad carmcn . 21tq5 i ccirco boc quoci5 gciuis a
inuftca fcgrcgandum ciT Xcrtiumellquod iudicandi pi
tiam fumit.*vtritbiiio9:cantiIen3rq5Co:umq5 iCarmen
polTit pf rpcndcrc: CJuod. f.qn totum in ratione ac fpccu
larioncpofttumcll:bocp:op:ic nuiftcf ocputabif. 'j^c^
muftcuseft:ciit adcft facultas fccundum fpeculatioiKni
roncm ve p:opofit3m ac muficc coniicnicntem oc mo /
d is ac ritbmis. IDeq^ scneribus fannicnarum: ac oe p/
miitionibus ac dc omnibH9:DC quib^^pofteriug cvpltcj'
dum cft;ac Oe poctarum carminibus iudicandi .

Cffiufdcm jBoetii oe HTiuftca.Iiber fecundus.
-^:oemium, Ca. 1.

•felpius volum? ciicta DigcfiTit: quf nnc
MJigcnti^cvplicanda c5 p:opofui.ita<e
0 p:iiirci5ad ca vcni3ni:qiicp:op:ii6ra'

tionibus pcrdocenda funt:pauca p:c/
mittam:^uibu9 eluaib^ano: animus
audito:lsad ca qu^ oianda funtaccipi

cndapcmeniat.

C:0uidpTtbago!as elTcpbilofoplj^am conftitucrit.
^apitiilum. 2.
'iRimus otum pytbago:a9 fapicntif ftudium
p pbilofopbiam nticupauit . Quam fc^ cius rei
notitiam ac oifciplinam poncbat:qiif p:Op:ic
vcrcci5 ce d iceierur . €" ffe autem Ula purabat:
qucnccintcntionccrcrcercnrnecoiminutioneoccrcfcc'
Kt\t:nec vlli6accidentibusmutarcnnir:li3fcaurcm eflc
fo:mas:magnitudinc6:quaIitatc9.babitudincs:c?tcra'
(^:QUcprcfpccuIata immutabiliafunr;iuncta vcroco;
po:ibuspermut3ntUr: 1 multimodie variationib^mu'
tabilisrci cognatione vcrtuntur.

(TiOe Difterenttis $titati9 : qugcui oifciplinf ftt t)c
putata. fCapimlmn. 5.

iDDnts vcroquatitas fecundum pytbago:a5
0 vcUonnnuavcIoircrctaeft: x)cdqueconti'
nua cft:magnitudo appellatur: aii? oifcrcta
cft multitudo. 0uo:um b?ccft oiiicrfa 1 con'
traria pcne p2op:ieta9. iTDuItitudocnim a finira incbo'
aH9 C^titate (xe((er\e in inftnita p:o5rcditur. vt nullua
crcfcendiftnisoccurrat. «ftcgad minimu5 tcrmmara i'
tcrminabilisad maius.eiufq5p:incipium vnitase:qua
minusJ cft nibil. £re((it vcroper numeros atq5 in iiifini
tap:orenditur:necvIlu9mimerus:quomiii'Ciefcat:C£r
minum facit. €>cd m^gnitudo finitam rurfus fu? mciifu
rc rcctpit qu.Tritatcni: Sed in infiiiira Dccrefcit. iRam ft
fit pcdalislinca vcl cuiuftibet altci iusinodi ; potcrt m
ouocqua oiuidi:eiurci5 mcdicras in itifdictatc fccariciuf
q5 nirfus mcdictas in aliam mcdictatc: vt nuaCB Vfus
fetmdi magnimdinem tcrminus ftat.ita magnitudo ^jj
tum ad maio:cm modum terminata cft: fitvero cum oc
crcfcereccpcrit inftnita. Sltconna numerus.CBtu? ad mi
no:emmodum:ftnituseft:infttiiru6aureminnpite?cu
crcfntifum igitur bec itzCmt iiiftnita:rn quaft Dc rebua
finiris pbiloYopbia pcrtractat:inq5 rcbus infiniti^ rcpc^
rit aliquid tcrminfltu3:oc quo iurc pofllt acuinen p:op:tg

Llljcr 11

fpaiilflrionifitadbibcrc.THjqj masntradinlealfa (utim
mobilJ?: vrtcrra vtqiiadratiim vcltrianfiiiluin : veltir
tulUB.ali j func mobil;a: v fpbcra inundi:z oiiicquid in
to xm cclcriratc conuci titur. IDifcrcrc vcro lYuiratis a!ia
funtpcrfc:vrtrc6 vclciuatuo::vclcctcri numcri . 2llia
vcroad alUid. vt ouplum trlplum:5lltac}3:qucc]Lccm''
parationc ii jrtnmr, Syed tmmobilie niJCNnitudinie gco
merria fpcculationcm renct. e.X)obilis vcfo (cknna ailro
nomia pcrfcquirur:pcr ic vcro oifcracqu jtitatis aritbme
ricaaucto:cil.adaliqutd vcrorclat(inuilcap:obat obti
ncrcptrifiam.

CrjDer£latcp:oqu.ititatii^ oiffcrcntiis. jCap. 4.

jC oc ca quidcm lY^f itatc oifcrcta quf pcr fe cH
1 in aritltmetica fuflicicntcr c>iriniU6 : iRelat^
veroadaliquidq^titatisfimpltcia qitdcmse
nera funttria.Onum quidcm mulriplc);.
ud vcro fuper particularc: Xerttum rupcrparticns: Cuni
rcro multipler fiipcrparticulari fupparticntic^ mifccf:
fiutaltcouf c]cbis.i.tuultiplc)cfupcrparticularis: -rmul
tiplcjc fupcrparticns.b lu igituroium taliscfl rcgula. fi
viutatcm cunctis in naturali numero volucris compaiii
re:ra:us multiplicis o:do tcvctur. H?uo cnim ad vnu Du
plU8cil.tresa.lcuudcmtriplU8.quatuo:quadruplus,f
in c(tcu0 codcm modo: vt fubiecta ocfcriptiooocet.

I I I I I 1 1 1 1 1 i^Ti 1 1 1 r

II I 111 I 1111 ( vTyM VII [ viri| n \ v\

•01 vero fuperparticula! em p:opouionem qucras na
turalcmfibicomparanumeru oitracta.f.vnicateTttrca
ouobus refqu^ltcren: quamo:tiibus:quifcfquitcrtiu»
el^:quin3riU0 quaicinano rcfquiquartusei^-rmcetcris
codemmodoquod monnratfubicaa oefcriptto.

C Stiperpartientes aurem tali modo rcperies. oifpo^
nas naturalem numerumatcrnarioftilicctintboantcrn.
-©ivnSigitur intermiferis: euperbipartientcmcffici
pernot9bi0.$ fl ouorfupcrtripartientcnKcpfltres: fuptr
Quadriparticntem Mtm<& io «Kria.

fugqdripticg

faCbiEtiee

1 ^

4

5.

6

7

i

9

\fiJBtrieti5^/
CMunc v(roo»)inein fpetomsf copoiuas tfmvS^

tipltci? fupcrparticulari^TCvmultiplic! t fupfrpatricn'
tip:opo:tionct<lccto: Piligcns rpccutabitiir. £icd i5 bis
tamen omnibus in aritbmcticie cvpeditius t>i(mm cih

CTiCurmuUipliVitascftcrisantcccllat. jCa.

iEd inbis illudcrtfonridciandum: q^mnlti'
8 plec incqualitatis ^enns.lonrsc ouobus rc
liquis vidctur antiquuis.inaiuralie cnt; nu
mcri t)ifponttoJn muttiplicibus vnitati qu?
pjlma ert:comparanmr. iiMipc^particularis vcro novui
tatiscompEirationc pcrficimr Jt^cd ipfo:um qui portvni
tatcm funt oiipoilti; numcro:um:vt fcrnani ad biiianS
ciiiatcrnariiad tcrnarium.tFtincfterisadbunc inodutn
;©upcrparticntium vero longcrctro fo:matioc:quf nct
conrinui6numcri6comparatur.;£>cdiiucrmtiri6:nfcfc
perfquali intcrmilTionc:Scd nuncquidem vna nficvc
ro ouabus:niinc vno tribtis.nuc vcro quaruo:: Qto trsi
iifinita fuccrcfcit iHiv ilius multiplicirasab vnitatcin
(ipit:ruperpsrticularitai5abtnario:fopcrparticn0p:O'
po:tio a tern.irio initium cap. £?cd oe bis bactcn^^^f^nc
qufdam quf quafi ariomata grcci vocat p:f mt ttcrc opor
tibit:quf tum ocmum quo fpcaare vidcantur inteUige
mus: Cum De vntus cuiufq5 rci tracrabiinus t»cmon'
ftrarione.

(TQui finrquadrati numcri:oco.3bis fpeculatio.
jCapttulum. 6.
'Oadrams numerus crt:qui gemina oimenft
<l oncinfqnaconcrcucri rvti is ouo:tcrtres. q
terquatuoiquitiqutesquinc^.rcyics rcjc. quo

nim ert ifla oefcriptio.

_ I iiTin|ini| V t jvi |vii f vin| ir I rl.

|aii| I): yvTllrpTrrtviiiclviiiiilt^
C^Superius igitur c^iftiofims nnmcrue naturalis la /
tuseft quadratozum inferius ocfcripto:uin. jConrinui
cnimnaturalitcrfuntquadrati:quifcfein fubiecto c:dic
confecuntur vt.iiii .ijr.yvi.c (cteri. £>i igitur contiBUU?
quadratum minoicm a continuo quadraro maio:e fuftu
lero:quodrcliquicranrume;itquatuineil:qiiod ab vtro
rumcp quadraro:um lateribns lugirur: vt ft quatuo: au
feram a noucnario quinQ5 funt rcliqui:quier ouobus et
tribus:qui funt vtro:iiai quadrato:um li?rcra:(oniii5ii'
tur^^frcm ft noucnarium aufcro t>ceo qu» fcx occimis nu
mcrisarcriptu0cft.vij.funtrcliqui:qui.fetterni?rio q
ternarioci.uoniun(tu6ert:qui p:cdicto:um qu3drato:u5
latera funt.'3dcrnq3 in cctcris. €Juod fi non ftnt continui
quadrari.£)cd vnu6inrcreo6rranrmtiru6fu:ftr£i^ qt5
re!in(t(iirurmcdictae:idquodc]c vtriufa^latcribus effici
tur:vtfi quaternartumoe.jcvi.quadratoaufcrain''. rii.
relinqu5tur.quo:um.>;ij.medieta9 eft is numerus qui
crvtro:ijail3tcribu6 tonuenit. Suntautcm vtro:Bc^
latcra.buot quatuo::qu?fcnarium iuncta pcrficiunt.
321tcgincereris idcmmoduseft.£)invcro ouoinrcm;it
tanmr:tcrti3 pars eriteiu6 quod rclinquimr id q6 vrro
rumq^ larcra coniuncunr:vr ft quaruo;6.i;rv.aureram i
tcrmifli6ouobu6quadrari0:rcliqui.pi.funt.^o:iimve
rolaterafunt.ii.T.v.quicfficiunt.vii.quifuntparsrcr
tianumeri.)i)ci-21tcebs(rcsulaeft : vrfttrcs intcrmifti
(Int:par6qu3rtafit idquodc>:vtro:iiq3lareribu8 eftkif
cius quod fubf racro mino:c a maio:e rclinquirur . 55in
Quamo; tranfmittanrar:quinra:2lrq5vno plus vocabu
lonumeripartcsvcnicnt:quamftt intermiirto numero<'
mra.

C^^mncmincqualitatemerfqualitfltc p:occdcrc ciuf'
cpocmonftratio. /Capitulum. 7.

;5tautcm qu^admodum vniras plnraliraris
C numcriq5p;iH£ipiu:ira?qualira6 p:cpo:rio/
nura.tribua. n.p;ecepris ( vtinaritbmcrica
ttonincft)multipltcc0p:opo;tione0c):(qua
> cc 5

liratc p:odiidmus:cr conucrfis vcro muliiphdbas fu-'
pcrpflrrtmUrc e habinidince p:o(rcanuis. 'jrcm con
iicnie fiippartUDUnb^fupparricnfcs pparocecfTicimuf
ponannircnntrcsrnirarct^ vcln-csbinarii.vcl trcetcr
nanj.vclquotlibctcquircrmimriflrpnm^pnmocquud
in fcqucnti fcilicct ordincconllitutue . £)ccundu6 vcro
p:imo9c fcomdo.tcrtiue p:imo ouobug fccundieac tcr
tio:itacnim numcrop:o5rciro litouplc^multiplicitatw
p:ima p:opo:tio.vt pcrcfiprio monet.

^'-'-"'1 } ^ / ~~

I 1 I II ( 1111 I
{Tlflam vnitaein fcdindoo:dincconrtiiutafqu9?p:i
vnitatiin fiipio:cloco Pifpontc.itcmbinariugfqu'
Tnitanp:im?acrccundc:3tC5quafcrnariU6fqu^cavni"
tarip:iti?f:ac ouab^^vniratibuefccndiearcpvuitatitcr
tic.t eihi. i) .lii) . t>upl3 p:opo:tio:qi fl oc bi0 idc5 fcccris
tripla comparatio Axrc3bitur:ac oc tripla quadrupU : oc
quadruplaquincupla:2!cv>cinccp9talie(urritl>abitu/
dinum p:ocrcaiio.TRurfU0 iifdcmnibue p:cccpti0<up
particularcB ftunt:vt vnop:obamu0cj:cmplo. /Conucr
tamus nuncrp^io^cmmaio.-cnumerum Difponam^
liij.i j.i.ponarur isirur p:iniu0 p:imofquu0 idcll, iiij.
ferundua p:imo fcilj Tfcciido.idcft.vi.rcrti^p^imo ono
bus fccudis 7 tcrtio idcrt.it.^Juibus oifpofitis fcfqual'
tera notatur cffe p:opo:tio.

iui_
iiii

I

II
vi

ir

"I £)efquattcra ( ' ;£»cfqualtera

(T 2lrq3 id H of niplis fi3t:fcfquircrtta. ©i oe quadrU'
plfs refquiquvirta.conriiniliburii'» ni altcrurra parre vo-'
cabuli0p:opo:tion9lita0crmuln'p!tcitatc naicctur. Sj:
fuperparriiularitate vcro conucrfa oucitur fupcrparti?»
babirudo.JDirponaturcnimconucrfim fcfqualrcra com
pa.atio.ir vi.iiij.-ijbonaturcnimp:imu0p:imofqnu0
i .iv.fccundus p:imo « fetundo.i.rv.Xcrti^p:imo ouo'
bus fccundis ac terrio .i .rr v. ac oifponantur in o^dinej
boc modo.

»r

vt

ir _ 1 rv

£3upcrbiparrics.~

jiii
rrv

impbiparficns

CT Jirjuperbiparricns igirurerconuerfis fcfquiitcrisb»
bitudop:oducraci1.(rri quisad banc fpctulationcmoiU
scns fcrurato: acccdar :cr ftfquitcrtii^conucrfi© fupertri
particntem p:odutir. Cctcrifq^ fimilibus vocabuUead
f quatiscunctas cr fuperparticularitate fupcrparticntis
fpca p:ocrcari inirabiturrtB^r iion conuerfif aiit fuppar^
ticu!3ribus:fcd ita vt cr mulriplici p:ocrcati funr :m3nc
tibus necclTc c(l mulriplicc»? iiipcrparticularcs creari.6)c
manenribus vero fupcrparticntibus ita vt cr fupcrpar
ttcularibus p:odiemnt:non aUj nifi multiplice^ fuppar
ticnre0p:ocrcabuntur. acoebisquidembactcnus.oili'
^cntius enim in aritbmeticie lib:i8 De bac comparatioe
fftoifputanim.

CTUlcgul^ quotlibetcontinuas p:opo:tione9 fupcrpar
ticularcsiniienicndi. ^Capitulum. 8.

Cpc afff acriditrvt tres vel quatuo: vel quotli
s bctfquasfupcrparticulariump:opouiones
oc mufjca oifputato: inquirar:5?ed ne id cafu
afq5 infcitia facicntes:crro: vlliis bifficultat?
i'mpcdiat;b3c rcgula quotltbcrfnuaep^opo^riocsermul
ripliciratet)nccmus.vnufquifq3mu!tip!frabvniratc.
fc; compiiratustotrupcrpartictilarcs babirudincs p^e^
cedit fu? fcilicer.incontrariam partcm oenominarionis*
quotusipfeabvnitatcoifceircrir boc modorvt oupler
fefqualtcrasantcccdat.XripIer fcfquircrtias. ^^uadrn-'
plcr fefquiquartas.ac ocinccps in buncmodum.fingif
ouplo:umtcrmino:am fubieaa cefcriptio.

1 II

( iiil I VIII 1 rvi

1

VI rii ij rriiii j

ir 1 rvin i rrrvi

I rrvii ( inii

f Irrri

CT^ fupm'o:eigfnir oefcriptfone binarius p^im^mul'
riplcr vnum ad fc ternarium babct:qui poiTitfsccre fcf'
(5ualteraiiip:oponioncm.XenariU)& vcro nonb^ aliii
qui rius po(Tit eiTe fcfqualter quoniam mcdictate ocftcit.
'iRurfus quatcrnarius lecundus cfi Duplcr Imc ouos tef
qualtero0 antccedir fenarium i noucnariumtqui nicdic
mccmt. SltcpicdrconuIUisribabitudine fefqualtcra
fomparatur.tF t in cetcrio idcin e(l tripli vero eodem mo
doferquiterrioBcrcant.fitenimfimilis intriplo oc:'cri'
ptio.

" I 1

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1 rrvii Irrri /

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Xlviii l crliiiTl

Iitiiii

{T^Jn fupcrio:eigitur ocfcripticne fcfquircrtias .rpo:ti
onesitanatas vidcmus:vtp:imustripler vnumferci
tcrrium antcccdat. iSccundus buos.tertius tres:fcmp '
tl3parsfertiainT»lrimo numcronarurali quodam ftiic
claudamr.g^fiquadruplum ibfu; ris codcin modofcfg'
quartos inuenies.fi quincuplum fcrqiiiquinroe. ilc oci
ceps finguli ocnominarionismulripiici© totfupcrparti
tularc0 p:cccdunt:quoto locoipfiafevnitatc cifccficrint.
vnam vcrotannim quadrupit Difpofittoncm ponemus
vtin ea ficut incctcris lccto: aturii mcnti© oiligeno crct'
ccat.

Cltdccigimrfpeculatio adbanc vtilitatem vidcmrin'
uenta . vt quotienfciiq? .iiij.vclqainq3.vel quoriiber fef
qnalrerO0vel fefquitcrrio^ vel fcfquioctauo0 vel quotli
bct aliasp:opo:rionc8qui0 !nucftigare voluerit: nullo
crro:e labaturt vrq^ non ei numero p:tmo tales .ppo:/
tioncs quf rat aptare:qui quanti fint p:opofiti:tot p:cce'
dcrci^r pofl fe babcre non pofi^it. Sed oifponat poti%u!
riplitcs: videatcp quantos fuperparricularcs rcquirit:
curnq; multipliccm rcfpiciat:qui eo loco ab vmztc rcccf
l£rit:vte(linfuperio:ibusbefcripfionib^.fitre6fcfqual
tcros fo:tafTe quf ficritrnon a quatcrnario ingi cdiai ur in'
ucfii<^ationcm.biccnim qin fccundu0cfi:ouplu0 duo3
tanrum p:eccdif ^rertifiq^ri apfarc non poterit . jSed vt
ab oftonario mcdictafes tc mptct apponcrc.hic cnim qin
tcrriusriirfrcequas qucrit fcfqualtcras p:opo:riones
cfTiciet.-r in cetcris codem modo.
(T^^ftctiamaliJaugcndip^opo^tiones via Ijoc modo:
1l^adice0p:opo:ttonnm oicunfur in cidicm comparario
nibus minimf p:opo:rionis.5Difponaturcniui numc'
ru^ tiaroralisivnitate multiplicatus.

f ir~f iii I iiit ■ v I vi ( vii f
C 5"Dinimc igifur p:opo:tionc0 funt vt in fcfqualttra.
ii^.ad.ij.in fefquircrtia.iiij.ad.iij.in fcfqiiiquarra. v.ad
iii i.i brincrpsininftnitumT qufc5cBfc p:opo:tiones
vnitatc p:cceflerint.lP:opofitU5 igitur fit ouas fcfqual
tera0p:opo:tione9 conrinua compararionc p:oduccrc.
fumo radifcm fcfqualrcr.i:camq5 oifpono.ij.T. ii'. Ot>nl
tiplito igimr binarium pcr binarium ftunt.iuj.3te5 ter '

2libcr

II

inriU0Pcrliinariiimcrcrcjt:mint.vf.*iJ\nrru0 ffrnariu
in (ema ipfutn Duccmue.ftunt.ir.qui oift^oiiantur boc
madc»

i w f iit I iiii \ vi \ it \
C^fnucmmus igitur ouae p:opofitas ferqualtcras p;o
pozrionce.vi.ad.iiij.-r.ir.ad.vi.oitnuiKpzopontum
trce inucnire.-iDifpono cofdcm numeros quos fup:a,iii
crquircnd.s ^uobus fcfqualtcris babitudmibua p:opo
fucramripfafq? fefqu.Utcra0 p:opo:tione0 . t"Onlti /
plicobinanoquaternanum.fiui.tocto. iRHrfiie fcnariu
binariofiunt.rii.*if\urfu6iiouenanu3binario(tar.}:viii,
TRurfu6noucnariuintcrnario:ftunt.)cj:vij.Difpon9ntur
igiturbocmodo.

] ti m I ^

{ titi I vi \ it l

"~r viii I y't'_^yv"' j r

C2ltcp bic modU6 erit in cftcrie: vt fi fefquitertias p:o
pomoncs vcli6C)rtcndcrc:pona6 ferquitcrtiojutn radi
cC6:quf funtquatcrnariueatcpternanugad fe muicem.
I lii _ I _ tiii f~ _

I iy " f )Ctt J ^ij

I nvij I mv] i^xlviitTl^iiii I '

C2ltcB9dbun( moduin mulftplices:^' ii fcfquiquar
tasfffquiquarto:um Oifpoiicsradicescadem multiplt^
catione fcfquiquarto6quorlib.tevtend.s.©u.nitum aii
rem'nobisb? pfidcratione6p:ormt:;6cquenso:dom5
flrabtt.

£>cp:opo:tt'onc numcro:um quiabalijsmctiuntur.
jCapituIum 9.
"3 ouos numcros co:ii5 oifivrrntta inrcgrc fue
• rirpcrmenfa: in eadcm funtp:opo:tioncnu
mer:: quo? fua 0 iiTerentia mcn fa cit : in qua
crunt pportioncet bi numcri:rccimdij quos
to0 fua menfa crt oifl^ercntia. ioint cnim numcri . 1. 1 v.f
trsoadfeinuircm fefquidccima babirudinccoparantur
^ efi co:um oiffcrentia quinari^^^qui.f.e pars occima nil
meri.I.bic igiturmtticrurqiiidcm.I.numcrum occics.
vt.vcro vndccies iccfiduin igitur occcm arqj. vi . numC"'
ros.lv.-r.l.prop^iaoiflrrcntia.i.quinarius pnmctitur.
1 funt.xi.ad.v.fcfquidccima (oinpa.arione ccniponti. in
cadcmisitnr funrp:opo:rioncnumirri.quo6 p:op:iaoit*
ftrenriaircsrapcrm?facfi:in quafuntbi: quos co8p:o
^):ia oifiercntia c pmenfa:qi fi qua oift"crcntia nnmcro:^
itacos numcrosquo:ijcfioifrcrenti3 mctiarur^vtcadC)
mefuram numcro:ij pluralitas cvcedat: idf c^ in vtrifq?
ntercelTus^-rfic oiminutio: oiflxrcnrif mciifura:quame
pluralitas numcro:n:in3ioreobtincbut p:opo:tioncm
0d fe inuiccm numcri:fi'eis ilUid quod relinqtur poil mg
ftoncm:retractumfit:quamfucruntirc5ri:cfi eos.pp^ia
tjifl^creria mcrieba?.£>intenim numeriouo .liii.lviti.
bo8 isitur quinariu6 qui eft eo:um oiftcrenria : mctiat
inetitur isitur.liif.quinarius occics.vfa^iad.l. iReliat
wotcrnariu.'iKurfus.lvii').numcfU!ii meritur ide vb
dccics xfq^ ad.Iv.atci; in co iteru rcrnaviu relingr. 2lufc
ratur igitur eic vtrifqj.ternarius fiiir.l.T.lv.qui oifpona

turbymodo.

I Uii ~r I viii I I J_I~r '
C 3n boc^situr manif»flii cfl maio^ie ctTe p:opo:tioie
intcr fcJ.t.Iv.quam.Iiii.-r.lviii.^^fn mino:ibu6eninu
tncris maio: fcmper p:opo:iio repcritur.q? paulo pofic
riusocmonllrabimuQ.idin vcroilla oifl^crentie permc
flo nuinero:um mnlrimdine fuKuadat:cademcg vn-ofc^
numwi pluraliratc p:etereat:mino:cs crunt p:opo:tocs
numeri fupcrius inenft cn additione cius fumc^quavn-of
metiens oiflrcrentiaifupemadit:quam f uerunt ante.-cu
cosp:op:ia oilTcrcntia mcticbamr.£>intenim numcri.
ylvtii.t.ltij.boium qumarius oifTercntia efl. JCTDetiatur
tgitur.Klvtii.numcrum qutnarius oecics ftunt.l.^ug

Uadiriintii/'. f.nunimis. i:'viii. numcrtini bitiario.
^dcmquinanus.Uij.vndccicsmctiaturfiunr.lv.quicif
dcinrurfus ouobus.Iiij numcrumfupcrnadit. iHddaf

Ttrirtt; binarui>? 7 t>ifponanturboc modo>

f rlvui Im \ i I Iv ]

CJiX^iuo^ceisiturfuntp^oiio^tioncs.l.ad.lv.coiTipa
rati cum addirione.f.binarij quo oif^ctcnrta coe mcticns
fupcruadit:qu<im-rlviij.7.liii.numcriquo6e4dC5:quf
tameninci6fupeicrcuit:quiiiani oifl^crcntia pcrmcnfa
ci}: €Oziov:6 veroTmino^csp^opo^rioncsbocnicdoin
tcIlisuntur.iDimuliaparcMnaio: ert:et=itertia. Xcrtia
pars cil maio::quam qiiarra. Ouarta pars mai^: c:qua
quinra.acocincepscodcni modo.Dndefit vt fcfqualte
rap:oportio.mato: fx fcfquitertia.-: ftfquitcrtia fcfqquar
tam vincar.2lrq;iclem in crrcris.binc cucnit vtin nu'
ineris maio:ibuo mino::-: in mino:ibu6 maio: fcmfi
•vidcatur p:opo:tio fupcrparticularium nomci o:um.
jgJuod apparctin numcro namrali.^ifponaturcnim nu
mcruG naturalis.i.ii.ii) .tii|. TBinarius isitur ad vnira^»
rcm Duplu6cft.Icrnariu6ad binarium fcfQualrcr cfi.
^uatcrnarius vcroad ternarium fcfquirertius. c"DaiO'
ree vero funt numcrirre6 i.iiii. j€Dino:cs:binariu6 t
\>nita6:in maioribus isitur mino::': in minoribus ma
fo: p:opo:tiocontincnir:btnc apparet fi aliquibus nu
mcris p:opo:tionfm cotinentibus fuperparricularcm:
tquapIuraliras3ddatur:m3io:cmtiTep:opo:tionc_an^
recqiic pluralitatisausmentumJquam poftfaquacis
pluralirasfqtia ritaddita.

CSJugermuItipIicibus t fupcrparticularibus multi'
lilicitatcafiant. jCapituUnn. 10.

llndctiamp:?mittcndi5vidctur.quod paU'
i lo poft t»f momtrflbitur. £m mulriplev inrcr /
uallum binario fucrir multiplii:amm:id ftia
cp cv illa multiplictionc nafcctur: miUtipIejc
t?: cr fi td quod cv tali multiplicatione p:ocrcamm fit:n5
fucritmulriplcv:t"nc illud non ciTc mnltiplcvtquod bi^
nario fucrit multiplicatum . ^tcm fi fuperparticulsris ,p
po:rto binario multiplicctur:id q^ fir nc<i3 fupcp rticula
re cf :ncq5 mulriplcv:q' ft td qnod ci- rali multipl:catione
nafccmr:neq?multipln:nfc}?fupfrparti(ul3recfl:tuncil
lud qnodbinario inultipUcatumcil : vcl fupciparticula'
ris vcl alterius scncrisefl:non vcro muUtplicis.

C0ui rupparricularcsquosmultipliccs tfi^ciant.
Capitultim. lU
36 illud addeii dum c cuo« p:imos fuperpar
b parricularcspzimamcftlccrc muUipUcc5p:o
po:tioncm. vt fi fefqualtcr 1 fcfquitcrtius con
iunsanturoupUcemcrcant.ir^intcnimnume
ri.ti.iif.iiij.iii.ad.tj.fefqualtcrcft.iiij.ad.iij.fcfquitcrti''
qnatuo: ad ouo c>upluf.*(llurfus p:imu6 multiplcv p:i
mo additus fuperparticulari fcom multiplicem acat.
Sinicnim numcri.ij.iiij.vi.iiii.nacBad.ij.orplcvcrt.
p:nnusfc5mnlriplcv.vt:ad.iiij.fcfqualrcr.quicp:im'
ftiperpatticularis.vi.ad ouotriplus.q fccildusefi mul
Tiplei.qi fitripUim fcfqrertioaddasiquadruplusefficif.
2Irq5 inbuncmodu iuncrie p:opo:ttonibU6 inultiplici
um ac fupparticulat iii;in Ifinitum multiplices p^ocrcaii"
lur.

CiDearitbmeticagcflmctticaarmoicamedictatc.jCa.i:.

"Oonia vero t>e,ppo:rionibus quf crant intc
q tim tractanda p:cdiam': nunc oe mcdietati'
bU9 ef^ cticcndum.f(b:opo:tioenimeft ouo:»
^ tcrmino:um ad k qiif dam comparario: tcrmi
nos ant voco numero:um f5ma6:TP:opo:tionaIita6 cft
cquamm p:opo:tionuin collcctio: iP:opo:tionaUtasve
ro in tribus terminis minima conff at : Confiat autcm
plerumcp 'n pluribus.vtin quatuor vel in fcvtfrminis
£um enim;p:imus .9d fecundum terminus eandem

ittinrt p:opo:n'onf in.*ciu£i ffnjndn«fldffrrii)m:oicirur

bqc p:cpc«:hon jlitas. vf ilcy intcr rrr 6 tcrmmoa mcdi-':
qut icciindiJiJ cil.bae igiriirpropo^rionte mcdi) rcrmini
coniiin5cnri0:tnna parririocil. tnurcnnnfquacil oiflfc^
rcnti.i mino:is rcnniin iid nicdium:-; mcdij ad majcimii
A:xdnoviinap:opo:tiovtin bianHnicris.i.ii.it/. itcr
vnnmquippcatouo-iintcr ouo^ rrcetantum vnitas
oifTLTcntiamtcn:t.lHoncriaritfquap:opo:tio./Duogp
pc ad vnuin oupli funt.Icrnariuo ad ouo rcfqnalrcr.
Xlutcilcqua p:opo:rioinrrririi3: non vcrofqualibus
ciffcrcnrijsconilituta.vtin bisnunicris.i.ti.iiij.lHa^
ruoad vnum ita funt oiipli:qucmadmodum quarcrna-'
KUsadbinarium.Scd intcr quarcrnarium binanac^
binariu0:intcr bmarinm arqj ■vnirarein vnitas DilTcrcn
tiam facit.i?n vcro tcrtium njcdictatis scnus quod nc'
q^eifdem pzopo^tionib^^neqjcifdcm Ditfcrcntiis conft^t
:£»ed qucadmodnm fc babct maxim^rminus ad mini"
mumttta fc ffbabcrmaio:umtcrmino:um oifterctia ad
intno:uin oiftfrcnrianitcrminerum vt in l3is numcris
iii).tii).vi.*H1am fcrad.iij.ouplusert.interfe)cvcro7.
iiii.binariu6efl.'3ntcr .iiij.vcroac.iif.vniras . ^xdbi-
narius comparatus ad vnitarcm:rurfus ouplus crt:er'
go vte\\ marimu^itcrminue in numeri^ad miniinuni
ira m3io:um oiitcrcntiaad mino:uni Dirtercntiain rer'
mino:uin.Hocaruri5iturtlla nicdicta6:in qnafqucfiit
piffercntie^antbmctica. 3lla vcro in qua cquc p:opo:'
tioncs:gcomc(rica:'jllaauicm qnamrcrria5 ocfcripfim^»
flrmonica;i:iuarum l?f c fubiciamus cjceinpla.

~f 2tritbmetici~T jGcometrica | armoiuta | ~
I 1 [ ""11"' ) iTliJ ] 1 1 I mf i iifyi
fqueofie rfqufppo^togsTDiuerfcofg^^^ppo:.!

€7iR5 vcro i5no:amus alias quoq? cc p:opo:tt'onurti
mcdietatcsrquas quidcm inaritbincricaoivnnus.iSj
ad p^efcntcm tractatum bc Qint intcrimncccfrarif . ;©cd
interbasrrcs medietares p:opo:tion3ttr3squidcmp:o
p:ie.i marimcgcomcrrifanuncupatur idcirco quoniam
5 quis p:opo:rionibusror4 conre)cttur.:Scd tamcneodc
vtcmur p:oinifcuf vocabulo p:opouionalitates etiam cc
tcras nuncupantc0.

C/Oecontinuismedictatibus-rotliunctts. ^n. 15.

^d tn bie alia continua cll p:opo:tt'onalitas.
« :?llia oifiuntta.iContinua ciuidem vt fuperi^
oifpofuimns. t^nus cnim idemcg numcrus
medtus: nuncquidem inaio:i ^upponitur:
nuncquidemmino:ip:eponif : ^iioticnsvcroouofnt
medij runc oiftuncta p:opo:tionaIit9S nuncupanir: vt
in scometrica bot moddo. i.ij.ii) .vi. *tt^am vt eft bina*
rius advnitatem.ita fcnarius adtcrnarium. 1 vocatur
bfcoifiuncta p:oportionaltras. vnde intelligipot tonti
nuam quide p:opo:tionaIit9tem . 3n tribus-r minimis
tcrminis inuenirt.©ifiuntta vero.in.iiij. poteflautem
in.iiii.i in pluribusconrinuacflep:opo:tion9litas. fig'
dembotmodonr.t. ii.iiii. viij.rvi . Sed l)icnon erunt
©no p:opo:ttones fcd plurcs.fcmpcrcB vna min^: qua
finrrerminiconftiruti.

Ctfuritaappellarf finroigcile fupcrius medictfltca.
/Capitulum. 14.
IDctrtOflnt vna co:um medietas aritbmctica
i nuncnpatur:quod inrerterminos.Secfidus
numcrum cqua cfl t»ift'crcntia. jDcometritavc
ro fecunda oicitur:quod fimilisert qualitas^
po:tioni8:21rmonica autem vocatur:quonia3 iracoapta
taert:vtindiffcrentij8 9ctcrmini8fqaaIitasp:opo:rio'
num confidcrcmr.€tocbisquide5 oiligcnriusin aritb
merids oi fpnratn eft. nunc t»cro vt comenio;cmus; tnti
tumiilflpttcurrimus.

C^uemadmodumabcqnaUrflte fup:adtctc pioceirc
rantmedictarci^. Capituluin. ly.

€d paultfpcrqucmailrnodunt inep:opo:tio'
8 n3lir.ue8;ijb fqnalitatc p^ocrcantur: oiccnduj
crt:nP>:fdictuin eU eni q» iii numcro valct vni
tas:3detninp:opo:tionibU8cqu9li ate valc
rc.^t fictitnumcri capurcrt vnitas : ita p:opo:rionuni
^Qualitatetr» cc p:tncipiij. tluo circa bcc inodo ai irhmc
ttta medicras ab f qu Jlirarc narcctur:pofiri8 cnim tribus
fquistcrminis.lDiouomodtfuntiqnibUfs bec p:opo:
tionalitas p:oducatur. iPonaturenim p:imud p:imo
f quus. XKcnndns p:iino -i fccundo. lerrius p:inio fc
tundo ac tertio. Quod bot inoinlratnr cremplo. ^Mtvni
tatestres. i^onaturigimrp^imuBp^imofquns idert
vnus.;£»ccundn0 pjimoac fccundo.idell ouo:Xcrtins
p:imo fccundo ac tcttio idcrt trcs.eritqj oifpofttio talts.

Cnivurfusfrcsnntbinarifinf qualitatcconrtituti. i|.
ij.tj.ponatur p:imu0 p:imofquu8.idert.i j.£>ecundus
p^imoT fccundo idcft.iii)'.rerriu6p:imofecundoactcr
tio idcft.vi.'? cfit Oifpofttiobcc.

I n~|~i?~r"ir'|

[ II \ iiii j VI T

CTiSed in bisboc fpcculandum edg^ft vnitas fnertrad
cqu9lir9ti8p:in(ipificonrtirnta:vnita8?terit tndtffcrg
ti)s numcro:uin ipfi vcro numeri inrcr fe nullum inrcr
mirnjnt.;£>i vcro binariustencatf qnalitatem : binari'
crt oifTercntia t vnus inrer tcrminus fcmp numemsiti
tcrmitritnr. £3in vero ternarius:! dc oifferenrig e tnter
terminos vcro ouo naturaliter tonrtimti intermitmn wr
iHcoeinfcpsad !)uncmodum.^ft etali9 p:opo:tiona'
lirarcin arirbmcrica p:ocrcandi via . ponanmr cni tres
?qui rcrmini:confttrnat«rq5 prim^^p^imoat fcciidofqu^
;^cnndus p:imo ac ouobus fcaindis. Terrius p:injo
■? onobus fecundis ac rcrrio: vr ft f ^nr tres vnitires. jSit
pjimo p:imo ac fccundof quus idcrt.ti. Sccundus
rop:imo9t ouobusfccundis idcrt.tij. Xerrius autem
p:imo ouobus fecundisactertio. •jdeft quatuo;.

I 1 I 1 I

11 1 III l IIII

<rif5icigitn: tcrmino:um oift*erenrt'9m vnt't98 fenet.i"
tcrbinariumenim 1 vniratcm atqsinter tcrnarinm ac
binarium.^tlnirasintercft.it^ullus veronaturali^ nu
mcrus inrermitttmr. iPort vniratcm enim mojc binari
uscrt:9C port binariumternarius:naturaliter(onrtitut^
ide5 mrfus in binario fiat. Sintc^tres binarij.T fit pji
mus p:imo9C fccundo fquus.i.quatcrnarius . Secun^
dusvero p^imo-j ouobus recundis.idertfcnarius.Xer
tiu6autemp:imoouobu0f£cundi0 ^itertio idcrtocto-
nariu0.

,c i " rz

J2_\ i VI I VIII I

CTll^icquocBbtnarinstenetoifferentiam rennino:uni
vno intcr eoa naturalircr intermiftb.T^am inter.iit j.et.
«vi.quin^rius naturaliter inrermittitur.tnrcr. vi.arc^.
-viiitSxptenariue collatarur. Quod fi rcrnariu^ f qualt
tarie pjinripium ftt:fict ternarius oiftcrenria verbi gra
tia,:&inttermimtresadrcgula0 fuperio:um fubtus.

2Libcr n

1 III 1 III

III

I YI l IC

tu

vtcil fubiccta ocfiriptio.

mtiri.tdcrtvnominue fif oiftcrcntia fem|.i niinurisi'
tcrriulTie. inrci^idcm : m qUjrfrnario:tiinnarioci5 pcf
fpicinir.^rquf no6p:oprcrb:ciuratcmraccmu6:jfd?
regultecj: rcmcttpfo oiliijcns IfCfo: iiiiicnitt: .Cicomcrri
ca vao p:o|.io:tionalita6 tfic ciucadmodiT inucntri ab f ii
IirafepoiTttoft(!dtm'\qfj qucinadmodfi abcqualitatcoie
Incquaiitas pzofiuitrmonllrabamus. 113111 tamcn faiii-
dium i\\ nmc quocg b:cuitcr rc pctcndum ConiUtU'
ti6 cnim fribVlniisterminis ponaturp^im^^pnmofqu'
£>c£ijduep:imoac fccrido.'XcTtiop:imo ouob'^fcciidt»
acrcrtio.7 dct^ ftat ptinuc arcp ira cicqualitate: gcomc
tri£fl.ppo:tionalita6 p:j ncipiii fumar, x.i5 oc baru^po:
tionij.pp:icrarib''i:6 DiligcnriiTmciarirbmcticis oiviin'
g> nad \yic illis inilruuue iecto: accedat:nullo oubiraho
ni6crro:cmrbabif. ^limonicflvcro mcdierae Deqnuc
paulo lariu6 rracrandu^ ell: bac ronc jpcrcatur. £on\\i
tuaf f ni fiddc, Duplices curain''effinscrc: rribus qqe ter
minie pcfiris p:im^p:imoac ouobus fccundis f qualis
;£>c£udn6 DuobU6p:iinis t ouob''fcciidt6.Xerti^fcincl
p:imo : bis fo:'? rci rerrio. 'MtCB boc mo flnt vniratce.
i.i.i.iConilituaturi3iturp:im'p:imoacttuob^fecijdi0
fciuaUe.i.tcrnari^.ioeciidue vo ouob^pzimis t Duob^
foadi8.i.qtcrnflri''.rcrti'^vcropmoacouobTcb»6'? tri'
biisiciti(0. i.kji.^tfiin binart)6fquaiitas prtruatur:
vcl intcrnariis eadcrb mcdicratis apparcr ouplo a fc rcr
minis 0 ifrercntijfc^ oiilannb^: vt fubicac oefcriptioes
tnoncnt.

ITT

II 1 III 1

VI

ii 1 11 1 11

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JVIII

tnbU8e(i6tcrmi6;piliruri6.n^:iin'^ Qdcfacicndue iez
p:imoa£fc£iido.i:?c(unduin vcroci:p:imo ac ouobusi
ietun(lis.icrti^flatc); p:imo ouob^fecudis ac tnb^ tcrrijs

fi S>ym€\\i armonicj oiipuranonc qu? o taoiiiistiiu»
oi£i poffur tacite ptcreiida ec no a; bitro:: tColloccf isitur
armonica p:oco:tioiialira9 iiiq^cn ocfcriptdc futno^c o:

dinc tcrminorum iter fc titffcrcntie oifponantur.

-TSiffQI"''" r "Ti Trfnti^ I _

j iii iin i Jp' I

ttrtlidcs ncigif.vt.uii.ad ircs DiateiTaro piisnanriam
P'odat.vi.9d.uij.Diapete,5Co:dcr.vi.vcroad.u).Di3pfl
fon mirccat nmpbonia:ipfcq3canl Diftercntic rurfus ea'
dcrtatuantpfoniitia^a^tnan^^cnlad vnirate ouprcin
Diapafo pfonatia p(litut'.q> fi fc cxtrcmiratcs multiplt-
<ct:itecB mcdi'' fui mulriplicirarc fuccrcfcar: coparari nu'
mcri ronibabitudinc pco:diaq.^ fcruabiif .rcrcni (cjc em
unt.]cvii).quat.iii).ticnt.);vi.£xd.rviii.numcr'.):vi.
numcro mtnoiis gtc octaua trafcendtr:H\urfus mininK
tcrmin^^ft fe ipe multipliat cftuiet.ijr.q' n inato: tcrmin^
fui multiplicatione concrcfcat:£fficier. m^). ^Juifibi'
mctcoparatiquadruplS.i.bisoiapafonptinenafeTUat.
^fl boc oiligctf^ifpictamus: bvccnt oisrct Diftercntia?
TCl cermino? i fc tuice multiplicatio. iD3ininrcm rcrmi
nus.rimcdiomuiripliccrurficnr.ni. 1 rc nuiuiirtcrmi'
nu6.fi majcimo mulripliccf fiet.i vtt). fiX)edi^ yero tcr^
minu6 nmfl);iminumeroftt9teau0eaf:fici.)r)ciii). TRur"
fu0mintm'^£CTmin^fi fe ipo pcrcfcar^ftcr.u.drode modo
fi mcdi"fient.)cvi. ^mm^^^o q majcim^cfi n fc ipm mul'
tiplicct.jr^ocvi.rcddct.bf £ igif i o:dine oifponarur .)C)cj:vi
)ct;iii).]cviij.)cvi.)cii.i]c.funr igirur oiatclTaron confona*'
tia refonanrcs.icFiiii.ad.rviii.-r.yii.ad.u^.Diapcnrc vcro
i;viij.ad.)ci .-T.iciciiii.fld.icvi.i.wvi.ad. vfn\). Xriplfl
autcm qu^ cft oiapcntc i oiapafon.^cyjcvi. ad.vi). Qufl'
druplflvcro qufcft bis oiapflfon.):):); vi.ad.t);.cpogdou«
vcro qui lonus 2»);vii).9d.):vi.c6paratione fcniatur.

C Oii?adinodu inrcr ouoskrininoe rup:adi(re medie^
tarc0viflfllm(olloccnrur. Cap. i6.

iOUnr.nlr oiiorcrmiiiioariproponicjivrin'-
9 rcrcoomliCiiihdcanrbmcnc.i:nuncvcrogco'
nurri(a:nun( arnionicam mcdutarcponam'
iDc ab^in ariri>nKrici0 quoqs oij:im^.'5d ra/
tncnipmnunccrij b:aiircrcrpli(cm^. £>iarirbmcrica
incdicra9qf:oaro:umrcrmino:0 vidcndaoifterDuiac:
cadcmcp oiuidcnda ac mino:i rcrmino.dducicnda. ir^inr
cnim ofCc.T.il.iilrrinfcCtcrmim conitiruri:bo:n£i5me
dicras fccudum anrlMticric.i p:opo:rioualitare qucraf .
Oiftcrcnri.ip:i''vrro:rici5rcfpiciO;iiUfcll.i:rv.l?anc oiui-'
do!iunr.)cv.bancmino:ircrmino.idcocccappono:fti5r
XXV. £>i igirurbicircr.r.T.rl.incdi^coiloccf.fir arirbme
ri(a p:opo:rionaliras l?oc mo. j:. wv .tl. 'jrc tnrcr cofdcin
tcrminos mcdicrarc gcomctrica colloccm''.^? jrrrcmoep'
p:ianumcrortrarcmulriplico.vr.]c.in.vl.fiunr.c(cc.bo¥
tctragonalclatus airutno:fium vicjinri.tlicicscni rigi'
tifiunr.c((c.lDosigirur.r)c.mcd!oeinrcr.)c.9C.vl.ri(oUo
e?:fir Qcomcrrica mcdicras fubicrti ocfcriprione fo:mflra
X.tt.xl. £'i vcro armonicam medicrarc qucramus : fibi'
mcripfiscopnlam'crrrcmo0.vr.v.T.vl.ficnr.I.^o:um
ijifrcrcnri j quf ert.rvr.7n mino:cm rcrminij muUipU
ccmus.f(5.in.v.vrfianroc(ics.vvv.gfunr.ccc.bosfccun
dum.I.parrimur fiunr.vi.Quo6cum'mino:i rermir.o
addidcrim^:ficnr.vvi.bunc iginir numcrii n inrcr.v. ac.
tl.mediij collocem^."armonica.ppo:rionaliras cvpeditur»
y.vvi.vl.

CJDcconfonanriara modo rccundum nicbomacum.
iCapinilum. 17.)
bisb^crcn^.nuucilludaddcndu vidcrur
e qucadmodiiPYrbago:ict.pbanr cofonanrias
mnrtcas Ip^edictis.ppozrionib^inucniri: in q
rc.r.ris prolomcus novidct aJTcnfusrocquo
pflulopoftcri''piccni^b?Cicni poncnda c(l marimeec p:i
ma fuauifq? confonanriarcui^^.pp^ierarcj fcnfuc apfrrioz
fomp:cbc(idtr. 0uafecni c vniiquodqp p fcmcripfum:
ta!c oCDbcndirur fenfu:£iiigirur({J(r!S notio: cca con"
fon.inria:qucindiipliciri?rcconriftir:n5cflDUbiup:;m5
ec oltim oiapafon confonaria incri*oq3 crccllcrc^quonias
cognirioncp^cccdar.lReliqnf vcrobuncneceiTariofccun
dum pvrbago:ico8 o:dincm rencnr:que oederint muUi
pliciraris fliigmenra:ci fuppsrricularis l^abirudinis oc
trime?a. cT)bnrtrarij quippcc:q) mulriplcvincqualira0
fupparticularc6ppo:rionc£? mcriti anriqrarerrafccndar,
^5uo rirca naruralis numer* ab vnirare vfq? ad quater/
nflriu oifponanir.i.ii.Hi.iiii.^giturvnibinari^copa^
raru0.ppo:rionc ouplic? facirt-jrcddiroiapafon confo/
n^nriacj qugert mavima ei (Implicirarc norirtima. fi ve
ro vnirari rcrnari"coparcrur:'oiapafon ac oiapcnre cocoj
diam pcrfonabir. ^^uarcrnarius vcro vnirari comparat^
qiiadniplam rcncr.bis fc5 Diapafon eflfiricne fvmpboia
c[> ([ rcrnarius binario comparerur oiapcnrc. £>i vcro^
tcrnarius rcrnario.oiardTaron confonanria fupplcr.ifi^
ertbo:umo:docunfris adfeinuiccm (ompararis:l{^ani
compararioquc rcrtar^Si quarcrnarium binariocompa
remueicadctin Dupliccmppo:rionc:qu.1 renebar advni
tatcm binari-comparame.iraq^ mavime oirtanr foni in
bis oiap3fon:(ii 3 fc quadrupla intcrualli ctiincnflont oi
fccdunr . UTDinima vcrorcumflcurio: graui^^emtcftia
srauio:iaprc rrafccndir. 2l£ rtar t)etnccpBcontinentiar5
modus:qui ncc^ vlrraquadruplam poffit cvtendi:neq5
innapartem fcrriamcoarrari:^rfccundum nicboma-'
cumquidcmbicconfonanriarum crto:do;vtiit p:ima
oiapafontfccunda oiapafon ri oiapcnrc:rcrriabi6 Otapa
fon.quarrfl oiapencc.quinra riareiTaron.

C 23e o:d ine ccn fonanriarum fcntcntia eobolidis ? bY
pafi. fCapitulum. is.

iEdeubolidcs arq^bypafuoaliumconfonan''
e rianim;o:dincr;? p ominraiunrcnim nuilnpii
citaris fliigincnrafupparriailsnrariS Dimnui
tioniratoozdincrc poiidcre. 'jraqiiion poiTc
elTe&uplum nirt oimidiuin:ncctrip iim p:crcrrcrriiim
parrem. uoniani iginir ftr oup'.uni:fv co.oispafon c6'
fonaiiriain rcddi. Ouomain vcro fir oiMudium:cr eo iifi
eonrraria oiuifionc fcfiiua'rcram.i.Dt3p<:nrceft"iri p:opo:
tionem. Quib^mirns fc5 oiapaioii ac Diapenrcn iplicc
p:ocrcari:quf vri-5q.uo!UinirfYmpboniam. £> drur^
lus rriplicis partcm rerriam conriana oininonc parriri.
5Ev qua rurfua oiarciVaron fYmpbonia uafccnir. XripU'
ccm vero arci5 fcfquirci rium luncr os quadrupIS com '
pflrarionem p:opo:rioiiis c iiiccre. vnde fir vr ex oiapai^
1 oiapcnrc quc crt vna confon.inria 1 oiarelTaron vna f5
tineniiacoiutt!5arur:qucni quadruploconfirtesbis oia
pafon nomcnacccpir. Oecundum bjcquoq^ bico:do c.
aDiapafon.oiapenrcoiapafoniacoiapcnrc.oiarciTaron.
bis oiapafon.

• CScnrenrifl mcbomac! quc quibus confonariis appo
iwnrur. ^Capirulum. 19.

€d nidjomacus non eandcineio cf arbisrarur
0 conrrariam pofirionf m. £icd pori^vt riuras
in aritbmcricis crcmcnri erar Diminurionifqj
p:incipi»:ir3fcoiapafon fYmpboniam rcliq
runuiTcp:incipium.inasverbfibicorrariaDiuifioe pof
feconrtmii.id verofacili^eritcognitu. fip:iU0pcruidC'
arurinnumcris:conrtituarurigirur vnitas:oueci;aq ea
parree rtuantvna mulcipli(id:alia oiuiHonie. ;Oirc]5 bc(
fo:mul9.

I

C^tadbpncmodumadinfinitap:ogre(Tio eft btnari
usenin) vnirarieouplcvert. Conrrana veroriue pare
eifdem oimidium vnirarisortendit.Xris tri|. Ins icon
trariaparstcrria. Quaruo: quadruplus parfqj conna'
riaquarra.Sltqjiracrefcendi-roccrefcendi inllmplia efl
vntrareprinopium.^demigiturnuncad confonantias
conuertamus.^rfrigitur oiapafonqucert oupl3fup:c/
mi loco p:incipij. ^u? vcro rciique funr:in conrraria oi
uifione bocmodo. xxfqualrcr quidcm rriplo: fcfqui/
tcrrius vero quadruplo . iSiuod rali argumenrarione
p:obabirur.* ^dcm eiiim p:imumcft fcfqualrer : quip:i
mu0rriplusfciIiccrp:incipa!i0 vniraris. iHamterna
rius idein primus rriplus ert : ft imirari . 3dem p:i'
mu0 fcfqualtar : Bi binario comparetur . •iRurfus
tdem ternariuseiufdcmoiftcrent^quaniad binarium

fiidr:ai{o0 namrfllittr poflttle p:obanir cf rcrqiiairci :trC
piuecil.xrumigituriurercHinalrcrtriplici oppoturur.
iDupcntcconfonattJoypcnrcacoiaparonconroiiaiuie
rarionabilircrpuratiiroppcTii."rt\iirriifl qujdruplue (cf
qiiitcm)(onrrariamDiuirioncintenct: IHan»iiuteft pn'
nmsquadrupius idcm rurfus p:imu9 ftlquitcrtiue.in
ucnitor boc modo. Qusrcrnarius quippt p:im'' cft qua
drupIusftrniran:p;i'musrcfquirernue;nrcmario com
paretur.TRunuscins c»iffl:rcnric quam inrcrfe actcrna
rium renet:it^fe fit quadriiplus. Undc fit vt fcfquitcrtia
p:opo:tio:qucfrtciatclTaron:cidru;ilc p:opo:tioni que
eft bis Dupafon incoiitrariii oiuidaf .az^upla vcro quo-'
niam nullam babctoppofiiam p2opo:tioncin nctvlUus
ipfa fefquiltera crt:juf evtat numerus: cui poiTit binan^
«ini p:imu8 e\\ ouplus:fuperp9rticulari p:opo:rione to
iungirtalem fo:niam contraric p:opo:noni6 txccdit. 'Mc
<;^tcdr(o(iucundurnni(bom3cum oiapafon conibnantta
fum piincipin tcncat hoc modo.

SOiapafon

•<>P&ft9ffPiif5

MateiHH'''

C ^uis itafefc babcat:inquit tantcn oinnes meli'
maltiplices p:opo:rtone3 conronantiarum p:c(edcrc:fu;;
pcr particulared (equi:ft(ut paulo ante t>ef(ripnmus . fCn
igitur pfonanria ftt ouara vocu rara p:rmi)ctio fonus ve
ro tnodulaee rotis cafus vna intcntionc p:odiutu0:(itcp
idem minima particula modularionts: omnis vcro fon'
conito impuliu.-gjulfua veroomnisc): motu ftat: mm'
^ mawum aliqui ftnt f quales : vero incquaUs;

fnfqualium rcro alii ftnt multo (nfJiuafc* .alii vcro mi
nus.alii vcro incdiocrttcr iiH0,ualcs:5£v,cqualitarc qui
dcm nafcitnrfbno^itcqualitas: iBriiifqualirflrevcio ea
quf fc(u luiuin mcdioditatcm oirtantie incqualcs funt:
mani crtc:p:imfq5aciimpiicio:c6 cucpiunrp:opouio/
ncs quc fum.fc^ mulnpliccsaut fupcrparricuUrcs . ou
pli.tripli.quadrupli . fcfqualtcri atq5 fcfquitcrtii confo
nantic.tf vbls vcroque in rcliqui6p:opo:tionib' : vel
inulrimode vcl non ita daris. vt l longc oino afc ciftantl
bus incqnalitatcs fiunr^oilTonanticcvilluiit.i^lulla ant
fono:um (on(o:dia p:o(rcatar.
C iiuid (jpo:teatp:cmirti vt oiapafon in multiplici ge
nercDcmonrtrctur. ;Capimlum, :o.

igitur ira oiftinao : ocmonnrabitur oia
b pafon confonantia quf (unctarum oprima £
i mulriplici in?qualitatis iscncrc i in ouplicf
taris babitudinc rcpiri.21c p^imucjdeiiludocmonflra
diiqucadmodiiimtiUiplicitatisijencre oiapafon (onfo
nantia poiTit agnofct . ■jp^ecurrendum cil isitiiradb:e
uc quiddamcniop:iu6cosntfofaa io: oemonllratio ft
at.ab oi fupparticulari:(i(ontinuamei fifptr parricuU
rc gsaiifcrat .ppo:rionc quf e fcilicct niinc: id quod rcli
quitur tninus e\\ ci^cdietatc que octracta c.ppo:rionia
vtin fefqualteraacfcfquitertia: s2uonia5 fefqualrcrama
io: e:fefquitcrtia5 Dc fefqualtcra octTdbainue.iReluiqL'!
tur fcfgoct ua .ppo:tio:quc ouplicata n5 eflktt integra^
fefquitertia .ppo:tion5 ca oiitantia mino: g cj i femito
nio repif ft ouplicata fefao(taua (omparatio non crt in
tegra fefgtcrtta:(imple]c fcfgoctana non eil fefquitertic p:o
po:t6i8 plca medictas. qi fi fcfgquaf rii fefQtcrtio auferaa
id q!5 rdmQf mcdietat^ fefgquarri noclTuit.idcqs i (eris.
CTiDcmortratio gimpoiTibile oiapafonimultipiici gc
flereclTc. Capitnlnm. :i.

J25e m1cad oiapafo pfoniiria redcam^ . q> fi^ea
9 noU mulriplicigcnere iequalirans^cadet ifu
. pparticularcineqlitarisgcn^ Sit igif fuper
parti(Ularis^po:tio ciapaibn pfonatia . 2Iu(craf ab ci
ptinua pfonanri3.i.t>iapenrc:reltnQuimr oiatciTaron.
28is witur oiateflTaron minus cft vnooiapcntc ei ipm
otatcflaron nonipletpiapmreeonfonatie medictatc cpt
ipolTtbile.iODo(Trabi^cnibifdiatc(1aion ronoac femito
nioconibnatia oiap^tctrafcendere : ^uoctrca ncc oiapa
fon quidetnfugetieulari^inequalitatis^^cnereponi poc

z:onu0

^mitcniu

^onuB

OCO1IU0

1 fflrirtvi"

fclvi

(pcii 1

SDiatctTaro»

^Oapcnte

ClCVnionrtrario pcrimpofTibiU owpcntc OtatdTaron
nronuin infupcr pjititulari tlTc. jCap.

iEilar igitur vt oiapcnrcac oiatciTijron T ronn
r bi fupcr parrtculan poncnda clTc rnonitrcin^
flain -r ft id m p:ima quon5 p:obaioc ca qua
^iapnfon in ruticr^iarnnilari gcnc rc non ci po
nmdam monrtr.niimu6.id quoq^ iiucdam rarionis nio
do pcrclarnirr' £iigillanni tuin oc co ac oilisnittus pcr
traacmutirinamil m fiipci particulariqiiis^l^ashabiru
dincs poiicndas ciTc non oiicerit m mulriplici smertfa/
tcbitnrtollocandae. THam mfupcrpartitnri TeUftcria
mijtiv^ curponi iion poiVinr:fupcriu6(vtarbitro;) oc-
planatum crt.ponannir icsitur fi ficri potcrt in muitiplici
gcncrc.tft quoniam ^iatciTaron confonantia inuio: crt.
t)iapfnrcmaio: ci^tciVaron &upIiri.oppcntc vcro rripli
ci p:opo:rionimuiripticiruisaptctur.Dinnniil£crt cni
-vtcrt confoiianna oiatcilijron pfonanticciapcnrcconri'
nua.itafl ^iateiraron mDupIicirtaniinir.oiapcnreinco
tinuaoupliasponi.i.n-ipliri.Xcnusaufcm quoniam
in bflbimdinibusmurtcis.portoiatfiVaronlocarurrnifni-'
runi inca p:opo:tionc ponaturrque crt mlo: oupliri. bcc
flurcni in mulriplicifaris ^enerc non porcrt inneniri.
"iRcrtat isirurin (iiperparticnlariebabitudincm cadat.
^itiijttur pzima.i.fefqiulreraroni p:opo:rio. iHam 11
&upliccm auritanius tnpIiri:quod lelinquirur fefqual'
tcrcrt.Ouod rt Matcir.iron quidcin oupievert . t^ia^Tcnte
vcrotriplum: fublato oiarelTaron a oiapcnre tonusrcli-
quu£? ftt:nuIlo modo oulMtariporert: quintonus in fcf'
qua!teraocbcatp:opo:rioncconrtitui,eed oucfefqualte
rc p:opo:tionc6 oupUcein vinnint. Oticraadmodum c>:
aritbnietiris inrtructus fibi potcrt quifq3 coiugcrc. JDuo
iairtTroni ^iarclTaron fuperabunt: g^ert inconucnicns.
/Diatcnaron cnim ouob tonos lcniitoni! fpatio tranfc2
c!it."iRo^t igitur heri porcil: vt non oiapentc ac oiatclfa'
ron iniiipcrparticulan inequalitaris gcncrecoiiocerur.qj
fi quiatonumquoiijin inuitipliriscnerceiTe pcrlcribat
cjuoniain quidcsn tonus niino: quam diaielTaron. SDia/
tcflTaron vcroininusert quam Diai.>cnrc.ciapentcquide
ponarurinquadrupla.oiafciTaioninfripla.tonus inou
pliri:Scdoi3pcnteconrt3tcrDiareiTaron 7tono, ^ua^
druplumiyitur fecundum banc rarioncm conilabit cj:
trtplo ac ouplo.quod ficri ncquit.TRurius rtaniatur oia
tcltiron quidem in rriplici ci oiapcnte in quadrupio.jSi
igituraurcramuc triplnm a quadmplo^rcfquircrrius rc^
linquerur."il\urfu8rtoiateiTjron ciapcnfeconfonjtie fub
tral^s:firfeliquuatoHU6:Xonusiiiif«rfecundum bac
rarionemin fifquitcrria p:opo:tioneconrtabir. inedtrcs
fcfquitcrnj vno 'ripliriminozesfiunt.lrcsigitnr roni
vnum biareiTaron nulta rationc fupplebunt.qiiod crt fal
fifTimuni.'3Duo eni? toni acfemitoniuin minus oiaterta
ronconfonannam lupplcnt . tEr bis igitor oemonftraE
oiarelTaron confonantiam non efTc multiplicc m . pico
antcm quoniam nccoiapcnreconfonantia.in multipUci
gcnacpotcritcoIlocari.lRam rt in co rtatuatur: quoniaj
crt ci mino: conrinua idert oiatcrtaron.no locabirnr oia'
pcnte:in mulripliri ininimo.i .oupliri fcs vt Ht lot^: quo
oiatcrtaroH confonanna portir aprari . S>cd oiatertaion
confoitantia n^ultipluis gcncris non ert . ^uocircancc
ciapcntc.in mato:e babitudmc mulripluts quam crt ou
pla quf minima cft aptaripoffrt.i^^iigimrDiapente in
mimma fc^ oupla oiatefTaton vero qu? mino: crt : i mul
tiplif i quidcm apta: i non porcrt. iRon crt cnim minus
quictBoupliri.Siigiturfifqualtcra.-Ionuo vfrofcfqui
lcma. 3ncQiirinuaenimp:cpo:rionc locabitur. S>ed
ouo fcfquitcrtii 5mp'io:f s funt vno fcfqualtero. iDuoigi
turtonivnam oiatclTaronconfonantiainvniccnt^cpnul
larationccontingct.tFrbisigiturap^obatur oiapctcac
oiarertaron in mulripUci gcncrccollocari non pofTe . quo

citca in ruperparricularigcncrein^qualiratidturcponen
tur.

C iDemonftrario biapcnrc i oiatciTaron in marimie fu /
perparricularibuscoUccari. iCap. 25.

Xlud quocpaddcndum ncciiH^riocihquonia,
i n oiapcmc ac oiarciTtron fupcrpaniculares .p-
po:rioncs tencnt:in matimie fupci pai tuiila
ribus p:opo:tionibU6 collocancur, unr au
tcm marime fcfqualtcra f fefquitcrria. llDoc vcroapp:o
babif ur boc modo.invim 11 in minojibus p:opo:tionib^
quam fcfqualrcra vcl ic fquitcrria.oiapcntc ac oiatclTaro
confonanticicolloccnrur. ncncrt oubium qum ficurali?
p:opo:rionc6fupcrpartinil.^rc6 p:acr fcfqualterain ct
fcfquitcrtiamiuncfi noneiTiciunt vniiDupluni: ifaoia
pcntcac oiatclTaron viium oiapafon nullarationc coii'
cIudunt.vJuonia5 cniin Diapafon in oupliri p:opo:tio
nc eiTc monrtratuni crt. >?upler vcro p:opo2rio cf fcfqual
tero fefquitcrf iocj5 coniponitur. JDiapafon vcro cc oiatcf
faron ac oiapcnfc copulatur : non ert oubium quin rt ro
tum oiapafon in ouplici rtatuarur : oiapcntc 1 oiafclTa
ron in fcfqualtcra fefquifcrtiact? p:opo:tionc finr locan
de.^lltrcrcnim non pofciuntoiapafoniuncrf perticere:
quf confonanria m oupliri p:opo:rioncconfirtif . Hlirt in
t»uabU6p:opozt}onibU8rtcfcrint fcfqualfera . Ic:> a< fcf'
quiterti3-5llieen;p:opo:rione8 fupcipartuularce banc
nulla rationeconiungent

Cr;<Dtapcntc in refqualtcra oiatcffTon infefQtcrtiacrte
tonutn in fcfquioctaua. jCapitulum. :4.

3coautcm quoniamp:opjicoiapente infcf'
0 qualteta.i oiatcrtaron.in ferquifcrtia p:opo:
tione confirtif.^uoniamcniin inter vtiafqs
p:opo:rione6 fefqualfciam fc3 ftfquitatiam
^Sefqualtcramaiozertri fcfquiterri' mino: : quoniacgi
confonantiifl oiapcntcmai •z:oiatcrtaronniino::appar5
maiozf m pzopozrioncm maiozi:': mino^miminoziccca
fonanticaptandum.ifru igitur quidan oiapentc m fef'
qualtcra:oiatciTaronvero in pzopo:tione fefquircitia col
locanda. Ouodrt oiarcflaronaoiapentc confonantiatn
fubfrabam'': rcUcimrfpatm:quod oicif ronu6. ir^cfqui
terriu voo ,fi pzopozrioni fcfqualrcrc intnuamus :rclin
qutf fcfquioaaua p:opo:rio Quo fit ut fonus.^nfefqui
octaua debcat imone cortitui.

ClDiapafon ac oiapcnte Jn tripla p:opo:tioe ertc. bis
t>iflpafon 3n quadrupla . ^lapituln. :5.

€^d quontamocmortratiTcrt oiapafon quidc
oupIiiHi oiapcntc vero fcfqualtcram . luncraa
vero oui: lam ac icfqualfcram rriplicem ,ppoz'
tioncm p:oac3rc:fic bis f riatn apparcr oiapcn
teat oiapafon in rriplici p:opo:tioneconrtimi. £xd fi ga
triplicipzoportioni fcfquitertiam babinidincmiungat:
quadruplam faat:75iturfi oiapcntcac oiapafon confo'
nanfiis oiatcflaron fYmpboniaiungatur:fit quadrupla
fparium vocum:quod bis biapafon fupzaefTe mollra^
uimus.

ClDiateiTaron act»iapafonnonelTeconfonantiam: feto
dum pttba5o:icod. Capituluni.

^'d in bis illud oiUgcs (ccto: agnofcat: quod
0 tonfonantif confonannjs fupci pol^ff alias qf
dam con fonantias eftuerc. "to m oiapentc ac
oiafcftaron lunctf oiapafonCvt oictum ert)
crcant.buif verooiapafon rurfusn Diapcn*c fYmpbCk
niaiunrsaturfitconfonantiaqufcicvnircBVocabuUenS
(upatur.Diapafon.f(5ac ciapente. fCai ftoiaiciTaroad"

Llbcr 11

ns

datnrfirbie oiaparjnrqiTf quadmpldm pjopouionftn
tcner.Ouidigif fi oiarfiraronjc oupafon tonlonanria»
lunjjmnsrviiam ncrmindumpvrhago:ico9c(fiacr co
Ibnanrum.fll^inimc. ilDorcnimiiiriipcrparricns in/
rqualir.uip gcnuecadir.nfc frruar vc! muuipliciratie o:
dincmrv Ifupfrparnculanrariefimplicirarcm . Slgecm
ftaru .Uiir numcri quibns id f inliu? ap.pbcmue. Sir cnl
tcrnariuaituiusfirfcnariuy PupUm.fciliccrinoiapafon
(onfiikns p:opo:rionc.buic3prcrur rcfquircrria qu.i oia
tciT4ronciTcp:cdirimu9:rroaoiiariu0."j3 cnim ad fcna
riuin oiarcltaron p:opo:rioncmrcner. ^uiocronarius
fld rernarium compararus babcr cum bis. x?; ne fir mul
tiplec habcrcna cius aliquas partcfncq5 eae iimplitee.
IDuabuscnim rii tupcrucnir vniraribus: quf funr oue
tertie prestcriuriitquc^ p:imumrcrminumminimum
CB locam". iDinrigirur :crmiiiibi.iii.vi.vii).'3lludquo
qs (J? intcr ouas fiDi conrinuasconronanrtas cadir.c en!
neqp ouplii cil inregriivr oiapafonconfonant^a .pdar:ne
^rriplumtvroiapafonac oiapcnrccflFtiarfunpboniam
iCui fironus addatur:moj:rriplum modump:opo:r6is
cffiticr. Oifi cni oiapafon ac v?iapcnrc ftbi iunm cftuiiit
triplum.iDiarclTaron vcro ttonus otapenteconronan'
tiamiungunr.fi oiapafonconfonanricaddatur oiarciTa'
ronrinconronum fir: ru inrcr oupliccm acrripliccm nul
laporeil naruraUtcrpzopo^rio muirtplicirarie inteltigt..
gp fi ci adijcio tonu5:fit oiapafon MarclTaron t ron'' : q»>
nibil oirtabir vrrum fiapafonacoiapcnrcfir.wi^iarclTa'
ronaiimi ronus oiapcnrcconllituor: ;ir)ircnim oiapo'"
fon quide^.iii.-j. vi. JDiatciTaron. vi.^.viii.ron^.viif.
^.iv.Oiapenre.vi.-J.iic.ADiapafonacoiapctc.ui.ac. i)c.
^ritisiturfittiipa p:opo:tio.iij.vi.viif.i)c.£)cdqua'
qua oc bis mulra nicbomacus^nos tamc o.iia potuimus
b:cuirare parnm ca ipfa iiuc pYtb3go:ici aiTirmanr p:o
menrc6:partimc)ccifdcm qu?dam tonlcqucntia argum^
ranfs p:obauimus: £?ioiatciTaronconfonanric oiapa^
fon aiidaturconfonannam er bistoniun£,i non pofre.Qd
vero fentiar bcbis ptolomcustponcriusapponam. S5
oe bid bactenus.'lBunc oe femitonis confiderandum c.

CiDc fcmitonioin Qbus minimis numerisconftet.
Capirulum. :7.
Jdentur cnim fcmitonia nuncnpara non cpve
V retono:ufintmedietatcs:fed quodfinrnoin
tegrironi:buiurcpfpatiiquod nunc quidem
f.mitoniu5 nuncupamus: 2!pudantiquio:c»
autcm Umma vel oufis vocabatar:bic moduseil . iCu>
cnim e^: fcfquitcrtia propo:rione quf oiatcflaron cil: ou?
fefquiocrauf babirudinestqucroni funt:aufcruntur:rell
quitur fpatium^quod fcmitonium nuncupatur. ^^ucra
musigiturouostonoscotinuacifpofitione Defcripros
;Scd quonia i)i(vr oictum cfi)in fcfquiocraua p;opo:n'
oncconfirtunt^ouafcijrefquioctauas p:opo:riones conti
nuasadbiberc non polTumus . nifi mulnplcrillc : aquo
bf deriu3ripoiTint:reperiarur.fitvnita6 p:ima nq5 octo
nariusocrupUis p:imu6.ab bocigirur vnu5 fefquiotra
uum potcro ocriuare. ^cd quia Ouos qucrimus: ftcnt
orties otro:arc^5Cj:eo.lriuj.crpliccntur.i?ririgttur fcfa"
dusoctupUis.a quo poiTum^^ouas fcfQoctauas p:opo:
tioncseduccre.lflac^ocroqufcfi ocraua pars.inut.vni
tatum cifdem additi totam fumma.ltririi.perficinnt.bis
-vero fi fua ocraua flmiUrcr opponamr:quecll nouenan''
ljn:ri.reddunr.5£runrq3 bi ouo roni conrinui p:incipali
oifpofirionc cofcript^lriiii.lrvii.ljcicii.TRunc igif ,l)ciiii.
•vuitatu fcfQt.rtiiiconquiramus. ioed <iuoniam. Iriiii.
pzobantur tcrna partc no babere:fi oes bi numeri terna
riomultiplicenwr.mo):eisparsrcrriafonringir:Toc8 tn
cademp opo:tioneturabunt:quafucruntanrc(tibistcr
nannsmuIripUtato:atfedcret.fiantigiturtcr.li3iii.f)rcii
bo:umterria.lriii|.eifdem addita.cavi.reddct.^ririgie
bc( fefquitf rria p:opo2tio oiatelTaron confonantia unia

TWunc igituroiwe fefqufoftauas p:epo:riorft'flrt.f)rfiF.
c»uobusfeni.Mncrisfonrincntc6ratoo:dinT fcllotfnius
fianticirurrcr.Iiirii.i.ccivi.lRurfusrcr.Urvi.quifiiiir.
cfrIiii.Ouiinrfrouosfup:af(iipro6rcrmuio8 toUofcu'
tur boc modo.f;fii.(():vi.tft:Ui|.«lvi.

1 ^onriQ 1 \ feUomS \

1 f>:cii 1 (crvr 1 (crliii f cdvi

JDiatciTaron

C jfnbac otfpofiri'onep:oporri'onum.1p:imusniimc
rusad pofiremu oiarciTaron tonfonantiam conrcimic.
3dc vero p:imus ad fecundum 1 fccundus ad tcrt iii gc
minosconfiituiinttonos. Conilarigiiur fpacium quod
rcUnquirurfjc.ccrliii.ad.cclvi.in quibusmir.imusrc
mironiiforttiaconfirtir. .
CTJDenionnrarioncsnon ciTc.ccrliif.ad. cdvi.tonime
dietarcm. Capitulum. :8.

•ttbp:obo igttur.tcjclui.ad.fflvi.oiflanria? no
cc inregra foni mcdii oimcnfioncm. tBtenim
onfcnro:umquadragint3trium'r ontento:!»
Ivi . oiffcrcntia tredeam tantum vnirarib^
tontfnetur. Qui tredccim minus quidcm qua^ mino:iB
octauam oecim5:p!us vcro qua non.idccimattt optinSt
f anem . iDi cnint ocrics oecics tredccim oucas elfirics.
rc]C)t:riui.qui.cc)cliij.nullo mo f quabit. S>\ oerics noui'
cs mulriplite6:rupnadenr:cit opo:tcatomne fcmifoniu;
fi ril in intcgr roni c imidiu5 rcnc rtintcr fcvradccima par
temacfcptFmadc(imafoUofori.^!3uod poilftius oemon
ftrabitur.lRunt illud liqucbirralcni fimironif otfianti
flm fibimct gcminatflni. vnu toni fpatium non poiTc co /
plerc.ingeenim vt fefe.cdvi.ad.fcrUii.bcncialcs ouas
fibimerfoiirinua8p:opo:rionc6 fccundiun fupcriusDC
ffiipram rcgulam oifponamu3.cc.enim.l.-r. vi. i/fmet
iplos mulripliccmus.-j fit marinr^tci niin^^.lvv.dtarvt.
'irtem.ccrUiT.p:op:ia numcrontatcconcrffca^^t.': fitmi'
tiimustcrmin^^.lir.Jdvuij.llxurrns.tflvi.adduccnto:!!
)Lliii.mulritudinem (onfrefcaiu.iErit igitur nutncrus.
Ixii.ccviii.bicigi urmcdiusfotlocctut bocmodo.

[ Irv. drrtvi ~( lui.ccvui | Ur.itvic |

(r(r'3neadem igitur funt p:opo:rionc outenri.l vi.
(cicliii. 'jnqua, I):v.d.v]rvvi.fld.Ivit.tcviu.tfritfm.
lcii.cfviii.ad.lijc. riviiu. ir>cdmarimus eo:umrfrmi'
nus qiiicrt. Ipv . d^crjvi . ad minimum quicrt. Ivuii.
frlviiii.Hnumintcgrumnonffficirronum. ftp:imi
ad fecundum p:opo:tioquf cll f qua fcfundi ad lerrium
|.i:opo:tioni:intfgri cflc lemironii p^obarerur: Ouo bimi
dia luntra vnum necefrariocfriccrenr tonum. iHunc auc
(um non ficct trcmo:um rermino:um fcfquiocraua p:o'
po:rio:mantfcfium efi b{c ouo fpacsa p:op:ie rono:u5 oi
midianonvidfri.0uicquidcnimfuaifciiq?ci>Oiniidi
uoi id fi Duplicerur illud effit ir:(uiu6 Dinrur c ffc Diniidi
um.Si veroilludimplcrenopoiTirgctninarapartKula
tninus efi parrc oim!dia.£>i vero fupcrfluarac fnpfn-a'
dar:pIuscllp3rrcoimidia.p:frc;fap:obabunmr.lxv,
drrivi. non facere f fquiocrauam p:opo:rioticm .
Iviiii.riviiii. vniratibua (omparenriinfiocr.iuaps. \\x,
%\K\\\i . cifdcm fccuiidum casquc in aritbmcticis Difrc
funrregulas aggcramr . 0uf qtfi in inregns numrrts
non confti]it:3ctircoeandem oftauamparrcm rflingni^
lctro:um 0 ligcntif tompurandam.liqufr i«Aifurca p:o'
po:rioneniquein.C(Ivi.i.fttlui.elUonll.riffa:nonecin
tegrum oimidium,toni. ^uo (irta id quod vrrc fcniito
nium nunfupatunparstoni minoz cft quam oimidia.

f f

CJDc maiotf piirtcroni in c)uibU0 minimid numm»
(onikt. jCapiriiliim. J9.

^ liqiia iriir p jr« quf maio: f tapotomc n5
r njpariir a grfcie n nobis vcro pot rocan o«/
tiilo,'}clcnimnjrura ferrrvt quoricnealiquid
fecatur ita vt non equie parrib"oiuidarur:qua
to mino: pars PnniLlio inino: f : riVo maioz pe cad? qu?
Bucrio: f rt:oimiduim vincaf . Ouanrum i^irur (rmitoui
«m minusintcsrooiinidictoni minu9ert:ranto apoto
tiKroniinrcj[rumriipcratoimidium'Z ximit. tftqno'
niam oocuimusCcmitonmm inttlvi.7.ctilii|.p:incipa
litcr llarcrnunccaquf aporomeoicitur: jn quibiiepof-'
fit mmimie conrtare numcris appiobe mu9 . S>i igitur
ccrliu.parrem rccipere ocrauam polTenr cum ad eum fcfa
otrauu8numcrii^comparcrur:rnnc. td vi. babirudoad
iiTqmoctauam Tumma mintini numeri tomparara : apo
tome nccclTaria rarione monftrarct.l^Uinc vero ri quoni"
am pars octaiia oc cflc monrtrarur: vrriii5 numcri ocries
hant.vf tcjr.cocliii.quidcj ocries mulriplicarie fir nume
ru0.iiu.dccc()cliii), Ouibusnp:op2iaconreratur ocw/
«aqiii runr.cctiiij.ficnr.ii.clrrjrvii. iRurfus.cclvi.per
ocronariumcrefcant.ficntfgirur.ii.tlvtii.inrqj bic fup:a
icripro:umtermino:um in mediotollocetur.

'^rfroili min'

apotone"

m.dcctcpliiii |

CXcrtiusigitiir rcrminusad pimutonfretinf^t.ppo:,^
tionem, £>i tundue ad p:imu fcmitonij minozie. Slpo-
romes verotertius ad fccudum.arq- tii l?'fdfmp:imia
aporomes vidertu-conrt9rcp:opo:tio:cum fcmitomj.in.
cclvi^T.ctiliij.numcris fpatium conrincatur.3ccircoatjc
AT>.dccccrliiij.7.ii.tlviii.in eadcm p:opo:tionefiit:qua
ccrliii.ad bucfntos.lvi.quoma.cclri.i.ccrliij .octona
riomulripUcati funr.Sieni vnusnumcius ouost quof
libct numcros mulnplicef :qui er ca nuiItipUcationc naf
cunmr:3ncade5 eruntp:opo:rionc:qua fucrunt binu
incrirquof! p:io:'numerus multiplicauit.
CT^uibuspjopo^tionibuBDiapcreoiflpa^onconrtet^
qrnoiapafonfcrtonisnonconltct. tTa. 50.

qtn oc ^iareiTaron tonfonanria lati' biri
s mu6:b:eui^T prnc puris niimc ris pc oiapa-
fonac oiapcnte ccnfonanriisoiiTcramos. oia
pcnrc cntm conftar cr trib^tonia £ic femitonio.
idcft cr oiarelTai-on 1 tono . IDifponanturcnim numcri
<1U08 fuperio: oercn"ptiocomp:cbcndtf .frcii.tcrvi.ccrliii
cclvi.'3n bac igtmr oifpofitioncpzimus tcrminieatfc
cundumi ffcundusadtcrriumtono^um rcrinctppo:'
rioncs. £3cd tcrti"^fld quarmm fc mironi) minozis^vt fu
p:a monftrarum e<\.£n igitur.tdvi.ottaua cifdfm quo^
rujoctauafflapponatunficnr.ccljcrtviij.^uibus.frcii»
comparati fefqualtcmm fpariump:opo:tioni0cfficiut.
^uocirca rrcequidcmtoni funt:fip:imu6ad fccunduj
rfaindiJ6adtcrrium:quinruscon'craturadquarmm.
Scmitonium vcromiuusrcrriiad quarrumterminu^
comparatio tcnft.q> fi oiatclTaron quidcm ouo:um tono^
mm cil ac fcmironi i mino:is:oiapcnte vc ro rrium rono^
ru? ac fcmironii mino:is:tunctc vcro oiarclTaron ac oia
pcHtc vnum Drapafon vidcnmrcflficerf: cmntquinq^ to
ni 1 ouo fparia fcmitoniozum m'noza:quf vnum tonii
non vidranriir injplcrc . T^cn ci\ iciitnr oiapafon confo'
nanna condans fcr ronis vt ariflo cnus arbin^af . quod
if* RumtTisQuocsoifjjjoritum cuideiitcr »epmt,^

ftilm toni inozdincm &(fjponint«r,f.in fffquiflctaufe^
po:rionibus conrtiruti. ioex veto fcfqiiioctauf p:opo:rt
cnes a fcrto octuplo p;. ttfantur . ZDifponantur igif fcjc
o(rupU,boc modo.

_ I M viii Hriiii JdcTTTini.rcvil

mi.dcflrviti | .cclrii. I ctliiii f
tL 'Bi> boc igitur vltimo numcro fer roni tn fclquioctJUa
pzopoztioncconititutiloccnturboc mcdo.<Difpoft^p:i-
mumoctuplis terminis: vtoctauf termino:um Kteipfo
rumrcrminozumlatcubuaadiunsantur.iTMtautcmoc
tcriptiotaiis.

___JL_o(tupli [ i.lvttitl lytiii | dcu | ~

[ ilii.ttvi.irnrii.dcc^viii] c(l)cii"c]cliiiiii

{__^cfqu!Offaiii [ ip^artcs ocraue f _

rT(Ir:i ,ci1 1 ! H ] titU.dccl viii f ~

ccrciiii.dccccvii

I tcfcjrri .dcclrvvr. • ] rli.c^cclrjcii.

1 cfclctiii.ccrlvt I.

tlvi.ddvii.

f cccc^ir.dcccciin.

Ii.cccdrxrviii.

1 cccdrcii.fccrcii.

lir.riir.

][ dryri.Cfcctli. f

Clf^uiustgimr oirpofirtonisbffrocll.iCcntimi^fni?
tcrfu6:quilimfs Dicirur:octuplo6 mimfros tfnft.Sl fc
jrto vfro ocmplo fcfquioctaucp:opo:ri ncs oucunf . vbi
t>cro ocrauas partce rcripfinuisrocrao? fnnt fo:u5 numc
ro:um rarff 6:quib^adiacfnt. ^nc fi cifdf m quibus ad «
Cfnrarponannir:poftfrio:f6 numfro^fffanr: vtin p;i'
mo quifft.cdvii.c;Iiif.buiusocrau.i.t]crii,dcclrvm.bi
libimct c5tunganmr:poflcrio:cm cfficmnt numcrum
«jui f rt.Cfrciiii.dfCiciii.3df !nq5 in crrcris inufnirur. £>i
igitur vlrimue numfr^^quifll.drrjri.tccc-H.ouplusfiT,
p:io:isnumcri.qui frt.fclrii.crliiij.rccteofapafon ftcto
nisconftarc vidcrcmr.THunc aurcm fi minimi numfri.i.
|j:io:is Ouplifc m fonquiramus mino: frit co numcro q
crt marim^ fHp:fmu8.Tl^3m.fdri'.crliiii.numcri bU'
|>lU0Cft qui ad cuj fcj oiapafon confonatia tenet.ditiiii.
cclrrrviii.bicigiturmino: eil to numcro qut fc^tum rc
rincttonumco fil^quifrt.drrri.ccccili. tXiino:ffligif
Siapafon cofonantia fcr ronis.SItc^ id quo ffttoni 6ia
pafonconfonanriamfupcraadunt^vocofoma.crfonftat
in minimis nuinfris.djdviiii.ccIrcrvitt.T.drrri, cfffrli.
^ed oe bis quid arirtovcnus fcntiat : Out auribu6 be-

tfitomnctudictum:alia6f6mcmo:abo.H1U!ifvolumis
fcricmfaftidij vifatozartringam.

C"€^ iufdrm IBocrifoc cVHifica libcr rfrttue . snducr-
fu6 ariibrfmum Dfmonftrario fupcrparricula-cm p:o.
po:nonfm oiufdi in ? qua iion pofie.atqj idco ncc tonu5
/Capituluni. p:imum.

ttpi rioze voluminc ocmonnratS
crt oiatefi*a on confonantia cr t>uo
bnstoniscopulari ac fcniitonto.
« oiapcnrc vo ex tr ib^tonie ac femi '

toniofonrtarc. 5*5 ca frmironia
oimidiumroniinrcgrum nopoT
fcpficerc: Sifigillariconfidcrata
tracrentur. atq; ideo oiapafon ad
Ut tonos n ullo modo pei ucnirc. £»fd quoniani arirto /
irenus muficus iudicio aurium cuncra permitrc ns bf c fc
mironia non arbiframr eftc fetiindum pyrbago^icoscon •
rracrio:a oimidio:fcd ficutfcmitonia oicuntur:irafe oi'
midietates tono:um . S> rifdc m mrfu 0 pauli fpfr crt oi
fputandum bemonrtrandijq^ p:t' nulla furcrpartimla
rcmbabiradincm noto numcropolTf oiuidi in inrcgra^
incdictatcm.^^fntfr ouosfninumcros fupfrparticiriar^
p:opoaionem (ORrincmcs.-fiuc illi finr p:in(ip3lc6:quo

Lll cr III

mm fft vnitM ofltcrf nrirfitic poflm'o:ee: nulliis m p<^
rrritnirdi^nunKr^collofari . Yt qua nunimus p;opo:tio
ncm temt ad mcdium:cam nifdiue tcnsat ad citrcmum
fc; Ttui jfomftrica p:opo:tionc: fed aut Diffcrctiae cq»
facacpotcrt:vtflt cqualitasfctudumarithmcticammc
dictatcm:autflrmonicam intcr cofdcmtcrminoe mcdius
namcrut^ collocacue facict mcdictatc3:aucquamlit)ct ali
im.quariim flritbmctKie fccinmsmciirion^. q^flid oe
monrtr9bimr:nff illud quidcm llarcpotcrit; fcfquiocta
uam p:opo:tionc5 quf tonuecrt in oimidiapoiTc oifccr
nt. ^uando quidcm fcfquioaauaoiein fupparticulari
infquaUtariegcnfrcconfllht.jdveromcliuti tnductioe
monrtrabitur.lRartpcrflngul9op:opo:tionfeconfldC'
rationc ocducta.f.fupcrparncularce nulla p:o:fu6 ocfur
rit^qucintcrpofito mcdiotcnTnno fqui8p:opo:aonib'
Dtuidatur:non cil oubium:quod fupcrparticularid com

S)ararionon poiTitin?quflparriri.$fl vidcturaurib^fon
bnumatiquidcanerc:cumcuilibctvod ouobue toms
ac fcmitonio intcgro oiilans vocula comparctur : id non
clTcconronuin natura monrtramr . £)5 quoniain fcnfu«
emniequc ininimafunt:comp:ebfndcrc ncqucat:idar/
fobanc oiiTcrcntiam quc vltraconfonum p:occdit:fcnfu5
liuriun) non poiTe otrtingucrc:ro:c aat vt &cp:cbcndatur
II frcqucnriiTtmc talie particula pcr f ofdf m crf fcat erro:f 0
inamqiiod in minimo l?aud fane cernitur compofltum
coniuncriic^ ca iam magnii clTe cepcrit peruidc e . 3 qua
igirur p:opo:tione crt ozdtenda.-^an fompendium Dabi^
nme queitioni:ri'ab eo dc quo queritur o:diamurf 3d n
n m^in ouo (quii poirit,paf riri net ne. iHunc igif oe

rono f iTpfrrMcrardnm:^ qufadmodo; non portit i ciio
?qufl t>iuidiDnnonrtranduinc|]: ^5uam ^fmonrtrariO'
nemflquieadrcliquasfupfrpartitularcefomparariocs
rranlTcrat.-flmtlita Dcmcnilrabirar fupcrpartiiularf ni in
{qua iiotoflrcj5 inrcgro nunifro fcparart non polic. ip:i
mt igitur ronum conrincntce nun cri funt.viii. atci5. ir.
Xicdquoniam fc.irtt tta n3turalitcrconfcqniiiur:vtme
diue intcrcoe niimfruenon flt:cofd^ binaiioquo. f. n i
nimopoiTummulriplico.fiunngitur.vvi.flc.)cviii.in'
rcrboe vcro naturalitcr numnuecadit quicrt.ivii.igi
tur.icviii.ad.rvi.tonuecrt. ©cd.ic.^z.viit.ad.r.T.vii. w
parflt^babftfumtotii:Tfiu0 ffptimadfcimam partcm.
^^fprimadfrima vfroparennno^frtrcrtadcrima natu
ralitcr. ilX)ato: ert igiturp:opo:tio quc fub.):vt.ac.rvti.
numcrt0continctur:quaca qug fub.tvit.flocviit. ^ui
otfponanturboc modo.-zftt.jcvi.Sl.jvii.t.jiviii.lB.
UX)cdict30 igimr integrfl toniintcr.t. flc. 23. nullo mo'
dofadff.i!X)ino:ertenim.c.b.p:opo:tio.c.a.p:opo:riO'
ne.iind maio:cmtgiturp9rrcm mediftaeratfl ponendsi
tf\.£>k veromfdict90.d.s2uoniamigimr.d.b.quidf5
p:opo:rio.quod ert intcgrum Dimidiu toni maioz frt. c.
b.p:opo:rionf :quf.f rt inino: pare toni.a.f .autcm ppoj
riojquf crt maio: pare toni fl.d.p:opo:tionf mflto:'crt $
ertoinudiumtoni.ertautcmfl.c.p:opo:tio fcfquifenta'
dfrima.c.b.autfm fffquilfptimaderima.non ert oubius
quin intfgra medictad inter refqutfcj^tamdecimS. ac fefq
feprimamdfcima fadat. j^d boc in integro numero huI
lo modopoteririnueniri*

Xonug

;§[^/frfadccvtt\fty^

^trnetA r«i niimmim tvvi numct^fom vnltfl0.fltc&VRitan'«par0.rri.bfln<ficidcm.ryii.nu'

f.S'£To?rSSrroS meroconiunsamue:ftunt.^viii.'rp9r0fq:tadaima.^

rSSSi!S.ttS^^^ iStiur.,:viii..paralc;t3dcama.pvi.nDmerocomp9«f.

ttfft toni mmitordm videaf iir meietc . iCum ad oim fiv
lue.r rtii.nufnenid fdquioaaul cuf^odiar 'p:opo:rione
"aiulcfit vt qin fupcTfcrquircrradcnma p:opo:tio. tona
bisauaatraniccnditrnonnrintcgrum rom oimidium.
^^^uicqiiidctum bid ouaumrranfccndiraliquidrtdvlrrs
otmidium illiu^ cire vidctiirurrqucd rranfcendir. Quo'
circa fiipcrfcfquifcrradccima.non citrron! oiiiiidta . i?U
pcrbocnccaliavliamaio: fiffqutfcvtadccima p:opo:ti9
nc:tontpofcritcc otmiduim.-ain) ip a fcfquifcpadcci'
tnaintc^otoiu oiiiudiofitmaio:. x^edquonia fcfqui"
fcrcamdcctinam p:opo:tijncconttnua fcquirur fcfquife
pttmadcama. vidcamue an ca tonum bis multtpluatii
implcat.i: VI) . tgttur numcri fcfquifeprimamdcc ma par
tcmtcncr tcrmmus.rviij.Ju Mdcin igirurp:opo:rtonc
ftad.vviii.numerumaltumcomparcmudcnr.i^vtif.';
ftptimadcoma pard.q<riad. rvii. tcrmtnum tn fcfqoaa
lu p:opootione poiltum numcrum tomparcmueificnr.
fiviiii.': paraocraua.iOJ^aio: vcrodlpars ocraua prcfc
ptima dcciina. cTDaio; igitur e(\ p:opo:uo numcro:uni
|rvii.ac.)C viii).': ocraua:quam caqu(in.vvi>.a(.]rvtitl.T
partc fcprimadccimaconrinaur.qu^ funt.f.bis rcrQUife
ptjincdccimc p:opo:tionc6. lDu(t9itur fcfquilcptimc
dccimc vnumronum nonvidcnrurimplcrc. iHoncDigt
tur fcfitUifcptima dcania toiii oimidtum:quoniam quc
t)uplicata noti tmplctintcsrumrnon cocinet oimidium.
;&cmpcr cnim ounidium oupliMtum cicuiue oimi
dium co^quatur.

feicM
dcctma
psYnt
tati0

2tm vcro H eo9 numcroa oiT^Msnflm" qni 8 fif
f quitcrtia p:opo:tione ouob'foni6 rct i acrie re
lmquiirur:in Ina confldcrarc polTumug: vrnl
cap:opo:rioquc poil ouot» ronos rcltnquif :
Ititegri loco fcmirom) ccnftarur.q» fl ira rcpcrniin rir:illtf
quoci>cftcop:cbjrumDtarclTaronconfonannaouobu0
tonie arcj; tnrci ro rcmitontocopnian. i£\\tw fupe
riU6 tcrmin ' p:iinu6.cvc.ono. '^ld bum fcfqiJitcrtia p'
po:tioncm tcncbant.cdvi. i;:^)cdadp:imumfcrminum
«vvi.faaunttonum.irid.ccTvi.rurfus.caliil.roniobri
ticnr locum.tfrttgimrrcltnquiturcvroraoiarcirar6p:o
po^tioncca.fbabttucioqucin.tariiii.T.cclvi.Tnitanb*
conitat.bccigirurfi p:obarurintcsrtronicCoimidiunv*
oubitan non pot oiatciTaron cr ouobus ronis fcmironi
oq3 conrtare Jc^iu igirur ocmonilrattj ei! toni oimidiS
ircr fcfqrcvtadecima t rcfqfcptimjdcama pportocjloca
rt:abbac£omparationccttam bf(p:opo:tiomcticnda i.
*Mc enim longiue p:ogrcdumur:fu['nocv.cdiij.octTau«'
dc(imaparrcm:cafir.vtii.': limis.banc ncifdcsappofue
rofiunr. cdvi. i rcmi6.2lpparcrigiturmino:cm^po:'
tioncm.cavi.ad.ccvliii.fcfquioctauadccimabflbitudine.

fi oimidi^^toiuis maio: quidcm 2 in fcfquifcvtadetima
niino: vcro.in fcfquifcprimadccimapzopo^rione.Sef'-
quio(tauadc(ima vcro mino: cfl fcfquircprimadecima b«
bitudinc:DU(cnto:um vcro.lvi.adduccnros.vliii. iC5'
paratio:quf rc5 rclinquirurcr ctiarciTaro buob* rcrraaia
tonie.mino^citfcfquioaaufldccima:' "Pon cil oubium
quin bf(Ouo:um numcro:ump:opoftriofcmironiolon
giiTime biminutio: fir.

C^lduerfum arirtovcnu^ ocmonftrfltioncs oiatclTaron
confonantiam cv ouob^tonie i fcmitonio non conrtare:
nc( Dinpafon fcv tonis. ^Tapitulum. 5.

Uod li(vt aitariftovcnus^oiatclTaroB confo
q nantia cv ouobue tonie fcmitonioq^ coniiin
gitur:Ouf oiarcffaron confonantic nccclTario
quinqp tonodclTKiunt:': oiapente ac oiatflTa
ronumrtf ficutvnum Diapafon iugunt^itafcvronie c5
tinua^)po:tionc(o?quantur.tftquoniampaulo an fc)c
oirporuimugtono6:quo:ummimmuscrarnumcnis.
C(lV".(tliiii.^dbuncvcrovItimu6 in fcvro(ollo(aba£
tono numeru6.dvrvi.(((cjt:li.quimii vero rctinrbat to<
num.ca(ijcMi,7.(((;:(ii.oirponanrurbocmodo.

toni

^iur^fo/ii

1 ccl i«.(vli;ii

t((ClW;il.C££VC i

ccicii. c^i-iti.

Tafcprta*'**

{ipar

C^rfefquitcrtiflprepejtioncfublaris ouolws tonto
•9«w'midium»noiir{|inqoi, , /Capuulijm, a.

ClRonc igtfur ocmino:ibOfl numcris.i.quinqjfonis
IoQuamur.£>i crgo oittciTaroo ouob^tonis ac fcmitonio
bii«Tcro oiarclTaron qutn(ti (onflficrct ronie^ciicv.alvi')
«Iriif.oiarclTaron inrrndcrcm. Cficp &c.cc(clrvii.«(vcit.
dliud oiatflTaron rfmirrcrc^jfdcm intcr vtratB intcntio^
ncm rcmiiTioncm oc numcrusinucnirctur.^d autcmlit
bocmodoa numcro qui cft.tdril.cvliiuoiatclTaronin'
icndo.idcfi fcfquitcrriu m qui fit in. cc^^lviiii. dxvv. et
iricntf , H\urfH6.oc.ccwt>]rii.cccjccii.numcris rcmitto fti^

Lfbf r m

qatMnimp;e>po:n'onrm:quelU{n.(alh7f.tfm't({ . bas
{girarp:opo:tionc9 oifponamue bocmodo.i fit p:tm^
quidcmmwKm0.a.fc(Dndu9vero.b.rmiU0.(. quor/

euitMefoni

^(0) 1

W. (45.» i^iMtS.b 1 .(.^y^.JM 47:.59: o 1

1 iiii.d((I]cvitt.

C^igituri.t(rmim]0ab.d.tcrminoqutO(Bmn(v
tn0(flroni6quoni3qjDiarcifaron inouobue ttnidac
l(initonioiungtcur:vtt!rillo)tnu0flrbitratur.vnum(g
0Mf(irar9ii.inta-.i.au9.b.iUud vcro intcr.c.at<^.d.po

fl ru5 crt.b.t.t.rrrmino* non rpo:trt cfTc oiiicrros : Tcd
vno0flrcucordc5;YrinrcgTCiiiiiniiitonictouabii0 oia
tf(faronconronflnrtiecon(!arcviilc3i)tur:Tnr:(vcro qiti
cft oiftiTcntia.iiii. t1ccl]cviii. i ImITc arsuitnr DiatcfTaron
minirnctonie Duoluis ac fcmironiocontiin^i.
(TiDiaparonconfonanriamvi.ronie comatccvccdi:^ 4
fitminimu6numcru6(omati0. fCa. 4-

d b.ic fi qucriniuo in intcjrie niif itcrip r>if
facntiam collocarc:qtfi in ca partc quc c biiTc
• par8tcrtiafiaddatur:plcnaniefilcii rnitarcj
quc pars rcrtia ciufdcm bifTc oimidiuin crt . fi
tottue oiffcrchric oimidium cidcm adicccro qr od cft. ii.
tulmiw-t tricne fir omnia ftima. vii.c.liii. ^uc oudn
comario p:opo:ticncm tcncbat. (Cotna cni5 cft quo fcr to
mrupcranroiapafonconfonantia5:quod inp:imte.vii.
(Ivi j. vnitaribua (onrincrur.*3s«tur vr t<itfercntif oimi
dium p:op2ium adiccimus.vti.vii.cliii.circrcfccrct : itsi
triamcun(tie.a.b.c.d.tcrmini9mcdict9tccp:op:ta6ad
iungamu0:<? eadcm crir in omnibus qu? fup:a p^opo:-
tio: fictcp eadcm inrcr quint^; tono^ ac bie oiatf (TarOiOif
fcrcnriarquf cft inrcrfqctonoeac oiapafon confonanrii
©ift'crcnria:rcilt(cr.v)i.cuii.vnirarce:andccolligimr:
quin<5 tonoe bis oiarcffaron.-r fex ronoe vnum oiapa''
fon tantum comatc fupcrarc. Quod in p:imi0. vii. diii,
vniratibud inucnitur. id autes patcfatiet ;^ubiccta oe
f(riptio.

Cdocnuidmodiim^obilolaus tonum oiuidat*
)Capimium.
BDilolans vcro p^^tbago^ittjs alio modo tonft
( t>io\dcrcrcntautr.£>tamens.f. p:imo:diuin
toni ab co numcro:qui p:imu6 mbum a p:i'
moimpari:(q' maxinuapudpitbago^tcoe bo
Bottbflc (aic^tfficera.-^am (um umanue numtm^.

p:imu6 fltipar trcs.tcrtio.tv.atqj id tcr fi ourjcris.xjivi!.
nccciTariocrurgmt.quiad.vriiii. numcrumtono ciilat.
candcm tcrnarii oiffcrcntiam fcruane. Xfrnariue cnim.
^aiii.fumm? octauapare c(l:0u? cifdcm addita p:imu
a tcrHflnocubum.t;j:.a(.vii.rcddir.-6)cboc igitur pbilo
laueouaeefficitpancs.vnamquf oimidiofit maio::
cantq3 apotomS vocflt.tUliauam qu{ oimidio nt mioz:

eamcijmtfue t>ii(\m Oicir.quam pollcri fcmitonia mi
nu6 jppcllaiiererbarum \>cro Diflrcrctijm(onia.incp:i
mttm ouflm in.vui.viiitatibu0(omlarcaibitrfltur:coip
bo( mrir.((lvi. i.c^rliii.pcruifa fit oilfcrentia : s25uo(l(p
idtm mimcrua.i.riii.ctnoucnario tcrnario.atq} vnita^
tc conrutat, Oiif tnme pumti obrincat lotum.Xcrn»

nuo vcropzinit iinpjrifi' •"if?'''^^'^'''^"^","^ ^^'""*'P*'
na qiwdrari.ifrbioisiturcauilscum.riif.oicfij ponat
quodfeimtoniumnuncupaturrcliquam. wvii. numcri
partem.quc.riii>.vnitatibus(ontincrur:9poromCcc(o
rtifuit.ii>cd quoniam intcr.rm.T.ciiii.vnitde oiffcrcti
tiain facit:vnitatcmlo(ocomati0(cnrct cc pont'dam.
tofum vcro tonii ni.tx vii.vnitatibus locat. co 4> intcr
((rvi.ac.((Miii.quiinrcr fc oiilanttono.» vii. fttoiltoe
tia.

C Xonum ci ouobu^ fcmitonijs accomatc conftarf.
jCapitulum. 6.

X quibud fa(i'capparct tonum ouobus fcmi
t tonijs miiio:ibu0 1 (oinatcconfl3rc.'Wam II
toru 0 ton U0 cjc apof omc (on rtat ac femitonio
fcmiconiuinvcioab apotomcoitfcrtcomatc:

nibilcaliudaporoincmn fcmironium minusTcoma.

^oi igitur Duo fcmuoma mino;a oc tono quis aufcrat:co

matitrcliquum.

CJDcmonrtratiotonum ouobueTcmitonijscomate oi
ftarc, iCapitulum. 7.

IDcm vcro boc quoqs p:ob9bimr modo.lRaj
i fi piapafon quincg tonis ac ouobuo mino:i
bu0 icmitomjecontinctur.fupcrantq? fc% to'
ni oiapafon (onronanriam vno(omatc.non i
oubtumquin tonisquinisab vtroc^fpatiorublatierft
antrcliquac^oiapafonquidem ouoicmitonia mino:a:
oc ilT vcro tonis totm^.arc^ I^ic tonue bcc ouo fi mitO'
nia:quf rclir»quuntur:vin(it(omace: ^uodfi oiiobus
cifdcm fcmitoniie cdma rcponarur:? quabunt tonum.cS
ftatisimrrvnumionumcuobus fcmitoniis minou'
bud 1 comati:>f in.vi).(liii.p:imis vnitatibue iiiucnt
tur:cqu3ri.

(LlDcmino:ibudrcmitoni|iHrcruaUie. ^ap. s.

llDilolausigiturbfcatcg bis minoM fpatia
p \ rjjlibusoiflfinitionibusindudit. ADicftsin'
quitclt fpn(ium:quomajo: c fcfquitcrtiap:o
po:tio ouobue tonie. fComa vcro e fpaciuin
quomaio: Ci\ fefquioctaua p:opo:tio ouabus oicnbus.
i.ouobus icmitomje mino:ibU6: ^•'cbifma ed oimidia
comafis.iDiaf(bifmaivcrobimidiU5oicfeo0.i.fcmirctti)
mino:i0.t£)cquibnsilludcolligimr:qmroni:0quidcn»
oiuiditnr p:incipalitcr in fcmironiuin mmusatqjapo
tomcn:Diuidimrcriaminouofcmitoni3 tc6ma . Ouo
lit vt Diuidatur in quamo: oiacbifmata t cdma. intcg:^
vcro oimidium tom quod cft fcmitoniuj^conrtat cr ouo
bu0Oiacbifmatibu6:9*cft vnum fcmironiumminus f
fcbifinatcq^ciloimidiumcomatie.^uoniam cumtot^
toimscrouobue fcmuonijsmino^ibus-rccmatc con-'
iunctus cft:fi quis id intcsrc oiuidcrc vclit:fa(ictvnuin
fcmitomum minuecomatifqs oimidium. £)cd vnuin
fcmitonium minue oiuiditur in ouo oiafcbifmara. IDi
micJium vcrocomarie vnum lcbifmacil.iRmc igif t>i
(tum cit intcgre oir lid.um tonum in buo oiafcbifmata:
8rci5 vnum tibifn^apolU partiri.^uofit vtintfsruj fe
mitonium miiio:c fcmtton'0 vno fcbifinate oiflTcrrc vi'
deatur : aporomc autcm 3 niiio:c fCinitonio ouob^ fcbif
matibu3oifTfrt.Z>ifltrt cnimcomatc ;©cdDUofcbii'
mata vnumpcrficumtcoma.
il jDc toni parti ^''fumcndia pcr (onfonantiae. J
.fCa^itutum. 9.

oebisquidfs baftcnup.Uluncvcro illud
0 vidcmrclVcoicendum^qucmadmodiim pcr

confonantiasmuficasipcrarapolTimue fpa;

cia nunccrtcderc:tuiiic vcro rcmittcrc: id autc
lintalitcr,fiar:lineaq5 quas ocfcribimus vocieaccipiutt
tur loco. £>cd tam fefc rario ipfa ocinonilrcr. ^it p:opo
fitum toni fpariumpcrconfonanriim fuincrc;in acutum
fcj atqs graucm. !£>it fonue.b.ab l?o( intcudo alium fo^
tium qui oiapcntc fpacio ab eo q) cii.'©.oirtct adcuqui
cii.c.ab boc rcmitto oiatciTarotuonionantiavad id quod
cil.d.^f quoniam intcr oispctite ac oiatclTaron ton^oif"
fercntiiim facit .d.B .fpatium tonue rcpcrtus crt.

C 2ld grauio:cm vcro partcm ita modulabimur tonuj
flb coffcrt.b.oiatciTaronintcndoad.t.': ?b. f. oiaptntc
^mitfoad.k.tfriti^sitiir.k.b.tonus.^lnimaducrtetisi
turDiligcu0lc(to:ad.d.b.quidcmada(urampartemcf/
fccmm tbnum:ad.K.b.autcm adgraucm.

C;©itpjopofitum mino:emtohipartempcr(onrona»i
tiam fumcrc in acutain partcmatq? graucm. ftV>ino: ve
rotoni parsclUpatium:quo ouosronoeoiatelTaion co
fonantia traniccndir. Sir euim fonue.a.inrcndo.ab a.
oiatcflaron ad.b.rurfue intcndo ab.b.oiatcfraron ad. c.
ab rcmiiro oiapcnrcad. d.Xonuscftigirur.b.d. iRur'
fue ab.d.inrcndo oiatciTaronad.c. iRcmittoitcruniiib
e.oiapcntc ad .f . Xonua crt igimr .d .f . SDuo igitur f nt to
iii.b.d.d.f.€tcrat.b.a.intcsrum oiarciTaion. ^iritisi
lur.f.a.roinoz toni pars:$ fcmitoniu nunaipaiur.. . ,

Zlber Hi

CJIdgrauiozcm teto parttmbocmodo.jSff fbnu«.f.
Intendo ouod tonoa p<r confonantiflm »6.3 .0 iatdTsiro
rcrosib.g.rcmino ad.I:.6rit(3itur.I:.a.mino: fcmitO"
ni) par8:3>opo:tebaccfn(cre.

bie 9urer9tur.8.(f« tiarcflraron:6rit5gifur.c.c,fcmironi'
um minu0apotomc:igitur;eft,Ctd.

1 ^

JD

C0i crgo a iribus tcrminia oiatcflraron fluferam^o
coKtc lic rciiqua . ^int cnira trcstoni. a, b. b.(.Cfd.ab

•Kontt»

CJKJancigiturapotomcrifit tomodum ficfumcmus.
acp:imumquidemad acatum tnrcndoitrceronco ab
ii.cofj quifuntad.B.et abco 5» cH.b.ad.c . vMatcflTaroji
((inronantiiim rcmirto t iit.(.aiipotomc rcliqua.

CdS II id? foadSad gninc fono velttn^ 'effitfre: ftt boc
mS.fit Ibn' fl.it^do rdtoniii min^^id q$ ?.a.d. iRemftto
•i).d.ton6 a^*d.e.aic tsif .(.0. ca $ reartm^ :sipotome.

C^it p:opofUfitn'iaiti partgramereeoma.fft fon'.a.
wited09poromen.a.b.rfmitfofcmttoni6 min^^b.ct qth
wwionia (ipoteme min^^ cdmate.iComi erit.e.a ,

7X fi: 25 I

C^urfus «d srauem pamtn boc modo.tntendo ab . a.
fonofemitonium minusidquodeil.a.d.ab. d. vimre''
raittoapotomen.td quod e(t,o.e.£rir igitur coma. e.a.

irTReguIafcmttonitfumcndt. >Ca. fo.

"^oztet vero bas o^s confonanttae rire ee anf
0 mo atc^ auribus notas.frurtra cnim b? c ratt
onc'? fcicmiacolligunturtnifi fucrint vfu at^
cjcrcltationc noriiTima. vcro id quod inftt
tutionemuficf ado:fi fumuemon moyauribua : iam
p«)Uccto:um in mufica eil : ^cd rone intcri ccnfcamr.
'^Jnum oabimus crcmpluminucnicndifpatij^quodvi'
deturcep3Ulooiffkilius.fcilicctfcmitonijmmo:iB:rC
in vtramc^ partcm acutam . fc 5 atcg grcucm : raro polTic
o:dincrcpehri.£3if otarciTaron.a.b. opo:fcr igirurcrca
i.b.confonan mtnus femttoniumad srauio:cm partem
acutio:cmcB Dcducerc.intendoigitur.b.c.oiarfflaron.
TRemitrorurfu8Diapcntc.c.d.6riti$imrtonu0.38.d.
oiatciTaron cnirn confonantia a Diapcnrc conronantia to
nofupcramrT.f.b.fpatiffab.c.d.rpatio.b.d.fpatiotra'
fccndifur.Hvurfusintcndo oiatciTaron. d.c.rcmittoao'
temoiapenrcc.f.Xonuscrtigimr.d.f.i^d.d.b.tonus
erar. ;&emironium igimr minus cl^a.f.quod fubrractifl
ouobusfonis.f.d.d.b.ab.a.b. oiatclTaron fpario relin'
quitur.lrtxurfus rcutitrooiatclTaron.a.g.inrendo oiapS
te.g.b.6ritigirur.a.b.tonu«.£>cderar.a.f.fcmironm.
^ririgitur.f.b.apotomc.iRurfusrcmittoDiareiraron.
b.k.intendooiapcntc. k. l. XomisigimrciVib. l. ;£>cd
erat tonu6.38.d.6rit igimr.l.d.apotomf . 'iRurfus in'
tendo oiatcffaron . f. m. ScmitoniU) igitur ert . b . m . iRe
mitto diatdtaron.I.n. fcmironu igitur.cft.n.a. -^cr con"
fonariamigimrfumptafuHtrirca.a.b.ouofcraironia.b,
m.quidcm ad ammm. iH.a vcroad graucm partcm.to»
tumcp.jfll> .TR.minus eil quam oiapentc.iCoHrtatenij
ct^quinc^fcmiroHiis:'; apocomcgcminata . eicouobua
igimr tonis 1 tri bus fcmttonijs mino:ibus.? quonia^
ouo femttonia vnum tonam implcrc nequcunt:;^ed re
linquimr coma totum . iTO . 1H . fpatium minu« ert fpa'*
tiobiapcnteconfonanti(vno Cdmate. ^uodfacillimc
otUgen0lc(to:inteUigat.

199

Cr^Sfd qtfipanlnlam 0<c3mflii8r5nepjedipm*:n5

cft oilTu5iendo t in quflU pK>po:tione tdcm ipiu.; (5m«
connnMturof!ni(lm.€ftfnimc6m4quod vltinia wm
pabendcrepolTit wdirae:Dicedit<Bert femitontu mm'
■c femitonifi maiue qultie figillatim comatib (oiijtare
Tideantur.ipfc qnocp tonus qiiatierurfi s (otnatiDU»
coniunaitur. 21( p:imti binc conur mJe fumat inifium.
C aDemSftratiosircbirf fuper pariicularc m f qua oiui'
iinonpoftereiuciprepubcnfio. Cai).

^perpartiaiiaris p:opo:tio uindi in ?ti me '
0 iJiorpo:tionalJ!cr iriterpofiioiuimcro no po
tfft.jd vcro portcrme firmitcr t»cmonrtrabit
^uam eni ocmonrtrationc ponit arcbitae: ni
miom flura ert:bf c vero bnmfmodi cft . iDit inquit fuper
parttcuUria p:opo:tio.9.b. £>umo m eadcm p:opo:tio
neminimoe c.e.Quoniam iaitu-- funt min«mi m eadt
|):opo:rionc.t.e.t funt fuperpartifU'a'C0.f_.numcru0.c.
numero parte vna fua riufcg tranftendir. yu-auttm bcc
il.©icoqrn.d.non crit nunicru0.£>ed vnitae. /oicni
crt nnmcrue.d.tparsciuaquieft.c.mcticur.d.nume

rus.e.numcmm.t^uocircat.c. numcrum mctictur.
jeuofitrt.c.quocB mctiaf .vtrn qjigif. t.i.c. niimcro»
mctiftiir.d.numcrue. Ouodr ft impoiT biU . S5ui cnini
fiintminimiin eadcmp:opo:rioncquib ilibctalilfinu
meris.-bi p:imi ad fc inuiccm funt:^ folam ciffcrcntiara
rerinent vni aic.vnitasigirurcft.d.i^itui c.numcruB.
c.numcrum vnitarc tranfccndit. €iao (iro nuUue inci'
demedi^numcrueniuiei p:opo:tiou5 (qualitcr fcidat
;0uofit vt nci intcr coe quieadcmbi» p:opo:tionc5 te
nintnncdiui^poiftt numcruecoUocaiiiquicadcm t:<y

1&

P ! "

\

iii

\i jct KCmaiCDUiMUiaciont lacinoi iu(?pafri(ui)*' >
fiuU^cdi^^tcrmin^^caditrgfqlitcr oiuidat.ppo:tipnf qtfi
mimiicadc|>po:t5e fola oiftcrnt vnitatc. Ouafi vonS
^tinultipUti.ppo:tocmimif.idevnifat!3 0na5fo:rianf
jCu plurcs vidcam^ce multipliccs ptcr cos q in radinb'
«oUocati filtitcr qiioe mcdi'tfrmirue fandcne fqlif ci
<lC5.ppo:tione pofiit apMri. bcc q aritbmctfcoe nfo«
oiiiscnt ifpci:cnt:fatrti'itenigct. '^lddcdu iSoc id itacue
Tiirc:vtar(bitaeputat:i fola fu^paiti(ulari p:opo:rtone
iHonaat vniucrfaUtcrert oi(ciidum.'lfluncaurcmadfc
lauentiaconucrtaniur.

C 3u q niimcro¥.ppo:t5e fit (5ma . 7 qt Ti i ca q ma-o: fie
^.l):j;v.ad.l»:i[iiu.mino:e&.Uviiii.ad.!wiii. £a. i:.

iRimu igtt' oicoqm bi niicri g (oma -ptinct ma
p ioii int (c f ctinct^po:t iont- . qu .U v v .ad . Irriiii

mino:6 eii.lrriiuad.lrriii.id vo ita ocmoftrabi
wr.flc pmo qd? illud rcmiftcdn f:qiv f(r roni oiapaCt c5'
matc tranfcendunr.£iitigif .a.qdf.fcUii.(vlitii. V>.m
tcoiaparonadca^ontmcatconfonanfiam n ouplici fcj
conftitntam.dmiii.tclxincviii.c.vcrofcvtonisabanumc
ro;oif(Cd>« % ftt,d;;):j:i.acc?:li, Que omnia e% feun^i voln

inini6tono:um oifpofltionefuntfoUigMa. itn^bictitur
■rqj.(.c6m ma pjopoirio cotinctnr: inufi.TO isirur ft iju
merum oc numero.c.t rdinquitur.d.in vii. cltii. vnitii
tibuecollofflruB. t5ui numeru^inino:ciUiU4m (Itfc
pruascrtma reriia pars b nuincrirniaio: vcro cll qu.i cuil"
dcmfcptuaiicnmaqnarrafir.ina^ri cudem. iDnumcrii
quicihn.vu.clui.fcprua9;iC0tcrmultipliccin:fiitmibi
c numcrue in.dirii.ocl vim.vnifaribus prtimrue. lai
cun» fcptua^icequatcf multiplic^:lirnumerT.dvi:viiif
(ccnii.OLUo:um qutdcm.e.qui per fcptua^iintarrce m
(tus crt:mino: crt b numao .faot qui pcr. ficriiii.maitn
crt bnumcro.Hxcctcigiruroictumeil. d.ciusquodcrt b
mino:cm quidScnequ3feptuagcrimamtertiampartcm
inaio:em vcro fcptuagcnmam quartam. sQuocirca %
c.numcruBb numcr5mino:cquidcmparteeius quode
b.nmdem b fuperat^^Ce fcpruagcflmatcrtia:maio:e vero
2g feptuagcflma quarra. tF ius igitur a> crt.c. .ppo:tioad
idquodcrtbmaio:quidcm crt:qua.lrrv.9d. Imiii. mi
Ijo: veroqua.liiciitj.ad.Urii) . iRam in p:io:e vnitas
l^mageflmaquartaertmino:i0.> in portcrioje verocadS
vnitas feptuagertma tertia.

[ =^1

7&

£

ccfrfi.crUT'1

dr)rtii',c:ij:pcviii

dcrii.ciypiiii. \ dJCVtiiii.CcCWCU J

(r>dcm «litcrjerplitandfi.illo p:i'p:erumpto $ fi ciif
p;opo:tion p:op:i i nunicro:u5 oiflfercittia cqualircr an
gcarur:inino. intcreosquipoil additioncm rtunt ppo:
tiotoiitincbiriirqujinintcrp;io:c0: quianrcaddirioiiS
illam quadim p:opornonc oirtabant . tlt fex % quaruo:
fi vtrifcijbinanue qiiccil Diftlrcntia fuaapponatHr:fict
viil.i.vi.Ocdinter.vi.t.iiij.fcfqualrera: inrcr. vh). i
vi.fefquiicrria p:opo:tio contiiictjr: mino: vc o ef? p:o
po:tiocontinctur:mino: vcroertp:opo:rto fcfquircitia
fifqualtcra p:opo:tione.boc igitur ita p:cdicto oifponS'
tur fupcrio:e0 numcri qui p:opo:tionC' coinaiidconrine
bat.i.drrici.tccccli.trtt.a . i:5itefia5bdrfiii).cclrrj;vtii.
bo:iii5 oirtercntia rtt.c. vii.tUlj.c.igitur numcrua maio
rcm njmcrutn co qui ert.a fcptuagtcs qumquics mctia
tur. ir»i igiturc numerum fcpruagies qumquice multi'
plicc rtct mibi d quiert.diTicvi.cccclicrv.^gitur.d.numc
ruscumquiertanumcrocoquierteantcccdit idert, v.
)C)c)ciii). iRurfUtt c numcrus cumquicrtb metiaturfcptu
agics qtcr multipliccturq5:fict igimr numcrue f drp vtii j
ccc)C)cij . s3ui f eo qu i ert b maio: crt codem c numcro qui
cft.vr)c)cittj.f rgodnumcruscumquicrt arranrccndtte
numero b autcm numcrue ab co qui crt f vincimr eode,
enumcro.ioi igirnra nunicrocundcm capponamus^ti
ct d.ioi vero b numcro cundcm eapponamueflct f. ioj
d.numemd fcpaiagicequinquieeaucmseftper.c. fcil?
multipltcatutn fautcmfcptiiagicsquatcr multiplicato
(creuitobtinent igtturinrerfep:opo:tioncm datc^.f.
qnambjbcnt. )C)cv.adljcjLiiii. ^jeddarqjffuntaatcp

b. vnocisaddifoeinaio:em igitur necelTanecftp:opozti
onem contineri inter a atcjj b quam intcr d atq^ f.lHacp
fl atcp b numcru6 vnoe additocftccti funt d arcp f. iiX)i'
no: igitur p:opo:tio eft imcr d mc^ f quam inter a atqj
V. intcr d attu f eadcm p:opomoert quc inter.lj:]tv

c. I]C]citij .inrcr a tguur atc^ b maio: p:opo:tio cft quain
intcr.lrjcv.T.l^^jciit). 21c aatcij b coma continent. tT)»'
io: igitur p:opo:tio eft commatie quam. ljc;:v.9d.
1^:1111.

Zibcr 111

C ^Jtfi igiftif oflf n(lim'c5m«ie p:opo:rtonfnt mM9-
itm c6 {fc f a5 $ .1 ir r xonrinmt «1 Ji riui .toparari . "frl iic
ortindcndiif:qnfadinoda niino:cni inrrr »c.p:opo:na
iicnic3rincanrnumfn fpannm cSmatia connncrce Cg.
ItriMi.ad.uriii.comparai.^d vcronhJih-abiturbocmff
do.^iNcminirccndum p^i^^rquid fccundo voluminc oiicri
muetcum oc mcnfura oitfcrcnnc loqucbamur:<oicmm
Cf qualibct p:opc»:rio'ic oiftcr. nriam co:um numcro:u:
<juic5 conrincnt:auffr«mu0:biqnircUnquunrurmaio>
rcmobrincb5rp:opo:rionfm:bi0numfri«:quifrjnrflfi
R oiffcmnie piminiUKinf . ©mrcni. viti.t. vi.ab bi»
p:op:iam aufcro nffercnriamidcrt.u.ftunr.vi.-j.iiii.

in rupfrio:(bU6 rcfquircrria:in bjc fcfqualrcra p:o-
po:tiocontinftur. HTDaio: verocii fcfi.iuakcrap:opo:rio
ufquircrria pwpo:rionc. S>int igitur ijdcm. a. arqj.b.
dui roiu fupcrius o(rcripti:qno:um ci) oiffcrenriii. c.

JiX^a!tiplif©oi'frcrv'ntiam.f.numm'ffptnao[i'f0qu9terfff
nunrrus.r'.fc>.dii:viiiti.cccrpf.0ui.a.Rumcrocomp«
rnrnsv^ncirur nuinero.5:ft5.ii.crvtiii.*fl\urfue idcm.c.
muUipiitcturfcprnagicsfcrcflltittnumtrum.k.i.dirm
cUvuii. Quifotnparatu^.b.numcro vinciriircodc.g.i.
ii.civuii.iSubiatoigimr.g.Dcnumfne.a.atiB.b.crtC'
cri funr.f.aicivk. t:X)ino:cm iciitur pjopo:tion^ rctine'
bit.a.arcis.b.i^j.f.arcB.k.iOj.f^^.arqs.k.e-m rfrincntp:o
po:rionem quam.livnii.ad.ijcriii. bicnim inuUiplicato
f .cffccri funr. uv>ino: cH isuur p:opo:rio. j.arqi^.b.nu'
inero:umcomafonrtncnriumit>.l?Ti'ti.ad.liviii . sl?ed
paulo antc in nilrarum cft cadem comarie p:opo:tionc
iuato:cclfeiB.I):jcv.ad.l]c)Ciiii.ill>oilratifunrisirur nu
meri. v^uicojii9fonrinentmnio:emquidcm mtcrfe ba/
bcre p:opo:rionem quam.lrvv.ad. ^:iiui. uX>mo:e5 vc
ro i^.ljf>:itii.9d.i,rjriiif.Quod opo:tebat oftendere.

J5

ii.cjt:vini

3

fr^noAttmitminm min^maius quidcm flt efe.xy.ad
ivi(ii.minu««.j:viiiiad.jrviii. iCa. 15.

Uod (lad rcmitonium minue talie fpecul».'
4| tioconucrtamr:cinB quot^ p:opo:tioncm fa
cillinu repcnemus. auc conftat intcr ccl vi.t
tcaUi. Sitigitur.cclvi.a.ccFliii. 3B.bo:aDif
fcmtfcl.tiii:c.iDicoqm,a.ad.b.mino:em rctinet p:o'
potfiontmrife.JTiiii.y.ad.jrviii.y. ftTDeriatur enim.iC.
rviiii.remi0 id qnod ef). a.fiunc.ccUi i.5 . @uod m.d.aut
i9C9mpin(U«id««.codr5.a ouob^remtfc^ tranfcenduur

jSitc^bfCoiffcrentia.f.fcj ouo-r.j.mrfus cadcm.i.oif
fcrentia b.numcram mctiaturocticsocfife femi6:fict.
fcyl.j.quodfite.igif.c.jComparamsad.b.codnn.c.tri
ftenduur.i.ouob^'? femie-d.igimr ab eo quod crt 9 -: rur
fue.e.abeo quodcrt.b.cadcm.f.oifrercnria funr mino:c«
^ubtratto igi ur f.ab co quodciTa atq? b facri funrd at
<lj e. iD3aio:em igitur |>:opo2f ioncm rencnt inter fe. d.
flttB.c.quama arcjj b.jir>ed dattuecandcm rerincn'^ p:o
po:tionc inter fe:i%.>:vitii.5.ad.icviii.5.2l.ic^imrad.b.
inino:em retinct p:opo:t!oncm quam.^viiij.j .ad.jrviil
5".^uod opo:t£bat oikndtrc.

L ^ ' 1i>:aj«ti».i?.5.l!l.li^. i «tyl.f.

Cr Ctidmir tamen wdem p'opo:rio.aIv»,ad.f(rIin.tti«
io' cire ab ffl qiiani oitrincnr.Fv.t.rir. oinr enini.fl. l».
c.idcni i.im fupcriii^' or fcripn funf . c"Dcriatur isitur.c.
t>itfcrcntifl.a.ferminum vijtcs^ftenr.ccr. Oui ftint. c!.
ciui comparati ad id quod crt. a . cundcm quaternario
tnnffcnJunt.bic iit.f.Hxunueidfm.c.mctiatur. b . oc
ticfii nouics ticnt. cc rl vii. bic lit.c.qui compar' ti ad.b.
codcm.f.trflnfccndunt.jJldiccroigitur.f.bioquifunt.fl.
Btqj.b.faaifunt.d.fltq5C.O:)aiozisiturcllproponioco

rum qui futit.fl.atcg.b.^ w:um Qui fimt.d.flt^.c. ©5

d.fltci5.c.vigic£i atqjijccics nouicemuliplicaiup.c.nu
mcrue clTifir. «''Daio: igirurcrt p:opo:rio co;um qui.fiit.
a.atvi3.b.qui.f.ffmitoiiiumcontiMcni:qiiflmca quecft.
rr.fld.rviui.iOcmonrtratumigitur clKcmironium mi
nuomflio:finquidcmbabcrcpjbpo:t'onfmquam.rr.fld
>;viui.mino:cmvcroquam.rviui.s.ad.rviii.f. lHunc
idcm minuefemitonuimcdmfltifompflrcmusquod eil
vltimum.^uditui fubiaccne^vltimaqj p:opo:tio.

CT^emitoninmminusmaiusquidem elTc ttibue co
mfltibus.min^veroquatuo:. ^rapitulum. 14.

jCinir Dcmonflrandum p:oponim^ fcmito/
i nium minug maius quidem ee comatib^tri'
busmm^^vcroquatuo: , ^uodbincfacillime
poifis asnolccrc. jSint trcs numcri ita oifpofi
li: vtintcr fep^opo^tioncmtontineflntoiapafon:^ cam
qu? oicitur fcrtono:um . Sint entm.a.fclrii.crliiii.int?
danturigtturad.b.quidemquincBtonifontinui . 1 fit, . ij
b.ccfclrrii.cfcrcii.ad.c.autemoiapafonconfonantia rc-» -
fo-atur?nr,c.drritii.fclrrrviii.^d.d.flutcm fertoni iti'
tcndanmr:fitfp.djcrri.ccccrli.bi8 ita oifpofitis 1 conili/
turiemanif£flumcrtinter,(.flt(^.d.(omaconftitui.co:3
c^DifFerentiamcne.vii.cliii.^daute^fit.k.rcmittantur
igiturouotoniflb eoquod ert. 25. ad.idquodcrt. e. tFt
fit.e. (fclrriii. (frl^^iii . 'iRurfueabeoquodert.^ . inten'
do oiatcrtaionad idijuodcrt.f.tfffrfvii.dflriiii.quoniam
igiturinter.c.atq5.b.DUofuntroni.inter.e.atcEi.f. oia/
tertarontinrfr.D.igitur.atfg.f.minus fcmironium rcpe>
rirur. ^oublatis cmm a oiatc ffaron confonantia ouobus
tonie fit rcliquum fcmitonium minus : quod in p:imi8
nurrcrisconrtareprrdiri.cclvi.ccrliii.Quoseofdcnu'
meros ft milics noriageriee quadragics quarerqg multi'
plice6.b.arci5,f,nnmeroscrpIi(3bis.Qiioe nf(eiTarie2
C3ndcmp:opo:tionem fupcrius oicris numeris conri/
ncre.qui rno arqjcodcm numcro idert. i03.(C(frl n .pa
ritcrmultiplicaticrcucre. 7 tcm.abcoquodcrt. f.intcn'

do M'fltcffaron.f.fld.g.T fit.g,dflriii,dlif .iRurfusab co
d?.g.rcmitto ad.p. ouos tonof.7 fit.p.drriiif.fdrrrviii
:0iiod,p.ncccn*ariccrt:vtcudcmfonum:qucm.(.numc
rus crbibeat . 21df qualifarcm naq^ ciu 3 talrrarionc p:o
jrcnusert.tEtcnimcaqufcrt.a.c.oiapafonfonfonantia
quf (onrtflt quinq? tonis ac ouobus remitonij s mino:i
bus.ab. vi.tonis comatc fuperatur. 2lb codein igiruna.
t«rminonumeru6,p.qutnq} tonisacfcmitoniisouob*
rccefritboc medo.abfoquodcrt,a. vfcpadidquod cft.
b.quinq? nimirum folligunturfoni.ab coaurfm quod c
b.vfcpadidquodcrt.f.minuefiTcrcmitontum pcrno''
tfltur.r.vcroflrq^.p.idfinrurfuefemironium minus m
cludunt.a.igiturvfq5ad.p.quinq5tonosflcoiio fcmi'
toniamino:ap:odurit.iurcigitur.p.3rq5.c. cifdem nu'
meris conffribunrur. £>cd quoniain inrcr f.ara^.c. fr mi
tonium minuscrt.videamusbfc quefirfo:um oiffern
tifl;vtcflm(omati (omparemus.tfft autem co:um oiffc
renrifl.rrvi.dfrritii.-rfitbft.m 3gifur .k.tomans oif"
fcrcntia ert. CTO.autcm fcmironil »tino:is. Si igirur.k.
numerum terrioaurcriinu8:fict numcrus.rri. tcccl viiij.
Ct ntbic.l. £>i vcro quatereudcm numcru;.k.multipli
Cflrevoluerim^ficr.rrviii.dcrijt-rfitboc, iH.igif . iTD.
maio:qnidcm crtab.l.^dcmautcm. !lV>.miho:frtab.
*/fl.£>5.n.quaferaucro(omarefuf(ra)ir.l.autcmfcrtio.
jjTD.vcro femitonii mino:isobtinet oiffcrcntiam . 3urc
igitur Dicrumcrt minus fcmitonium minuequidcm ec
$ qufltuo: (omatfl:tnfliU8lvcro45tria.

apotSmcBMto:? cfli $.itii.c5 mati mino:2 ^,x,t
liummaio:f$.vu?*mino:cmi6.vai). ^'-a- 'J.

ffldS b«c rSne « ftmitoniff mai'^ apotome mii'
e njp:adiri raaUm^rqttor comato fit potuim' iac"

nircboc m3. Sit.a.cclcii.cclitii. ^o»<B ^o abeo
^ift5« tonia ttt.u.cctc i^pi.CKtai. ^if^ vo DiiUs tonia
•b coqtf g.a.flt.d.f.dttsi.tcacli.tter.b.igif atcp.d. ton'
f .b.*> ab eo q6 2.(.oiftitB feitonia min'« fit.cccajccvit.
dtliciiii.Tlldinafergoiter.c.at(B.d.9potome<ppo:tio.ni
(afteton'<b.d.e);eo ftaofcra«.b.c.femitoni6 mm^^fc.d.
rel!aemai':q5apotom2c2fupremlim'.tur,d.igifat<5
c.e ofia.w)nii.d(clct?ii. I&ic aot rtt. e. f5 erat coma^ ofia
tu.diu.bi(lit.f. aits>^f.id s^c^miinaestnaltipU

c?:lift mibi.rrrv.d((li:v.t fit boc. jD. :Si f 0 tde. f.qua
teriiiultiplicefit.l:.naer^;ae.ricviii.dctii.i!Sjgiturab
coqdc.e.mai^^.U.mm^ iD^.g.qofciuieeaucto ccoma
l:. vo qter e aat apotomes &i'a.e.iurc igie ocm 2: apoto/
men m^o:c tjd^ e2 qaa quiqj comata:m3io:c vo quam
atuo:.6t: boc igif.(op:ob3f ton5maio:?quid? e^quaj
(otocto cotnata mimii vo qua nouf .fflJ fi min^femifo
nia mai^quide e qua tria (omata min^ qtta qruo: apo
tomeaut maio:quidegqu3qtuor(omata mino: ^qua
qut(B:iii(t(] femitontu min^femitonio maio:i:q6 i apoto
me crit o2 mai' quide otto (omatibus min^ vero qui no
uem. ^5apocomeat(B femitoniit min^vnQcffieiot tonu
XoH^igif msio: quide e. viii.(5imtib';nuo: vero. if.

C;&ivaiut oicroiim pcr itumerod oemonflrarfo.
jCiipitulum. \6.

f d iiiiSqua perbflnc rdtionem ormonHratu^
0 (it:qucfldmodum tonue omahbu» contpa^
retur:nonetUain(nquart regnibus oeUiran"
dum:quo minus per k banc (ontra comara c9

porationem rctuicrc roniie tpfe nionftrt tur . Sit igitur.

a.quident.ccl.ii.cclinj. b. aiKcmquinci^ oillan^ tonts.

accU.ii:ccccai, C. vcro o:aparon ad id <$ eil.a.continca

iTinpbonMm fc^. innuineri$.djC);iiii.((i]ccicviti.d. jml

flb eo $ en.a.ferton 36 totoe oiffcrcn» .drrvf. ccali.d.fgl
curab.eo quod eil.c.oillatcdmaie feirroni.r.^b oiapafon
confonantia.id autcm ftr.e. vii.diii.d.aurem ab co quod
cft.b.ronointe(?ertmoDirtat.vi.f.toniquinq3fonis. id
autemflt.f.dUrcr vliF . iin igitur.c.nouiea aurtro : fier
mibi.lxlriiii.ccclccvii.Sin veroottieerfiJr.lvii.ccyjriiiJ
•Jd fit.jG. £)ed.b.quidcm.f.numeroc5paratU8 fupat:
^.Terofuperarur.ieft.f.tvnti oiffercntia.b.autcnt no
uiee ntultiplicarum conia.g. vtroocries ocmonftramd
crtisiturronud mino:qutdc5.rtiii.eCc5matibue:o({o
cdmatibuemaio:.

XW^limm \ ^5^441 [ 64577 I S7i:4 »

ir Jti bi9 picmiflis \icet maiu s remitontum mtnojc ft
initonio comarcbirtaremonftratum ftt:ramcnid5 quo'
pcr fcT pcr fubiecrc« numeroetalirarione p:obabif.
fir.a.numcrus.cccoccvii.dclciiii .ubcovcro fcmironium
minudoiftandnr.b.numeraerquitam fup^aquoq^ x>c
faiptus cft.diri-ii.cclciTviii. aporomevcroDifterabco
quodeft. a.'30 numerus:qut coUtgiturvnitatib'.dj:r]ci.
cc crli.i ftrboc.c. ^uoniam i£:itur.a.b.minue fcmitont
um.a.e. maiue^oifferentiaciue quodeft.c.abeoquode.
b.pcrquircnclaert.tFacft.vii.cliii.idftt.d.Sedbicnu/
m eru9 oudumcoma monftrabar.inta-nia^ueigtturfe/
fflito niflm ac minus coma otfreFcmiam facit.

Ctlurfufl bf monnrandum p:opono ronum ouob' fc
mitoniie minonbue !olo(6inatee»re maioum . S>it . a*
iiumerus.cccclicjrii.cccrcii. 2lb boc intcndamr ron^.djrpn'
ccctjili.i firboc.d.ab co vero qnodcft.a.tntfdatur femi'*
ronium.cpinuequod.cft.b.acfit b. ccccrcvii. dclriiii»
3fem ab eo quod cft.b. feiiiitonium aliud inrmdanir mi
iiU6quodcft.c.'rfir.c.d):xii'i.«fr;^'V»i. ^uoniair» igiC
•.d.tomie crt.a.c. vero buo contincnt minoja fcmironia
videamus quf fit oificrentia infcr.c ariB.d. itumcroe to
ftituta.ifrtau!cm.e.f($vnitatum.vu.(liu.iDcin5rtra''
tum cft ifsitur tonum ou^ bue femitonis niino:ibus c5
matc d maio:cm. ©ed quoniam omnia iam quc p:ob«
dap:omiflmu0:p:op:ia rarioiic monrtrara funt: nucq*
iupcreftmuficf iiiftimrioni:rcgularis monocbo:di faci?
da edparririo. ^uam rem quoniam longio: tractatue c):
tendit:importerio:i6c5m(ntari) Difputationcm ccufut
mustraftcitndam.

LtDer I

Km . £ft«Jttm q«adr«plu« quitfmirfus vnir«ri« ct
bimio muUipliciti medietae quod eft imeruflllu^.b.c.

\ 1 1

x>

551441

CCiofdem l&ocrif t>e jCDuiUa liDcr (iuartoff .

lildaimoifTa-enritisi^tiratcconnilere. Ca. i.

X a omnia quf oem onftrandi crfit
fupcrioMslibn traaarionc oigclTi'"
musmon pcnitct tamcn rurfue ca
C dcmmcmo:i(rccolliscndap:cl)a/'
re cum quadam otucrfltatc tractatus
vt bi0rurfu9ad ntcmoiiamrcdcn
tibue ad rcciule o\uiAonem: quo to
ta tendit intcntio: vcniamue . £>i foia rerum omnium
quies:nuUU0flUdiruni fonud fcrirct.^daurcficrctquo
nias cciT4iinbu9 moribus cunctid nullc inrcr fcrc9pul
fum cicrm'. vt igitur lit voj::pulfu cft opns. ^dcd vt fit
|)Ulfus: mot^ nccciTaric cft antcccdat. "at crgo fit vor: mo
tum ce ncafTc cft: ir)cd omnis morue babct in fc fumve
lccintcm:tumctiamtarditatcm.£)iisiturftctardu0 in
pcUcndomotHs:grauio:rcddtmrfonua. Wam vttardi
tfl6 p:orima ftation icft:ita ^auitas contigua taciturni/
tati.Udox: vcro morus acutam voculam p^crtat.tPje'
terca:quc grauis crt:intciirtonc crcfcit ad mcdium . ^u?
Tcro acura^reminiontoccrcfcufld mcdium. Undc fit vt
omnisfonud quafl cicquibufdam parttbus cotnpontus
cftcvidcatur.i@mnidflutcmpflrtium coniunaio .ppoi
tione comirtitur. i3oHo:um igitur ccniunaio p:opo:ti
onibueconftttuta cft.-]^:opo:tioncsautcm p^inctpali"
tertn numcri8conndcrantur:p:opo:tio vcrofimplet: mi
tncro:uni \>cl in multiplicib'^ vel in fupcrpflrticularib*
TCl in fuperDflrtientibue inucnitur. ;^ccnndn vero mul
tipliccs p:opo:tionc0 vcl fupcrpflrticularcd confon^ vcl
oiiTonc voce6c};audiuntur.£onfon{ quidcm runt:quc
flmul pulf^ fuaucm pcrmiixumc^ intcr fe coniungunt fo
num. SDiftbn^ 'cero qucnmul pulfe:non rcddunt fuauS
ncc^ pami):tum fonum.bie igitur ita p^edictis oc p:o^
t>o:tiombUd piuca oicflmue.
CC>iucrf(oeinterufllli0fpccuIationc6. )Ca. 1.

^intcniflllum multtplcvbinarto multtplicr'
tur:id quodfUcvba^mulripUcatidc: intcrufll
0 limi multiplci; eft. 'oit multiplct: tntcruaUu>
b.c.t.b.multiplcpcius 3>cft.c.i fiat vt cft.c.
id.b.ftfl.b.ad.d. ^oniam isitur.b.multiplcr eft eiua
quodcft.c.mctitur.c.tcrminus td quod eft.b.vcl bisvcl
tcrtio vclocinccps.tcft.vt.t.ad.b.ita.b.ad.d. ^Dctif
igttur.b.terminusidquodeft.d.^uocircaquia.c.rcrmi
nus id quod cft.b.mctitur:metitur ctiaj.d. aXJuIriplC]:
crtigirar.d.ciusquodeft.c.tcft.c.d.^fnrcruallum effC'
ctum o:compo(ito bis copulatoc^ ftbimet 1 pcr binariu
multiplicato.b.c.intcruallo. in numcris quoq3 idc5 p:o
batur.^itcnim.b.ad.c.ouplum : vtbtnarius ad vni
tatcm iftatvt.c.ad.b.ita.b.ad.d.^ritigitur.d. qiiater
narius.ifOultiplcreft.b.ad. c. ideftbinariusad vmta
tm, jiX>ultipiQ;e(ligitur.d.(iuateriuriu8id. (.vnit»'

CBi intcruallum binirio multipltcatum multtplcjref
fcccritintcruallum^ipfum quoc^ multtplcr crit. £>it in.
tcruailum.b.crftat vt.c.ad.b.ira.b.ad.d.i.d.iltad.c.
muItiplcr.iOicorquia.b.cius quod cft.c. mulripkv cft
iQuoniamenim.d.ciusquod eft.c.mulnpleveft: mctie
tnr.c.id quodert.d.mctictur t.b. iDftrnfum vcfo C*qin
fiftnrtcrmini p:opo:tionalircr confhturi:cum p^im^fue
rit vltimotompatam0:ft p:iniU6 vltimum fucritmcn'-
fu6:mctieturt mcdium.c. igitur mctitur id quodc.b.
«X>ultip!ej; cft igitur.b.ci^^^S.c^driirfuscr numcri«
fii.c.vniras.d.vcrocFDupiicara ^po:tione. b.c.fitqtcr
narius^-r^multipIcvci^quodcft.c.tEftcnimquadrupr^
^tnigiturbicquadruplus er ouplicata.b. c.,ppo:fi6c
gcncratur.b.c.p:opo:tiooimidiumci^erit.igitur.b.c.p

go:tio oupU c. i:?ed ouplum mult?plei cft.^ rit igitur
.(.p:(^o:tio mulriplc):.

C i?upfrp«i^cwl^"* inrfraalli mf di'niimmi0 ncq?
vnud nccBpliirre p;opo:rioiialirer intcrticnicni.ncent
b.(.p:opo:nornpcrp.utuulari6 ^ incadcm p:opo:rioc
mtnirniflnt.d.f.i.g.Ouoniam.tJ.f.i.g.niinmurunt in
cadcm p:opo:tionc:runt ciufdcm p:opo:rionie p:imi.
JQuo circacoe vnitae metirtur. :^urcraturic;itur. s .ab
d.f.-z rtlinquatur.d.bic crt ipiturvtro:uii3 mcn fura c6 /
muni9.1>f(i3itur cit vnitiie. ^uo(ir(a miUueintcr.f.
d.atcp.S.incidct iiumci '^:a nr ab.f.d.quidnn mino: ma
lo: vcro ab.C"). £>olacnim inrcr cil vniras quanti vcro
in fupci-partiajUribiw p:opo:tionibue p:opo:rionalitcr
inrcr eiufdcin p:opo:tioni0 miniinos inrcrcidcnt:rot ctf
amintcr«tero8ciurdfmp:opo:rioni3iiKidcMt,x?5nul
lueinfcr.f.d.atqj.g.minimoeciufdcm p:opo:tioni6 i
tcrucnircpotcll.THuUu6i5iturintcr.b.arci5.c.p:opo:ri
onalitcr cadcr.i i numcriefir quflibcrfupcrpart cuUris
p:opo:no: vi fcfqualrcra.bi vcro runt.jc.T.tv. in cadcj
■vcrop^opo^rioncminimi.ii.T.iii.aurnooc.itj.bmariii
fit riliqiia vnirastcadc vtrofq.=i mc irur: iRtiilut» cririgi
tur inrcr binjrium rcrnariumcEi nunicrus :qui fu bina^
rio maio:i mino: vao tcrnario, iHlioquii! vnita? Mui^
dcmr quod crt inconucnicns. Quare ncc intcr.jr.quidcm
flfq5.rv.quifquamuem'erur:numcrue:quitaltmad.jc,
obtinatp;opo:tioneinquaicm ad cum tcncnt.;i'r.

ris((t«

I

tv

iii

2D

f

t

ir£>i intcmallum non mu/tipk): binariomultiplfcff
id quod fit bac multipltcatione ncc muUipIo: eft ncc
fuperparticulare.jSirenim inreruaUum non mulripleic
bs.i fiat vt.c.ad.b.fK.b.ad.d.lDicoquoniaj.d.cine^p
tft.(.neqgmulriple^ell ncc^ fupcrparricularis.S^irenij
flfieriporertp:tmum.o.eiu9quodcfl.(.multipler.
quoniain cognitumert. j£)iinreruaUum btnariomulti
plicatum (It.? mulriplcv intci uaUii crcaru. id quod mul
riplicatum cft bis interuaUum ce multipler.€ rit igirnr.

b. c.multiplej:. fed non cftpoftrui.MRon igirurcrir.""d.ci'
quod eft.c.muUiplcj::ncc vero ftipcrpamcularc . H^am
fuperparttcularis p:opo:rioni9 medius;p:opo:tionali'
tcrtcrminusnullus inrcrucnit.inrcr.d.vcro.i.c.cftp^o
po:rionalircrterminu9conihrurus.idert.b.lRamvt.(.
Bd.b.irfl.b.ad.d.impoiTibileigiturcrit.d.ciuequodell

c. vel multiplicem cffe vcl fupcrparricularem:quod opo;/
tebatortende:e.€^tin numcrisfitnon mulripleic intcr^
uallum.vi.ad.iiii.fiatc^ vtfunt.iiji.ad.vi.ira fcvadali
umqncmlibctnumcrum.biceritigitur notienarius. !
^uiquatcrnarij nec^ multiplc): neq$ fuper pamculd -

iiH

Ti

u

JD

Cj5i mreruallum bi'n9n'omu!tiplicetur:atcB id quod
ev ca muuit.iicatione crcabimr muuipkjL- non linipfani
quoqj iiou ci it muu plc)c. x?it enim tnrcruaUum. b.c.fi^
atii?v{.j.ati.b.ita.b.3d.d.tnonfit.d.eiu6 quod cilc
rnuuipUV.iDtco quoniam ncc.b.ei^quod eil.c.erit mut
tiiUjc. X3i em in cil: i . o .cius quod cit .c.cil nnilnpier
jttt iwn eil;iH8ii cnt isitur.b.ciustiuodeihc.mmtipu^

iiii j xi

n

2>

CTff^upIortnremallum cr^uobus mayimiB fuptrpar
ticularibus coniun^imrfcfqualteroifefquitcmo. S>it
cnim.a .quidcm eiu» quodcll.b.fcfqualter.b.vcrorius
quodcil.c.fcfquiterrius.SDicoquoniam.a.ciusquodS
c.Duplcr eft . Quoniam iginir ft fqualter eil.a.eiue quod
rft.b.igimr.a.babct in fctomm.b.riurcp oimidiii. tDuo
igimr.a.^qui funt mbus.b.iRurfue quoniam.b.ciue.
quodcfl.c.fefQUirerriueert.b.igimrbabet.^.Triue tcrti
timpartcm.^reeigitut.b.fquifuntadquatuoi.c.Xrcs
autem.b.f quierant ouobus.a.IDu^^ic^imr.a.f qui funt
fld quatuoi.cvo^^isitur.a.fquuecft oiiobus.c.jDupIcj:

frit igttur.a.eiiis qui cil.c. i inm mma . £>it cnim TeP
tiualtcr.rii.ad.viii. ^'•erijtcrtius vcrs^.^w^is.wli^U^Ff /
go.)rti.«d.vi.2:)upli(C6 fmif. . . ' '

n 1 '''JE>

C"tE)c ouplici intcruallo atc^ fcfciuaUcro triplep nafclf
intcruallum.^c3itcnim.a.ciusquodcrt.b.ouplcic.b.ac
ciu3 quod cll.c.fcrqualter. iOico quoniam.a.cius qiiod c
c.triple<crt.l3amquoniam.a.eiu6quodcft.b.DuplC):2.
a.igiturfquus tft ouobus.b.-jRurfus^quoniam.b.ciuff
quod cft.c.fefqualtcr cil.b.igitur babetin fc totum.c. cc
ciua oiinidiampartcm.iOuoigitur.b.cquifunttribua
<. i3cd ouo.b jqui ctant vni.a.r vnus igitur .a. cquus
cfttribU0.c.Jsir«r.a.A?no.t.triplc»;cft . 5Ettn numerts
lU ouplc)c quidcm fenarius ternariorfcfqualf er vcro rcc
nariu* binMio.^pcnarius igitur.tripUpciVbinario.

iii 11

21

35

JC

Cr^' rcfqualrcrointcruallo fefquitc rinm ^emprii lic
'^''■'^Kfinteniiillnm.cntquodrclinqinrnr feiquicccamim.
£>it cnim.flfqtridcm eine ouod cd.b.f^ fiiiialnr. xHt VC'
ro.c.ems quodcit.b.ierquit.rrius.^ricoquomam.a.ei'
quocJcft.c.fcfquiocrauuecil.^luoniamenim.a.cifqlJi*
b.fcfqualtcr.crt.a.igiturbabct.b.'? cms Dmiidiam par^
tcm. Octoigitur.a.cqui funt ad onodccim, b. iRurfus
quoniam.c.cuisquodcft.b.fefquitcrtingeit.c.igifurba
bct in fc.b.T terriamcius partfm.lHoucm igirnf.c.rqni
funt ad Duodeciin.b. aO- uodccim autcm . b.cqui cr- nt ad
„ Q(to.a,i?toctoigitura cciuifuntadnoucm.c.^gimr.a.
"V<|tfuiBeft ei^iuod cft.crocrauccuie parrt. SH. laiturci^
qnod eft.c.fcfquioctauu8eil.?£^tin numeriefefqualreruj
quidcm intcruallum fit nonenarius ad fenariiim. ^ocfii
tertium verooctonarius ad fenarium. K^ouem igitur ad
octo fcfquiociaua p:opo:tiotft.

s\ 1

CrScc p:opo:ti5c0 fcfquioctauf inaio:C6 funt-vnoou
plici infcniallo. £>it enim quidem numci us.a; I?ui^ au
temfitrcfquioctauus.b.buiusfefquiocrauuff. (.•rbui''
fcfquioctauus.d.i buius fefquioctauus.f.ctufqjfeC^ui'
octauus.g.atcBbuiuefefquioctauns.lj. Jdautem fiat
fctnndum oefcriptum in ^[Irirbmctica modu?.'? fim nu
tncri.a.b.c.d.f.g.l:.'? fit.a.ccl>:ii.cj:liiu. buius autcm fef
quioctauus qui cft.b.ccwiiii.dcccctu.buiusautc^ fcfqui
octauue qui crt.c.cccjirvi.dccl vivi.buius autem fefgocta
uus qui eft.d.ccclxciii.ccrlviii.bmus autcm frfquiotra'
uus quicft.f.cccciir.dcccciiii.buius aurem fjcfquiocfa^
UU0 qui eft.c^.cccrliw. ccccii . buiusautem fcfquioc^a^
uus qui cft.L^drrpi.ctctrli.Ct 'unt.dpr>.c<!ctl)rh q»ert.
I:.pluf$ ouplicesad bucenta.ljc.ouo mllia.c.rliiii.qo
cft.a.ii-)f]ci<sirur fefquioct.au? piopo:tionc0v jJlmpliO'
•tee fnnt vno oupliciintcruallo.

SS 5

^^^^

<r jCDuffarnm per sr«as sclarinafi litttenift 'nonirttj
numupatto. jCapttuIam. 5*

€^ftfltquoniamfum^ncroum faunduj p:c>
f dicrae conibnantias per resul*'^ oiuifiuirqao
niamcp nfceflarioe fonoetrib^gcncrib^fan'
rilcnfcjcbibebirirta p9rtitio:mullcaeinrerini
norasapponcrc:x»tfum oiiii^am lincam ijfdcmnotulif
flj;naucrimns:quod rnicuicB fit nomcnrfacillimcjpoint
agnofn.^^lctcres cnim muficipptcr fompcndium mpd
onis:neintcgra fcmper nominancccflaricclfct apponc/
rc:crfo$ifaurrc notulas quafdam:qutbus ncruo:umvo
cabula norarcntur:caf<B pcr gcncra modofqs oiuifcre.€)i
mul eriam bac b;cuirare captantcsrvtH qaando mdos
aliouod muflfus roluiflctaffriberefupcr tcrfum TRitb
mica mcrri componrionc ctDcnnim:bas fono:um notu
las adribcrer.ita miro modo rcpertentcs:vtnon tantuj
tarminum Tcrba:quf litfcris crpIifarentunScdmeloa
quocB ipfumrquod bis notulisfignarctur: tn memo:i3
poflcritatemq; ourarer . £icd cjrbisoCbusmodlsvno
intcrim lidiumeiufq^notulaspcrtria gcncra oifpona»
mus:i n reliquis modis ide facere in rcmpus aliud biffe
rcnrcs.Sancfi quando oifpofitioncmnotarum littcra'
rum grffarum mmcuparione oefcripfero:lcfro2 nuila m
uirarcturbemr. iD'r?fisenim litteris nunf in quamlibj
parfcm imminntis^nunc eti4 in flcxis.tora bff notaru^
oeffriptiofonflitutaeft, l^osrerofanemusaliquid ab
antiquiratis auf ro:itatc tranfuerrerc: €^runr igimr p:io
fesac fupeno:e6noiuIcoicfioni?-i.verbo:um : ffcund?
veroatq} infmo:es pcrcuflionis p:onambancmcno9

tiuifldquifiniaoiftpoteft.2.non ineegrum t tau i'af?s*
'r .K)Ypatcl>tpaton quf cft piimtpahs prinfipalium.
T .(onuerftjm.i. r. recmm. 1 - . parbYpatebTpaton.
Idcft ftib principalie p:incipalium. l^^.notiinrcgram.V.
t.fupinumX.f>>.bYPatoncnarmonio9:qufertp:4ncipa
lium enarmonios.Jl.rupiHum.i r.fonuerfumrctrobsi
bcns virgulam.7 ^.btpatonfromarifcquf cft p:infi'
palium ej; tc nta. 2I.fupinumJ3abcns lineaj t. r.fouer
fum ouas babens Unesje.T V^.bYpaton oiatonoa quf e
p:in(ipaliumcj:tenta. «p.grffum oiglmon. <pF. bypate
mcfonqufcftp:infipalismcdiarum.f.T.f. g .parbYpa
te mcfon qu? eft fub p:inf ipalis mcdiarum.s.?.c. fupi'
nom.v. ilX)efon cnarmoniosquf elt mediarum cnarmo
nios.Tr.grefom.i: .(.fonunflm. nJ. n\")cfon fromarifc
quf eft mcdiarum aomatifa.TT.grcoimbabens virgula
c.c.conuer fum pcr medium babcns virgulam. n->.
£Dcfon oiatonosqujcrtmediarum e;crcnra.jm..gre(um
'f.N.gremm t>iductum.N.i!X)cfcquf cfl media.i.-^.A.ia
fcns. 7S. .*Iritc fY nSmendn quc eft tertia coniunftarum.
e. A.fupinum.^.^Ynemcnon cnarmdnios qu? efl c5
iunctarum cnarmonios.H .grccum.-:. A . iaccns conuerfo
pcrmedium babcne vtrgulam. A". ;Syncmenon cro
matifcqugcft coniunftarum fromatifa.i^.grcfum babef
virgulamT a.fonuerfum babcns virgulas. A". S>f '
«cmcnon oiaronosquecflfoniunftarumcrrenta. t.t.n
TKcte fYn^menon qu? cll r irima oniunctarum.w. qua
dramm fupmum.-x. 2 .paramefcquccil fubmcdia. n.t
n.grcmm lafens. ^ .Tritcoiescugmfnon^quf icrria
otutlarum efl. c.quadratum.T.^i .gvcfum fupmn . iJL^,

Xibcr

iiii

ofejnjgniction f narmoniosrqtif fff oiaifnon «larmoni
08.A.i.TT.gr:fum taccnstonufrfum.-^.ofc^cugmcnS
cromance quf crt oiuiljrtimircmafica.i.babcne virgu
lam MT.^rccum wccnsconucrfumbabcns lineasangii
larem. fc A.2r>ie;?cuci;mcnon c^iaronog quCfrt ouiifarij
oiaronoe.co.quadrarum rupinu^j .t. 2 . ^.iRere oic
5flJSmcnon qufcflvIrimaMuifanim.m.iaccnfii.T.N.in
iwTum oiducfum.N e-. Xrire b Ypcrbolcon qu? eft tcrtia
«rallentium. Y-Ocozfum refpicjcne ooctrum % femi. ot.

finiftrum rurfumfcrpiafs.vA.brprrboIcon fnarmo»

nios?quvciUicclIcnfiumcnarinoni06.T.fnpinum t fc^

mi. iH dettrUm fuptnii,. r X .byperboUon cromancc quc

elUiccllennumcrcinatif.T.fppinum babenelincam 1

lcmi. in. ocirrrum fupinum babens retto linea,. v x. bf

perbolcon DiatonoGquf ei] ciccllcntium eirenra.ju..gre'

cum babencaairam.T.rr.ctiducrumbabcneacurS.Tfja.

TflcrcimicrDolfon.i.baljenea^utam.-r.A.iaccnebcne
icuram.'^^. »,..t tt

/ 2

iP^olTamDanomenos ] jo.

f M

7 l^YPi*Kb^paton fi
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acuram.'"'^.
licbanosmcronofHonos '
£X>efc

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T^arbYpatcbYpaton e I IritcfYncmcnon

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licbaoebYpatoenarm. i M I Tparanaefrnc.cnarm.

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l^araii.oiejcug.cnarm.
lP5aran.Die5eug.tb:oa.

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V |iicbano«<bTpatocb:oa.
11

ffl j licbaoe bYpato oiato.
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"I JDFpatcmefon

"Ip^aran . oic^cug. oiatono*

'p>aranetcfYnS.(b:oma.

\1

Iflctc Oicjeugmeno
"XritebYperboleoir

r IiParanctcfYnc.oifltonof

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THetcfYn^mcnon

I 'iParan.bYEboleo.enarni"'

J lbaran.i?Ypbolcdcbda.

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l^arbYpatcmcfon | ^

: T^fliramcfc ( jX

f 1 n

"Iparan.bYBboUooiaton.

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)

Xicbanoemcfocnarm.

1-1

Xrircoicscugmcnd I r

1

iHetebrpcrbolcon

it

1 li(b406mcfontb:om9.

1

\

1

CiCOono(o:direguIari0 partitioin gcnerc Oiatonfco.
Capimlum. 4
^ d iam rcmpue eftadrcgularie mono(o:di oi
0 uifionem vcnirc.lOe qua rcillud e\\ p:ediceH
duvquod fuie in nienfura ncruirftuc in numc
rie.-arcBi in co:um p:opo:rione ftatuaiur i5rcri
bcnda Oiuirto:maiu0 fpariu corder-r maio: numeri mul
titudo lbno6 5rauio:c0 elTicier; 2lt 11 tucrir ncrui longitu
do contrattio::': in nu/ncrie non fqueniuirapluralitaf
acutio:e6 vocee Cili nccciTarie e\\. Mtq^ ej: i^accomparatio
ne quantum vnaquec)3 tiicrit vel longio: vel pluriu; nu
mero:um-^UacB vel conrraccio: vcl paucio:ibUBrtgna
U numcri0:tanto vel grauio: rel acutio: inucnimr . nec
leaozcm rce illa conturbct : quod intcndentes r^pc fpa<'
tta p:opo:tionum numero maio:eilgn9Uimu0:remittcn
tce vcro mino:c:cum itenfio acumen ftciatiremilTio gra
uitatem.'jllicentmtantum p:opo:rionum fpatia ngna
bamue.^ff^ibiloe grauirarie aut acuminie p;op:i(tate
lat)o:antc0.at(^idco t in acumen maio:ibud numcrte i
tendimue: t mino:ibU0 in grauitatetn fepe remifimus
bi( vcro vbico:darum fparia fonofc^ mectcmur : natU'
ram rcrum fequi nccclTc ert:maio:itB longitudini co:da'
rum epqua grauitae eviftit:amplio:c»mino:i vcrocjc q
Tocisacumen nafarur:bare b:euio::8. ^itco^dainrcn
fa.a,b.buicfquarttregula:qug p:opoflti0 psrtitionib^
oiuidarur : Ut ca regula co:de appo(ira:c(df m oiuiDonco
innemilongirudincrigncrur:()ua0antcaiTignauer9m'
in,rcg(ila. il^oe mo nunc ita oiuidimuercHialf ipfamtoz
dam ■: non regulam partiamur. JDiuidaturigitur. a .t>.
in quaruo: partee per rria puntta quc funt.c.d.c . €rnc
tgitur tota quidem.a.b.ouplaabbie qaq funt.d.b.a.d.
figillarim vero.a.d.d.b.oiio e funtabbiequefunr.a.c.
c.d.d.c.e.bv fritigitur.a. b.quidem$r4Ui(Timaidcft

pjortambsnomenos.d.b.autcm mefc.tErt enim oimidia
totiue.f fltur.a.b.abea quceft.b.d.SDuplaeiUpafioita
b.d.abcaqucert.a.b.ouplaellaeurainc. */fla5 ^rfupcri
U9oi(tum eH fpatij -raeumini^ rempcro:doconucrfufl2
IHam tanto cil (o:da maio: in acumine;quanro luc rir mi
iio:in fpa(io.quo arcaerit -z.e.b.lRetebYpcrboleon quo
niamc.b.ci^quccit. d.b.oimtdia qiiidem in ^ritate ou
pla vcro inaajmine.Tilurfu^qificadem.e.b.cti^quf ert
a. b.quarta pare ert.in rpario:quadrupi a crit ab eadem
in aaiminc. »E rit igiturC vt oicrum crt) n erc b yper bolea
cupla in acuminc ab ea que ert mefc. OJefe aurem oupla
in acumincabeaqueert p^oHainbanomenos. ■^erevc
ro bYperboleon quadruplain acumineabea quf ertp:o
flambanomeno0*(onfonabir igirur p:ortambanomcnoa
admefen oiapafon.mefeadnctcbYperbolcon oiapafon
p:onambanomeno0 ad nete bYpf rboleon bi© oiapafon.
iRunusquoniam^qufparree funr.ac.c.d.d.c.eb.ift
«urem.a.b.quatuo: eartidem parrium.c.o.aurem rrium
a.b. fcfquirerrta crt ab ca quf ert.c.b, 'iRunue quia rriuj
cftf qualium parttum.(.b.fed.d.b.ouarum:crtt tgitur.c.
1).ferqual(era fiu^queert.d.b.TRurruequoniam.c.b.j
«rium partium ? qualium qualte ert vna.e.b.tripla igif
cft.c.abeaqueert.e.b.erittgimr.c.b. Itcbanoe bYpaton
Oiatono9:tonfon9bitci5 p^ortambanomenos quidem ad
lidjanon bYPaton oiaronon DiareiTaron confonannam.
«Cadem vero licbanoebyparon oiatonos confonabitad
mefen confonanriam oiapente.ifadeincgiiicbanosola'
tonoeconfonabitad netcm bYperbolcon.oiapafon 1 oia
pente".TRurfu0 fi oe tota.ab.nonam prem auferam cam
quf eft.a.f.erunt partc0 ccro. f.b.d: rir igtrur.f.b.bYpa
tebYpaton.ad tj^ fefquio«auamcontuiearp:opo:tionej
<i.b.idcftp:on8mbanomeno8 . 3nmufic« veroionum.

C ;Supmo:'ocrcn'ptio iferiovn figna qu? wntinettcias
funto£l(riptioni0;vbico:dienotula09pporuim^: quo
ntamfarumnominalongumruif afcribcrf. 'Jtcm fi.a.b.
tribue icifionibus partiamuncrit pars tcrtta.a.g.S^ue
igiturciurdcmcrunt.^.b.£onfonabitigitur,a.b.p:o
flambanomcnos.ad.g.b. quceftbYpatcmcfon oiapeu'
tc confonanriam in p:opo:tionc fcfqualtcraconflitutam
c.b.autcm ad.g.b.erit fcfquioctaua:-: contincbittonum
idCBo:dine cadit.ll^am licbanoebYpato oiaronosidcft
c.b.adeam quceflbrpatcmefon.i.g.b.continettonuj
TRurfus.a.b.quides p:ollambanomcno0.ad.(. b.licba
non bypaton Diaronon babctconfonantiam oiatcfTiron
a.b.autcm p:oflambanomeno0 ad.g.b.bypaten mcfd
babetconfonantiam oiapentc.^ftcni.c.b.ad.d.b.idcrt li
cbanos byparon oiaronos ad mcfen baber' confonanril
oiapente.g.b.autcm add.b.fdcil bYPate mefon ad mc'

fcnb3betconfonanti.im oiateiTaron.iUPanosautej
paron idcft.c.b.' ad bypatcn mcfon comparata ideft .g.
b. oiftabit tono. S>i autcm eiu s quf cft . c. b . quartaj par
tcm fumpfcro.crit.(.l:.3gitur.c.b.ad.l:.b.obtinet fcfq
tertiainp:opo:tioncm.l:.b.autem abcaqu? cit.d.b.fcft.
octaua p:opo:tione oirtabit. rir igifur.l:.b.quidc3 bta
ronos mcfon.Tcrit.c. b.i. licbanoob^^paton oiatonos
9d.l:.b.i.oi3tonon mcfontDiatclTaron confonantiam c5
ttncns.ll\urfu0,riciU8quf crt.d.b.nonamparrcm fum
pfero erit mibt.d.l. •]gitur.l.b.erit paramere"j£>iaurcni
fiu0qufcft.o.b.qn3rtamparrcmfumpfcro:crir.d.m.
^gitur.m.b.cr.tncrefincnicnon. i:?iaut m eiu^qof c
d.b.tcrtiampartcmfumprcro.erir.d.n, 'jgitur.n .b.eric
netcoicjcugmenon. iciiaurcs.I^.b.inouaBpartcs cqs
njcritoimfarerit.h.jc.^ritcu.r.b.paranercbYpcrbolC'
on.

TUbsr nii

fffr

Tpwflainbgncmfnot'

CiCOonoco:df nMrSbreboifonpcrtritigcnera p9rti|
tio. fCapiralum. s. \

dnt isif oiarontci gcncris Sro-iptiofca 2i co.f.
H mo g c nmpr.cio: ac pnccpf:qu2 lidin nucupam'

2I>cgb^modiflnocoiiTcretid5no5 . vt ^ogtrij
gcncra turrar mitta 3 rcriptio: t oib^^.ppiia numcro:u plu
wlitaeapponaf ad ofti das.r.ppoztoes-.vclfonozo ac
<g oicfc5 crco.Tirafc ntlcr'':^ bct oia po(T5 c)cplcrc:vt ma
p:im'9dcadpnabanomcn5ofrcnbaf:gflt.i):.t(tvi.CT)C
^''^o.ii.fcciiii.TRfliquozii vofonoj^.ppoztoce in bozS
mcdictatctcrcnf .r ncab infcrio:c.pcedim'otumcBnola
co:da^ no folii noib^vf?: ct oppofl^ l le ocmoftramus.
^©3 ita vtqtfi ti iu c^cncru e facicnda partirio: ncruo:u(p
mod^^lf ar crccdit niic? : vbi dfcccrit If c.cafdc rar fu f gemi
nam*^:)» mo: vr q:i.9d.:.tiicrit v fcp EU?tum:ita iDfcriba
m^rcliquos ncruos.bie.a.i.aa.^bie.b.i.bb.tbie.c.u
cc. ©irigif pm^Qdc numcr^marim^ctvq.pAabanomcnS
obrineac locn .ir.ccvvi. £)itcp rori^^co^dg mod'ab co q6 c
a.vfcpadidqdc. ll.blc.i.pnabanomcno.ir.ccirvi.oi*
uido Dimidiiad.o.vrftttora.a.ouplaabcaqc.o.irc.o.
flt bupla abra qii? f .11. ^^ritigif .a.Qdc.ptl.ibanom?o9
o.aut mefc. U. nctcbygbotco.babcbitiaiitur.a. gd?.'fr.
corvi.o.'^ bo:fiMmiditi.i.iiii.d(viiF.vrmel<ad,p(T3''
tanomcnooiapaf^^ ^fonatiapucniat.tFa vo qucc. ll.oi
midiu mcfcs: vt ftt .pilabanomcnoe ab caqu? anctc bVK
bolcon:quadrupla.T bia oiapafob adcaconfoncf ffm'
(bonii:iU(9,lUii.(CC.iii|.

<rSiisifcr.tt.cc(uii.octfltiSab(1iitcroi?t?.i.C(lnrrvi!.
,oraccBadic(fre:fictmtbi.ii.d)C(ii.fnrq-,.n.n.ii.drcii 5
fi-parancrc bvpbolcoad nct^bvpbolcoobrince&iiU'
tiatonu.Tllurfu^ci^u c.n.n.i.ii.di cii.anfcroocrani cj

nctcbrebolco.Diaronuf oab ca q e nett bvpbo'co radff
vo.f.t.cfiTi cb:oaricognf trircbypb.frfvarica i.-narfn'"!»

iJofHJract bypb.cnarmoioe.qj^ fafiii^^a^xnorfff^ciirciiff
at (u rrn gcnc? rria pma tctracorda a nctc b vpbolco fcbo
antUDicrpfcriin'. ^iu vofta fefatertiai^^Oiioztoc oum

ftfgocMuae flbfhilrroiitlfHaf* mibi Mmia min^^ifm o
tntiici^que^.l.l.i.nitcbYPbolfonfut.ckdfvm . IDos
nfdcm adicio.ficnt mibi.uf.lvcii. C5uo:u i^.d.d nctc oie
jcugmcno (ontincne ad rritc bypbolco fcmitonuT mUi*
HM qin nctcoicscuijincnoad nctc bypbolco oiatcirdron
ptinct pfon jtia:tnfc aiit bypbolco oiatonos ab ca oito'
nii oirtai.Tclincif fpatiii quod 5 intCT nctc oic^cugmcno
«r trite bypboleon rcnntomi inino:i0. ^ifi igif tctrato:'
dum i^tP^Jlf^on bwtoniti gcncris cvplcuiin''. liMc (b:o
lUfltKi 1 cndrmonii tcrra(o:d3 fupplcda funt boc modo.
^JifunipflRinctcbri^boicoad ncrcbypbolcoin oiaroni
co adc gcncrc tono oiilat.i d?:oniati(o votribYcinitoni'
le:icnarinonio \S3 ouob^toiiia^rioirtantiaparancfcsbf
pboU6 nctcs bYtbolco oiatoniti gcncri9 fupfcrirnus
eiuftg oimidia paranctcbypbolcociuc c oiatonici iTcnc
risflpponam^^^babcbiin^^tiumcrii trib*^fcinitoni)9 ab bf
rbolco nrtc oirtate.? crit bcc i (romatico gcncrc paranctc
bTeboIcon .'^^u/cro igiciir.dc.ii.dxcii . idcrt oc paranctc
bl^bolcoo outonUi scnrrid.ii.caiiii.idcfl nctcb^ebo"

U5:rcUquuf mibi.fdrcrviii. boeoundocriTf.crliiii.rof
diadiiciS.ii.diccii.i.parkictcbYpbolcooiardicigriiffcriit
mibi. li.dccvcicvi. bcferirparjcrcbrpbolco cromarica.
rurfua qiii tritf b YPbolco vroiatoicarel {b:oari(3 ouofli
toHoa oillatancfcbYpbolco'? iHcnarmoiogncparanc
tc bypbolco ouob^tonie oiilat abca il 2 nctc bypbolcon:
cad^ crit icnarntoniogencrcpflranetcbypbolco:quc^ i
oiatonifo vcl (b:om9tuo t rirc b ypcrbolcon . Ocd q if» tri
tc bypboleon oiatonici gcneris t (bzoniat ici ad nctc oic
5cu5mcn5min^ffifoniuf*uit:pftatafit fetraco:dfi cnar/
monii gtiie cj: ouob''iregri8 ri^ie:^ oiefuac oie.1:quf funi
oimidia fpatia feitonil inio:id:oirtatia ea qucS ttcr netc
bic^cugmcno 7 paranctc bYKbolcocnarmomiifumo.fs
qni nctc Dic3cu5menoc.iii.t|,Vii-pflJ3ntteaiit bypbolcS
cnarmonio6.ii.dc(((vvi.bo:iioiilatiacrit.clvi.bo:u fu^
mooimidiapic:cifunt.lvi:viii.lJ?o.>adicio.ii.dc((ci-vi,
fict.ii.d(C(cv(i)ii.bc(crit.ec.tritcbYpbolcocnarmoHio0.
oefaiptum ctl igitur fccitdum tria gcufra tctrgto^dii s'^
brfibolcoiucui^toiniarubtcradiccimu». |

r

r-

T

rf

U

rii.uccccvvi

ii.dfcH.

2.iber iui

196

iftifl igitnr rctriCo:da tali.nobie ratiofK oercii
C pt» fmt. XefrjKo:duni cnim omnc oiatcffiira

rctina conronantiam."53itur nctcbypcrbo'
. ^ "^^ otc5togmcnon in triboa gcnerib*
weft vrt m oiarono vcl in cromatc vcl in cnarmon» m
taXtnn contincnt fYmpboniam. CtatcfTsiron autcm ton
fonantiaconHat ouobustonist fcmitonio mino:e . Jd
boc modo pcr tria gcncra m ropzadicti* tctracotdis o iut
liim cft.^n oiatonico cnim gcncrc p:imum paranctcbt
pei l)olcon idcil.ii. djccii. ad nercn bypcrbokon.idcft.ii.
caiiii.obtinct oirtantiam tonumrquod rali noriU inrcri
pflmus. j". t\urfu6 tritc brpcrbolco oia«oniti gencris
dOf crt.ii dccccivi.ad parancteu bYpcrbolcon oiatonici
jcniri6ciiifcft.ii.d)C(ti.rurru8 obtmcroiftcrcntiajqua?
flmili nota infignauimue. ^TRctcautc^ oicjcugmcno
adtntcbrpcrbolcon idert.iii.lmi.ad.ii.dccccjrvi.fcmi-
toniurarcJcrrO' tali norulaftgnauimu6.T'.I?occft tota
fpaciuinpctc oicjcugmcnont netcbrpotolconouozuj
r ono:nm ac fcmironii. £5cd idc ouo roni ac fcmitoniii in
cromarico gcncrc bac rationc oiuifi funt. £>ccundumcnC
gcnus quod ertcromaricumbocmodoocfcriptumcfl.pa
ranctccnim cromatuc byperbolcon quccrt.ii. dccrwvi.
fld netem btperbolcon qu? crt ii.ccciiii.comparatacon'
tinct fpanum parancrce l>Ypcrbolcon oiaronici gcncria
adncrcmbvperbol;on:qnodcrt vnusronue idcrt ouo
fcmiroma.maius acmmud.^^Dmifummrrus fparium
paranctcebYpcrbolco oiatonici ^ ncree bYi>crbolcon.
(3ta cnim facnjmcft) quicrt oimidiue tonue : fed non
intcgrc:q:(vtfup:a vberrimcmonrtrammcrt)non pot
tonusin Duofquapartiri. ^Tonfignabimus igirur l)OC
fp-iriuintTumi rcmironiozumidcrt roni ac femitonii boc
modo. T T T. Hlurfus parancrcib Ypcrbolo ci omatica ad
trittinbyperbolcon rctinerparrein toni idcrt fcmitoniw
quod icliquum fuit cr ouob^ touis qui contin^ntur itcr
tritcu bvpi^Tbolcon oiatonicam i ncrcnbYperbolcon.
;£>ubtr3ai0 vcroquamo: femitoniis^rcliquumcv toto
tcrraco:d.? iparium femironvi crt^quounncmr inrcr nHl
oiejcugmenon rrir^ bYpabolcon.£onftar igirur -r boc
turacc:dun) tp ouobae toni0 a( fcmitonio: oiuifum in

tno rpatioquidcmtrib^fcmitonife.^n ouobugautcm
lpatii8ouobu8fcmitont)0.Tria ipo fpacia ncmia qua/
tuo: (onrin nmr. 3n cnarmonio vcro c;cnerc fumnu cft
fd pernoffcndi faalitae.ab ea cnim qu^ert nere b Ypcrbo
lconidcft.ii.ccfiiii.paranctc bYperbolcon cnarmonjog
ideft.ii.dccccrvi.opostoHoe integroe oirtat,€>uoebo(
modo nctabim^. Yt . "'^^fliquiiur igiturevrotius te
trato^dilouobns jtonie at fcmironio : vnum qu'dcm fc
mitonium quod tontincmr inta nctf oie;cuc;mcnon ct
paranctcbYPcrbolconcnarmoHio-Qiiod .f.oiuilimua
in ouae oiercs tritc brperbolcon enarinonion. cX>edia
intcriecta:fpatincB D!cfco8l>ocmodorignauimu9.d.ita
igimr nobis bYperbolcon rcrr3co:dum oefcriprum cft .
i5uo pcracro ad oicjcugmenon tctraco:dnm vcniara^.
lHccimo:andom cftcifdemcoinemo:ation';bup in cctc^
ris: Cumabbacocfcriptioncetiam inahiefumi poftit
ccemplnni.

C fX)ono(o:di nctaramoiescugmcnon pcrtriagcncra
partitio. /Capimium. 7.

Ctc8 igimr oic^cugmenon q ^.iii.lttii.fi ot>
n mididifi fumarcrut. jcX> dvrvvi. ^^ui cidks
flddUi fiunt.iiii.dcviii.quf cft mcfc:quam. o»
littrra ocfignauimue.q^ fi ciufdim nctcs oic^
5cngmcnon.i.d.d.fc5.iii.Irrii.aiiferam rcrtiain parrcm:
crum. fiTO.lcviiij.^uicifdccoiuncrifacict. iiii.vcvi.qu?
vocabirorparamcfc.v.lirtcrarubnorata.TOcrcigimr oic
5CUgmcno,idert.iii.lvvii.ad mc fcn idcrt.iiii.dfviii.qijo

niammfcfqualteratopararioncconfirtit^oiapcnrccenro/
nabiriYmpboniam.tFadcm vcroncrc ric; ugmcnon id
cft.iii.lrrti.ad paramcfcn idcrt.iiii . rc vi .quf ad r am t fef
quitcrtiap:opo:rione(opofiracrt:oi,irciiironrrrinctcon
fonantiam.^iigiturabeaqiKcrt nctc oicjeiic^mcnon.
iii.lrrit .antcram ocrauam prirtcm idclr.cccUvriiii .cifqj
adiciatn:ficnt.iii.(fc(lvi.critq5 bftparancrc otcjcugmc
non.oiaronos.cc.urrenepcrnoraraadncf^ bicjmgmc
nonobrineneronum.Slb bac vcronocrauam aufcram
parrem.i.dc.iii.(C(clvi.€^uc^.Cfc(nirii.cofq5cidnn ad
iunga:crunt.iit.dcc(lm-viii.-6rit(¥;c3.Y.tritcDic5cug'
mcnon oiaronos. Ocdquoniam nctc oicjcugmenon
ad paramcfcn fcfquitcrnam obtincbar p:opo:tioncm*

non Duo0tono0 akntcottntbiturintertritS^u^eugiue
non t ptrdmefcn femitonium minu^; iDiatonicutn isi
cor ffn\is,jn bo( ^uocq utnHo:do ac pentsKo:do itd ci:

plmim el!: vl rctr«o:di qufdem cim quod dl nete« cfc
^eusmenonad parflmciim: &iarcnsiron confonantid fr,
*^ent(K9:di vero eiuis quod efl netes ote^eugmenon «d
mefen: Diapentc flt conronMttu,

iiiirrcvi. i iii.dcalj:n:viii , Mi.actlri

t

iii.lj:j:ii.

^^n»nm\m ^pao «cgfromatifom genuBbacrone
tet:emu0.»umooiftantiam nctcs t paranetes oie^eBg
wenon owionicicideft.iij.Uni.-r.iii.f cec l vi.Cft eo:um
oifferentia.fcflt;j:)iiii.banc oiuido.erunt.fwii.b9nf ,fu
Bi* t ci fiuec ft parancte oiescugmenon oiatonee.adio^
sam.i.iM.fc«iTi.fient.(if.do:lx>iii.bef erir paranetc oie
5ensmcnoncb:omatifa.b.b.gemin8ti0 littme annoti
ta oirtans a ncte oicscusmenon lono t fcmitonio. t. tri-
DU0 fcmitoniie conttnenead tritem oicjeugmenon on
•utTi quidem Dtatonifam.Tflunf vcrofromaticam idcft
MI .dcaixrrTiii. £)cmitonium reliquum ab eo.tono : ql5
oiuuum eftinterparanctcoiatonooicseugmenon ttri"
le oiatonon oic5cugmenon:t fit alind reliquum it tttn
coido (cmiromum.intcr trit? oiescugmenon fromatitas
t paramcffn;quod.rc]c oiatclTaron fonfonaniia relinqui
tHr:e« que fft.inter neten ofc^cugmmon tparamefc'fub
icaaw ou«bU0 toni0:quos netci Dic^eugmenon t trite
9tf3oiSnKnon.ffQmati(a(omincb«nt*auc dutemjin

eiatonfcogenere trite oieseugmenon oiatonlcacd. 3tt
crotnatico autem trite oie^eugmenon (romatKa : ea i enar
monio genere parancte oiC5Cugmenon cnarmontoe oict
tur.integrodcnim ouo^tonoe oittatab e-i quf ^ nctc ote
jeugmcnon t notamr.a.a.€t int^r nctm oie^eugmeno
fparanctencnarmonionotejeugmcnon nuila inrcr e(l
co:da.arc^ (deo paraneteo rocabulo nuncupatur. ^mi
Conio vero quodelt inter parancten.enarmom5 oic rug^
mcnoniparamcrcnt^dcilint.a.a.t.jc.bacronc partimur
yt fiant ouc mfee. ioumo oiffercnriam paranetcs enar
mont) oic5eugmenon,TrfJ3ramcfe0 idcft.tii.ditcIicrrTiij.
^.iiii.xcri.en eft.ccvit.banc oiuido.ftcnr.f.iiti. bosap'-
poHo.iii.d(alj;rt;viii.ftcnt.iti.dccccrcii. tFacrit ^itc t>iC'
jeugmenon enarmonio0.;.l!ttcra pcrnotata. IDuiu0 igi
tur tctracoaJi pcr tria gencra oefcriptionfm fut^tcr adiccl
ftiperiufcB oifpofiram bypcrboleon tetraco:dum asgre<
gaui: Kti cflTct vtro:umcB vna ocfcriprio:i paulatimia
aa oifpofitionts totigs ro:ma (onfurgeret.

k

<r O3ijno<o:di niwnim frnfmfnonpcr tria s^tn rar quoniam nctc fyti?mmon sttmcltn idcrt.ni.cecclvt. ad

tirio. jCapitulum. 8. uti.dcvi;i.refqiutcrntimobrtncrp:opo:hc»iifm:qi?v'cll

Diarciraron.rrifcaurcmf Yn*^n»f n*^'! ad iicrc ii fynf nicno
k idcrt.iiii.ccclvriiii.atl.ni.cccclv .ouoniintono:umobri

tlo quidcm tctrdifo:da qtjf flbtmct quidcm <i5' nct p:opo:riincm: rclaiquitnr trirc^ frncmcnon otaro

0 iuncra funtra mcfi- vfro^i/lunlta.rrium gcnc ni fld mcfcn p:opo:rioicmitonit coniuncruty ctl boc re

neru5 fupcrio: ccrffipcio qucmfldmodnm lo trace^dumcum incfc:atq3 idco fTncuicnoi» quaft coiiDnu

carciirnr ortcndir, iRuni ad alind rctraco^duj um i toniuncrum vocatur. tft oiatonici quidcm boc mo.

tcnicnduiuclLg» fYnCmenon rocatur: quodiuncrum i docftfiiCtiap:opo:tio.Crom3ticivcrorali£«DiUiriof.i5>i<"

ci qnf c\\ mcfc ^uonidm cniin intcr neti n Ciicscugiiie' mo nctca (Ynfinenon i paranctca fynfmcnon oiaronift

ijon:7mc(cnoiipcnritonfonanriamcircp:cdivim"e^:2 idert.ui.ccfclri.-z.iij.dcccU^^.viii.Dtfrcrcntiam.cacit.

autcm oiapciitt confoii.intia trium tc»no:um ac fcmtto" cccconcii. banc Dimdo vt fcmitonium fiat: liunt . tc j; vi.

mi.'trc9vcrofuiirtonimbocpcntaco:do:quo:u5vn' l>anfadiKic»ad.iii.dff(lri>:vtit.vttiiifcmitoniafi>it:CTC£

quidcm nctce oic cu ^[mcnou ad p. rancrcm oicjcugme- liii.ciiii.qu? el\ parancrc fy ncmcnon c> omatiCi?. cui litre
nonoi3ronon:tfllrcrvcioparanctct; oicscugnunon oia . ra.e.fupcrapporitacD.ilbbncisitnridcftparanctcfy'

toiiisn ad rrircm oiC3cugmcnon otarono|i. Xcrriue aut^ kilmmon cromatica ad tritcn fvni^tncnot(p:tu?quidcni

paramcfctiad incfen: rcltquumqjemitoniuinnircsoie owtonicam^nunf vcroaomarifani fcmironiujcrt.inqua

. 5cugmcno)i Ptatoni ad parame;fn:quoniamq5 ncrce Dic trite ftii^mcnon cromattfa vfa=i mcfen altud icmironluj

5CU jincnon i paraincrce rctiafo:duin ab ea quc crt mclc: rcgitur.Scd quoniam a nc te fyiicmcnon v fq; ad tritcn

r>toiib otniJncaimciV: q^^cil intcrparamcrenacmefcn. Cyncmcnon Diaronicam vclfrcmaricam ouo toiu funt:

, £yi cc co penta(o:do:quod eW a nctt oieseugmenon ad quf c\\ in oiatonico vcl froin.-.tifo o^mmbv.s trirc fy nJ'-

tncftn: vnum abflulcrimus tonum cum. fcilifct qui oti iticnon oiatono» vel(romatica:(adcm in ^cncrc cnai m»

tincfurinrctn^ircnoicjeugmcnonTparanctcn oic^cug' rioparanctcfyncnicnoncnarmonipecil ba|i>en5 fuin-j

mcnon oiarono:porcnmue aliiid tctrafo:dum Jd mcfc inam.tiu.faUniii.quc (lr."|S\. «nqu.nYcx, ad mcfcn fcnu

iunoterc:vrfiatfynfmcnon:quodcrtfontunftumbocmo tomumeit.bocpartto^incuasoicfce boc modo, £"*u/

do.TWain quonia paranctea oicjcugmcnon oiatonitquj mo oificrcntiam paranetca fyncmcnon cnarmoni) i mc

ert .c.c.numcrus cit.tti.ffffl vi.bo:um tcttia eifcJcm ad' fcs idcll.iiu.acUicuii.-r.iiii.dcviii.rafit.f c.vicviii.barfc

dita tac iet mefoi .bif crgo numct us in oicjcugm^non rc' oiuido.ficnt.cicvii.^anc adiicic paranctc fyncmeno cnar

trafo:do.c.c.lirrcris annotatustonootrtabat^a nctc oie-» momos.i.tjit.ffflvriiii fifnt.iiii.ffCfVfi.qur.p l«ftcra p

Seugmcnon in gcncrcDiatpnicp.'? parancrcoicjcugmc' tioratur.? fiteatntcfyncmcnoncnarmoiitos. tFrttcj3 fe

non oiatonos vocabatur.in fynCmcnonaurcmrctrafo?' niitoniumquodfonuncrurinrcr parancten fynfmcnon

do.t.foniunaarumfirncrcfYnJuicijon intnbusgcncri cnanrioniontmcfeidertintcr.iui.cfflrviir.i.iui.dfvui

buefonrtKura.y.Urte a.pcrnorata :i abeaoctauapars Oiuifumpcr tritcn ff ncmcnoncnarmonioii.ca^. f.qtij

( auferarurquccrt.. cU(mii. ci!q5appc«narur:ficnt. iii . crt.iiii.Cfccrci.CJuofticabuiUflquoa^rcrracbo^difrpe'

dfpfU^^rviu.qufcrtparanCtcfyncmcnon^.T.litrerapcr ^iraratiocrt.lRungautcm facic nda cf! ocffriptio luwta'

. notata.buiu» pare fumarur octaua ea quf cu.ccffUtvvi tamcn cum fctcris ren"acD:di8 idcrt bypcrboieon ac Dtc

I btcfunlma n cUdfm:quo:um ocraHa frt:aggrdgcrur: fict 5cuffliicnon;vtt»auljitlin fiat Dcffriprionig lara p:o«^cf

itu.(C(liTuii.quecrttritcfTn^mcnonoiatono6.i.c,;&ed 60, <

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jCapttulum. %

X bia; iginir quf pie dicta funt : in.' (f teri« non
(irbirro: oiutiud labo:ani1um.SIdbo2tjeni;
e ercmplar ctum rc Uqua fetraco:da mefon at'
t^byparon tcrcnda funt. 2lc pjimum quidej
eiatoniasenertsmcfontcrra o:don boc o:dine oefcri^
bemue.COcresenim que ert.o.iiif.dcviii.fumotertias
partcm.eaert.f.dicrvi.banccidccopulo.fient.ri.trliiii
ca ftr. ID.bYpate mefon oiatciraron ad mcfcn tontinceto
fonantiam . b(( ouobut^ tonie ac femitonioita biuidi^'
tur. ioumoentm tuercetdcrt.itii.dcviii.octauam par
lcmiqiJf d^.d.ljTvi.banccidcadiungo.ficiit.v.cljrjLtitii
ra crt lubanod mcfon oiatonoe idcrt. XH> . Cutue tnte''
rim pare fum turoctauacaert.dcrlriii.banfeidemad''
lunso.fient.v.dccciTvii.tfarir.i.parbYpatemcfonoia'
Cono0 tonum obtinens ad licband mefon olatononrDuo
bus autcm tonid Dirtane a mefe. 'rixclinquttur igitur fe"
tnitoniuminrcrbYparSnt^^bn oiatonon ? parbYpaton
mcfon oiatonon tonrtitutum.t. inter.^i. erliiii . t. v.
dctcrsri! . '"Jdm vcrotetracojdum meiCsatcD bvpatcs
mefon in cromatuo stencre talt rationc partimur. ^xmo
mefcisoirtcrentiamadltcanon m fon Piatonon. i.iiit.
d{Tiu.ad.r.clji]iTtiii.£a;ert.dl|;;;vi.ban( otmtdiampar

lio!.fient.tcl);)txviu.eademadii(ionuinero maio:(. i.v.
clpciciiii. ficnt. r. ((((lirii. quf ftt . 1H. Ii(bano0 mefoM
aomatice. iRclinquunmrivsirurouo reitiitonia vniiin
inter lid»non mciVn . cromariccn t parbyparcn mcfon
tromaticcn.i.intcr.v.c(cdirii.';.v.d(((r-rii- "laliud in"
tcr parbyparen mcfon aomariccn i byparon mefon idcft.
intcr.v.dccci^rrii.^z. vi.c^liiii , tEnarmonium vero gc"
I1U0 boc modo r>iuidtmu0'quoniam ea quf crar parby
patemefonoiarono3:vfl eaque erat parbypate mefon
cromariccDucs tonoooiftflbatamefeobtuien© numo'
ru m. v.dcccrvvii^ca in cnai monio gcnerc ent li(bauo«
meronenarmontoe.l.Uttcrapcrnotata ouoe ntbilomi
nu0 a.t mcfcn obrinene tono?. llxcliquum igitur fc'-
mitoniuin q> crt inrer iKbanoe mcfon enarmonion i by
paiemefon.idcrtinrer.v.dcicrrrii.^.vt. ctliiii. inouas
t>tele0 boc modo fiuidimus . inufero oifTirenrtam. v .
dcfcrrrii. ad. vi.ddiiii.eacrt. cccjdi. banc Diinidiam par^
tio:fient.(lv;.ban(fld.v.o((cirFi) iungo.fient.v. d(({C'
Ijcrrviii.^ bc(nt.l:.parbypafc mcfon cnarmoniog.
JDuf vcrofuntoicflsinter licbanon mefon cnarmoni/
on 1 parbypatcn incfon cnarmonion idert .inter.r. dccc
jrrieiii.*?. v.d((((lrrr viii.i inter parbyparS incfon cnar
monion ibyparcn mefon idcrtinter. v. dc(((lrrrviii. %
•vi.ocliiit.IDiutfum crt igirur mcfon tctra(o:don. ^uod
tta in oeferipttone ponatur : vt fuperi ue oefaiptie tetri
cozdieaggrcsetur.

Ltbcr 11)1

T

^ 4096
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CxTC»on(Xbo:dt bypatS eVria goiM pattitio: t lotiufl oifpofitto
ocraipttonis, CaiMtiilum. lo. _
Unc verobypard tcrrflcbo:dii ptriagcncraoiuidfdo
?i c.i^niniobypatcsmcroii.i.vi.tvliiu.oimidi5j,itc:qu?

fir.iii.liTi .baccidcn3di£(ero:(iet.viiii.((vvi4^'<P*^^'
banomcnoa ad bYpat^ mcfon OiapStc(6fonatia fcruaa

iFiufdcaut bYpatce mcfon i.vi.(Uiii.;£>iaurera tcrtia parte^gug

J.ii. tlviji.rid mqj adirccro:fient.viii.

orcii. f c lH'C crt . b . b Yi^atc b Ypaton . 3s»
turbypatce mcfon ad.pil.ibanomcnon
&upcfc c p fonatia .ad I?Yp3te vcrobrpa
ton oiatcilaro . 21 b bac isic b Ypatc m t .
Ibn.i.vi.criitii.poaufcraf o(taua:crunt
dcclvvai.bat cifdc n quio adiunsat fiei /
ri.dacdii.^uccil.c. licanoa l?Ypaton
oiatonoe ad bYp tcn imTon toni obiinef
p:opo:tionc.*iKuriiisdc.vi.d((((yii,P8
flu:eraf o(raua£rar.d(cciriiii. b((fteiWi
copulcmrficnr.vii.dccUr^^i.Quec.c.pflr
bYpatc b Ypaton oiatonoe ad luano b Y'
parofioi tonotoniradbYpat^mcfo ou
o:iitono:uoiiUtiJ druas.iRclingf igi
turfcmiton iiitrf-parbYpatcbipato oia
tono t bypatc bYPato.i.mf. vi.dulXV^
Ti.t.viii.ciccii.T oiatoniciquide genc
rie bYpato talc tctraco:da i .c; omaticii vc
ro tali rone oiuidini^. ioumo cni oifterc
tia bipatee inefoii:'; ci^qu^e li anoe bY
patooiatono9.i.vi.cf|jui.i.vi.£!((£cj:ij.
ca C\ d((l i V 111 . bk oimidia ptio: vt ouo
eificid fcmitonia jicr.ccdrxrnii. batadij
£10, vi.d(c((cii. vf tria kmtonu fiat :eriit
vii.ccL-(Ti.i7£c erit.t'.Ucaii§e bYpatd (ro
matitc ab ca q 2 Ijipate mclo n ib^ fcmi'
tonijeoiiiiis.illelinquntur ergo buo fc
itiironia. vnu q^c ircr Ucanobipatoao'
maticc-z parbiparebipatocromaticc. i.
iter.vti.ccixvi.^.vii.dccUvvi. i^Uud^o |
Itcr s; afb'patcbipat6(f omati(e': bypatc
biparon.i.itcr.vii.dcclji-jcvi.-z.viU.crcn.
TiRcrtatenarmoniu gcn^^.-cuiae ad fupcri
uscrcinplartaU:; oiuifiocil . ^tnenim
parbipatc biparon oi:.tono8 vci pai bY'
|)arel?ip3r6ciomati(c:quf.Tn.d(£f]C)cvi / ^
vnitatib^ifignita e ouobVonia oiflat ab
f a quf c bipatc mefor> : eadc erit in gencre i
cnarmonio Ucanos bipato enarmonioB:
qu^ ab bipatc melo ouob%cgri9 oifferlt '
tonis.*fl^ert3f igif cv oiatclTaro pfonatia
femitoniii q?) cirerlicano bipatoncnap
monio -z bipate bipato.i. intcr.vii. d(C'
I>:):Ti.titer.viii.(V(ii. boci ouas oiens
ita oiuidim^.^Sumo ofas a^:q e Ueaos
bypato enarmonioe : bipatcs bipaton
i.vii.dcclricvi.t.viii.crcit.caert.ccctjcvi. j
bui^oimid ia,fu mo. fut.(£. x iii ,ba£ adij'
c;o.vii.d(clrj;iii.fient.vu.d (((Iwiiu. q
fit.d.parbipatc bipaton cnarmonios.
^iitigif oueoiefi8:vnagde:qiife'intcr
licanobypaton enarmonioc parbipatc
biparo marmonio.i.iter.vii.dtclriivi. i
vii.dccccUrxiiii. iHltera vcro qug ? intcr
paibip4telMpat6;cnannonic;t bipatcn
bipaton.i.intcr.vii.dcccdrxriiii.^. viii.
orcii. 5: on^vfrovltim^^iter .{iiiabanome
no b patcbipatd.i.ircr.i)t:".(();vi. iMii
(jxii.ptincf . IDiuifuc igit bipatotctra^
to:dij f 5 rria genera oiatoniai cromaticq
ciurinonia.$ fi fu^io^ib^tetrafo^die bi

pcrbole5o{e;n)gmenon nr^menonmcrongadiugs'
tur:fit ttegra perfcaac^ oercriptio Diuin peromnid
nionocozdtrcgularis.

aDiatonKum. |

1

^:onaban6mcnos

xiixi. (C)cvi.

_±i

JDipatc biparorf

Tiii. (^(ii. 1

T^arbipatcbiparon

L vii.dc(lr)cvi. i

-Jd

licbanosbiparon ]

^ [

vi. da((t;u.

— I

IP3ipatemcfon

vi.ocUiu.

1 ii:b:omaticum I

T 1

tDipate biparon j & |

vii|.(vciu

f 1 UdatDipate bipat6 i fL

vii.dccijcjcvi.

TTT^I l«tbanoobit'8tou l

f l

Vtl.((jC(Vl. f

lU:)kp4(t;iii(!on

1

Tt.tVilUU

< iEnarrnonium j

i

jj^ipatebipawn i

35 i viu.(ji(n.

1f>afbipatebipdt6 1 lO \

vu.atudvwui

i lubanosbipaton j j \

vu.uaivjcvi.

l&H:>ate mcion
XDitttonKUiii

tk 1 Vl.iJLlUll.

_ 1

iic^ii^atemcfon

11? j

Vl.CVlIlU.

X 1 "^arDipatcincioii [ J \

v.au^jcitxii.

T

Xtcbanosmeion

1 v.dwjtuii.

1 iiDcfe

i ^

1 im.dcvm.

[ >2.b:oinatuum

i

V

iDipatc,mefon

\K> i vi.(riim.

f TParbipatt lucion

•■

r.dcccrciti.E

1 -7 iTiiwbanosmtioii

m

1 V.(((CiE 11.

1 im.ucvm.

1 tb'narnionium | 1

litDipoteintloii

l i vi.dcUiu.

0.

1 ipaf bipate nicion ]

l: 1

V. dctaivtvviii

. Xicbatiosmcion

i iut.dcvuu^

j iDiatoiiiCUin

l 1

jil>Dcre

1 tui.dcviu .

T°

i 'Zrifciiiicnicnon

1 ^

1 tlll.(((.)CiCltU.

[•^S>aran£iefmcmcno[ %
[^cicrinemenon 1 1'

1 itt.d(C(i]c]C)cvit
1 tu.cccdTi.

2Libcr iui

( £b:omaticuitr
f rrifcflnfmenon

riT«T»rpargnfrcfin?CTignoii

THttc nncHicnou

1 ^nannonium

UUd(V«ll.

uli.ccccUyiui.
itii.cuii.
uu.cccdvi.

J Iritcflncmcnon

iiii.dcvui.

•^aranctc fincincnol k

iHctcflncmcno i

llDiatonicum [ ~ |~

^'-il^ramcfc [ X

T° .T^ranctcoic^cug. i £i!

jiii.ccccxc» _
iiii.ccflrriiii .

ui.ccccivi

lui.ycvt
iit. dccclyti:viii

1 IHccc Dtcseut^me ii 6 , 2:?g)

f "jCb:omaticnm f '

T" I •^aramcfe f ^

iii.cccdvt
iii.lmt.

iiii.vcvi.

-J^^lf-^^^^msnKn^Xj lu.dccciw^^f

T^-TiT^aranctCDic;cuq.jB3^' tu.dcvtviii.
1 TRcfc Dtescugmcnd lipg),' m.itm

rgnarmoniu;

I

oj |-^aramcfe [""iTi
Oi xrtteoiescusmcnon ^__|~

1

'v ° t1 •^aranctc otcscus^
iHcteDicscuc^mcno

I ajiatonuuBi

1 THcte Pic5eugmcn5

I xrttCDipcrt)okon

/

[l^ardUetcbYKboUo
'( THctc biipcrt)olcn_
|£b:omaticum
iRctc oic^cugmcno

XrtiebYEP*Jtgon

Jlll.jCCVI^

iii. dccccrcu.

ut.dccci)cy)cvu|
ift.lVtii.

X>t>\ rit.Uyii.

JJ 1 ii.dccccrvi

"tt^THj u.drcu.

Jl.CCiUlt.

iti.UrtiT

T'T^-ti Tt^arangebiBbolc6| ht: |
i IHere DYKlJOtcon | XjJ^

i_L___lKUCtCCiVt.

ti.dcQtrrrTt.

it.cctiui.

-0>
0,

. tgnaimonium ( i

•Wae oujeugmeuoniJDiDi Ui if^n —

IXritmpcrbolcon ] t66| ' ii.dccccrciui.

I T^araiurcbiBbolc6[l^TH[ {T^rnT^

imtebtperbotcon jlll ^Tccciiir

(

CTRatiofupfri^^oifpofitcoercrtptionls' <Cii.

TR rupcrio:ctgitur fc»:ma obtincr quidcm coii
i lonantiam oiapafon p:oHambanomcnofi ad

mcfc:mcfe aut ad ncie bipcrbolcon.23i« oi»!

paJon afltp:onambanomcno«ad ncte birer
boUon.aDiaicnaron autcm confonantiam fcraat biDatc
bipaton ad bipatemcfon.bipate mcfon ad mcfcn incfe
«d nctcnfinemenon. parametead ncte oicjfogmcnon
nete oieseugmcnon aci neie bipcrbolcon. a tce boc ita fit
vt in bis (onfonanti)s intesra tctracorda numcrc mue
atcp \t clari^omniis i bac fb:ma refpiciatur o:do ncruo
tum.;acbmttiagcncra.v.tantu notatur cfletetraco^da
•|bzimu atcB grauiiTimum bipaton.cuiue e p:inccpebi
paicbtpaton. vUimaautem bipate mefon, ^andm re
ro mefo cuiue cft pantcps bipate mcfon.€]rtrcma vero
mefe.Xcmumfinemenon:(uiue enpriiKepemere fina
lie mte finemenon. ^uartum Diejeugmcnontcuiue eft
pziraaparamefe: nete vctoDicscugmenon emema ^ul
nmitcro ell bi|?(rbol(oa:(t}tU9 t(t quicrcm p;incep«

nrtcoie',ciigmcnoii:9dnctem rcro bi;'crbolcon ttmii
narurcyrrcnw.

CjDcibnnbiisTmobilibuavocib''. £a. iz.

2lm vcro oium vocii parrim unr in tomm im
b mobtUeiparnm tn rotti mobilcdrparrimve
ro (icc in roru imobtlce.-ncc tn ronim mobtlcs
fonanr.ln roriT imobilcs funr prt,imbanomC''
no0.bTparcbvpjton.bvpjfcmcloii.nicf. nctc lYncme
uon.paranicfc.n*:rcoiC5cusmcnon.ncrcbypcrbolcoii.id
ctrto qtfi tn omnibuo rr b 'gcnc' ibVf clc funt: n.c nomia
ncc loca pcrnuir.irc0:ftiic pcnraco^da fiucrciracozdacon
tincant. iJbcnratozda adcm vt.rn4banomcno0 ad ht /
parcn mcfon.t mcfcad netc oicjcu^mcnon.ictra.orda
vcro: vt bvpatc iJTparon ad bipard mcfon. i byparc me
fon ad mcfcn. ^"Dobilcs vcro (unrquf fccundum fingu-
lagcncrapcrmutanf bocmo.vtparancte 7 licanoe oia
tonici 7 cromaticctrtrc parbypatc cnarmoiiici. ^llia elt
cni parancrcbypcrbolcon otatonoa^aliaparanctebyB'
bolcon cromaticj.alia trite cnarmonios. iDiucrfc func
friamparancrcoic5CiKjmcii5 oiaronos: arqi cromatica.
"H^cc e cadcquf i scncrtbVfrcrts rrire oic^cusmcno ci.ar
monto8:ncq5ccdcm riinrparancrcfinJmenon oiaronos
? cr-oinarica:? tritcfincmcnoncnarmomoa iMe:quc fur t
rcliQS gcncrib^rrirc.^iilantct licbanoe mcfon oiato /
no8 licanoa mcfoii tromatite.'? parbypatc mcfon cnar
monios nulli .ilio:uni gcncrum parbyparcftiniUs iuc/
nifur.incccofJcm locos aciiumcros fcruanrltcanoe
paron oiaronos licanoebypatoncromaftcc.lHam par
brpare biparon ciurmonioe aIto:u gcnc? parbipane cc
rcpirur Ditfiinilie.iHo in rotfi vcro imobilcs aut mobi
les funr:que in ouob^^Qdegcnerib^mancnt.i.cromati'
co t Maroitco. iS»3 in enarmomo pcrmutanf . 3d aut fic
pftdcrarur.trire byyboleon, oiatonos."? trirc bypbolcoii
romaritecade in fupiozi fo:ma ocfcrtpra crt biillc m mi
mcris.ti.dccccT vi. j^lt vcro cn enarmoniu gcn^afp:tim'^
mtc alia rcgim^^.i.ii.dccctcciiii. 0uf igitur vojr ouobu0
ftnt gcncr ibue c6is:cade in rcrno pcrmurara e. jdcm e
in r»ic5cugmcnontcnaco:do: iHamtntc Dic5Cugimnoii
oiatonos'^ tritc oicjmgmcnon tromanca ccdcmVunt: ft •
bicBconffnnunt:frifcaiitoic5cusmcnoncnarmonio0«
fupto:c oiftar.^n ftncmcnis et idcm c . Xritccni frncm
mcnon otatonos itrircflnemcnotromanccccdcmfunt.
;£>5trircflnnemcn6enarmonio8e oiucrfa. 'jrfparbypa
re mcfon oiaronos i parbypare mcfon crcmarica ccdcm
noranf.Scd icnarmoniogcncrcficurfugi%ite:tt3 btc
parbiparciuvtabyparos mcfon adnn inucniunf : vianc
ac foni acumtnc oiucrft funrtfreris.-iRurfus parbipare
biparon oiatonos t parbipatc tromarica cadem c.;i05 n6
eadc c tiTin cnarmonio gcncre cjuenf . i:?cd vt baru non
plcna murabiUragtlari^iolliqucfcat:adbypbolc6 tctra-'
to:dii redcamus.i bot igirur gcncrc in oiatonico atqj crox
mafitogcnere.tritcbrpbclconccade:mufafintnarmo>
nio's fir parancre.^rcm qu? trirc oic^i ugmeno in'Diato
nito vcl cromanco gencre vocabaf :parancrc in cnarmo^
niooi^quf nirefincincno tcromatito vel oiatonitofuit;
in en.irmonio i parancte rrflufit . 0uc vcro parbyparc
mcfon itromanco vel oiaronito vifcbaf :cadcm Ittanos
mefon in cnarmonio rcpitur. 0ue aor parbipatc bii atd
vcl m oiatonico vcl in cromanco bitcbaf :licanoe bifsi
ton i enaimonio nucuparur . j&iitigiturQdc imobilcg.
.pdlbanomenos.hipiitcbipaton.bipate mcfon.mefenc
rc fmemcnon . paramefc. ncte oit seugmcno. netc bipbolco
AT)obile6 vcro:qua0 licano»: vcl parancras vcl oiato/
Bicas.veltromatitas. velcnarmonitae noniinamus.

ff\on (ntoniiuniobileeaur Imobi(c0:qna0parbipata0
tnras in oiaronico vcl crom.uc:licanas autvcl paranetao
tn cnarmonico gcnere oit imus.

(r2:)e(onfonantiarumfpc(iebU0. jCapitu(ii. ij.

Dnc oc rpf(icbU0 p:imanim lonronanriamm
n tractandum c.p:imt aurtolonacif funrDiapa
fon:oiapcnrc:oiat£ifaron. opicicsaurcm eil
qiiedam pofino p:op:iam babms li3:mam ffcunduj vnii
quodq? genus in vnt''(uiui'q5 p:opo:rto!it9 confonan '
tiam fa(rcnti0tcrmmis(onrurura:vtinDiatouogcncrc
iHa fl oic5cugmcnon tctr^(o:du intcr biebolcon rcnaco:
dum:mefe(]3 ponam'^fubtra(to. f.finemcnon tctracbozdo
erunr. c v .ncrui. iHt fi ab bia .pilabanomcnos ocnabaf :
crunrquaruo:dcain.bicrgo6ifponanrui bo(modo.£)it
a.biparcbtparon.n.pcrbiparcbipaton.c.lKanosbipatd

d. bipate mcfon . ^ .parbiparc inefon . f. Ucbanos mcfon .
S.incfc.b.par3mcfc.t.trircoic:;eugnicn6.i:.parancrcoic
5cugmenon.l.nctcoic5cusmcnon.i0.trttcbipei bolct.%
n.paranerebtpbolcon. o. nctc bipcrbolcon . Mb bipatc
igttur ad paramcfen Diapafon confonantta efi . j^I mef>:
vero ad biparc mclbn oiatciTaron.ab cadcm vcro niefc
ad licano biparon oiapcntc.€rtt igimr quidcm Diapa-
fono(to(o:darum.£)iatciraron vcroquatuo:. oiapcntc
flutem qutnq5.'ilcpcr boc babcbit DiarclTarou qmdem
fpcncs trcs.Diapenrcauteiii fpesquatuor. otapaibn vc
ro fpecics fcptcm. i:?cmpci3 vna minus fpccic© erit:qua>
tiiei iiit voccs: vtentm a mdc cctciae o:ain3iTiU6:oidter'
faron confonantiefpccicstrcsfunrixxmodo.^Unaqui''
demfpccte6eritab.g,ad.d.ii>etundavcroab.t.ad.(.1er
tia veroab.e .ad.b.^J>U( vfq? oiatciraroii fp((icep:ogre
dtunrur.3d cir(o quia bu( vfcij fpccics binos (onnct ncr
uo0.eiufdcm DtarciVaion.vt.g.d.quidcnuosqut furif.

e. t.connnent.f. c.eo© qui funt.e.d.'» .c.b. C06 (onnnet:
qui Yunt.t.d. 5>i vero bto adteccro oiatciTaron . d. a. bf
uerfa non critabea quccrt.s.d.vnum(nim folum. g.d.
tonfonannf ncruuni (onniubit.t.d.folum.tEvcciVit tgi
tur.g.d.(onfonanttam.atti3idco oiatclTaron ncs ipcci'
C6 babcreperbibctur.€tin({rciisquidem (onfonanti
i0idemefi. SDtapcntcautcm erunt fpcncs quanio: boc
modo.UnSquidcmcll.b.ad.d.illta vcroab co^ell.g.
Bd.c. a lia ab co tp cit .f.ad .b. HUi aur cm ab co q- cit c.ad
fl. IDiapafon veroconfonannf . vti.cruntfpccicebot mo
do.p:ima ab ca q» cll.o.ad.g.fccunda ab co crt. TR.ad

f. Xertiaabco $ ert. OJ.ad.e.^uarta ab eo qjcrt.l.ad.
d^0uinra ab cocp-crt.l^.ad.c. iocrta ab co cp ert.i.ad.b.
.i:?cptima ab co q) crt.b.ad.a.Iiquct igitur evbi0 quf oi-
(ralunr:oiarcfl*aron(onf9nantiam femelrantum inim
mobiUbuoacrtatutis vo(ibU0(ontincri. 'I^am fiabbi
patebipaton in(ipiaiTi:crit.a.d. i. ab bipatcbipaton in
mcfonbiparcne3qufcrtino:dinep:ima .iHam ccterf
non iktutie votibu^ terminantur vr.b.c.t. f. THam ci
parbipare biparon 7 parbipatemcfon: licanos btpaton
«licaiiosmefonmobilcs ciTcmonrtratf lunt. Quodfi
rurrueabbipatc mefon oiareiTaron conionantiam itbO'
cmus:crtt fpecic^ Diatefiaron ilaturi^ vonbus tcrmina
ta.g.d.eaqiif crt p:ima.i.abbipatc mefonm mcfcn. *iRc
Iiqtif mtnime.vt.c.b.t.f.i.lHeparipatemefon « licaos
mcfo-j nitc otC5cugmcn6.n6,pbaf imobtlc0. rurfusfica
de otarenaro pamefc fufapiat o:di?da crit quoqj q rtatug
(oer(caiur fonie oiareiTarofpce.n.i.ideiiapaiamcfei ne
te 0ie5eugmcn6:quf c p:ima.Wa(fterf quf funt.i.m.i
U.n.mobilib^tcrminanffome.iHatritcote^cugmcnd
1 paranerc oic^cugmcno:? trit^bypbolcon: t paraneti
bYgbolco mobiles votea ceprcduimMte Oiajticntccon

Z9l

&nanfj9 otjafffjfimo C^^cemtt: queftanirts vc5(ibuct
inctiidimtur.vnaquidcmcrt.d.b.idcrtab byparc mc'
Ibn i par9incfett:w quf c p:ima. inircn» TCTo.g.l.i .9
Itinnetcn oic^cugmeno.hfc vcroc quarra.iRcliqacvc'
ro.i.c.i.T.r.l:.mimcfl3tuti0 vocib^cUuff funr. Ii^apflr
btpatc T licanf tiitc :t parancte irtabilca app:obantur
;£>im!lis aot ro crit II a ncte oic^icugmcnon in (^rauio:c>
ptc.i.admcfcnipfonanrifbuiTpcsprtdcrcnf.crrdccmm
imobilib^^vocib^^ci fupcri^^oictf funt: Cotincbunf . £>i'
ue^ant 9b i) vpatc mcfon:fco 3 mcrc : fcu 9 paramclc : fiue
a 9 nnc brpbolcon confonatias ad gwmo:e ptcm buca
mas.ouaroquf rtatutie vocib''. Cocrccanf non potcrtt
dOcftructio. iOiapafon vcro pfonatic fluc ab bypatc bT
pato »paramcfcn:fiuca nctc bYEbolcJi mcfcn o:do fnma
njr:trcs nfi modo. idpcg obtincbit quf imobilib^^vo'
rib^cocrcc9ntur.lR9abl?YP9tcbYpatoo:dicntib^vna2
a.b.ca qof c pma.ab bfpatc btpato i paramcfcn. Slltc
ra.d.l.ca quc^quarrgab bYP9tcmcfon i nctc oi ^cugmc
non.lDc binc.g.o.bcc fcptima^.i.a mcfc i net? bTBboic
on TRcliqtiar vofpcro vo(cscrtim?nuUo moimobilt
bus vocib-^cortifutf lut. mi parbTpatc:-: licanc:? tritc:t
paranctcCvt fup:a quoqj otctii e)imobilc6 no funr. S>i
milttcraQt 7 p cafd^ voccs ft ab bipbolcon nctc o:diamur
.Spe? o:do proctf . ^ijo:a oium intclligcntii fubicct»

; jStabilcs

l-il

! i^ipatcbipaton 1

tuoDtics \ J6\ Tl&arbipatcbiData'

iTOobiles

1 Xicbanoebipflton

\

iDtabilcs

jD] iDiparcmcfon

flDobtlcs

€ 1 T^arbipatcmcfon

«flDobilcs

f

licMnosmcfon

;5rabtlcs

Stabtlcs

m

1 l^ramcfc |

^Oobilcs

1

Xrttc oic^cutjmctirt

11:

_ IJ^aractcoiescu;!..

;©tflbilcs

1

iHctcDic^euqmcno

XIDobilcs

xntcDTPboicon I

iTDobtles

■m

itbarancrct^rphnir.^l

£>cabilcs

THctebTpbolcon r~

ITJDc modo:ucro:dne:rquootfpofltt'o notarii pfingu'
tosmoeacvocce. Ca. i^.

yoiapaloigitiirpfonatif fpcb^^criftijtciappcl
c lanf modi quoscofdcm tropos vcl tonos no
tninat.ir>unt aiittropipfiirurocsirotievo /
cti o^diiiib^^vcl grauiratcvf laciiminc oiffncn
tts.coftitutio vcroc plcnu vcliiriiinoduIat6isto:p^e)c to
fonatiarncoiunttiocpfiftcne^qlccoiaparon vd oiapcti
tc 7 oiatclTaron vcl biis oiapafo.JEfi cni oiapafon pititu
rio:a.pnjt>anomenoimcfonc{tcric:q ffit mcdtf : vocib^
annumcratis:vclamcfc.*il\urruoincrS bTpboicocii vo
cib ircriccris: vcl ab bYpatc mefo i ncte oujcugmcno cii
bi0:qua8 cirtr nif votes mcdiJ!ScIi!UdiJt. ibiaparo % oU
tcflraro vo piliturio ea crt:qi]f a ptlabanorncno in nctc n
nemcno.ciibis quc mcdi? futitcritr? pfiar. Bis oiapa
fon aut a.pflabanomcno i ncte bipbolco cii bis que in mc
dfo fnt itcrpofitf pfldcraf . itDae igif pllitutof e ft qe totas
fatiatacutioces vcl igraui^totaflreinltrat.fcbm ri»p:adi
«99 oiapafon pfonarif fpcs^cfTicict rtjos fept^ quo:p no
mina fnt bcc. hipodo^i^bipoH igf.bipoUdi^ oo^i^^rigi^
lidi^.micolidi^.boro veroftcordo.pcedir.Sit i oiatcni'
co gencrc vocii ordo Oifpoflt>paabanomeno in ncte bi'
perbolcon.atq, bic ritbipodo:i''mod''. ci0,pil.ibano
mcnotacumg ttfdattono.-bipateqslMpatoeodcrono at
tcnuct.^cetcrofc^ tono» ocs fkiat 3(Utio:e6:aaitio: totus
mdo.pucnict:qua fuit pri'' qua toni fnlctECtintefionem.
^rit igitur tota cofiirario acutio: ef^ccra.bipofrigius mo
dus.Qp fi i bipofrigfo toni rurfus inrcnfionc vocee accc^
perint: bTpolidij modulatio nafccnir. 2lt ft Ijfpolidiu
fcmifoniumintcndat:oo:ium facict.i in aliia quideni
fimiliscllin arumen intenftoncmq5p:oceflu6.0uo:ura
non vtintell:gcntiafolumr6nccomp:cbcndatur: vcr»
ocnlis quoc^ fo^mapolTit agnofci ab anriquis tradita
niuftcis oefcriprio fupponcndacfi.fcd quoniam per fin
Sulosmodosa vcteribusmulicis vnaqufivvo oiucr
Jjs notulis infignita ert:ocfcriprio p:ius notularum vi'
dcturcITc ponenda: vf bis p:imum per fc cogniris i mo
dojum ocfcriprionc 6alispoiritce oefpcctio.

cs

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tli

f 1 1

1 1 -©Jollambanomenos

1

1 I IDipatcbiparon

1

1 i^arbipatcbtpaton

licbanosbiparon

1 n^tpatcbipaton

f nB>arbip8temcfon,

1 iitb9nosmcion

l iiX)cfc

f

1 irttcftn^mcnon

II f

1 i^ranctcnn^menon

1 I [

iHcicftnemcnon

- 1 1

iparamcfc

1 _ 1

Xritcoic5cugmenon

-©ar^nete oiejcugmcnon

1 1

TRctct)iC5CU«mcnon

'Triicbiperbolcon

1

nE>aranctc bipcrbolcoti

1 1 1 1 1 iBacbtpcrboicon

cr CxrcrfDtfo cctnttn?d modd:am o:dinnii » biTrmntf

80. /LaPttulum. U.

HlJto: igitur oclcripriocoMlflrurn noiatenct
# alcriptarnorulae vcro iuvta pontds:? quf cu /
iurt^At niocli:fiueUdi):riucpb:igt|:nue oo:i||

Tortbuloinm flgnatfldtcctio. Scdquoniam boemo^
do0oiicimu0in (pcbue oiapr.ronconronanit( rcpmri:
ogccofdcin oiatonico rantum gcncrc ocfcribamuerTr q
eoruni o:do flt^fub alpcau cadend inteUigcntidin no nio
retur.

l^fl^miKoiidias
HDtjcolidiaff

VU,

.V.

JTcrine

.TT.

.rv.
ft-^YPopbrigius

. VIII.

ir^iPOdofius

C^Supcri^^oifpofttf mcdo:um tjeffilptionie. jCa. i6,

€ptcciuidcp:cdi!rim'c(rc modosrfs nibilvf
c dcatur infongru5:q^oetau'fupanncxu6c.bu
iu0cni adiectionistonempaulo poftcri"^clO'
qucmur. tf^oc illud c confidc randfirg? I?c pagi
nnl^rquas intcr fercctus lincariip:do oiilinsuir^alif
dcm I)aber notiilae mullcasra lif vcro miniinc: velur tn
com6:quifcribirurbYi}miplidiusl-i^:imflquidcm pa
msnl9.a).tcrti3.<p.littcri0annot3tur . ^occitda notula
vacat.in bacigirar intcrcapcdtncncrularuni ton^tntcr<
ciTc moftratur. ^uod Tcro.^.rcrtif tatCB- y.quart? pa'
Sinfiioram nopanigula Diuidir. ^jvcrujgrcctoojdi
neDiduttus:fcmitoniufae oiftcrrep:fni5tiat.g>p:obaf
boc modo.iRam fi.d3.p:onambanomcnod cft.ffi. bypa
iebYpaton.y.parbypatebYpaton:ncccflec inttr pilam
banomenon g> cll. co . inter bYPatc b Ypaton :$ c.o.to
BidreoiilantiSrintcrbYPatcn autbYpatona> c.o.ipn
bYpaten bYpaton:$ e.y.femironii oiflfcrentia tontinc*

ri.iacp bof rcgularitcrtfuncti0f pftdcrandorrrftrocnj |
noti- 130 intcgra pagina oifgrfgaucntrront tntcr casfctr'
mus cc oiilantia: i&tn vcrfu© notulae: ac no pagina x>i '
flinguit; fcmitoni) no ignozcm^cc oill ntia^.bis igitur j
itapniilTie:fiouoo:dineeinbi9 oiapafon confonamia-
(onftitutifibi'inuicccop3rcntur.vtoui o:dontgrauio:
polTtt agnofci.fi p:oniibanomcnoeifl.ibanomcno fueric
Srfluio::vcl quflibctalia Toxctufdcm loci vocc grauioz
pnoretunineodem.f.scncreconrtituta: totum quocp oj
dincm necfflf^ccgrauiccm. Xanicidmcliiie fumcrur
adnifdi:! qiif ? mcfe.S3uo:um cnio:dmobis oiapafoti
pfonantiu:cui%f ff fucrit griiuio::fiufd2 toru0 ordo quo
Qjgrauio: crit. iRa cftcrf fingulf finsuliecoinparatf nv
bilominud grauiozes inuenienrur.itaqi; 11 mcdia ab alia
mcdiatono aut acutio: vtdcaf autgrauio::omc0quocp
ncruifiieodcgenerennt:finguIifibimft compjrari rono
atutio:c0 aut grauio:c8 clTc videbaf . Quatuo: autcm me j
dii0 fi p:ima ad quartam ciateflaron piflantiam feruet: *
prima ve:o a fecunda tono oiiferat;icfunda quoc}? a terr^ >

II II

tfa to^^m df fTfraf fono rrrf u quwtim remtronij fiii'
a oiff.rfntij bof modo oinr.fi ; .mrdtr.a.b.c.d.rr.a.
ci (jiKd^.d. iCoAipintri firattwilcm.fcfquUmumpio-

po:nonttn,'quf cft oiarefraron. 5rrm .9 . 3.b . oiftcr rono. b
.9.c.otrtrtrono.n;Unquuur.ijr.c.ad.d.(cnutoniioiilan
ngm (irucr.

C" dUtncB <lnt mc di? eodcm modo. £>i c ni^ primg
• qninta ftiquiltcni oif^cterir proporiohc ;:primaq3 a ft''
cunda.ac frcunda a rtrtiatquartacp a quin'3 rmgiil oi /
rtftfrint tom0:rntia ad quartam rcmitomj facier otffcrc-'
fiim.^tcmqiufuncft incdiealior modor prortambano
wenoe actfdunt:bc c;rauiorc« modos opcrantur.Quc /
Hftie.iltcacuttorcs cmciunt. i^uoniam igitur. % (\ipc/
rtorc pagina ocftripris niodts parrcm finiftramkgcnti»
proflambanomcniprimitcncnt.C^ rerarcro lcgenti»
KtrfmiadaudirHrnms^critomnibus quidem «futio:
inodi0:quiinrcribiturbTpcrmiroltdiU0!omnibU€< ve
rograuio;is:qm bYpodo:iu0. *lflo0 veroa grauiflTimo
bypodozio incboautcs cererosrquam inrcr fc babcat Dif"
fcrfnriam:ocffgrrabimu0 . f^amc^inbvpodorio modo
mcf^ quecft. «0. ab ca que cll in modo brpofrigio rono-
oiftabit.Quodinl^ocfafileperrpifiemr: ftqui« mefen»
bYPofrigii.qnecft.q>.einfdem brpofiigii.co. ^omparc
tnrrquf cft bTpodo:ii qtiidcm mefe in bTpofrtgio auccn»
Iifanosmcfon.iH»m.<p.arq3.c6.tono oifferum: q» pa/
Sinainreriecta octnonrtrar.^jltcmmefebypolidiiabfa 4
rft mefcbTpofrigi^tonioiffcrmtiamracit.lH.icB.c. qtie
rft mefc brpolidit tono J?i(^ar a .9, queert brpolidii
dem licano0 mcfon:in bTrofrigtoaurcm mcfc.Gtem me
fc btpolidi) quecil. c.ab e a quc eft mefc dorii fcmironio.
oiftat. 0uod btncporcrir agnoffi quonia o:dinc furfuni
p:odeantcm rius mcfc» que cl^ bypolidij :arci3 eum o:di
«cm infurfum p:odcnremeiu0mcfce;quccH Dorti:vn^
^CTlknlnstnon pagina oif^iHgoir.Suo ftt rt mefcbt'

Sjodo:ii ab c« mefc quc ell do:ti. inrcgra oiarelTaron co'
bnanriaDiftcr.idf&p:obarur.bocmodo. T^am qufcft
mefe.oj. 3n bypcdo:io.cadcm.-x .3n oo:io bypaic me
fon cft ab ca:qu? cft mcfc : In quo xie modo vcl gcncrc
oiarclTaron confonantia otfftr^n^.irem mcfc Dorii quc e
iT.abcamefcquccftpb:igii.idc(l.£iD.Dinarrono.T^a5
quf mefeinoorio,TT.cadcminpb:igio lifano0 mcfiMi.
iRurfua mcfc pb:ig!> quc eft. OD.ab ca mefc quc c li-
dii.idcf^.i.oi(lartono."^amquginpb:igio.ft>D.mcfet
lidiociUicanosmcfon. 'iRurfus mclc irdii modi abea
ntefcquccftmtiolidti.i.Mfl.fcmitonioDiftat.^Ctcnimfi
o:do:qui rccruo lidii conrincrmefcnrri o:dtni qiiircctui»
inicoUdij mefcn babet : comparatus ncn paginula fcd
wfu Difiim{;itur.?^aquoti3mcfe()uec(tmirolidii. iHf
ideam mcfcn que etl bypcrmirolidif.i. r. toni otftcrcn'
tii facitrid circo qm. ^ .quc i mitolidio mclc ert: eadem 1
bypmirolidio licanos mcft^ncil. Dndeftt vtmcfcDo>
fii ab f a mc fc que cil miroUdi j DiareiTaron confc niria oi
ftct.^dp^obarurbocmodo. Ti^ammereque cft Dorii.i.
TT jiBicm i mi|»lidij idefl.fr .bipate mefon: ciuead cu

iuflibct modi mcfcn ofatc Haron confonantiam rcniat.it^
mefc ©orij.i.n .ad eam mefcn qiiecft brpcrmtrolidij que
crt. r.Mapcntcconfonanriam rcruat.tfacnjmcfcqucc
tto:i| idcft. TT.3n o:dine bypmirolidij Itcbanos bYpaton
cft.Iicanos antbrpatonadmcff nin oiarontfogfnere tn
quolibet modo 1\ f6parcmr:'oi3pcte pfonantia oi( ;at.tur
«ittoftau'modU0:qui c bycmiroiidiu rzadicftus cll: bic
P atcf . S>it bis oiapafon^f nantia bf c.

CiRatio fupcrius oifpofttcinodo:um ocfcrtprionis.
jCapimlum. 17.
^apafon igiturconfonanriam fcruar.a.ad.id
0 c.b . ocro ent voci ^''f ontinrtur. p:ima ictif
oicim^^eiTc fpcm biapafon ca:quccil.a.b. Oe
ctidum vcro.b.i.rcrtiam.c.l:. quarrani. d. I.
<|Uint.i.e.m.fcrra.r.n.fcptima.g.o.-|Rclinqutc igiturcic
tra.b.p.quf vt rot^^o^do iplcarur^adteaa i.Qtq^ bkccfti
uu0modU8:queptolo;ncu0fui,iamieruit.

Cr^uJfldmodumindubiratfrmurifi-confonanrifaure
oiiudicari potTmt, jCap. is.

X t>o indubitanrcr pfonanriaru ratio folligaf
V tali b:c«ifrimo ac fimplui crfifi portrtr inrtru

mcto, Sir igirur rcgiila oiligcntcr ei rcnfa. a.

d.caiouoiemifpia^quasmagadas grco vo'
canttinrupcrapponantrrnta vtab caquce.c.furuanira
ad td cp cft.b. ocducra linca rccroe circa fc anguloe rcddat
iteab ca quf cl^.f.curuatura ad id ir cft, c. punctii ocdu-'
f ra linca rcctoa c irc 5 fc anguloe cfficiat. £)int vc ro bc cq
litcr vndiq3 pcrpolitc : t ad cordem vfus fint etfdem alie
?qualcs parate , ^upcr bas intendarur ncruus cqualis
vndiq3 is qui 2.a.c.f\d. 5»i igitur oiarclTaronconfonan
til qualis fit rcpirc volucro:boc modorari.i.ab.e.pncro'
quo ncm' fcmifperio rangit;vfq^ ad. f.puncturqno rur/
<ii0 ab alia prc ncru^fr mifpio iungirur:oiuido fpatius q>
cft.c.f.frpre ptibu0:T ad partf fcprimarum quarra^ ap'
pono puuf rii quod ?.l:.crt igitur.c.l:.ad cam quf c' b f
fefquitcrtia.£!>i igimr ad.l:.fqui7 fupcrio:ibu0 fcmifpc
rijs appofucro.arq^alrfrtirra vif»frim.c.l:.t.i:.f.nicciTo
adbibiropriUmnDiatcfTaronDiflantiapfonabit. ^in
x:ro ftmul vrra<q5 pcrfulTcro^otatclfaron conrnantiam
nofco.Q? fi oiapctc cfficf rc volum^quitr^ parnb'' rotj fo:
dam.i.fparifj.ab.cad.f.oiuidoactrcs vnipoHion» oij
is vcrorcliquf oabo.3tq3ita poHto fcmif 'crio ffSj; rimi.
U0 oifta moaij pronanriasDiiTonanriariBpcrpriio.irfm
fi biapafo c6fo'.;antia rcprarc velu(ro:rotri rrib'nrib- fe^
co:ar<^ ivnj Duafcvj Dirtribucscafdc f^mul vci airfruna
pulfanf quid (onfona: vf l quid oiiToncr vtracp: cogno

fto.Tnpla vfroquccf permfrfiswnfonanKiflnafrittir
IfaitddirunvtrttoMrninquatuo; parrium oiuifioni/
bod p9(n4mu8:atcg in trea i vnam tota nerui pzolijn^

o{uidsituf:itA(Bftmifpm'um tribud dppofltum trf'
plf p:oponioni0 oitfonanriatni t conroniinridtn red/

^5

16

Ciurdcm 13o€rit jODulica liber qutntus.

J0rtmonoco:di rcgularia oiutfione; adijam
p d$iarbitro;fSa:iqutbUd mereemWiK oo
tto^fsfentenrie oiuerfitate oif(o;dant:b3ben
durnc^oe omnibus fubrilc iiidkium: atqj id
quod p;opofito oecfl operirmcdioeris ooctrine Difpofi'
rionc fupplendumell. •poteW enim alia quoqj efle oiui''
fio:in qua non vnu6 tantamodo neruus alTumitur:qui
poftrisp:opo;tionibugoiuidatur:verumocro:atcpei'
modi rirbara fiat:aut in pluribus: i quanti nccelTarii Itil
nerui:tot9p:opo;tionumrario quanoculie fubiectacer
natur.

CiDc viarmonit?:? quf Itnt eius inrtrumenta iudicii
t quonam vri]5fenfibu6opo;teatcredi. tCa. i.

6d Dcbi0paulo poiHoquemur. THuncoicen
dum que ftt vis barmomcc:oe qua tracrare i'
s ftituentcg,iiii.lib;o8 iplcuimus. l^atuiarn
vcro eiu0 vnoq3et:p;imendam in buiu j= qui"
rivoluminisreriem oirtulimue.inrmonicaert faculcas
cilfercnriasacuro;um i grauium fono;um fenfu ac ratio
ncpcrpendens. ir)^ nfue enim acratio quaft quedam fa/
tulrarisarmoniccinrtminenta funt.Scnfusnamctjcon
fufum quiddam ac p;orime talc:qualeert illud quod fcn
Ht:aducrtir.iR9rio3urem oiiudicat inregrirat?:arci?vnaf
pcrrcquiriiroifterenna0.3taq5fcnru9 inucnit quide5(5
fufa ac p;orima vcritari: ^lccipit vero ranone intcsritate
*iRario veroipfaquideminuenitintcgriratcmtaccipitve
rofcnfu conlufamacpwrimam vcrifimilituciincm.ina
fcnfu0 nibil concipit intcgritatie : fcd vfqj ad p;o)Li'
mu5 venit.Hvatio vero biudicat:vclut fi quis inanu cir
culum fcribat:fo2talTe eum vcrecirculumoculusarbirrc
tur.iRatio vero nuUo modo efTeid q^ fimularur:intelli/
git:boc veroiccircoeflrquoniam fenfue circa maf eriatu
Tcrrirur^fpcri» fqjin ca(omp;ebendit:queira funt fiui
dc:atq3impCTfecte.necB oercrminatc:TvfcB ad vnguem
o;polite:flnitefiipramareria.J3uarcipfum quoq^wnfu
fto fequitur: mentem vcroarcjs rationcm quoniam mate
ria non mo;at'jf:Spetics quas peiutdef:p:etfr fubiecti
tomunionem inruetur . arcB idco eam integritas comi/
tatur ac veriras.potiufcg infenfum quod pcccaf : aut mi
nus efi:aut emendar aur compler. fo^ralTe autes id cf fcn
fus non integre: fed confu^e^atq^ a verirate mmus quaii
qmdamincalIidu0(fiimarorasnofritinlln(;uli0mtnu0
babeat enati:coIlc(tavcro mulriplicinrar in r»mam: atc^

id circo magnam faciunt oiflfcrenfiam.Tflam fl ouae vo
(Ula0tono fenfus oii]arcarbiirctur;t5cq5 oirtent: rurfuf"
9b vnaearum ronoputet oifiare tcrriam:ncci5 inrcgra
8( roni vera fit oifiantw.^temtcrtiequartccg toni fcnfuf
oiffci cntiam purcT:atq5 in eade^ quoq^ crrct:nccB flt oif
ferenriatoni.abbaceriamquarra quintaoulare femito'
nifi putet:ncq5 vcrc :nei|5 intcgrecilimct: in nngulie foz
taflc minus videaiurerr.itum: quod vero in p;imo to"
no fenfu0 reUquit:ata5idquod in fcnmdo-z tcrrio atc^
inquartofemitoniopcccjtumcihinTnum congregatuj
fitq5(ollectijefiic!et:vtp;in!a vo)csdquintain voccoia
pcntenonconrincattonronanriain. q» op02tebar heri fi
tono0 rics ac femifonium fcnfufi integie ludicaifcr. i96
igirur m fingulis ronis min^-^pcruidcbarur: ict collectuin
incon^onanriamcuidcntcrapP^Jnnf.atci? vt pcruidia^
fenfumquidcm confufacolligcrcmullomodoaureni ad
inrcgrirarcm r3ricni0arccndere:ficconfidcrcmu6. 20«'
te enitiJ linc? nutio:em ii)ino;cm nealiam rcpcrire nibil
cfi oift-Kile fenfni.p:opo(^f9 vero mcn!ura:vt tanro ina
io;cm;faiiro ue mino:cin repcriar : id non facicf fcnrns.
T^;imaconceprio;fcd folersrartoniginucntio.TcHi riir
fus oatam lincam p;opofirum ftt vcl oupltcarc: vcl oi^
midiam fcc9rc:idfo:f3lTcliCftpaulooifttaIiii0t;^conru'
fc maio:cm mino;cm uc repcrirc:poterit tamcn fenfue m
uenrionccpnfiitui.£>iv£rcimpcrctur:vrp:opofirclincf
tripla poatur: vcl ab ea pars fcrria rcndamr: vcl qtiadru
pla confiituatur:vcI pars quarra icfccctur:non ncimpof
ribilcfitfenfui:nininfegrita0farioni0 acccdJf : bocideo
quia p;occnii0,quidcm mioni locus i^cffdcit;: ocficit
lenfui. ;iS»i enim octauam partcm p;opofire lincf aufc rre
aliqui0 imperctur; vcl riufdcm octuf Uin oarc cogatur:
torius quidcm fumcrc oimidi^m con^pelluur: oimidif'
«l3oimidiam:vrfiquarf<::quarrfq5Dimidiu5:vtfltofra
ua.lRurfurq5 tofiueouplam:ouplcq5 ouplam^vtnt q
drupl9:qii9drup[cq5 oupl9m:vtrif ofmpla.^raqjin tl
tarcrumnumerofirate nibilefilcirfcnrus: Cuius omne
iudirium fubitum arq^ infupcrficic pofinim inrcgriratl
perftctioncmqjnonerplicar.^ccifcononefi autium fen
fui oandumomneiud!ciuin;!fdfrbi'jcnd»icilcfi9m ra"
tioquf crrantem fcnfumregaractcmpcrcr^qua labce (i
fueoefiftcnfq; vcluribaculo inniratiir.'l^am vtfingn
Ic artes babcnt infitumcnra quidam:quibue parnm c5
ftifcaliquid info:ment:vt9fciculum:pflrfim vero quod
ffi inrcgriim;Dep;cbend9nt;vtC!rnnum.0tacti95 armo
nita vie babct cme tudicii partre^vnam qtndem buiuf"

modfcpCTqmm (fnftwwmp.flxMdit ftibfr(fo:um offR
rcnria6Tcniin.31liam Tcro.pfr qnim iprartiiii
ttaram inrcsrum modum nifnfiiramcp confidrrar.
C iQuid flr armontca rc giiia: vcl qiiam i nrcnt lonon ar
monictpTtbflgonci.vdarirtojrmus: vcl ptolomcuec?
^err. )Capitulum. 2.

niufmodi igiturinfttummnim fn qtio r«io
b ni6 adbi"biro modo fonozuin Piffcrcnrif pcr*
qaimntur:vocarurarmonica rcgula.in qiia r€
mulro:um oocto:um ft-nrcnric oifc.-^rdia foir.
^5uidflmcni qni pytbago^icia oiraplmts mavimccrc'
didcrunt:bflnc inrcnrtoncm armonice cc oiccbanr^rr cun
(ta rariomcinfcnrjnca ffqiicrcnfur.£)cnfiMn cnimt»*'
rc qucdam quoilam modo fcm na cognirionie: rationcm
■vcro pcrficfrc . ^lrirtoimus vcro cccnrrario rartonem

comitc »c fc^ariani cflit oiccbar:cuncra vcro fc nfus iu-'
dinorcrm<nari:Taddn9moclularionf3 confmfumq^ cc
teHcndiim.^lprolomcoauifm quodammodoolioarmo
rtccoffinimrincntio.ca fcilifct vtnibil auribus ratio'
mcR poirirfirfconrrartum.jdenimffnindumprolomc-'
um armonicue viditurinrcndfrf^vtido' ffnfueiudicat
ratto auocg pfrpcndat:-! ita ratio p:opo:rionf e inueniat
rt neu:nfuerfclamft:ouo:uinct; I)o:umtonfo:di3omi0
armonicf intf nro iriifcfamr . iHriii in fo marime ariilo/
^f num ac pYfba^ozicofii rcp:f bc ndir:quod flriibtni" ni'
bil'arioni : £>fdtantumffnribu0crfdir:pyrbac;o:ifoa
«urfm:quod minimum fcnfibu6:plurimum tamcn ,p'
pomontbue rationie inuisilcnt.

C3n quo anrtojxnug vcl pyfbagozici vcl pfolomcum
grflUitattmfltcpflcum5conilarcpo'ucrunt. jCa, 5.

Doniam vcro fonum omnce cflTfconfmtiHnt
q aciieiprrcaffionem^grauirarieatq^acuminis
oiffcrcntiflm ciucrfaratione pcnebant ariilo
wnum fccuti:? pYtb3so:ici.2!ri(lotmu« gp
pe fonoium biffcrcntifle fecundum grauiratc m atq; acu
menarbitratur in qualitarc conflflcrc pYrl?flgo:ici vcro
in quantitfltc poncbanr.-tf^tolomcng autc 3 pirago:t(tg
propio: vfdcrur. ^ccim quoniam ipfc quoqj grauira'
tcmarq3fl(umcn non in qualitflteputat:rcd iii quanrita^
tf conHitui . f£tcnim fpiirio:aa(fubtilio:a (o:po:afl(U'
incn:rflrio:a 1 vaili-^:a cderc grauiratcm: vt nibil nunc
oc 'nrc nftonte relararionifqj modo oicatur . gJuamife
ctiam (um relacamr aliquia quafl Ht rariue arc^ craP^iue
/Cum VCT(^tn:cnditur:fpifliue redditur:rubtiliuf(B tctiO

flntr.

C JOe rono:um DifYcrcntif e ptoloitm fcntcntia *
Xsipitulum. 4.
3« igirur irtictpeditid biffcrcntiae fonoznm
b ptolomcueoiuiditbocmodo. Clocum fllie
(untvnifonc:aIicminimc.vnifonefat:qaa:ip
vnue fonua^c vcl tn graui vclin acuro. *^on
Tmfone vcro:quflndoalifl eft grauioz^alin acutio: . U^a
rutti partim i» funt:vtearum inter fc c^iffcrcntifl cotnu
ni fine inngarur. l^on enim oi faeta cfl:fcd a graui i aai^
tum itfl oucitur: vtcontinua videatur. 211if vcro funt no
Tnif3nc:qU9mmt>iftercnrifl ftlcntio intcrucnimte oifli
Suitur:vt v rovoceecomuni finc iungamr:fitboc mo
do. £)init f nim (um in nubibuearoie flfpicitur:irfl (olo
re«(\b:met funtpzoyimi: vt non fitccrme finie:nim al/
tcr ab altao oifgrcgerar. Scd ita wrbi graria a mb:o bi
fodii ad pallidum: vt pcr continuam murarionem in fe
qucntcm verrarur coloKm nuUo medio (crtocB intemcni
enrc:qui vrrofqj oi(linguar:itflctiam fieri Iblet in vod^
buervtfiquie pcrcutiflt nemumeumc^bu pcrcuritto:
qucfltteuenit : vt in p:in(f pio pulfae graiiio: flt:oG tor-'
quctur vcro vox ilU tcnuctur : (ontinuit^ fiant grauts
Toci^fonit^tfltute.

C;@ueiTO(e0annom(ruMflpt(, iCa.

^lmfgifuf non vni fon.tmm vodJ fllicfi«r (3
( linucalie oifgrcgare: Continue quidcm rales
funt:vttnrfr ff farum oifftrfnriafiJmuni fine
iungamr:nf(babrarlo(umDcfignatij vor ua
ta grfluifq;:qucm rencant. HTiiflrcrf vcro babcnr p:op:i
O3locotvvfluricolo:f0 impcrmirriqno:uin oiffircntia
viarurfiioquodam lococonilimrii.iConriniif qiiidfsnS
vnifonf voff6abamionicafa(ultarcffparanrur,*2)unt
cnim fibiipfte oiffimilfe: nccvnum aliquidpfrfonan'
rc8,iDiifrerc vcro voffearmonifc fiibijciuntur arri.
nP>orf il f nim oillanrium nbifi5 oiinmilium vocil oifrc
rcnriaoep:fbmdi.inquibue qu^iuncre elTlccrc melos
pofTint. EJuLjiEAEio» oicuntur.EKjULEAEifj'. a^t qui
bue iuncrieeftiri non poreil,
C" Quem numerum pzopo:tionnmpYtb3so:i(i flatU'
unt. ^apifulum. 6.

^nfonf afit votantur: quf (opulatemi]rto«
c fuauffcBfffinuntfonoe.iDifronf vfroq mi"
nimc.tftbof qdom cfl prolomci oe fonozuin
DtfFenfntia iudicium. Hlunc aurc m qutd a cgrc
rie mudrie in confotianriaium pofiricnc t>iikterit:otcen
dum vidctur:pYtbago:i(icnimconfon3ntia6 biapenre
ac oiarelTflron f^mplicce arbifranrur:atc^erbi6 vna oia
paron confonanriam iiingunr. ircetia otapenrcac oia
|:>afon:'z biis oiapafon:'3Ham rripline banc quadrupli.
JDiapafoNreroncoiarciTaron coHfonanriamcircndfrti'*
inanr:tdcircoqiftnon infupcrpart cubrivclmultiplKt
caditcompararionc^^fdin inulripliri fu}?partifff.
cnim bf c p:opo:rio vonim: vr ocro a J. iij. fi quie cnim
bo:um inmedioquaruo:ponarefFicitrermioeboe.vtti.
iiij.iii.^uo:umocroad.iiti,otap3foncfficiuntconfon5
ti3m,iil j.ad.iij.oiatcfraron octo vcro ad. iii. in mulripK
(i lupfrparrifnrf fonfliruirur.^uc aut fit mulrirUj: fug
parriene (oinparario:cj: aritbmerins [ib:ie (ognofccdiij
crt:T cr bie que fccundo bui^inHitutionie libro oigcflf
mue.TJbYtbagoziriflurconfonantiaein nuilriplicibue
flc fupei parricularibus ponunr:fi(ur in codcm lib:ci fcfii
do:quarro(p pzediemm cll . 21 fuperparricnnbue vero
a( multipliribus fuperparrienribiie fonfonanriam fepa
ranr. i^!uibU6 aurem modte oiapafon quidci ouplui oia
tflTaron verofcfquircrrio:a(oiapfnrf fffqualtero iungut
PYrbago:ici:cj: fccundobuiuetnilimrioniemufKc li'-
b:o t qtiartopctmdumfll.

C Quod rcpzfbcndar prolomms pYtbagozifoe t numc
rop:opo:rionum. ^Cflpitulum. 7.

ffp:cbcnditflutfm pvrbago:i(06 ptolomfi:«
r totamf» f a quam p:f diftie lib:ie ejrpofuim'^
cemonflrationfmpluribuemodie. in quoto
tum illud f riam quod biatf iTaron ac oiapcnrc
lirfqufllrero 1 fefquirfrtiofoniungunt.inrcltquie vcrofu
pcrparriculflribue (um eiufdcs flntgmcrie^nullaeomni
noflpplicmrfonfonantifle.

C 2Demonftrfltio fceudum ptolomeum oiapafon i oin/
teiratonconfonanrif. Ca. «.

iRobflt aiitet: bfateifaron t oiapafon quadam
p fieri fimpbonifl bocmodo . £luoniflm enim
OiapflfontonfonantiaMlfm vociecftifirfon''
iuncrionem: vt vn^arq? ioc ncrtitio e iTc vidca
tur.Ofd^BPTrt^SOJiritlucq? wfctiunt. i5iio f irra fi qua
ei (onfonantia fufritflddttfl:intcgra iuiolaracHi ffru.itur.
3tfl enim oiapafon (onfonflntif addirurran^fe vni nfr'
uo.iSitigitur oiflpflfon (onfonarria:quf foi^rincflrur
inrerbYparon mefotj 1 ncti bifsfugmfnon, Dtraq^ bfc
if a flbi confmtit:at(¥ (oniungitur fono: vt vufl vor qua
llvniu6ncrui:nonquart ouo:ummij:ffl peUaraudiruin
itJuaciicBigimrbuic oiapafonconfonanrifconfonanri^
flmiunj:frlmu6:fcruflrurinrcgra:qniflita iiigirur ranJg
vni vo(H!f a( ncruo. ioi iginjr bypflrc raf fon t mte oic
|eugmcnon oue i n anjrfi oiatfiTaron fufrint iunac:fl (5'
iunsiturnciequidcm Difscugmcnonea qucell nctcbt^

pcrb:Iwrt:brt»atc flUKm iiuron ea qu? cil i»<rc : vtraq?
fld vrracpconfoiiabir.7 mcfcfld ncrc DiejCugnKno^Tfa'
dcm mcfc ad b\-patc nufon. Itcm nerc bypci bolcon ad
nctc oicjcugincnon i ad b vparc mcfon. 'Jrcm fl .id gra '
iiio:cm parfcm vtriufiii oiatciTaion confonaiiticrtlarcn
tur:cnradmcrc6iidcnibvpaton oiatciTaron rctincnsto
fonatuiaj l?rpatcbYpaton:ad ncteautcm oic^cugincna
paramcfe. iConfonabitcpi bYpatebTpaton ad bfpatcn
m^ion . iid ncten t»ic>cu5tnenon . ad paranufen nctc
ctieseugmcnon:? ad bypatc mefon: i:?cd co modo vt gr»
uio: quc crt:ad fibi tiuidcm p:o>:imam DiatciTaron retinc
fltconfonantianrad vltcrio:em wooiatclTaron acoia^
Pflron:vtbvparebYpaton ad bypatcn mefon oiarertaro
fld netS oie^cusmenon oiarelTaron ac t>iapafon. 'jt^ nc
re brperboleon quce(lacutio:;ad (ibi p;ovimam netc oie
5cugmcnon oiatctTaron (onfonantiamrad bYpaten mefd
oiatclTaron ae oiapsfon.
CT^Quf ftt p:op:ietas isiapafon confonantig.
iCapituIum. 9.

j0£ vcro id circo eacnirc contcndit:q)ft oiapa
b fon pcnc vna vocula cfl : talifQ: confonantia
vt vnum quodauMiiodo effingat fonum : 1 fl
(Ut ocnario nnmcroqiti fucrit additus intraeum poHt^
intec;crinuiolatufqj fcruatur:cuin in Cf tcrie ad ita mini
mc aiciuat:it3 ctiam in I?.uconfonantia.lRam fi ouo trt
bus adifcia6:quinq5 continuo rcddis: 1 numeri fpecics
imurataeiLSi vero cordcm oenarioadda6:ouodcci5 tc'
(eris:T binarins iuncrus ocnarioconfcruatua efl.*3tem .
tcrnariustf tericiscodcm mo. 3fta igirur ftmpbonia oia "
pafon quacuq^aliam fufccpcritpfonantignrieruat ncci'
mutat: nccoc confona oifronarcdJitlflam ficut oiapcn^c
fimpbonia iuncta oiapafon confonantic in ti ipla. f.p:^/
po:tione oiapafon ac oiapcnte confonantiam femat : ita
ctiam oiarclTaron cum fit cononantia tuncta cum oiapa
fon:aliam confonantiam reddit:? fit fcciSdum ptolome
um alteri^^tonfonantif additio:eiufq3 eft oiapafon at oia
telTaron in tnultiplici fuperpartiente connirnta . Sftqs
cap:opo:tio oupla fuperbiparticns: vtoctoadtrcs.ba
bentenimternariumoctobisiouafc^ciud partcs idell
ouas vnitatc^,

C^uibufli modis ptolomeus confonantiaa ilatuat.
tfTapitnlum. Jo.
XoepYrbago:ico:um «^uidem opinionc pto
t lonrcus ita oiiudicat. Quib^ vcro modis ipfe
?fonantiarump:opo:riones numerofqj vcfti
get:binco:dicndumefl. vocesinquitmtcr fc
Tcl vnCfoncfunt:vel non vnifone. it^on vnifonarum
aurcm vocum alic quidem funt cquifone: alic emTnelis:
alicoiiTonc:9Ueecmelis. ^tvnifonequidemfunt: qug
vnum at<:g eundem figillatim pulfercdduntronuj.^g
fone vero:quf fi mul pulfe vnum ^tc ouobiis at<B fimpli
cemquodammodoelficiunt fonura: vtefl oiapafonea
qu? oupIicata:qi!?cftbis oiapafon.Confoneautes/unt
ciufcompofirum pcrmtrtumc^ fuauem tamen cfficiunt
fonum: vt oiapente ac oiatclTaron . ^Emmelis autem funt
qufcucBquidrmconfone nonfunt:polTuntaptarit3men
recte9dmelo8:vrfunrbf quf confonantias iungunt.
iDiiToncvero funt:quf non permifcent fono0:att^ infua
uiter fcriunt fcnfum . cmclis veroque non recipiutnr
incotifcnanttarumconiun£tionc:oeqKibu6 paulopofle
riusin diuifionctctraco:do:um5iccmu6. ^uoniaigi^
tur vniuotis quidcm comparationibus p:ojamclunt
cquiuoce:necciTarie eil vt equis numeris ea numcro:um
infqualitasadiungamnquf efl p:oi:imafquis. ^rtaOt
iutta fqnalita tem numcro:um ca quf cft oupla.T^amt
p:ima multipl icitaris fpccics cft: i maio: numcrus tu>
mino:em numerum ruperuenit:cu5 equo ipfi mino:i tri
fcendit: vt ouo vnum vnoitranfsrcdiumuriqui eidcvni

tatifqualis eft.iurc igitur tupkj: p:cpo:tio fqui.-bma
aptatur.i. oiapafon. jBie oiapafon vero bis oupliti. t.
qufldruplo.que autem p:opo:tioiiC6 ciuidnnt ouplicc^
p:opo:tionemp:imc3c ma)cime:bi69ptandcfuntconfo
nantijs quc oiuidunt Oispaion equi tonlbnantiain. vn'
de fit: vt oiapcntc qnidcm fcfqualtcrc:Oia!efraion vero
fcfquitertiecomparationicopulcntur. 'juiurcvcroconfo
nantic cum cqui ibnis' alias cflTicuint confonantias: vt
oiapenteac oiapafon tn n iplo: oiatcfTarL 11 ac oiapafon
incap:opo:tionc qucciiogto.idtifs. ^mmelisauttm
funt:quf oiapenteacoiatciTaron oiuidunt:vttcnu6Cfte
fftpp:opo:tiones:ocquibu6 paulo polkrius in oiuifi
onc tetrflCo:do:um ioquemur:nmpltccs earu5 fcilic^ par

tC8. ilr,!;^-»

C sgJuc funt cquifonc:quf confonc:£iuj cmmelie. :n
>Capitulum. n. r

jl2>itur equifonc quidem funt Diapafon at bis
i oiapafon:quoniam earum tempcramcntomt
jturaqj vnus atcp iimpler qiiodaminoefrici
tur foiius. jConfonanticautein funtp:imf a"*
dC5infupcrparticuIaribU0fcfqualtera x fcfquitertta.i.ot
apcntcacoiatcfraron.tS^t oiapafon ac ciapeitte oiapa'
fon ac oiatelTaron l.^e funt compofttc attu coniuntte eji: egi
fonis 1 confonannbue. {Emmclis aurem reliqui:Qui m
terba6ponipolTunr:vtintcroiatclTar5acoiapent(; oif -
ferentia tonu6.tunguiiturq[5 quodammodo, cquifoneg[
demcrfonfonantibus:vtoiapafonex oiatclTaront oia'
pcntf:confonanticautcm ej:bi6:quicmmeii8 foni vocan
tunvteadcm oiaptntcr otatclTarontoniscfrcrifqp oiceti ■
dis polleriue p:opo:tionibU6. i5cd quomodo quideni
bo:um omniump:opb:tiocoUigipoffit:cvcokxo fumJE
dumeiT:quemquartovoIumine in fine ocrcripftmus:
vbinumeruefupcrfemifptriatendebatur.SbicnijOC''
p:ebcnditurcquifonflnria oiapafon acbisoiapafon^-ico
fonanttc fimpliccs oiapf nteac oiatefraron:'? confonantie
(ompofitc oiapafon ac oiapcntc:-! oiapafon ac oiateiTara
•tAUi funtemmelis foni: vtin toni oiffcrentia coiififtcn'-
tee.

C ^uemadniodum ariftorenns intcrualla conilderet .
^TapituIuin. 12.

^id vcro oe bisariftovenus fentiat: b:cuiter
q apert'cndumcl!.3l'ccnimquontam minime
tractatum rationi conllituit. ^cd aurium iu '
dicio permittit:'Jdcirco voccs ipas nullis nu
mcrisnotat^vtcarumcolligatp^opo^tionee^iocdcaru)
in mcdio oifTcrcnriam fumit: vt fpeculationem no t ipfia
vocibus. ;£>ed in eo quod inter fc oificrunt: collocet: ni"
rois imp:ouide:qui oiffercntiam fc fcirc arbitrctur cnru^
Tocum^quarnm magnitudinem nullam:nienfuramve
conftituat.bieigitur 1 oiatelTaron pfonantiam ouo:um
tono:um ac fcmitoniiflTep:oponit:'z oiapcntetrium to
no^ura-affemironip-joiapafon fc; tono:um : quodfieri
nonpolTcrupcrio:ibus voluminibud Dcmonilratum
cil.

CH:>cfcriptiooctoco:di:qufloftendituroiapafon?ron9n
ci^mino:ecefc^tonis. ^CapiuIum. 15.

0cct autemptolomcus pcr cuiufdam ecto/
0 (o:di oiuifionem oiapafon tnrra (e% ronos ca^

derebocmodo. ;;!ntendanturenimoctoco:dc.

.i.a.b.c.d.c.f.g.b.fiatqjfefquiottaua.a.lv.et'^
quf efl.b.l.-j.b.I.ciosqueert.c.m. 1. c. m.eiusqueert.
d.n.^.d.n.eius quf cft.c.r.-j.e.r.cius^queell.f.o.T.f.
o.ciusquceft.g.p.tfrontigitur fextoni. iRurfus mter
f.o.^.g.p.b.oucaturmeduis ncruus ad.*iR.€rit igitur

a. k.ouplaabeoquodefl.b/iR.pulfeiguurfimuI.a.I:.

b. iR.oiapafon cquifonantiamconfonabunt. vero
aliquis. g.p.pcr(uti^:lcmpercrttp9ulo;acutio: qu^nt

for>4ntnm.foi (nim.a.h.7.c;.p.Mapflronpuir«rircro
r j tnr:tono:um ftt elTrt otapafon conronantia: S>i \c
robisnon confonantibus.a.tz.-i.b.tl.oiapflfoncon/
fonflrfnr:T.b.ifl.aaJtiozcfTrtquam.g.p. biapafonton
l«iKimi4 kj: moa (^cedaa.iBuiu vcro quiaconfooii

ribd^.B.rj.T.b.r.ibM qncrt!.g.p.gr8iiio: fmicnif : n5
porfft oubirflri:gn ffVifonioiapafonconfon3Htifim cjc
c<t!flnr.atq5 itfl ff nfn quoqr, potcft coHigi oispafon c5
(bnantiam tntcr ffxtonoscadcrc. iDic isUurariftoxcni
crro: finc Dubitationc conuincitur .

C/OitfcfTiiron conronanriam tcrracozdo (ontincn*.
jCapituium. 14.

Cln<octctraco:do:um oimflonc &fccndum f
n € t cnim DiatcfTaron confonantia quatuo: cf
ficitur ncniis.3dcirco etiam QiatelTaron nun
cupatur: vt igitor ouobus ncruis alrrinfc cus
pontis fld oiatclTaron fimpbomam confonantibus tetra
co:dum fiat: ouos ncccfrarieeft ftarui in mcdio neruos:
quifld fcinuicem:atc^fldc^emo8tresp:opo:tioncs ef
ficianr.

C^uomodo ariftojccnus vet tonum oiuidar: vd gcnc
nrciufcpDiuifionisDifpofUio. /Ca* 15:.

<0c tgirur oiatcfTaron arirto)«nus pcr gcncfa
b tali rarionc partitur. A^iuidir cnim ronum in
Dua s partcsratc^ id femitonium vocat. tDi"
bidttin tre6:cujU0tcrtiflmoicrin vocatcromatis mollia
iDiuidiCin.iiif.cuius quflrtamcump:op:ifl mcdietatc.
.i.cnmoctauatotius toniappcUflt oiefincromaris bc/
miolif. 'iRurfus folamquflrrameius votatoiefincnar
monios:jCumigirurbecitflfint:cumq5gencrum DiuiHo
fccundumcum fit Duplcp: vnum quidcm gcnuseil mol
lius.21liudTcroinciratu6.i5tmoliiusquidfmeflcnar
monium.incitatiusverooi9tonicum.3nterbccvcroc6'
ftftitcromattcum incitationcmolIiticcBParticipans. fi/
unt igitur fecuridum bunc o:dincm oiffcrenri^ pcrmirto
lumscnerum fejc.Una quidemcnarmonij.iij.aure; cro*-
matici.i. cromatici mollis. «r (romaticil5emiolij:t(b:o/
matici toniaci.IDue vcrorelique oiaronici moUis atcgi
citati.^uo:um omniumtalis fccundum ariflorenum
Dtuirtoelh^uoniflmeni^quarta parstoni oienscnar
moniosnuncup9rip:cdictaell:quoniamq5 ariflorenua
non vocesipfas inrer fe comparar:fed oilfcrentiam vo
(um intcru9llumq3 meritur:? fccundum eum ton^^ Duo
detim rnitamm: buiuseritigiturpars quarta oicHa
cnarmonios tres.Quoniam veroerouobus tonie acfc
tniconio oiateffaron confonantiaiungitur:erit tota oia
leiTaron a bfs ouodccim flc fci; vnitatibus conftituta.
;&ed quoniam fepe fit:vtfi vfcpad ocrauas velim^oc
ducerc partc6:non in intcgros numero6.x?f d in aliq»
pammlfl6incnrT9niu6:i(circoquidcm fflcienda eiUota
oiatcffaron confonantia.ljc.atvero.rniii.ronus.
mitonium ouodecim.pars quflrta:quc oiefis enarmoni
08 oiatttr:re):.octau>flutcmtrce.iuHaa vcrooctauacus

qutsrta.Te]cfciIi(ct(um tribus:vt faciatDiefin (romati»
cmiolij:cruntnoucm.lDi6igitur itaconflitutistriagc
nera enarmonicum:cromaticum:Diatonicum: bas arifto''
>:eno vidennir baberc p:op:tftace6: vt alia co:ura otcan
tur fpilTa:aiia miniine.i5pifTa funt:qito:um ouegrauio
rcep^opo^ttone^.^Onam eam:qucad9cutum cppcfita
cftmagnitudinc non vintur.t. ft^on fpiiTa vcto: quo:a
oue p:opo3ttone6 vnamrcliquam poterunt fuperare.cft
flurem cnarmonium 1 cromaiicum fpifTum : Diaronicum
verononfpifrum.^racpenarmonium fccundumarifio^
jrcnum oiuiditur.vC.vi.rlviii.rtintcrgraucm iTcruns;
9c ppe grauc fir quarta par6 roni:quf oidmr oicfie enar
monios.cumfirtonu6.):)riiii.vnitatibu8connitutu6.
3fem fetundum intcruallum a grani neruo ad tcrtiu; fit
cadem quartfl pare roni.H\cUqui vero qui reftant c)c fe w
gintaqui totiU6p:opo:tioni3 funt inrcr tcrrium a gra-
ui ncruoarc^ acurilfimum quartum ponuntur.xlviii.-x
Ducp:opo«ionc69dgr9uempofitf.i.vi.ac. vi. vnam
rcIiquamfldfl(unimlo(atflm.i.t:lviii.nonvincunt.jCro
mati6vcromolIi6b9n(facit Diuiflones.viti.viii.rliiif
■vtoctoatqs ocrofintterrie parrcstono^uni: eflenimtO'
nu6(vf otctumeft^.jcjriiii.vnitatu^^toiciturtompars
tcrria oiefiscromaria mollis.^tcjcromaiis bemiolii oia
tflTaronitapartitur.viiii.viiii.jchi.iBilautfsoiefiecro
mati6bemiolifpar6octauatonicu5.@U3rta.i.e]c.xtiiiFi
«Tccura tribus, Jtem(romati6 toniaci.Xalis fccundum
flrirtoFcnum partirio cft.yii.icii.itrxTvi. ;£xilicctvr icuo
bu6 inrcrnalli6fingul9 femitonia connirijat:^ quod reli
quum cfl in vIrimo.21tq5 in bifiomnibua oue jvopor
tionc6:quf grauio:i neruo funrp:ovime:rcIiqu9m: quf
iidacurumpofiraefhmagnitudinfmintmc fupcranr.
;&untcnim(vi oirtumen) fpilTo:umgcnerum.:Spilia
quippcsener9funtcn9rmoniumarq5crom.'ricuni.2:)ia
tonica vcro oiiufioipfa quoci^eliouplfx.tf rmolIioQ'
dem oiatonici oiufftoeflbocmodo.rii.lcviii.jrric.vtDuo
dccim femironium fit:oeccm i octo fcmironium t qnarta
p9r8toni.r)c]t:ii.veroquodrcIiquumert.Quo:umoccc5
locto'? DuodccimcfTiciunrrriginta:ntcrtuwantur ab
ca parrc que reliqua cfl.3rem oiatonici iiicirati t9li6 p9r
tirio ert. vr Rmironium ac ouos babcar inrcgro6 ronos.
.i.rii.icriiii.miii.crquibua.^iriiii.i.rii.i.rTrvi. uon fu
pcrantur 9 rcliqua pflrtcque ad acutum elh £?ed potiu6
vinnint.^ ft igimr fetundum ariftojicnum tetraco:do/
rump:ediaapflrtino:qu{ fubicaa ocicripttonrmontlrii
bitur*;

ii t

SDiuMoobtontd tndtftf .

JDtattloofstfotiid
molUe.

£)iutlfocb2omtti«
£oniad

ID:uilio(b:omatis

bciniolM ;

I0iuillod7:oniflti«

iDtuilioenarmcnii

Cr^aoniodoar(bita0tetr!Ko:da oiuidateozumc^ oafcrt
ptio, /Capitulnm. 16,

•aicbttafl vero tuncta in ronc conftituene no
a mort.nfumi)uriai pzimieconronantiiBobrH'
uare ncslocir: vcrum ?t mavimc in tctracofdo
rum oiuirtonc roncm fecutus eft.icxd ita: vt
ne(^e3()uam iiuercbatcftKacitcrcipcdirct: nccpfcfui
p:oporita 8b cordconfcntirct.JUc cnim tiia clTc gencra
arbitraf :cnfcrmonium.t>iatonicum.(romatuuni/>i a'
bugeofdegrauiiTimoeilatuitattB icutiiTimos fonoe.
in oib' gdc scncribu6 grauiffimos fono0 tadcns.u.vvi
«utuTimos voMO .dfij.mtcr hoe m v ib^genc; ib^iKr
Dum grauiiYimo p:onmn toUocat eti.f.a nt.t .dccavliiii.
vradcuni.ti.fvi.iefqoiuifcnmamfepnmam obtincanc
p;opo:tioncm. -^otUxc vcro infraacuto nemus. xerti
umrcroagrauiiTimocu(olloc9t,inenarmoniogencrc:Q

tFnanroniiim «Disroninnn

.1 A^diau

3 .i.dotw.

.i.daajcliiii.

3 .u.jcvi.

fit.i.dc(C)C(.ad ciufm.'.dccccrliii!. fcfquirriccfmaquinta
p:opo:tionc£un5antur.*3dcir!(t.i.dcc rc.actacutiiTimii.
i.RX> .d)ii).3n fciquiquarta p:opo:tionc fit conitimt^
3rem in oiatoiiuogcncrc tmium quidea grouiiTimo ncr
uo:f(i5m vcroab acutiiTimocum ponit:qui fit,i.dt(i. ad
quos.i.ddCcvUiiMcfquircpnma p:opo:rionc coniuncti
funt.^pfiaurcm.i.dtd.ad ^(utilTimij.i.dpi.ftfqutorta/
ua.in (tomatKO rcro gcncre tcrtium a grauifiimo:-: fccii
dumat>a(uniTtmocnim ponit:qui ad.f.dcci.quicrttcr'
tiusagrauiiTimotn oiatonicoscncrcrcaobrincat ppo:
tioncm:quaobttn£r.((lvi.ad.((Xliii.bi(aut(uic.i.d(C''
rcii.acft fe(undu6 abacunflimo appofitus^babcttEti'''
po:noncm. iSiccundus ab acutiflimo m oiatonico iycncre
.i.i.d((i.ad fc(undum ab a(unnimo in d?:omatiii3 gcne
rc tdea.i.d(():cti.cam quii babcnt.ccf:Uii.ad.((lvi,co:n(e
lcttaco:do:um fccudum arcbite fcntcntiam oiuifo:u3 foi*
fi.am monilrat fubiEcta oeicnprio.

<r ?om(iM(um.
3.«i.d]cii. I I *— T j.rfrii.

3 J.dcri.

"1 .t.d«C():U'iii.

"2 .ii.j:vi.

L

3 .i.dcrmi.

.t.cI(carUKi.

2 .'i.^vi.

CTQuemadmodum ptolomeuscariftoj^cnit awbite t<
ttaco:do:umoiuilioneercp:ebendar* ^a. 17.

6 d vtrafcis len-atoido^um oiuiffones prolo
9 mcu0irarcp:ebcndif.tlrd)itamQUidemp:i
tHo:quontam ft cundU0 ab (KUtifTinio nero'

in cromaticogenere tdcft.i.dccrcii.iracf^ colloG-rug : vt
necad3(utifrimum.i.dpi.ne(adp:ovimumgrauio:i. f.
d(((o:Uiii.TUam fupci-particularcm cffici3tp:opo:tionS
tum artbitastantam fupcrparricularibus (ompararioni
bns babuit oignitatcin: vt cas ctiam inconfonanriarus
raionc fufcepcrit.JDc bint 5» pzimam a grauifTimo p»

ttDer V

porttonmi (n fromWKO c[uid(m maiozmi fmftjs t)fp:c
lxndar:qaam faitarcbme.bu niq^ in cromaticogenc'
rc.i.d ccccrliiii.od.if.j^vi.oidare fccit fcfquiuiccfimasfc
priniam p:opo:rionc'M: cnm fccildum confucras croma
tici gcncrie modularioncm fcfquiuictfima p:ima fiTc oc
bucrir.'J:Tm cnarrnonium gcnuscap:opo:no: quapzi
imm a srauiiVimo fccundum ardntc rctmct oiuiflonem
Ulie crt: vt lonsc mino: cifc ocbcat : quam in Cftcris gc'
ncribue inucnimr.buautcm ^quain cam c^tci is gcncri'
bue ftaruir:Dum p:imas a cstaui p:opo:ticncein trib'
Scncribue fcfquiuiccflmae fcpitniae ponit. Sirifloiccnu;
-vcro tulpat:quontam in ti omatc moUi ^ cromatc bemio
liotalcspofuerirp:imas fccundafqjagraui neruop:o/'
pouioneerquf a fca minimo i quStum fenfus non pof'
ritintCfnofccrc:oiftarcnt.tEil quippe p:opo:fio p:ima i
cromarie mollie oiuiRoncfccundumarinorcimm octo.
atincromatc bcmiolionoucm.Scdoctoadnoucm vni
tati0oiffercnriaoiftant.€rt autcm tonue torus.xjriiii.
ynitatibue feamdum po(itionem:ciuo:u$ vnitae.riciiij.
cft.-^rimf isirurflgraui intcrfc ,ppo:rionc0 tromatis
moUie:T cromatiebemioUj.rriiij.parte toni oi(lant:q6
ti:optei- b:euitatem oiffcrmtic nuUo modo fcnrit audii^
3dem etiam arinoienum rcp:el?endit: tur oiatonici gc
ncrieouaetanmm fcceriroiuiflonfs.vtimollcincifa'
tumcp oiuiderct:cum polfmt altc quocp oiatonici senc'
riefpecict^ inueniri.

CQuemadmodum pto!omcuetctr9Co:do:um oiuito
ncmficriOKatopo:tcre. Ca. ^s.

Tolomeuetctrato^daoiuerfa rationc partif
p iUud in p:incipio ftawcne: vt inrcr ouoe al'
trinfcfue fonos talce vomlc aptcntur : quc fc
fupcrparticularibue p:opo:tionibue ejcccdat
In? qaalibuertamenrquonia fuperpartic ularis p^opo:'
tio non porcrt incqua oiaidi. 3Dc binc vr omms tompa /
ratiorquf fit ad cum nemum qui efl grauilTim ue in tri
busrmino: ftt c?rcris:QUf acutts vofitinsconiungunf."
;&ed in bis ea qne fpilTa nominanuis taUa effc ocbct :vc
ouep:opo:tioncg:quegr9uit9rifunfp:orime:mino:C6
lint C9 p:opo;rionc:qu{ reUnquituradacutum.in "6 fpif
de \cro vt in^oiatonicis gencribus nufquzm xm.

ClHicoIflUA ^udccue Hcnftue: Oonaro iCiualcflo Ti
iD'i(\e(to:io.^&.

^^fognofccne ftipfrio:ib'' oic-
buo ©onarc )iT>ufarum cul-
to^ric^antilTimf quofdam oi
ai T&ixm oe jCxomcrria li-'
f b:oecoiifuUotfuclidiegr{fo
cremplaii: jCui^iUe complU'
fcula Xbco:cinara ad vei bum
lariiia »icit:animaducrti cmi'
nentiirimum gcometram cu'
cUdcm a noilrrs 7 mendofe ad
modum legi^-jCvt meaquid?
fcrtopinio)non fans rcftcerponi. xxd p:iu6 ilUid ferc
tr9dufro:i0 (Ulp9 9f(idiiTc vidctur.^s cntm^quicuq^ ti"
dem fucrit:c b^rbara Ungua grf ta volumin^i tranffcrene
rcmi(9tin9.rcddidir.'B9m vocabula quedamita:vtia ^
(cnt:b9rb9r9oimirtit:fumtamcn latini fu^i^abcant': a
dcmoprim99cp:ob9iilTim9. ^uam cnimqu9drilatcri
figuram.iRbombum t grfci 1 n.rtri appcUant : ille ver
bo quodaiCvtita oicam)e)coti(o belmuaim vocat:? bu
ic 9ffmc:quam grfri iRbombotdcn oicunt : ioimil^bcl
mu9im.£?unt'7 ali? qucdam quadrilaterf figur? : quas
grf ri trape3ia:noiTri jODcnfulae nominant. \Bne noftcr
hi( intcrp:ee latini atc^ gvf ri rocabulipcrf quc ignams
I^clmu9rifae oiccrc nen veremr. £xd flnt fanc t^c leuia
« no multa animaducrfione oigna.Jllud ccrtc (ni fallo:)
tictcndinullacrcuffltioncporeil: qrerum ocfiniriones:
quibue vt p:indpij6 torius fcienrif vrimur: 1 fonfun'
dcndo falfae fytif.i c^uasCucUdceminimcfomni^uit
in earum lofum:quciUiuserant: remerario quodam au
fu fupponir.tRam fiari^ in inirio operie lincam buiufcc
modiDcfinitiontstcnninoflaudit.lincaeil longitudo
flne Iaritudinc:cuiu6 quidcm crrremiratee funt ouo pun
cta.ll^fc verofinitioci lincf accomodari minime potcil:
quamperipbcriam grfri nominant:ctiillafrtremis nul
lis finiatur.$i($i quidam e>:rccentio:ibu6 falfa tranilati
onc cccepri banc tan$ €^uclidie vcram oefinitionc 5 oe
fcndercconanmnoiccntco peripbcriam quidemoctrc/
mie % finibus acm carcre:9ptitudtne vcrci( vt co:U5vtar
■vof abulo) fines -: rcrm tnos agnoffcrc. €>uod pndif ulii
cft:Siquidem codcm ercmplo lineam ip fe ocfintam loii
gitudinemfitra lannidinem:quequ!dfmerrrcmis care
at.q'fl rcflamabie^^lincamobiicicercftamfiniraj: H\C
fpondebo eam finibne babilirare porc iitiaq3 vocare : <i>
uisactu non vacet.€)u9mob:e5aur vrraq^bifinitto rc
(ipicnda en:quonibilpotcllcfTf abfurdiue:aut vtraq^
rci jf ienda. 0uod rcfrilTim a ratioiie fiei i conna bit: fi q«
animadueftat:$i incuriofe cgi cgius iile intcrp:ee ouas
rfmmlongc aliarum ocftnitioncein vnamquafifo:ma
(oniun);crit:9tfi5 ad vnamtantumrcm ocfinifndamaf
fumpffrir.lHam sFuflidee cum hncaj ocfimuifrct longi
tudinenuitra larimdincm:elTcnf q^fc linete qufdamft
nitf 1 tf tminatf : c"Dor oecLarauit^qui clTcnt iinec finca
-: termini inqiiiena . Xincg vcro cvncma puncta funr.
at bic noiler tam lepidf traducrionie aucro: cr ouarum
ocfir.irionumpermivrioneconfnnonccB vnumquafi co:
pueDcfimtioni6coUcgir:acfoli lincf congrucrcaptiiric^
oflTc putauit. 2ld plenam jgirur imcf ocfinitionf 3 ni
il aliud co::ogandum elT p:f ter id:quod oictum cfi linc
am longitudinem cffc citra latitudinem. i3ic cnim circii
(urrentcs lineas recrae:? llcruofte complettirurritem fi
nitaepaiitcrfltcBtnfinitaa . £):quibue quidcminfini
tas linf9e p:io: nobisiam infirmata ocfimtio manifc
ftiffimf non rcfipicbat. 2Igf oftf ndamus nu nc: ftia, €u
(lidio Offinirionfsabbcw noiln)intfTp:fre(vtefttoniHi
busfqueoiligfnniTumie^p^etermitriquandoq^^iaU
90quafdamp:oUlisflidbibfri.inquoqutdfin nonmul
tum mautrcndo l9bo:abimue. iv^am fianm poil oictas

»i 3

of fcriptioiKs limm tcctm bia vcrbie bcfinit . 1 inti
rcffiitll ab.vnopuiuroad alinin bKniiTnnflCttcnfloicj:
trcinitatets fnae vrrucp conim rccipicns. illon ita ^udi
dc9::ScJochnitioncin vniufrfanU^^cnilTiinctolliisit in
bunc modum.lfvcctalinca cn:qi)f cv.fquo fua puncta y
tcriaca.Tflon fccusm ocftnitioncplanf fupcrticici abcr
rat.Tflamann ^udidcs ficociiniar.Tplana fupcrficics
eft:qUf c)C cquo (uaelineae intcriacct.^llcqoadam lon
(valiam toincntuscrt ocfinttioncm l?oc modo . iPlana
iupcrfif ice c ab vna linca ad aliam cjctcntlo in c rtrcmita'
lesruaer cipicne.icicdbfcatcj^alia buiuffcmodi plu/
ra partim inff itCT indoctctranilatd;partfm ctiam itnu'
rata-r inncrfa: £>i vtriiqs oiligcntcr lcgcrc aliquando ti
bicontigcrit:pcrtcipfcfaciUtmct)cp:cbcndC0.T^ijf quf
in crpofltozcitampanoin p:itnumclcnifnto:um lib:u5
notaui:eTplifarcnbiag9ircdio:.3n quaquidcmrcaboi'
bue virie c»octie:quibu6 bf c nofira lcgcrc ociuj crit:pc
titum5pctratuni(i5 eiTcvcliin:ncco3Viriau(to:itaemfl
fiie moucat:^^ ratio ipfa i vcritae. 'Xcgntur itaq3( vt ad
rc m ipfam iam vcniam)apud tEuclidtjtn p:inio clcmS
tonim lib:o ouo Xbco:cmata:quo:um altcrum refipio
(at:at(Brccurrit ad altcrum . ambovcrobcdiiftionc ad
incomoduma jCampanoocmonftratafunt. £>cd vtgd
o:di9r:planiu6 intclligas : acfipc p:imum Xbcojcmata
ipfa cum co? Deductionibue ita: vt illa legit: atCD aftru
it ji:ampanu8:©cidcquid fo:taiTc peccauerit illc: quid
ce noe fcmiamus : b:cuiteraudics . i:i)eo:eiTia(aigitur
bfcfunt. '
C^mnietriansutilongi^lfitus maio:ianguk) oppo
lUumcft.

^tx^ltriagulo.a.b.t.angulus.a.fttmato:^
9 gulo.t.©ifo:q>latue.f.b.mai'critlatcrc.a.
t b.£»icnimfitfqualc:critpa-.y.angulue.3.
{qualis 9ngulo.c.:0uod cfi tontra bYpotbcnm. £>i au/
tcm.9.b.fitinai^:rcfcfcturadfqualitarc5.c.b.per.5.i5it
cp.d.b.fqualc.f.b.critergopcr. f .angulus.d.cb.fq/
lie angul<j. b. d.c. Scd.b.d.c.cfi maiot angulo.b.a.CB
l6.<6rgo.b.c.d.cfi maio:.b.9 c. Quarc multo fozti^ma
ioz.a.c.b.paretoto.^uodefi impoiribiU.

CBmnts Xrtansuli;maio:iangulo longius latus op

pontumed.

^Jt vt intriangulo.a.b.c.latus.b.c.nt maius
• latere.fl.b.3:>ifo:g>angutue.a.critmaio;an^
gulo.c.t eft conucria p:f (edcnrie. Si cntm llt
(qualie;tunc pcr.6.latU9.a.b. cfilf qualc late^

ri.b.f. ^uod cft contra bYpotbcftm . £)i aiitc m.c.nt ma^

io::tunc pcrp^ffcdcntcmlatue.a.b.efimaiuelaterc. b.

c. ^uod cfi (ontra bYpotbcnm.^uareaHtuitur propo /

Otum.

<rSifcampanus.S5 vtin quonobfe minusrccrclC
nfrevtdcaf:faciU^pciinae:pau(aqufdact: oialectica ta"
(Ultatc parri p:f n otarc :partim itertnifcerc opo:tct.£)i)C
tgtfunn ol qufilione(vtplniopono in poiiremie Sina
l^-ricieplacct;ouo:qiio:umalrerfi Oatucil: qiufitu^al
tcrum: vr fi pofttu in quf fiionc.fucrit: iftn cf lu5 lotundu
fit:cflumoatum.efi:fcdanrotu;idum fitqufritur. iflt
(ampanuepjopofita 'Xbfo:cmafa in Datu atq3qiiffitu5
ncquaasrccrc foluiiTc vidctur.lt^a i n p:io:c X I.Y0:cma
tc maio:em angulum nbt oari pofiulat:'; fubindc quf rit:
an illi maius l9tue'fitcrcgionc conftttutum: Contra
in poi)crio:c mai^quidc^ latue oari vulr:an vcro fit ma
io:tanguloobucrlum;qufrir.€5uodfontrafaficndum2
ll^ani quiuie iii Dialcctica mcaquideni fcntcntia vel me
diocritercruditusiacilc vidcrcporcrtincolbcozemarc:
quoomnie Iriansuli longius latuemaio:! angulocd
tra rcfpondcrc p:opcnirur:lonsiU8 qiudcm latuetrian''
guli oari fubijci cu opo:tcrc:an vcro niaio:i anguio iltc
rcgione pofitum:quf ri ac p:f difari: fContracii in (oucrfo
Xl5Co:cmflfc inaiojem qutdcm angulum conccdi: longi'
ue vcro latue inqutri. sDb bof vcro pefcatum fonfccu-
tumciUaliudlongcmaiuo.lRullumcniiiierp^opoft'
tte tbco:cinari0aiTcrro:ia Demonilraridcfampan^afirn
icit:fcd vtriiq? ad incomoduiii oufcntcoficndit. £?uod
itt gcomctria:vbifieripotcfi:vcl marimc virandum cfi:
iquafolcntocmonfirationceaftcrncjc p:io:ibu6 notio"
ribufq? naturf :n5 nobie modo : ^Jualcg funt:quc aifcr
lo:if :rcctf (gappcUantur. IIDinue vcrocrratio:igo atcp
initiumbuiuftnodtruit, iHamf9mpkinu6p:io:itbio:c
in9ri p:cdic9rioncmp:ftcr natur^ni Dcdir.<0D9io:ccm
angulum trtanguU fubi)cit:'7 p:f dicat longiue latud : fl
gdem in oi quf ftione fubtcftue terminue cft : quod oaf
p:fdifatu6:quod quf ritur . ft autcm p:iue pcr naru
ram Xriangulum latcra I?erc:q5 angulos. TRa ex larcru
«oitocangult^ficifii:pfrcari(}3 infclligijiur. Sui iguur
fubijf it augulii trianguli:t lai' p:f difat:i9 illud quod al
teriacfidit:ciuep:fdifafionifubiicit:cui9ffidit: at ob id
|):f dicationcni p:f poftcram:? naturf confrariam facit:
ariftotelce aut modo p:f difarioncm tc nfct appclia
dam:autp:fdicafioncinquidcmnon fimplicircr: fjpcr
pcddcne. vbi igif pdtcatio p:c tcr naturl l.wir:9Ut oifti
ciIc:9UtccrtcipolTibtlcealTcrto:ia oemoftrafionc acfom
modare.^n buiuffcmodi n jq^ ijmoftratoc ncccftce c ma
lo:i6CFtrcmitatie:q ipfluftonep:fdicat:'r inino:i cvtre
inirari:q i eadc fubnfif caj cc nicdul . Jlt ficri nullomo
pot: vt fi q?5 9fcidit:ri^fUi acc idit:t)ppia ca cc ftgruarur.
mic f09Cf^c capgn^i p:io:c tbco:cm9fc:qb i D9fii atqj qfi
tii ipite fcfuilTcr:Danoftr9t6c vri ad incomodu oucctc.f
q: illud putabat p^incipalc^poftcri^^^quod ad ipfii comc
flrct:noaligfoUcffoc:e|'3 9dinfomodfiDUfcntC9ftrinit.
32ltCB iffl nuUa Dcmoftrationc recta alTcrto^iaqjad ca:quc
t)irim%bco:cm9t9colligcd9Cap9n"9dbibuit:qc>tnopoi
tutt:(n ipa Of ad i(5modi) oucCte potio:. Bic (ut mi bo

10 6

mte:c( ^ra ad.ppoffra tbeoumm 9ttlntt:ln dparto rep
b^d^dactTuim^.-rj i)fc:q flncn oifpUMmm^.-iIIoe noejc
«fc Aibtilirqj irellccruros ccrfoiao.g porlrfoe 2lnalYt<
coe aiiftoffrno oiligcfiiTime lf5erif.*fl\Cliquii igif i : n
iUaipr4fbf02cata(qucadm55pollicitifum*)t>moilrnn'
traducfa fn p:i':vf traducWa cr^r.iuoluem^isif t fepa
bim^tbco^ema p:icipale i c>ariJ:atci5 tifitii:vf 05:1 ad ipj
a[lru?dnairerro:ia ocmc>jlrafocvfemur:-tfi»Glleri^votbco
retn J :qi ad p:kii,ialc rccumr:cu pdicationc p:fr na5 foj
tiaf oemonratione ad icoiuodu pduccre t>:euitcr coliige
mue.E^emoitrationec igituripfas aggrcdimuR itWe.
Cr<Ol8 trijguli mai^lat^fub maio^canguloj^tcnditur.
^tenitriagulu.a.b.c.bns lflt^:qi) c.a.c.mai^fo
6 lateqdc.a.b.aioaguUTquoqj.a.b.c. fnbquo la
tu0.a.(.ptcdif:maio:cee-angulo.b.c.a.cui p rri
det lat^.a.b.na q: mai'^ lat^.a.c.qj.a.b.pflituaf ipfl .a
b.fcjleipfa. a.d.-r.ptrabaf iprD.b.d.lat'i qmtriaguU:
q62.b.d.c.e]ctio:angul^ci0:gc.a.d.b.maio: vticpertt
itierio:e? er aduerfopilitufodgulo.d.c.b.fqliovoc 3gu
Iur.a.d,b.ipi.a.b.d.agulo.naUt^45>a.b.laci.a.d.fqua
fraf.clDaio: ifa<^?.^gul'^a.b.d.ipfo.a.c.b.agulo. mul
toigif maio:fntangul^.a.b.c.anguIo.a.c.b. idmnia
igitur triaguli mai^lai^fub maio;e angulopzotcnditur.
;@aod opo:tcbat oemonHmre.

Cj0i0triaguli fub maio:eangulo mai^at^ptSdif.

3itriagula.a.b.t.maio:?bn6.a.bXaguluco: fl
0 f.b.(.a.21iolat'q5.a.c.ipfo.a.b.laiemai^ec.na

fimai^nfit:autfqlceritipfit.a.c.ipfl.a.b.autmi
B^fqle fane n nplu.a.(.ipri.a.b.cqliafmfo:ft?t angu
lus.a.b.t.agulo.a.c.b.ata nocrat.T^oigif cqlccipj.a.
c.lat^ipn.a.b.lari.^^ece^^o min^eipfu.a.c.ipo.a.b. mi
no: eni fo:et angul^.a.b.c. aguIo.a.c.b.atQ n crat.no igf
mir»^2ipf5.a.(.lat^ipo,a.b.lafe.6m5ilrataat S ncc^ fq
leiiliec.mai^itacucritips.a.c.lat^ipo.a.b.late.Bisigif
frtaguli fub maio:e Igulo mat^lat^ptSdif . qaodopozcc
bitoflnonHrarc,

CI9c fntigif buiufcemodi tbeo:emat8 oemditratioea
cSfaci ics^ta^ilfimcrqmcxicqdra. ^Sganqs teoimic
tl: volof^udiaB 1 aliud qdda bui^bcfls^ratfi leuiuf(uln
foutlTetturpc tii^TViropbilofopboiincgiigcdij.l^feni
icodecUtnto3:p:io.pblemaintufmodi.ad oata^ recta.li
ncitoatac^i ea pnaa:Datoangulorc(rilineocquo!angu
I& reoilineti pHitacTCbocycio A( lcsit: » i^ducu (ampaii^

CJData rectalica aiptcrminuei^cuiuilibct^agunloprt^
pofltocquum angulom oengnare.
! . i ^toatalinea.f.c.i ftntlinef Jj.a.ptinctcg angu
■> 1I ■ iaoatitcui fijbtcdaban^.c.x^up pikta.f.linff.c
f.inberS ta(crc ^qlc agulu agulo Dat 0. ad li nca.c»

f. adtfigo. r.d.fqlciincf .a.T cv.r.e.ftimo i.g.fqic.b.'; cj;

g. e.foo.g.b.fqle.cjfuppucra.t.T.g.DKribobuoscircu
los.d.h.i.h.b.PjquatitatcDUa? Itnea^.f.d.t.g.b.ti

Iisbafi.c.ergo poctaua5angulus.l:.f.g.cquali0 eriran
gulo ptcnto «b.a.'J 'b.quod cft p:oponium.

C I©«t>rcnpfio pmozc afpcctu fa^ fcite farifcB folliciff fsi
tta vf .f5 tui iofe attefei^ leaites^iiienif 0 f i a feria Doctri
na pbo.pbari n occre. na ca arte na? emull ccopo:ff at ipa
i0 m fuguacaneiB ti abndet :n arrificioft fcribcrc iudica
dus e:^ plura i 6f(ri b^do pgcrir q5 gb^ ad ;5moflrafoc5
^^i nccin fit.qi) capan^ncfcioquo ti i3uitat:fi aptiffimc
i(urrit.adeni nbi vult illa buo? circulo:? t5ngnatio :* qd
illatotcadc q5titatelinfa:^tlfo(li(ita ouctionfloncpo
.tcratiacmaxie 6bebat:oato angulo^g.a.^.b.linris piie
{tVs ban.t.adieaa:aHrietateilla:'t qn mo:ontate bfcripti
oni8ptfrmilTa:ftatialTup^trib%nei0:(5 eent ocngnag
jquaiei3:triangulH prtinjere:'^^ fieri liccrc cx fupio:c .p
bUmareabndepllabat.auarrg iftiufmodi.pblema xh
liScnti'p:(lTiuf(^ oiidcrcvolct;i0(Ttopio:)fi( ^mfabit.
c , .^ 9.

I ,

\ '

\
\

C D

. C^^batamrcaamlincam^oanimc^incapuna»; oa
. to anguIorectiUncocqu&angulurectiUncnpftituere.

3toata rc(talinca.a.b.batace in capucra.a. 2D9
• IU0 vcroangul%ctiiinc^.d.(.e.o5 igitur ad oari
rctti linc a.a.b.« ad oatit f ea pnetu.a. oar 0 agulo
rcttilico.d.t.c.f ql? agulti rectilineu pilinief fumif i lieis
t.d.i.c.c.puttaCfl tab5),d.'?.c. W9b9f.d.c.t ejctb^fcg

Gcometrlc

Uneia.a.f.T.a.g.f .f.g.quf funtt>an'fl fwtis lineienib*
c.d.";,£.c.T.d.c.fquale'3.Xriangiilumconrtiniatur.9.f.
g.irarvtfqualie riripra.(.d.linMipri.9.f'.«pra vcro. c.
c.tpri.a.i]!.portrfnioipfa.d.c.ipft,f.ct, i^uoniam igitur
oiic \in(i: rccrc.d.c.T.cc.ouabus rectle lincie.f . a. -x.a.
g-cQualcd rniir altcra alrcri:t balta,d.c.bail.f g.^qua b«
bcri)r:anti;ulu0quoq?.d.c.c.ansule.r.a.g.fqualiscrif.
2ld oaram irait> rccram lineam.a.b.oarufn 05 in ca pun
crum.a.t^aroanc^ulorcctilmeo.d.c.c.^qualiBangulusre
ttiUneup.f.a.g.conrtinituseil.Quod opo:tcbat facerc.
:flc]didiiTemquoq3aU3 pluralongcctiam grfluio:acrr9
ta;nifi mcepiilolain fmbcremcminilTcm. Scdcutlidem
tpfumaliquando fo:ta(re vnapcrlegemu8:annotabim'
q5 omnia:in quibus noHri a recta racionc oifcedere vidc
|junrur.'3nrcrim !)?( pauca ribi mi 2>onare fcripfimua:
vteiTcntapudtcdus bcniuolcnttgatc^ obfauanti{p<
$nud:qua tcp:ofequeb4r(i nunc quoc^p:ofcquo:)cum
noWr^ ifbatauincpbilofopbojum flcadcmi^ Hxccrc:. bic
«gcrc0.UflUc;c, iPatsiuinii pbiloropbo:um paUftrsi.

C1bl4iM flipcrfi(ic« : ofotur qu^Ciiualttcriiimtto lii
MUncitfcoi.tinctur.

J©upcmcic0Pl«««

C tDt scncribu» ansulorum^

Xanud angufue efl ouarumltne^mm in.pfai
p no inuuem fc fe ransmtium:t non in oirccte
tocntium ad alterutrfim (omluflo.

C3n(tpitItb(rp2fmu8iSeonKtri(( 6ucUdtdaBof
tioinUtinumtrannatc

•aia vcro mi patrici >0comctrfl /
rumci:cr(itati(rimc €u(lidieDe
(UTi0 gcomctri(( figutid obfture
p:oUta te adIx>:tantcci:poncnd4
n tluddtotcaditucicpoliendafufcc'
pi. 3mp:imi0quid rtt menfurii
oefinimdumopfno:.

CJDcmcnftira.
cnfHni vtro cft quicquid ponderercapaatate
lonsimdinc:aItimdinc:Iatitudinc:ato(5 finif
V:in(ipium autcm menfur^ punaum voca
tur.-fbunaum elhcuiua pars nulla cfl.linca

veroftuelacitudineion8itudoell:linc(wofinc0pnaf

funr.

C2DC scncribus Iincarum«

Scta Iineacfl:qu((qualtter{nfni« ptotciidi
r turpunai0.£>upcrfi(ic6veroefl:quodlongi
radtne:latitudinccB ccnfctur.@upcrfi(iei tit»
Ccmfine6linc(fUnt.

iRettalinca

8

s

C ^uando autcm qu( angBlum (ontin^clinc^rctte fHft
tunc rcaiUneuaansutUBnominacur.

1

g

Xtocr prlrrma

crCdm vfro rm Una (bpfrrfcfam Unrtm nana riitS

tt fqu*3fibi iiuhccni fiant anjulos : rcctua crt Ttcrc»
f qualmm an5Ulo:um.t5t nnfa fupcr rcaaj Unwtnrtaa
pnrniiJicuUrie otdtur idbtufuaangulud tniiior tt"
ctoeil.

Cacutus iRitm .ansBlua rcao minoi dl.

obtufud

CJDc modis figurarum.

^nraeihquod fubaliAUd vdali(HUbt)0t(^
f minidconhnetur.

CXc minns vcro quod cuiufc^ f fini«.
€"<ircDtafl Tcrc crt ftgura qucdam plana'i£ircudufta:
^t fub vm Unca:contcnta: qu? circufcrcntia vocaturad
qaam a puncto:quod imra ftguram pofltiim cil^omnfa
qu( incidunt. ^ccr^ Unc^ ftbi inutcf m funt(4Ual(9.bo{
TffopuncmmcnitriiarcuUitomimitur. .

CSDiametrus aatem ctrfuU eft rectaquedam Unca
(entrumDU(ta:t ab vtraq^partein circnferemia ctrcuH
taminatatqug in ouod cquas partes circulum oiuid^.

CBcmictrcuhie vero e(l pUina ft^ura * qu( fnb biatne >
tro: €teaquamoiam(tru0app:ctxndit: circunfcrentifl
iMCifKtiir*

IDiametrus

Cli^((tiUnecilgurcfunt:qu(IUbr(ctt0Hnei0(ONtiti2
tur. ^

C Xtritaiera quidem ftsuf a d^qfit ftb trit>as rectis fi
»(V9(ontiiK[ur>

C£tuadn'lafrraautfm:(ni( lubquamo!.
(r/imtimavcromfnrurjtt6cniinca.qu(flUtp:o aliqua
obrc marionum:aut aliqiio rci inino:um obrfruattir.
CfiDolri Ifltrra if9q?ftguraeii:qug fubpliiribuequa^
iiuatuo: (atfribue continctur.

C2De.trian3uU«.

^uilatfru m ij(irur tTiangulom crt:quftil trt'
c bud (qui6 laffribus ccminitur.

r

C3forccif0 aut(mc(l:quod ouotantnmmodoUttnibii'
btttsqualia»

C;^Uiiumv(roQuodtHaIiiterflbab(t intqualif

Caimpliufl trilaterat um fignramm o«bogonIum,i.r«
(ttanauinm.quidontriwisulumeft; quodbsbaanguli

GeomeCKc

C2ImbUgonium.n}t^ qaod lactneobtuAansulUltl oid
cur (ftiquodobtufum babct.onsuluni.

C;0]rigontQmipcro.i.0(Utiimsu{nmcll;iii quotKStti
fiuUfiintKuti.

C£>c quftlniti0*

l^rilatffaruvfl^ofigurarumquadititus V9
9 c«uru}uode9aiatmun,iit(Srccttfmsulum*

C ^rttjdiyra longiue veroeft: quodrecttmsula
dcmdirrdtquiUrmim nonelY.

iParteaiteni.lonsius

CirtlombU0 vero'eft:quod(quiltterum quidemeftiiU
itttiinsulumnoneH.

Crivombotdesiutemeft^quod incontrarium ttUofflra^
lineas fltt^tmgulos babet (qu9le0:non ^tem rettie «n
guU9:net(quiglitertbu0 (ontinetur.

C^pittttbit autem oE^quadrilsitere hsfiri trapesui.
idcif menful^ nominamur.

£DenfuIi

atlbcr

cadem pUni fuperficu (oiroc»tr arq> vtnc^pzoduat in
ncurri pflrtr (orKarmnt.

C jDc prtitbnibue qu^ ftmr tn gcomctrica.

fftitionca vrrofiue poilulara ( «Teferibu*
p placuit)oicuiatur:quin(i'' ^unt. •

Cr"0:itna vt ab omni puncto in omnepun"
Bum rcsa linea oucatur podulat.
tr^iundr.vt ocfiniiarrctaUna incontinuum rectii'
q$p:oducfltur:fldmonet.

IL Xerrti omtH centro t omnt Mo circulam oefisn»'
rep:atpit.

C^turta omnes rcaoe ingoloe dbt tnuicem (quo«Je2

cSuinra autem:ft in oua» rectas lineto lineai recra in'
tidend interio:e0 ouoe anguloe t in eadfrti parte ouob'
reaiefecent mino:£6:re<t96linea&in inftni:ump:cdu
ctae ad cae partee in quibus Duo intcrio^es anguU Duo
tU9 rectifl minozcd runt:concurrerc iubet.

CS^ecomumbOisaniinicontcptionibUf :que (bntrgcd
mctrica.

^mmuncd jaiiuranirnt cdceptiones rantni
c agrecis.Koi|>ci:tENNO;eti. vocanrar.cnfpa
tia 1 intemaila etdem funt^qualia. €tftbiiit
Qicem runt(quaUa.6ti1ab(qualibu« (qua^
Iiaauferantur:que reUnquunmr:(qualiafunt.J6tfieqIt
bu0 cquaUa ad danmr:tota quoc^; (q naUa font. £t que
fibtmet ipne cSueniuntcquaiia funt.
C J0mne paralello gramtnum rcctiangulum fub ije
Duabus reaie Unei0:que rcttum ambinntansulum oi
(iturconcincri.

Cidmnie veroparaUllogrlmifpatijvnom quodc^ co
rum qu( circa candem oiamemim funt:parakUo gramo
rom (um ouobu^ fufpKmcntis gnomon nun(up«tur.

CiCiraili luntwuaIee:quo:umD(amrtTi flintfqoalcff
<nf qualee vcro funt : q fic fc non habent.
CHecta lineacirculam contingcrc bicitur : quc eum rir
culuni tangat:m -vtraq^eieaa partc non fccat cirailum.

f

C^ircuUfeinuicemcontingcrcDiainturiatangcntc»
ftfeinuiccmnonlccant.

Clii\cacline(iciroilo a c?trodi(larecqIiteroicnf:qi^ a
(gtro.tipfaeouacep^diaiiarcsiuicefibi fiiccquaUd .

C '^lus.vao a cftro odlarc oicitur linea: inqu j ppcn
dioilarislongiozcadit.

C -poitio rlrfuii (0 (Iguni: ()U( fubrtctt f aroiUdrcSfc
rmnflcontitimir.

CT^n pomonc(ir(uliangulU9clTet>iatijr rquandoiit
nrtntircnfu po:f ic nie funiitnr aliquod punaum: t ab
codcm punao 4d Unc( ccrminoe puc rcat; lincc fubiun
Snrvur.

CTSnpTud ctrcuU oicitur qui fub ouobu6 4 c?tro bu^
crie linrid coniinctur . ^uando linc( qu( adiunguntur:
•liauanuircunfcrcntic comp:cbendum LMiiti(Ul9m ii|
ca «i^ulue coniincrc ^ibaur..

<r^€cro:o'raiUcftfigura;qu?(hhou«bu8«antro 011
cri0linei0:<;rub(iia)nrcreHtM;QU{ abardcm (omp^cbS
dt(ur:(oiiMuair«

f 9(mflc«(fra]lo2npoztionc8btdlf:qD(fqlM (brcipi
unrtn(wio9.vci in ()u>b'aiRrcriburttur:ansmifibt mi
amAintcqualc0.

C /iguTd intrafigurloicftur mro-ibiquandoca audn
rcribitur:du0inquaminrcribitur:latcrii vno quo^ fuo
tnguioflb intcrio:cpartc(onttisit»

C fisura ve-ofigurf cirojnfcribf pcrbibf tnr,- quotiene
(aqucdrcnfcribitur fuieomnibufi latcribudomncd. an
^lodciuecoji ctrcnfcrtbitur tingir.

C$rpli(iunt|);otegoiticna«3^n(ipiunt fcbcmata*

C^P29 oatflm mtam Uneaip temunititmtrtansuhi$
f quiiatcrum (onflitucre,.

tB>cr pftmiw

benrfqaa airerum aloruanoiuluinangalo^qaum eu5
qui rao(qua!ibu0 rca(0Unn0(onttnetur:tbaflm bofl:
(qnam l>ib{bunt:t rrungulumtnangalocquumerit:^
rrUqui d:ic(utt reii iini^aRcaiUsrrunt (qatkd iilta Mtt
ti:m qutmxiQaalia litcrafubKndinir*

CTrtansnlozum iibralium'ansult:aid biflra fit :
fbtinnicem iimt.

...!:

CS>i trianguU ouo tiiguli cqui Ifbi innittmliiu:t cm
(quaUbusansuliefnWuuJuiiturUtera^fiMinuiCQ crit
cquatia*

CBupereandem rmam Uneam ooabuedfdem recti*
Unei6ali( oa^rect^lmef^-qualcsalreriaUeri nullcma
doconnituentur.adaliud nti^ altud punaum ad eofdC
partescordemliBeeprimisratislmei^ pofTidnirce.

CSi Duoltrfangdli duo latrra ouobus Iwcribus ?qua
poflTidfatit altmim altcri.<i baftm bafi babeaiJt {quam.
«SWfiUlUin'W5uIob(it)CbUM c quaUmrqtJi /lib fquaiibus ratis lincis (outiBftur.

S

t e

IT lDatflmita9mlincRmmmuiatsHtttnotta0(qu9U«
oiuidctcpaitcs*

CSOatareeca Una ab eo qnod in ea el! paao.KleaasIi
tieam.ltfuttdum rectoe ansulos eUuare*

Cr;©ttp:fl twfam rfftam linfam iwf^witm ab datc pun
cto:quod ei nen tncftpcrpcnditulArcm rcct^m lincaou
fcrcopouet.

C Quftfftp fuper rettamUncamrettflconnftcng flns«'
lo0!fecerit:aut ouodFcao8liiciet:flUtCHioba0re(ti0 rect
dctcqudte».

C ad aUquflm re(t«m line«m atq? ad eius puncmm
rect?Une?non incandcm partcm oucantur: circu
e angulos onebue rcctis fccerint cquo« :in oiretnimftbi
cfle Uncfls iflfercneccfrecH.

tlDcr pnmue

b

CSiwt melfncc fefr ryiuidmt : aduerttcS ansalM
Hbi inutccm tacienc equos.

d 0

Cj0iamtriflngtiloi5vno UttKjpductoflCtfliMagol*
ftiiftp itmo:ib^'t o: ad ^fo 3snl pftitog maio: cpftit.

f

d

C^fumtrianguloiam ouoangnlituobus reaie'iin^
SUU8 funt mtno:c8omnirariam fumpti.

a

d

C^mnium m'fnstiIo:um maiuelat' fub angulo ma^
io^cfubtendintr.

a

Cr0mniumtrtan<^ulo:um'mato: an^ulus fiib latcre
maio:ep:otenditur..

i

s

<r;0mnium tr{angu(c:um t>uolaterac(tcro maio:a roc
in omnem parcem fufcepta.

d

/ ;

C

GT ^ijn f no quolibet manguli laterca finibiie fareria

k k 2

Duc rate Uncc intcriue conHftu jntur «nsulum ftcietca^que toftituuntur rdiquiB quidcm trianguli ouobus latcrib^mi"

no:c0frufit;cX)4»o?cmvcro9ngulum£ontinebunt.

f C"21d oatam rcctam lincam : ^ t oatiim in ca punttum

t>ato;rccriitnco angulo^qualcmrcailtncumangubim coiiociire ncccfTc t\\.

CS^i ouotriinguli ouos angulos ttuobusangulisbabucrint fquosalterumalterirvnntB lat'' vni larcri (\tcc\U : aut
quoJ cquia adtacer an 5Ulis:aut qu j,I fuo Viio cqualium fubtenditiir angulo:um:« reliqua latera reliquis Uterib^ babC''
buni iqm altcram alteri:? reliqun angulum (qualcm rcliquo angulo polTtdebunt.

f^Si in ouas rcaas lincae linca incid?s rccta altcrnati
anguloa fcCvrtt f quos : rcttas Iincas alurnas cire necef/
recit.

/

/

/

/ \.
/ \

/ \

C S>i in 0U98 rccras Itneas linca incidcns rccra cjrrcrio
rnn fliiguluminrcrio:i:^f cjc ad^^fo angulo conilitoro
tcadat cquai:aut itcriojcs i ad afdc i^rcsangnlos duo
busrccrie^quales t'aciat:rcctaslincasnbialcci nB6 ee
conucnitt.

i;

tttJcr prtmuo

C Tjbfroarum runcnim wi« rc(tdift««lffrnamr«-
tam lincam ocnsniirc ntuirccil.

C~0mmap3r9ldlogr5m««'fi bafiftu* fqualibua nn
eifdm aitame Uneie condituni f quaUa crlc ncicfTc ci!.

mnium tnansulomm ocrerio: angulue t»nobu0 i"
tcriu t eicaduerfo co(htuheangnli02!(qoalid:tntnio
rc« V 0 triflnguli trc6 anguU ouob tcttis angulis (unt
eqaai '.

C qnme i altcrnae rccns lincas ad cafdc^ pattc«
teoc ltnccconiungunt:ipr( quocQ altcrnc fmit f (qUe.

C €^qua bi funt cuncta tr iansnla:quc in cquid beAt»'
f in ciTdcm altcrnis rucrint Umts contUtuid.

CC^^uatrianguIa^qucincadctfi baftctncadcm yarre
fucrint con II iruta:in cifdcm quot^ altcrnis Uncte p:9
nHtitianda imt.

C€^o:umrpatio:um:quc3ltmusIatcribu8(ontiiicnf
qnc paraicllo grlma nominantur: x cx aduerfo tatcra: at
«Banguli coniVtuti fibi inuiam (qualcs mnt: eaquoc;^
oiamctrus in ouo^qua paititur.

C 0mni« piralcllo srjma^quf tn cifdcm bafib': €t in
eifdcmalrerni^ lincis tuciint conilitota: fibi^nuicep:»
banturgquaUa.

C2(cqua triangula in f quis at(^ in oircctum pof ^ b 9
fibusconnituta.7 tn eiidcm partibus: t incifdcm quo<'
altcrnis cfTc iiccciTc c(l.

C ^i paraUUo gramum : triangulumcp «n ofclcm bf(!:
MC& in eifdcm alternis Uncis f uerint confhruta^paralcl
la grimmum triangulo ouplQ^efTc conncniet.

k k s

C J0mn(0 paralelfo gnimmi fp«tif eoim qu( tim m

C Jujctii batam lYCom linom oiitotfiansQid in oatotmaimoangnloparakUo srdmum (quii^pietendcndum eil «

b 5 t

CJDatoreailtneocqujilepflnildlo grimum in0fltoratilincoflnsulo(ollocareopo:t(t.

C ^ufldrfltnm fld datflm rectam lincam temiinatam Defaibtndum dt.

3 funt ouerccrelincf : quaruni xm quidem 2
9 mdiuifa: alteraTeroquorlilxtriiuTioinbuo
ffcta: qiiod fub ruabusrcaijsluiciorfcrian''
gmumcontmctur:fquum crit hie:qi!f fubca

quf indiuifaell ; £t vnaquaiij oiuifionc icctiauiiulaco

tinetur.

c ]

CT^n bi9trilsuli0:inquib'*n^r«t'29ngulU0:qrecti
angulanoiam^^^quadrarnquodalatere rectuaiigulu n
fubtendentc ocfcribificquii ^tieqdrarie^tiaptinfti-'
busreaum angulu lateribua confcnbuntur.

s
f

4

3

z

?

7

7 7

23

j/

4

5

<

Cr;©i retta Unca fcfctur : quod fub tota t vm pottione
rcftiangulumcontinctur:{quumcft(iquod fub vtracp
poitione reaiangulum tlaudirur:'; c i quadrato quoo ad
P2edittampo:tioncm oefcnbitur.

iTSi ab vnotriansnli laterequadratum quod DcrcnV
bitur:(quum fuericbid quadratid:qug ab rcIiquiet>uo
bus lateribus ocfcribuntar:re(tud e(l angulue^qut fab
ouobu0 reliquis lataribus (ontinetur.

C;Sireaa linea fcccf :vt;iibct:quod fcribitur a tota qua
dratum(qun ellbtd:qug oefcrtbntur ab vnaQuaq^ po:
rioneqnadratis:-; eiden? bfe reciianguioquod fub cifde
til po:tionibu0 conuenit. ^ . .

l.:)

Geomccrlc

C rcrtaKiiifa p<r f qiislia r prr If qualia ffCf f : quod
fub in f qujlibiis rotiuo ffcrioriibua ifciiancuJlum co»
tinctur:n)m fonuadraro:quc»d9bc!i Offcnbirur: quf in
tcr rtrafcg cft rccrioncs.fquumcftci qu9drato:(iuod w
fcrtDiturab oimidia.

l

/ 1

)

0

<r rccta linc fl pcr cqualia ac pcr in? qualia fc ccf : qua
drara:quc9b infqualibus rotius pojtionibns ofrcribij'
tur:ouplfl runibie quadratiecquf liuntab Dimidifl:ct
ab ca que intcr vtrafceeil ffctioiKe.

VII

•Ktracg cjuadrflta pflfitfr accfpta: quadraro quod ocfcri"
bitura oimidta:fl(coquadrato:quod9bfaofrcribif:quc
n oimidia adifcraq^conAHit^Ttrifci; quadrfltie pariter
flcccptie ouplfl cfff ncccltc cil.

3

C Ofltflm rcctflm Itnettn fic ffcflrr couenit: vt quod fub
totfl:£t vnfl po:tionc rccrifln$ulum conrinetur: ^qauin
Ittct quod<tf orrcUqna rcctioneciuAdrfltutn/

C Si f e<ta linefl per f qualifl oi uidatur^fllra vcro ci i oiV
rcctum linea rc cta iungfltur : quod fub tota cum fldicctfl,
€tf a quc adifftacft:rfcttangulum(ontinetur:fU5eo q6
cercribuur a dunidia quadrato ?quum cft ci quadrato:
quod ocfcribicur ab ca quc conftat e^ adiecta atc^ oioit'
dia.

1

/

m

C £?i rectfl line a per f qualia ffcetur:ricg indiftctus qof
dam linca rfcta iun^tnr:quadratum : quod ocfcribitur
a tcta cum c a:quf adir cta ert:T quacJraium quod ocfcri'
biturabeaqucadiectacft*

\5 6

Zil)cr primu^

CT^nbactriimgulifiSiira^qu^obmram babcranguluj
rantoampluisea qiicobniroe obtendnnt anjiilos laie
ra polTiinr: Qusin ca quf obtufum obtincnt an^ulum:
quantum crtuinod (onrinjrur bi3 fub vno co:uni: quf
circa obtDfum .mjulum ri:nt:in quori p.orractum uiin
ditiilari 3 cadir;att]5 ca:qnf 3il obmfum Jnsuluin a tcr
pendiculari ettr-i 9cp:cbL'nclUur.

CiOatorcctilineocquumnecclTeell coUocare quadra/
tum.

b

€"£"): tertio Ub:o Cuclidis.

"^inclrculogtcntmmlinca qucdam pfricm^
s mr:acquacUml?ncam rcttamnoninccirtro
pofita^ in ouae gqnas partcs lecct : pcr rcttos
eam anguloa rccar^iftfi per rectos cam ansu
Io0 f(»t:in ouad eam (quas oiuidct partcs.

ancujli con(I(1tinr:nbunuiccmfunrfqiiaIc&: feuad ccn*
tri:/!ue«dcircij/'erenriaaconiUmanrur«

C X^atsim (ircumrcrcntiiim tn^puocquaoiuidcrepo/
tfscll.

CJn (irculoqutdemangulus^q in'fcmic!rfUlocft: rccr'
criilit:qui vcroin maio:epo;tionc cft angulije: mtno:
cilrccto: J^uiaurin m>uo:epo:tionc ertanguluemaio:
eftrccto: i maio:id quidcm po^rtonis angulus : Hxecto
maio:|e;iftir:mmo:i0 -veioangutus recto mino:.

C3n (quid ai(Uli e: 4ul in ctroinfcrcnttf 0 cquslibue

C ;5i'(ir(ulumlincare(ra?ringatap^acm vrroincr/
ciifercntiaquedam (ir(ulum fecaukjlinca rccta oucarur:
quofcuc^angulo0fa(it:ono anguli quifunt in alternis
cirtuli po:tionibU0:funt equalcs.
CtEr bocigi ur manif:aii c:qtn fia puncrocirtuli duc
lincerccte fc fecontingant : 5f t Pbt iiniiccm fintf qujhs-
fopcroatigrcctasUneas cirtuli ocfcribercpartcs coh'
nenit.

€): quarto Ub:o £ucli dis.

l^ntra oatum circuUim oate rette Unce -ii bia )

tJ' inctrominimcmafo:e):iftar:fquamrecta5h>» ,r
ncamco3pt«icopo:tet.

Ceomcrrte

C^ntra oatumdrcuium oato triangulofquow angu
lo:um trtansulum couocarc conucnit.

CiT trta Mmm amilum oato triansulo cqualium angtt
lo:um triansulum Dc(ignatulum cfh

I

3ntr4 oatum.triangulum arculum oefignare naefTc

QTJnrra oatum drculum qundrdtum siltquodiocra-iM/
itvtilccft.

CT^ntra p»po|]tum quadratum circulum ocflsnsrc.
» « d

/

/'

/

/

y

ITjCirta ttatnm (ircnlumquinquSguIumfquilatcru ui
f {quiangulum ocfignarc gcoRietrj p:fapiunt.

2ibcr

C!}ntra Dfltnm'cfraiIom*qufMqu5gtiftmj:QUod cft f <jdl
I^rrrum 9tqj(iiu(ansulum:DeAsn^c non DiTconurHir.

CHflin oia qoaff^ funt:numm5:u rmone fm wffant
j»:opo:riona&iUrerali| er ains pllitiumturarcSfere'
ticfquilitarcmnlrirUcationtbus futs quidcm meden-'
tesratqgaltematim po:ttontbDe fuietermtnum facten
res,

C jDe fipris geometricis.

11p:9 pofltarnm igifur rpcculationib^gura''
• rum 9b cutlide fucciac obfcureqp p:or9tis:et a
nobis verbum videlicct Dc Terboe,ip:imcntt
bus ftrictim tranfTatie qucdain iteranda rcpc
lttidacu:vt anim1erto:is non^obfcuritatc ocrcrreatur:

a nobiapoti'alicuius ocempli luceinfufaoelcctcf:
Tidcntur. ©u nt enima nobis quedant buicoperi in lc^
renda buic arti ralde necflTariatt fup:adicrie refpondeti
tin:€t fubfcquentibusconuenicntia.ad quf intflligcn'
daquiti5cBin noftrojum aritbmctico:umtbeoxmattb*
inftructag acccnmt:citrpcditio:i intclligentia oucitur.
C £>up:9dictum igitur cfl : fup^adata rcctam linel ter/
minatam triangulum ? quilarerum conftitucre oporterc
;©ed nimia iuolute. @uadere buius ercmplt nota fubie
rimue.Sitoata rectalineaterminata.a.b.oportet tgiC
fuper eam quf eft.a.b.triangulumfquilatcrum confti^
tueret ccntro quidem.a.fpacio vero.a.b.tirculue fcriba
tur.b.c.e.d.Ctrurfuecentro.b.fpatio autcm.a.b.tircu
Ine fcribatur.a.c.f.o.t ab co punc to quod cfl.c.fluo ft tir
(uliDiuidont:abeapuncraqncrunt.a.b.adtungaiitur.
T^flinef.c.a.t.b.^migimr.a.punctinnccnmjmefl
b.c.c,d.circuIi:fquaeft.a.b.ci'queeft.a.c.mrfU8qHoni
•m.b.punctum ert cenn-um.a.c.f.d.circuli:? qua cft.a.b
ciquf eft.b.c.;5cd.f .a.b.ei qu? eft.t.a.? qua eflTc moftri
tacft:t.a.c.5gitureiqufcil.b.c.eritfqu9lig.Xresigi£
qijf funt.t.a.a.b.b.cquf fibi inoitcm funt. ? quitarcrHnt
Igitur J.t.a.b.n-iangulum.Ctconftiramm eft fup:a wi'
tam rcttam lineam terminatame^m 4uc ed.a ^b^ quod
opozttbat^e.

primiw

Cr3n mpaibi ibus vcro oictum crt ad patimi ptmctus
ctatf rccff linrcf qttfllcm rcctam lincam toilocarc cpo;tcre
j&cdbutucartiserpeitib^obrcureoiftuuIfcrtu.Sis nos
anmiuin Iecio:i? quafl mtroduccudoolilcctaiitce buius
fubfcqiicurisfigurf ocplanaticncm pofino Utrcraium li
iicaruiiiq3 notulispatefatimus.^^itquidcm oatu^ ptV
ttum.a.D^tta verorccralinca.b.c.oporrcrigiturfld inin'
ctum.a."iRccrelinef .b.c.fquam rcctamlincam collocare
adiungatur cnim ab.a.puucto ad.b.pnnctum rccta linea
raquf cft.a.b.Ct connitoaturfispa.a.b.mittflmline"
fliutriangiilomfquilatmimqnod crt.d.a.b.t^retfcian
turinrccnim.o.a.o.b.rcctelinecad.a.a.g.c.b.m.^cc'
tro quidcm.b.fp.^tioautnn.b.c.circulusccftribaxur.c.
f.c.trurfusfcnn-oquidcm.d.fpatioautcm.d.f.drculus
ocfcribfltur.f.h.l.Quoniamiguur.b.punaumccnrruj
cfl.c.f.e.citculicqu9eft.c.b.ci:qn?cll,b.f.'iRu:fu0qn'i.
d.puncnimccnnuBicrt.f.l.l:.^rirculi:fqnacfl.d.l,eiq
crt.d.f.0uamm f qua eft.d.a.ct quccfl.d.b. t ffluilatc
rom cnim niangolum crt id quod ei^.d.a.b.TReliq igif .
a.l.reliquf .b.f.cjrirtir (qualis.j&ed T.b.f.ci quc cft.b.c.
f qua efle monftrara eft.t5t.b-c.ei'quccft.aa.eritfqualif
ad oatutn igitor punctum td quod crt.a.oarf rect? lincf
ci quf ert.b.c.fqua locata crt ca quf cfl.a.l.quod o^o:tc/
bit facerc: vt fubtecta oefmptio monct.

C Xcrtio4ginir, loco fopcrtus ab eutude p:olatum cft:
ouabu« rettis lineia in g qoalib^p^opontie a maio:e mi^
«o:ifqu9mrect9mlineam abfcindcrecoiiucnirc. Sed ni
mis ftrietim: €t ob id confufe inuotutcc^.iRos vero vt
animus lcao:(s 9denodatio:is intelligcntif acccflum :
c^uanqut^bufdamgradibus oucatur.-buius oeicriptionS
fo:muIf fobiecirri»8.;SintD3tf &Uf rcct? lincf .
C^Hfqoaleg.a.b.c.D.ifitmaio^.a.b.opo^tetigifama
K>:e.a.b.mino:i.€.d. ^quam lincain abfcindere.colloce /
tor entm ad.a.ponctnm ei qof cfl.c. d .f qtta ca que ert.a.
c.€^tcentro.9.rp8tio vero.a.e.cirmliseefmbator.e.d.f.
qooniamigitur.a.puncmmccnmtmert.c.g.f.circuii^fq
jfl.9.e.ci:qufeft.9.g.;©ed7.c.d.ciqufert.a.e.effltfqu«
lis.t.t.o.eiqaf crt.a. g.critfqu»li6.2?uabUfligituroa
tts rectis lineis inf qualibus eis quf fun t.a .b.c. o.a ma-'
io:cqucefl.a.b.mine:iquf ert.c.d. equaiis abfcila^ ea
QU{ cil.8.S.qU0d opo:tebiit i^e*

Gccmctrl»

f

ClDfs etim wmpmdiofis:^ tawcn buiud am'0 rudi-'
bU0 pcr necciTariis introductionibus Iccfo? initiarus: 11
in aliquibus rupcri^p^opofitiB vacillando abboncat:
pcr fcllmilcs tigurarum ocfcriptioncsfjnc ois impcdimS
ri rcclamatione adinu nirc porcil componcrc.
CT iocd iam ipfus crt ad gcomftricalis incnff tradirto*
nemabarcbitanon fordidobuiud oifaplin^ aucrozc la
tio accomodataui vcnir£:fip:i^p;fmifcro:quotfintse
ticra an5Ulo:um:tFt lincarum.^t pauca.oijccro tic fuim
tatibus 1 cictrcmitatibus.

(TTRarionabilium g rgo angulojij gcncra fuot tria boc
cft iRcctum.bcbcs. acutum tbabcns fpccics iHoucm:
5:rc0rccrarum'lincaium:trc8 autcm rcaarum 1 tir(5fc
rcntium.sEttree bcbetis t circtifercntiuin.
C"*iRcctU0 anauluscft o:tbi?r3moe. idcilrcttislincis
comp:cbcnfus:larinc no:malis appc Uatus. Quotlcns
Tcrorcctalinca fupcrrcctamlineam ilans. paresangu
los fcccrit:'? linca pcrpedicularis iuncta fucrit: cflicict re
ttiangulum ttiac^ulum.

CTID bcsanguius cil plus noimalis boc cl! rcctiangu
li porttioncm cjcccdcns.q: 7 fi triangulus banc poflt»
onc;connimtusfucrit:pcrpcndicuIartscf;trafinitima9
lincasbabebitur.

CT^Imrusautcmangulu^ cftcomp:cflio: iRccto:quifl
arccra ltnca:qu( fcdts Iocofucrit:'iRcctam lincam fcctidfi
fuam inclinationcm cmifcrir: fimtlifl? cobibitione flxC'
cram lincim in occurfum c):ccpcrit: cflficict triangulum:
qui pcrpcndicularcm intra trcs lincas babcbit.
dr linearum vcro gtnera funt tria rcctum: circufercns:
flcruofum.

iRccra lincaitacp cft quc f qualitcr in fuisfignis pofita
cft:quc f qualitcr iolanitie pofita non concurrit.
(T jCircnfcrcns vcro Unca cft:cuiU6 figna cc vtracB par
tc turnara,'! a fc inuircm biftantia non concurrunt : qu?
fign9flconucncrinr:circulusncHf?circulIrcn8linca ocb5
appcllari. /Icvuofaautem lincacft. multifo:mt6 vclut
arbo:umaurfluminurii:cftmimq3flgno:um:in qno:u
fim.litudinc 1 9rcifinio:um agro:um finiturortrcmitas
^t multo:um quc flmiliter in ^qua linca funt fo:mara
naturalitcr.

C Siimitarium igirurgcncra funtouo . fummitas et
plana fammitae. j^gm tadcil fc.undum gcomctrica^
appcllationem: qug longitudine latitudincq^ p:otcndi'^
cur.

C^ummtt^tis aurcm fi iics linc? funt.

CT ipMana vcro fumm ! ras cfl. quc tqualitcr. •^lecti* li /

ncis vndicp vcifum ftnirur.

CT 5c>mniumautcni fummitaras in vintiundoouc fiit

obferuatione^cno:inis.f t IiquiS|eno:mi0 vcroe: quf

per omnc lanis rccrie lincis conttnctur.

(£ liquis autc m cfl qii? niunicndi Iabo:is caufa 1 fal

ua rccto:um ; ngulouim rationfi fccundiiin ipfas crtrc

mitatcs fubtcndttur.

CTJEjctremitatum quippc gcncra funt ouo: vnum quod
p:origo:c.tf taltcrum quod fcruatur p:o flcvuofo.lRi'
go: efiquicquid intcr ono figna.vcluti in modum linc^
oircctump:ofpicitur-

C Jlcxuofum vcrocft.quicquid fccundum nararam lo
co:um curuatur . ftlam quod in agro a incrfo:c operis
caufaadfincm oircctum fucrit.rigo: appcltamr:quicQd
fld bo:nin imirationcm in fo:ma fcribtmr:linca appclla
tur.

C25tnirigo:c8funtquando fingulis fpacijsintcruc'
nicntibus tcndunt: vt itincra plernmcBpcrgunt.
ClflolTcautcmbuiusarris ocfpicicntcni:qutdfintoi
gitiquidarticuli.quid coinpontiquid incompofiti niv
mcri. Quid multiplicatorce.quid vcoiiMfo«:s : adbu'
ius fo:mc fpetulacionem:qua5 fumus traditun : opo:^
cct.

CTtDigitos veroquofcuncp 'nfra p:imum limitcm id 5
omncsquos ab vnttatc vfcisad ccnarians fuinm<im
numcramus:vcterc6appcllarcconfucucrunt.
it Slrticuli autcm omnee a occcno in o:d> nc poftti^tFt {
iiiftnitump:ogrciTinuncupanturcompofiti quipp» nu
mcriliint:omnc8a p:imo limircidcfl . a oeccm vfci3 ad
ietundumUmttcm.i.rv.cf rcriq^ lc fe m ordinc icqucnrcs
erccptislimttibuo.incomporiri autem func oigitiomcs
annumcratis t omnibus limiribus«
Cfi.iDultiplicaro:csigitur nunwrimuraain fcractlRe
plicationcvoluuntur.idcfl inrcrdu maio: mino:is:intcr
dum autcm mino: tnaio:i8 nniltiplitato: eriflit . 3nter
dum vcro numeiiis in fceiccreiiene mnlriplicatois aug
mcnta fufc pir. iDiuiro:c8autemm9io:um!fempcrmi
no:c8 conftitnunrar numcri.

CSDcrationcabart.

iRifcc igitur p:ndcntic viri ptrbagoiicff ooj '
p ma fccuti: •jPlatonicf q? auctortrans inucfti'
gato:cs;S>pcculato:efqj turtoft ronimpbilO'
fopbiccuImeinnumno:uin vi conftnuciunt
i^uiscnim XH^uncamm inodulamina fY>Tipboniarum
numcro:um crpcrto cenfcndopcrnofcar.-^Siluis ipfi'fir
niamcntifYdcrcaco:po:aflclli8Compacra naturf numc
ro:um ijnarus ocp:cbcndat:o:tufcp figno:um. if toaa
fuscolligat.

ClDcaritbmctica vcro gcomctricaquid attincf oitcrc:
cum fi vis numcro:um pcrcat:ncc in nominandoappare
ar. ^c qua quia in aritbmcticie'7 in muncis fat oittuin
cft:ad oiccndarcucrramur.

C|p)Ytbago:ici vcro nc in multiplicfltionibus -rpartiti
onibus 1 in podtfmts.aUquandolalIercmur:vtinomnf
bus cranr ingcniofilTimi t fubtiiiflTimi oefcripfcrunt fl^
bi quandam fo.niulam:qu9m obbono:c5 ;ui p:ccepto:i«
mcnf3m pT'bago:eam nominabant: ^uia boc quod 6
pinrcranrmasillrop:emonflranrctognou.rant.apofle
rioiibus appcllabatur abacus. vt quod alra mentc con
ccperant: cliusfi qiiafividcndo oflcndcrcnt in noriti
amomniiiintr9ufrundcrcpoiTcnr:iEam(ufubttriu0bji
bira fat mira ocfcriptiotK fo:mabant.

Lincr primu9 us

CSnperms vcro Oigfftc ocurtprionis fo:mula boc
movKbanf.lDabebaifini oiucrfero:ma'06 9pice6:vfl
C3ra(tcre3.S5uida cni buinfamodi apKfi notae fibi co'
rcripferantivtljccnotularcfpoderctviiitari.i . 'Jilavt

binario.- - . rcrrisi vcro tribus — ^^uarta aute

quatcr {f) n^rto.Cti .IDccat*^^ 3nq5 afcnbc/
rctur./j 3fiia^o .n fcnario. T. "< x?cprima at
fem^ nariocoucmret. A .IK)cc verooctona
no.g.gna vcronouenario iungerctur . G)
dajvfroinbui^foMne oepictoccculfat^alfa bctiaf
fumjbant fibi boc pacto: vt litteratquc ciTct pnttia vnita
ti . A:?ccijda bin irio. r ertia ternario^cctcraecp i o:dinc na
rurali nuntcro infignitae i infcriptas.tnt mo foztiti fijt
lE5oa 1 cnlapices.lta varie cea puUicrem otfpcrgcre in
wulripUc3ndo:crindiuidcndotonruenmt:vtftfubvni'
tate naturalis numcri o:dine lam ottros caractcres adiu
Scndolocarcnt.lt^oalijir;oigitinafccrentur.-ip):imu5
aut namcrij.i.binariu.Dnitas cni (vt in aritbmctiris
S ot{to)numcras non cit: ir»5 fons i o:igo numeroium
F.in firipta poncntcs.iT.tternaria.w. 'iquatcrnariij
jrl.ceferofce in o:dinc fefe fequentcs p:op:ia8 rectidu oe
no.minationcsalTignare conrttruerunt. j£>ub Uneavcro
centcno infignitg numcrocoilicapiccsponetcs binariii.
cc.tcrnarium.ccc. quatcrnarium.cccc.£eterofa=i ccrtis oe
nominationib^^rcfpondereoecreucrunt . 3n fcquentio''
vcro paginulari) Uneis ide facientce nuUo erro:i8 nubi
loobtCHCb^anrur.

C€>tircaiitop5 ToiUgcnticxaminatoe oifcutcrctmnl
ripUcado 1 partiendo cui paginulf oigiti : i tui artituU
rintadifigendi.lHafingularismuUipUcato: oeceDigi/
ros in dc{eni6:articulo8.in(cntcnis.'3dcmvcroriHgul9
ris muUiplicato: ccntu oigitos in ccnrenis:articulo6 iti
miUenis.Ct muUipUcato: miUeni oigitos in millcnic:
tarticulos in DCceimismiUcnifl. i muUiplicato: centc'
nimiUeni x>isim inlcentcnie &10iU'.arti(ulosaurem in

£D3iir.miUib'babcbiinr.

C IDccciius aut fumct ipfius muUipUcaro: &igitO0 in
pagina.iC.inrcrtpta^arttcuIosin miUcnis.^t muUipU
tato:centii oigitosin ^lDiUWarticulosi.v. ^imUripl'.
ilX")iU.bigitoe i.y.t arricuUs in.c.t mulripT. ji:cntt'i mil
leni. CDiUiababeD.jCcntciifvcrofqucfumef ipfi^mul
tipUcato^Dtgitosi.jtr.-jarficMfin.cr mtUeni muUipU
cans oigifoe i.crarticuti.jc.c.cccnfcnij milienii muUi
plicans oigitoa i.v. iTD.i.i articuIie.m.c.jOD.i.i cccc'
nii. fXJillcniJmultipUcans Digitos i. iTO.i.': articulia i
jc. tlX).i.fubrcndcr. iiDiIlen^itide feipfum multiplicatf
ttigitost.ic.crarticulist.crcenteni miUcni multipli/
cato: oigitos in*i.£it>.i.i articulis i. jiV>.t. i occcnum
ttiilfenuevcrcfcercfacicnsoigitosi.j-.flTD.milia.iEtar
ticul.i.c.ilft.i.babeteoinofccf.ADcccnusaijtmiUcnus
multiplicato: ccnr um miileniroigitos i.iH> . JCD.milia:
•rarticun.ic.cXJ.i.fccpipfii adaugens oigitosi.c. (CO.
i.i articulis i. CB. fX).i.b3bcrc Dcp:cbcdef . Camms
aijt ntilUn^fc ipfu multipltciis Digitos i.p. tO.t.ifr ar
ticur.c.jHXi.i.fupponit.

C S>c oiuifionib^^rub^ica.
guifioncsigif quatalib^iacvpfc lecfo:{sani'
0 mus itroductus facilc valc r Dinofccrc.'iB:cui
rer.T cni Debis i fumorcnus oicturi:fiquf ob
fcura intcrucncrint:Diligcnti Ie(to:ij fjccrcitio
adinuefligandacomittitn^. £)i occcnusp fcvcUente-'
nus p fc: vcl vltcrto:es p fcmctipfoo oiuidcndi p:opO'
mnf:!l"Dino:csamaio:ibu6qiioadvfq3 oiuitJijnf ifiit
fubn-abcdt^fingularc aiu oiuifo:c occc i tcnrcni:aut mil
lcniaur vIterio:ii:vclocccnuDiuifo:e5 fcfcqucntiu fum
pra oiffercnf ia cos Dtuidcrc op5. >Copot!t'aijr Dcccn'^tum
fingtilarip fccundas vcItertias.tEtocincfps fccijdii oc'
nominationcm partifi occcno vcl fimplice: vcl compofitS
oiutrurus cil. <i.cntenii vcro mitlenfi vcl vltcrio:c6 p oe
cenumtopofirum:fi oiUgens inueiligdto: ac(ciTerir:fum

l l

^cometri^

pti offfcrcnt{aTpjimi9artUuIf«oiuidtndo:vcl ffam
ddtid apponns aucrie afir oiuidendo fupporitie oiuidi
pofff tMiofcrt: Cciitcnue >inr. cv^.flii^ulie ropofit^cctc-'
nu.vcl niillfuii.bocpa{tooiuidCTCco3noraf.£)tiptoigi
rur vnoouiidcn'o:iJii6 rcfHJimriicnr.Diuifo:ic(0(qui
dfi:-; q6 fiipabundancrir: fcpoflrie rcrcruandfi. ^tMngu
larie aiir vcl vr alii volunr" muninl p coequarionc nia'
io:iic mulriplicaiidii.i?r oigiris gdc'p:ofccra vMftcrcria
fUPponcnd9:arriculit^ afir ipcrfccra c p:cponcda:? p:!**
fe moroinfcjraadmgcda.ifrhecoiftcrcnria^n fo:teaU
fluia fcclufus fir: fi ^nificauit rcilduii ftrcp oiuicJcdis.
C H?ec ^>o b:cHi itroducrionc plibanrcs : ficjua obfcurc
funroicra:ncrcdio fo:cnt p:ctcrmina:oiligcnris cpaci"
tiolccro^iscomirrira^rminfibui^^lib^ifacientcsctE^ta
fi fld ultiirio:a feciuentio no6 (ouertcntee. ^

C £]cplicit liber p:itnU9.
3n(ipitlibcr fccudus scometrice ."fllub^ica.

•aperio^ievcro tractatuvolumieofa geome
j9 tri(earti0tbco:emata quauie fuccite tamen
funt Di(ta. £»5 podirmo:6 noti(ia bie liber q
fi ^niomri^i oium podifmaliii queftionii fau
pulofitatcsincutanterabfoluct cnodandc vcteres i mi
9sriniSro:csocm mSfurcquadratura oimidio I6gio:e5
latio:c vc faccre (onfucnTt.€t quod i latitudine logi^fue
rit:rcanii.€t q6 in logitudine logi'^flp|.icHatc volUffut
vt fubiect» oocct fonnula.

CxDc menfuris rub:t(d.
1rt\if(i igirurpodifmati(i(autilTimi Ufpmo^
p rce ouodcci menfurarii scn;ra pftiruernr:qui
bus(5velIcnt:fo:marij agrointp emerircrui:
areae: ^uo:u b^c funr nom ina miliarin lla>
di5:act'Dcccpeda:qu? tade ^pcrrKapaflus^gradus^cu
bitu6:pcs;fcinipes:palm"^vnaa:C»igitu6.miliariu vcro
v.tniliapcdu p:otcfionc6baberefan(itii ^.Stadiiiaut
oe.jcw.pcdcs babcre pilat.act^ tri lariii ciuidif iminima
in qdratu.in Duplitatu act^minim^quatuo: tmpcdib'
in latitudinc.-r.c.jCF.pcdib^ i lonsitudine piotcdif act^
vcroqdrat%oiIaterc.(.)i'):.pedib^p(ludif: ait^aut ou'
pli(ar^.((.i:I.pcdes evplieat.

CT 2:5c(cpeda pcdcs DCfccoIIigit.pafliie-V. grfldus. if,
«.cubit^^.i.c.pcdesbabercoinofcif.T^csaHrpalmosba
betqtuo: fcmipes.ij.palm^vcroqtuo: oigito:um p:o'
rcfione (oplerur. TDc vn(iali vero t DigitaU mSfura mc^*
liu8:a1oc vncialib^i noris-rnoFb^ fcqnentib^^&ifpui
taucrim^^oKcm^^^tEnodatiufcBtuofmpn^to:^ minut»
rij(t5 fubtilitatib^pmifcrim':eIoqucmur. TRuc ad fequc
tis rracrat^cn arrationc rcdire nos puenit . S>i p:i^Quid
pes poj:c(t^:gd ptrattus^quidqp fit qd ratus: Demoftr»"
ueriin^.TPcs aut po::cct^of .'Obi trfi pedalis mc nfu'*
railongognofcif.Corracr^aijtpee iUeoiiudicaf : iquo
logitudo latitudocp (ofidcraf .Quadrat'^ope»babe£
"^bi trincDimfftonispfidcratioifqualitateccnrcf. S>s
ia tps cft ad id quod inflituim%ccdere,
ClDc menfura t trib "oimcfionib^rubjica.

"^auis et in fupio:i6 libii p:t(ipio:'gd fit mS
q fura oefignarem': libct ni fpaliter bui*^artia

fpcculatotibus fatiffacicndofctJmiuliu fron

tinn; gcometricc artis ifpccto:^p:ouidinimn
quid fU menfura Defintrc.

tEnfura qppccftcoplurfo:? inter fcfqualiu?
m interuallo:um longirudofinita.gecmeniccat

arris mcnfuralis fpcculariorring oimcnflois.

ideH loRgitudinis.taritudinid craflttudinis

tonrtdcrfltioffecoUigitur.^^ tvt eitucleati'lfteroIttatun
*»RcctopIano folidocu oinof(itur. *fl\ccta ell cjuod Icgi'-
tudinc lolfi mcnfurando cf fctur: vr linccpojric'' . rtadia
miliaria. /iummfi lanrudincs . i aliaquas pUira longa
pjotcnfioue oircctfl: vt linc( infra oepiuc oefaiptio no^
tat.

iRectum

Cr'lPlcntie(! quod a grecis d r epipedon:a nobisautcs
pfiraeti pcdes:quodp longitudin? latinidincq? (onfide
ratur: vt,agro:ij planities: t f dificio:ii aicf abf<i5 tecto'
riis operibus t laquearib% tabulfltis % bi9 fimiUbus:
vtfubietta to:mula Docct.

C^lidum h S:quod grfci ilcreon v(y(3t noa aut qu«
dratos pedes:quod i longitudin? i larirudinf cralTiru /
dincqsibaberc(op:ob3rur:Utcdifi(io:u:pilar6:pirami^
duCB:uccnocrmaccrielapidiX:aliaq5 multa: vtfubicctc
iiotantfo:mulf.

^olidum

POdifmis rub:i<9.
«fcd la tepus e p;odifmaliij notitia qucHionii
vt p:omi(lmf:Han-ado9trfgcre:'j oe inueftigi
• l'^a3turcfpeailatione.p:orin'' DKO-e . 7Dc
^'''^^"•«'«'frogficutternaii^^nafuraliter pcc
dit quatcrnariU5:ira funtp:eponcndi tcrragonis: i p€
tagonie (ctcnfai tmpnmig oi(endu ec cenfco.
^«^c trigonisrub^Ka.
clntauttrigono:um gcncrap:in(ipalia fcr.
9 iropleur_um.3fof(clc8 ffaleng o:tbogoniij.am
bligoniu.o)rtgoniu:quo:fi oium in fe^ntibus
*r-.J°*£'^® ' pcdaturasocplanabimufi.
C£>cgfopicurorab:ica.

TRigon^igitur ilbplcurns:qui p:fccdcnris It
t b:i pcncp:icipiof quilatcrus triangulus oi^
(tus e:paria latcra babcrc(op:obaf . i^omt
ergo ifoplcurus in fingulis babcs latenb"^pe'
dcs.nXFJ^uiueanbadum idellarca talimodoeluclligi
da.Sutna^cotmvni^^latcris p femuitiplt(3ta.dc(((.nu
nierum (omplct.e;: i)s. t?i gngcnra i.v. fubftabantur .
reIinquutur.(C(V(.tot pcdcs bui^trigom ifopleuri cmba
dumcolligit.it^aarbcrumpedibBs.n:vi.(onflatp:oten
di:0uiflpvni^Utcn6Dimidiii.i.p.);v.multipli(atio:
crcucrinr:cmbadii (omplenr.aut fi vni'' lateris ps terria
p tcrnarium:': Dcnarium augcbirur.c((.naf(crui ♦ £>i ve
ro fumma larcrie vniue p cundcm tcrnartum mulripli'
cabunrnonaginta reddcnt.qui fupcrio:ibus. (C(.iuncri-
(ccrc.facicnt.idcfl arcam fopjadci trigoni.fitaiitp^cdc^^i
it»frafactaoepi(tio.

UDCF II

Cffftltttoz i btiiarmodi luefH^catoib^aliqiM
B rrrozie i liOti( nubilo ppediaf .iEiafd? igimi
trigoni 'jropUuri.i.panb^^arcribTolidi mani
fdlatols e.ccplar fubiicif m^.cib as^ iibplnir^
iCufaalttWaflnsiHa-W^iu.pcdcecolHsantr^uo^uiii
fl vnu pcr ii augmcntatucKrcumt.lD.cc.Dcjrxiiii.fum /
ma pfurget. Cui flvni^latcrie numcrum aggrcgaucnff.
rJ.cccjni.nafKnf .bo:u fupzaftripta. HDcdutatc arcatn
fiip:adc( iroplcuripcr noMbi8:vt fubiccts Dc[(riptdis
fozmulioocct»

iXviii

Di'aBtf35 ff pc »icti trigonfrvt latcf ia vni
b ufcuiufipmcfurainQftf^gs tnucftigarc valc
at:t oiccrc.-apcrt.lTimu oabitn^ronisocpcritn
tfi. "^zoponaf itac^ ft arca.cccc vi . pcdib''.^ tcn
ii{>flitcnt:quotpcda planitudincs latfvnuquodcptol
ligcrepcmorcaf .©utaf crgo fup:afcripta area octies: ct
in.iii.ctrlviii.numerij pfurgit. Il5uic \\ vnu addaf ftut.
lii.coi viiii.bui^fSme lacue fi fupfcrorcrit quiquagin
M.Ivii.Cui ftvnitas fubducta fucrir.lvi.TRelinquunf :
;0ao:a fi mediS ad iueftigaucro.^jrviii . fiut.Xot iiac^ U
lusquodc^ 3foplcuripedibu6.ptenditur.
C"3fofcelC0 autc5:qui ab cuclide geomctritc perttilTimo
©uottfi latera bnsfqualiacft oetcrminatutJifecundusi
o:dine trigono:n confHtuif . iCuius fl Utcra bma impi
ribusnamcris.i.rjv.ptendanfpedib^^rqimo^deci pedsi
lia fpatia baite babere peniotaf . flxcrtat igitur vt quot pc
dcsarcalis catbet^colligatcrc^iramus. fi vero tnedictas
bafts.boce.Tii.perfemuUipIiccf.^lviiii.nafccnf. £De
furamautcm vnius latcr isfipcrfeWeft.tvv.muUipIi
laueris.iD.c.jcrv.lfvcddes^ej: quibue li.ilviiii. fcpofnc
ri8*3D,lwvi.rclmquanmr.^uo:um ft lants acccpcns
ypiii.crunttotpedibuscatbcmmbuiusrfigomcotiftat
p:otendi.2lrca autem quot pedcs babcat^nccft facicdu
•vt inucniatur. i03cdictas ruriuin bafts fumendfl e idcil
^i.quo«.vii.ft'pcr tstbemm idci] pcr.vnui. muUipli'
K«.(lrviit.eft'ia€0.^ita( pcdumcn fup:adiaitngoni a^

CTJDCicalcno.lRubtio».

lCdlen^igif ab cuclidciriab^ns latcra tf qua'
0 Uaoctcrminat^c.^^cdnosnamtToei^ftgurc
flpta oabim^cjceplariaxponaf itaq3 fcalcnon
trigonus:^» latinis cunc^appcllaf :cui'mio
rfs latcno oecliue.xv.pcdcsfcolligat.bafls aiit. w vojcda
lia pnotef baberclincam^ra. 0uot vero pcdib'^ui^ngo
ni catbems.et cmbadupteiidaf : TRcftat: vt qufratijr.
SDucaturcrqo mino^isla^erisfumamultiplicando ife
fiunt.ccr)cv/3fe baftsft p fe multiplitcf .dcffv. etcrefcnc
QUib^in-cnucopactis.dcttl.nafcenf.liDacigif fe riicuen
dofcclufa maio:i6latefi0fnma5ifc»"uUiplicari condc
cet. s3Ufmulciplicatio.a(c.numer6adducit.52}ucvidel5
cccc.numeru ft oc pri^^fepcftta fuma.i.oe.dctcl.abftulcri»
((ctI.relinquimir.lK)o:uftmediu5fumpfm6.ccnrv.it)C»
plicabistquib^^fifummabaftsvcl.txv.matapsaufn^C;
THouenari<'crit.tot pedib^bui^igoni contincf pcifura:
vclcicaura mino:.lReftat vt catlxf.quotbabcat.pcdca
regraf . ^l^» nlriplicctur ergo min^lat^p fe fttut fup:a.(C'
ytv. pdeut.'»Rurfus i augumetata mino:is pcifur? pllc
famu'lJ.l]rm.,i^i?cit.lDos fi aufers c]cin fe ouctolatcre.
c)ch!ii.ruperru'nr.0uo:p c^uodcnan^c^ oinofciturlama
tot pedes bui ^trigoni tat bct^colltgcre gbibcf . 2lref vcro
podifm^raU m5 repitur. cTOeriaf ergo catbct^bafim vel.
rii.trv.cc(.confurgent.^5uo:iimcdietatcffpe oicrttrigo
ni fcalmi cmbadum podirmatur : vt in fobictta : figura
notatur.

viiii. . ' ' rrv.

C£>co:lbogonioTRub:tffl. V
■aarro n'mir6 loco trigon^o^tbogoni' ab c U
q cUdeifcritur:': vniirecttJbftsanguUi pftgnaC
i'?qnaUa ?tincs laterarqucm no8 ipfo audiru
oifTiciUojecftcrisobfcurio:e q dTearbitramur
Ctio,plitio:c i ei^^cjcplanarione mo:a faciem''. £fto mo
do trigon ^ojtbogoni^^^coi^catbetus pari numeroiftgnit'
vcl.viii.pedib^^m^furatus.ptendtf . tlui'Yi latcraigno'
rant:boc mo tiuftigari'ab arcbira pcipiunf . ^&umaf er»
«0 fu p:adicri catbetimedictas.t.uii . i p femnltipiicef ,
^t.jrvi.etcrefcent. 'iRuib^fivnitas rubtrabatur. tv.ap
paret. Xot pcdil bui^trigoni bafts cf cogiiofciwr . -pic
dicre aiitg medietatcm caibctis fiTmf adauctf . fi vnum
(iddaf:erut pedes Ypotemire.rvu. -^crcad^ iti ftimam
Kfcil D.tvt.cmbadu,cii inucKundus . Oi;ii(cr(io bumf

n t

flfitif mfdiuff per tttbfttim f .TriHUonftirgeiit^Qarff (5
plnrftipputsittonem.quodpaientcr in fubteaa rozmj

C"SOeeotkmrub:i(9.

i^naniir itdqj buius otrbosonf «perraj i rs
c nim T pcrparisi impjns numeri auantita''
ti inrtirucretifcriptione arcribaturcrgo tn pn
mt^parnumcr^catbcto.i.vi.fui-^mcdictatcin
fe iingumfrara. viiii . pucnmr. Cui fi f m noilri p:ecepti'
noMnulasfiipi^^ftgnatajVnuaufcraC.oetonarmBcric
banshuiuetrtgom.cui^mcdieras.f.qrcrnari^^pcatbcrii
multiplicata f'in qp fup:adctn cftrarcam c5plct. p catbc^
runi 1 bafts c bypatc mifc pcdarura? ftnc vlli^clama^
Honeinquifttusoiccrc fjciUimum t apcrtum noftrcaU'
tro:itatiscrcplnm oabimu6.multipltcctur -rcnimper
fuamquantitarem mrdietast7ui'^rigoHicafbcti.'r ffimc
cjuf ci: b 'c tnulrtplica tionc p:oucncrit: vnitas aggrcgcc
mc Yporbrminc ped jtura.-ctdc aurfl aurcratur vnu^eric
\oifi9 iUc^ btiiuig rci b(( f^ta ocruiptio.

VlU

C3nftiraamus ergo boiua trigoni o^tbogonti per ipn'
remnumcrump:ob.bilcm crplanarionem . 2lnnoterur
^Catberas impari numcro idf rt.iii.qucm ft nife ouiccris
viiii.cjrplicabic.quibus vnitate fnbduaa octo fupfunt
quo:um medium (t fummatur:bari« Oitbogoni) bui^pc^
datura fo:ecomp:obiitur.

p:a efctS enrrepiflrar.f.eitberaff p medier::tf bui^bate
ctcrcftar^vriniraccmif picmra.
CTlWcaijtbui^^oirciplinc ainofijioagaro:c5 aliclfallac
obfcuntao:0cboccod6o:tbogonioircfato oifputare non
plgct. ^ il cnim alia iucnicndi catbctti i bafim c Tpotc
mifam ratio. Ti>>onaf crgo catbcras. v.pcdtb' ptcn fua
quSn multiplKCispfuiqiiJtifatc.rvv.notabis.bafts au
tS.rii.babcas pcdcs inftribaf.quefi ficut catbctue in fc
pcrcucrtr.c.tinii.nafccntur.
<r ^ll^ funtc.i.xFv.t.cvliiii.copulate.clifviiti.refliraft.
Ifao^iat^.riii.ec mantfcrtum.i.YPorcmifas fup:a oicti
trigoni.IDcniq^ ft Tpot:mi!a? p lcaugcndo oufcrif;par
fupra copuUr^ quarirati.i.cUviiiircddce. tDt gb^flca/
tbctffinfcoucnl fiibdupcris.crlitii.rcfldui funr.quo:n
lat^.i. jrii.baftm reiliruir.€)r Ypotcmifa vcro p fc muW'

fjlicata.-ir^icisbafijin (c &utta5bo<Jcv.clrviiii.cviiiii.
ubtrarcrit:iRopluf^fe.j:)cv.l(l\cmancr. JE>o:ulatUB A,
T.atbcrum connitutt:arca5 aurbansmcdictaa? catbc"
tUB ccvtnoltiplicati mcriuntur.
itJtS pcrcarb ctu bafis cdtcerc pedarara^ in boc trigc
nopdcccr.£>itmo fup:a caiberus.v.bicvcroifc oucf.
3crv.^>ilituit.B:>uicfiaflcflbfiulcro.rt:itii.fgrcdicf.quo
rn medmbafl: cfticit.Klurfus aiirfi bafts^tititaticandC
adiecerovnitfltccyporemifa^cTplicabo.flautpcatwtum
bafls mulrlpUccf 4v*^srcdif foma.llDo^nicdietaeo»
l:iadi; coplcr.

rii

C jftf oe codcm Kvubilca.
• XiS infup bac vciligia gradicti no:m3 buius rrigSi
obi'} cicdo.pp5crccuram':qtinus bac tautc idagatce
cautiiTi ma ad id ad quod ocflderat acccdcrc.itcritatis U'
nea abfqjoubiocducat.pponatur tgif cmfd^ o:tbog0'
nii t»cfcriprio bild£ quatitaribus^gbue ccirciJflgnara.f.
tatbct^viii.Ypotcmira.rvii.baftsat.rv.pcdib^&flgnef.
IDuc vcro q ronc p Ypctemifc podifmu? carbcti:^^ t bafitf
fiima pcdaf rcpirivalcat^Smoflrarc rtudcam^^.mulriplitc
fn%go fiima Yporcmifcp ft.T.ccIricrviiii.numcr^dMn
dat. iCui fl qtcr cbalidis tliritae ittrabaf . vlviiii.reiiquo
lur.bo:p tctragoicii latus ft iaficris. vii.ec cjrpicris.qti.f.
rii.ft copulaticarbcro.-r bafi aggrcgcs.rrt.cfruics.QUO?
cimidin bafis pftituit fpatit^ qndccl at fl 6 aggrega^ .i.d"
t;;:iii.3t)llalcri0.vtii.fu£ d (atlTCtS finc oubio ci^p^obab.

liii

C"K)ui(verobafi telmedierati vcI.itUfl vnu aggrrga^
9t(i8 fpotbctniliim trigoni copiobabis.cmbadumvt fa

Jtv

tiDcr II

117

C^«n oe eodan riibzta.

€ri3n<mii6 itn; im oictiortbogonii fb:ma5
• f aUio niirtifrov iX^tiraribue: vtaim aUqiiis
vel p maio:? vf l pc: mino:? niiiUiT: himi^ tri
g.^ni apcrt j traderc oirciplinam cog.itur:nu lo
crro;c labaf .ifrto agc tricsoiuie o^rbogonuie^quc cirjun
ftant par vnusT ouo iparc^ nunicri par bafi.ucl.ioc.im
par vnuscatbcroboccil.rv.altcrijcr-) ypotcmirc.i.ricv
•fcribatur.iEnibadalis 5t .xlufiol^m rup:adiai noflri p
ccpii rcgula inQrcnda e\\ boc e pcr multipluarionS olmt
dicbaftsctot U9 rummecarbftiprinct.n.arff fcpru^.tl.
pftractoepcdcs. iCatlxtusat-rbafistali funtindigjndi
roncoucaf crgoYpotcmifarfummain fcs in.dcrrv.TRc
(Jundat.c iflqtuo:adi|ctanf embada.X]|>.(Cwrv. nafc^
tur.quo:?:tctragopalclfltus.i.xj;!;v.fi crcepisi: fummas.
dtrarc^ bafle i catbcri cop:obabi0.£»ctrcarop5 1 inuc
ftigarc:quo numcro a fc inuKecatbcriie t bafte oiilcnt
K>ic Tcro quis firrmanircrtcmuis . S>i igitur ypotcmife
ntfe mulripltcateqmo::qucadtc(i fupiudcmbada: fub^
trab4in.c)cv.fummarcgrcdiF.n:?ovgnta ps oiffcrcntia
tenet.i. v.quafirarfua ouabus iuncr; ((mievWxj^s.xv
i:l.p€rnotabo*ll?o:um mcdium copietbafim.
C Si aut? adcm oif%cniia boc c. v .bafl aufcrl^caibe''
tampflitiMm vtccrnipoctn fubiecta fism'

C2?e oztbogonio (irtolo infctf pto rubzica.

TRum ct qt)arcbit?iudi(ioinboc cod^oztbo
D gonio app:obaru3 i:i cuclidis oilisentifTimsi
perfcrutatoe p:iu6e ronabiliccradinucnmmr
opcrcpriuin ourimus no cep:ctermittendU5
€(!ftffpe.vtotrputato:ingfomctri(a:(irculus fi boc
o:tbogonio inf(ribaf:quotpcdce Diamctru6(oUigat:rc
^rac q5 ne vicme igno:atta rcfutct aliQS fe bi(crc: b:eut
ter infinuamus rc buiufmodi.infcribaf itacBCirculusot
tbogoniooSs lineaeciustagcns.bocnimi:;? ^cto catbe
Cna 1 bafls aggrcgcnf in vnum ct (uius fuminf coipulsi
tione fi Ypotcmife ctrccperis quatitatestoiamec? effkica
luncti.n.m.t.viii.i.tatljctnstbafis- jcr.reddunt.^j:
Qbusfi rpotemifaabllulero.txx eil.^v.oiaraetrum. v.
obttnereconilicuam quod fubtus facta ^eRsnxt hsm»

pi.

CSDc ambligonio mbiia .

'^intus in o:dine triaguloii;! ambligonius ab
4 eu(UdcinfcrtU6obtufu5angutU5bnsoicm3
et!:qnSno0fuccinteaptccBei:pliiflndo aggre*
dimar. ft oiUgens lecto: Aiperioiia noflri oooim^ti

p«(epti9 1 fo:miiIisinm{tupa((cfrcrfr: minime in boc
lababtt. iConnimaf moambUpomus^fnmebafis.vriii
numcroypotcmifaatinaio:.]r.Hiino:iKro.i]C.iiifcriban
lur.carbrtusaurt-.iiii.fnmmatnfigiuariir.
CiDucamrcrjo bafis percarbcri otmidiuj.bo^c.tviii
perbinariUj T.vvrvt.p:odeunr.QUf funmia (mbadalia
fpa(iiplnnmidinfadiniplct.£>5,ar(bit96i(nn(tievfcs
roncaliomo buiusambligoni) arcit rcpui pUtmitribdC
Quc fumpta f fumma in l.-iac flreeplanitudinc. S'? inino
r5 pofrcconrinericrtflimae aflruiit n.carl.>ftumpcr fc
T pcr binarium: vel pcr fe t ottonarium Duplo fe fupcran
tcs multipiKari opc»:rcre.£t quatitat?:quc bfl(C]c multi
pli(ationep:oucnirctarc3?l1irucre:nonvt.v)ncvi.£>cd.
jrtirii.in fc (olligerft arfalie tlla prcplatio.quiecjsanrcm
buiue ia oirti trii5;onii fo:nias in plano oc flgnare oifpo^
natra bafis quatrratebuiuftnodirc ingrcdiaf .tali ronc:
vtfcrminus mino:i6acmaio:i6 fporcmifc (opulatus
paruo vincat tfrininumbafis.botC fibails.rr.menfurcE
pcdibus.maio: ypotcmifa.vi.mino: aiirc.jr.infisniarur.
jSjinettue boc qt3 numfrisDuuniuscoflcdcmus.fiaU
cuiusejcempU fo:mam fubi|(icmus.

>;viii

CiDeoicigonro rub:i(a.

^ flat vt oiomus beorigoni fpctulatione qui
r feytusin trigono^ oefcrtptioncab cncUdc no
fcgni gcometra ponirur afuti angulus cctmi
ttatu6.cfto igitur origonius:(uius mino:i8 la
teris tcrminus.i.mino: ypotcwifa.iciil.pfdibus tcrmt>
nctur.mato: autc.tv.i bafie.ttiit.mcnfurff :(uius(atbe
iv.t crnbadi fumma fi igno:af talt ronc coUigemr.
CSDucaf ergolatcris mino:is Cpritss pcr [c.clt:ii:. rcdo
dat.baflsttcfminusfig recircrcue it.excvi.nafccnf :3s
V5 fummasfi iunjccris.tcclKv.cffuics. quofco multipU
cef termius ypotcmifarpcr fc:? c)iurget.c():,i:v. nume'
tu6. que fi oc fupenus copulata fummn ffcreucro : f.unt
rcfidui.c):l.bo:pmedictas.U)c.ff pfrnotaf .q!5 pcrbafim
ttifperfum Qn«iC6 ipfa in fe rctinct. JDtlatioius vero bu'
iusfuimnamino:obtinctp:ccirura: quepcr fcadaucta.
jC)cv.pftitutf.K»o6fiocmino:i6iaterts fumma pfemul
tipicata abftuIcris.cicUuj.fupcrfunt.quo:^ tcnagOalela
tuf:quod.]cu.ccatbctifHmmac)cplebit.arefp(Iufloncm
boc me iucfiigarccuratobafism^diUj oufiro pcrtarlx-'
tuin.i. vii.pcr.rii.tp^ouenient.lr^riiii. It^ancfumina
coplereareaU buius irigoni pauimcntum nd isno:a oe^
6ribatur ergobuiufmodi beiToc (igura.

«5

r^^comctrf^

CSfd mi* oe trigonwom podlfmaliconfldfl-atione I

rupcrio:ibU8MltiNcnnunt lccto:u tnda^ini crplani^ut/
m^.iu^^crcrtXlrad rc(ra5ono:um fpccijiaitonfnttranfl'
tum fjciani^f ucc inrum De bte babitnri tractatum. i
(T iJuadrato:!').!) Cftensi facilio: ert coUcctio.J^t [>:i''^ /
dcm oc no:maIi terrasono tali mo^io o:diantur. O mi«
igtrur tcrragon^no^nialircr conilirui^latitudinctii longi
tuilincmulrtpltunrc^rcalcm conHitutt planttiidincm:
r podtfmil ftne oubio abfoluit. -^onaf modo tctraiTO
tiu* pari numcroconrisnat^tdcrt.viii.quos pcr fclati''
tudincm prr lonoiitudincm multipUcane.lriiij. cffuia>
embadum vidcUca fubt^oefcripti tetragoni.

n

tiii.

vit|'*

C^dem Yero fl per (mparcm num?? ffcfrisrattentcob
ftaculo eadem ro conrtab ir .qnoi mafretragon^^ab eucUde
{QUilarcr^atqjrectiansur^nominatura.^^icbomaciJoau
icm 111 aritbmcricie ftmtUtcr appcUatur.
CJD(parteaUeralongio:i,mb:ica.

€ tragon'autcm partc sltera longio: ab cucU
C dc (luidcm rccttansutum.£>ed noncquilate-'
rum oclinitur a nicbomacbo autem eteromeres
cicitur . Cutus qutdem longimdo latitudtn^
wultipUcans cmbadarfummc pcdaturamtfiue flnt pare»
feu imparcetcrmini:o(monrtrat.fltmodopartcaUcra 15
gio: rarai3onu6:cuiua longirudopcdee.vni. latitudo
autcm.un. vei longitudo.ijc.Utitndo autcm. vi. vel. v.
TCl.iiD.colUsar.

xiii.

ITfl&oItiplicctcraoIatifudoIonsitudincmideft.iiir.
viu.u^ii. nafce. tur. bocertarcapartc aUera longio:i0
tcti-a^onip:oucnicnt quchc figurarum oefo:mationc«
numero iitcD impiiri mfi&im.

CJDcromborub:ica.

30 vero ia t»icg paralello gramis adiici?doa
b rumbos.tftromboidee tctragonos arbitra-'
mur.quavie cni; aur angulartra^sut larCTaU
tcra fup^adcisparaldlogriimie Dilftdc3nt:tti
bis funtfld numerandi. tf rtoaqcromb^^quadrtfafcr^Yin
fiuUBlatcrib^oeccnf pedature (iimmaconrcrtpt''. oiago
niaiit boc ert anaularis linc? oircaio bis fcna numerc^
quatitatc^cui^^.vi.rt p fc ausumcnr-ibif.xttvi. eiturgJr.
quosrt erbafts terniiRopTc miilriflicato fubtravcris.
Uiui.HlcHianct.BDo^ijretragonalcl^atus.i.viti.bui^^ro
bitatbctum prtttuit.E^iagon^aiTt pcr catbcrii cucf^cm •
badaUe fnmc fpattum oncndit. H?ic aiit ab cutlidt cqua
babens latera: ^^ed non anguloe cquos ncc icttos ocli'
nuur.fit Tcro oe bot bui'fo:mf pjocciTio.

C3Dcromboiirub:fta.

DcUdes vei 0 ncc anjulos ?quo0:nccB lafa f q
c bcne romboidce oetc niiinacto.ppofutt: Que
no0 quoq5^atcntio:i adtm fo:mandonumc^
rofcB afcnbcdo rc^abim'.{£rto agc romboidef
COi^vnnUit^.viij.pedcercSmaiJtqfuo^.TcrtiBvero.vj
quattovero.ii.barovero fummarii marimos tcrminoa
longimdinem optinemes fi piungae.iiiii.elfificf.quo »
rum mcdietaf em feptenari^conrtituit. av^tno^es autent
fomulf in vnnrcdattf fenariam auanrttatcpficiiltrtCui'
mcdin termtri^^adlplct.que ridelicctmcdietatcs.vii, ct
iii.npfemuUtpUcabuntur:t.t;ri. ccifurgent idcrtpcdctf
arcalcetctrasoni buiue: vt infra apparct. .

rui.

uocr II

CK){STmfm adifcfendam ro:ctMpf3ium oubogoni^
um non incongruum oucimne ouplat fcfqunlrerA ntv
in(ro:unip:opo:ttonclatcraliccrconltgn«tuni . afchbaC
vnttci iQma Qndinjria.catbcroaat tricenfiria ouplo etii
tranrccndcne.-bfld Y^cro ad banc fefiiualrcriim reru.l0 bt
bitudincs trrmtn^conrnidatur.p bas crgo fumma* «rc«
bui%apc5i) criironcconilitucnda cil.adiungaf ^over
tej: bafi.i.nr.rlv.-z-lv.rcrmin^eicubcrat. <Cur ge Dimi'
diaft pcatbctu muIriplicabttur:4FC(paDditp:ocenrioni
vr in mrdio fcripta p5 figuni.

d.cccc.

ClOe oiasono adinuenicndc nib:tGi.

€peautcucnire folct:vc 2 bui^artts fpeaiUtio
0 nc:quoc anf;ularisltnecp20Ccnnobo:u;.r.ce

cragono:n pcdC0obticac:'d\caraf .c)6 ne igno
rcf :fa<tllimn aeciirimacB l)Uiufcc ronis oabim^cjc^plac
T(&onaf cc paralcllogramMic . o:tbogoni'' in iongitud::.
lr)C]c.8t ialticudincbabcns pcdfs.lr.longicudo vcro g
l^auspm^cata.ri.cccc.c^rplicatlatimdo auc p fc muUipu
cata.iif.b .c.cffixic.quc vidclicet.vi.cccc.^t.iii.dc.i vnu;
fumm(rcd9Ctc.ir.rcftimunr.bo:i].f.);.cccragonaIclacu9
fi fumpfcro.c.pnocabo.boc cn oiagonum buiueparalcf
lo gnimmt,o:tbogoni|:.Tt.infrafaipca pcrfpici potcft
fozma.

C©eejKisonoTftab:ic!. ^
ieagonus auccmo:dtnet'n fubfequenti biteit
( dU8 infcraf .oefcribaf f enim e]cagon^t>ii) .ki
tcraiicer inlf gnic^: dncm videlicct octonartus
per fe muItiplican0.l):iii).ef¥iciam bcc fummsi

^5.l)ciiii.quatcr(tocta in.ccl vi.redundat.bia vid^ Ucct.

cclvi.rt laccrts vnius nuancitas idcii viii.bis oucta adi'i

ciatur.c(l]c]ci| .apparcnt. auozum mcdium S>i fumpR

rts (ireambutu^o^iigoniti:^ liciDis.

TUI.

Titl.

C X>e'iiiulttanguK0 ftgurts rub:ica.

6d q: fufficicntcr b:cuirerc^ be tctragonoi? of
0 pm'f6nib';TRellacvcDepencagoni8.'ic)»'
Sonis:)C(terifcpbi(fcram^ 0is icac^ pcnta^
gonudfas babtcis laccrib^^laccrisvni^tn fc fu
maeiccrefcenccaccer ouc(a:iiaurfufcB cadSfubducta: me
dictatec^ bui^famg fumpca embaidatie fpatif pandic fu
pcrficicm.tEfto mo pcncagonTmguliab^ns uccrib' pe
dcs fcnos: Quo8vidclicct.vi.fi p fcouFcro.frtvi. TRclli
tuam.boatcroufcoa in.cviii.numerotn pcrftringam
cDiflabdulcroiatcris vm^fummamidcl^fcnarium.c.ii.
cicplicabo quo:um Dimidium fl 4cccpc[0:aream ifra
wvti pcntasoni adimpUbo.

CJDecptagono tvubzifli.

;0i1bcc vtc)cpediamusoeeptasoNifubfcc|it
p tis rone opo:tct. 0ui vidcliccc cptagonus ler
tio bic infcriiur loco fcpicnari*'qucmadmodU5
in imparium numero:um terti^^naturalitcr o:
dincapparet.coUoccfur.'; cnimcptagonus fcnjna Quan
tiratc tircttlcriptus: cui fi latcris vniiis fummam per fe
multiplicaucris. irjrjcvi. pcrnotabis. querciUcct quaiiri''
tas boc ert .t)cie VI . qmnqiucs oucta.clio:):. ad cfTc condu'
cic> leiuib''^ fcnariequ jtitaris fummamkr ouctam fub
dujccris.tljcii.^BlcUnquuwr.bo? medicras ftiptiMj^u
pedccmbiidumbui^eptagombflbcrecondticit.

CiOc ottogono. iRubufli.

lCrogon^verein natoraliparium numerorS
0 o:dinequart'^conl1ituro0tn boc oitTerendus
loco njturaltcaquarroe aiTnmatur.tEiloage
orto^onus. t>ii.pcr ftngula latera pedib%cn
fnrat^^.ftJanc litntirum naturalcm qujtitatcjidcft.viii. ,
in f^fi ourerie.ljuij.cftKsffl.quosnpcr.Ti.multipUta
ri0.ctclccriii).c):plica&i0.f tbisfiquaterlatcrisvni'
fumiiu ocdu]ccrie;non ampli^quam.ac.lii.t^cfldni fat
^uo:n mcdiet48i\e]C(ipin}r:arcabutua oaogonii per^
notsitur.

C2)coe(90ono *l^ub:tca.

^HatTt or dccasoni embadilt oicaiTms po^
r dirmo.ocfcnbaturiracB oecagonus ocnario
numcrolatcraUtcr limuatus. Cuius ft iatcris
vntus quantitas fccundnm iain fcpcoictam
noftrc p:eccptionts inihtutionem i'e multiplitando cjc/
acucrit. Ccfficict.llDi) vcro caics ouct .d.ccc. adducOt
JE)o:um vcro mcdtum fl fumpfcris: arcam buius occa'
Soni.caljr;. pcdtbudcontineri abfc^ onbto pernotiibis

fiii

Vllf

C 2De cnnagono TRubtUa.

'^nagon^ autem flngula per lateni. vi. drcu^
c rcrtbatur:quem vidciuct fefiatium fi fccndu^
fupcrt^Diccam nolUc inilitutioms rcgulam p
fc multiplicauciie.rt^tvi.eHicieetqui tc^ tics
bucti.c.Tiiii.fumniam pzoduccnt. HDis fi latcris vni'
Quantiratcmquiuquics fuurrapjrie.l^rcvtiif . "tfleddcs
bo:um mcdict sc.cepra fi fucruibui^^cnnasoni cmbadu
):};):vti|.i(unifpcdibUd(oncineii inaiiifciliit. ,

Cr5<l«n vero oeendecagono Cfterifc^ plurilfltcrisfigtt
raruin oe eriprionibus fl ficcri?:nulliu0 crro:is obitacu
lolababis:bocpactovtin naturalic:dincin multipitci
da vnius latcris fumma:-: in bacquaBtitatc: qurepbac
latcrali multlpltcatione narntur:naturaltter augumen'
tflnda:^^adeinci3 latfrali natnralitcr.fubducenda ^ccdflff
cmoadum.t$ tali rationc ej: mcdictaabus fciiuct adiuc
nias.

CiOccimitolRubrica.

€d quta^:an3uUrib'figurt9 nuiiiofolccro'
0 n furticicntcroifpurauitnus.iixertat vtbifiii

tcr DCiircudiKriocfpcrc vclcircuticvpliccm'.

1l>onatur£irculus itacis.vliiii.pcilibuai cir^
«duffiotieocTi^natUG.iDiainctrueaurcni.niii.pcduni
p:oteiinonibus ocfcribatur. iCuius fumma rt pcr fe cjccrc
uerit.trcvi.nafccntur.bosper.ti.muiriplicjne.iMlvi.
tfficics.qu.^aim quartadecimapara.idcft.clitii .aream
biiius (icli pandit: vtinfra potcil ccrni.^Fil aha bui^cicli
inocniendi cmbadalis fpati) rario fumatur i cnim circfi
ductiuequititatis mcdietad.vcl.rpi.quccD medictas
€tptr medtetatSoiamctri idcil pcr. vi|.multipliccmr:t
qaod er bu muUiplicattonc p:ouenerit: (mbadum pan<'
dit.

C jD( emidcIo.rub:ici.

^«vero b:aiib^i'nitiamenti0 oe tircutaribus
b ibco:cmatiba0 oiccndum <t cenfuimue ^ emt

cielo p:otin'oi(tnri. jConiicribatur age emiei^
das.v^ii.tn bafl i in femidiametro.ritii. pedee babc"
se:caiaeli aree podirm'igno:etttr:tali rationead inuefli
smir.eX>aUipl!(eturergofummabai1e per cinediame-'
iri fummam.i I.cceireii.pauenitur.t boc fumma in oeci
C0.ilii.ari.pu>dudt:quo:um Aimpta quartadecima par
te idc[l.acjii.irGilts coropUtor rupcrfictc0:vt p:opta ifii
pant.

aeepipcdantin p^difmanonibutjfigura
b rumadp:cfcM0 DicrarniTinanr.rcflar vf oc

monriiofa liioinruio aliquid ronctracrcmue.

uifaibariir ctiam moiisiii vciricie ctrcuini
ccc.jvdibuepodifniarus.a pedraurcin vfq; in fiimmi^
tarrm.d.cccpcdibusp:orciiitij».pct' vcromonris ciuf-
dcni in circuim pcdibue millcms conngnctur. i^:op5a
tur modo inquirttum:quot iugcia in l>cc moric bibcan
tur.Qiiod tiltcum rfltoncordiciidiim^iungantnr-zcni
pedifl icaaiminis ouoillicnoiitus idc(l.i.ccc.Qno:um
per mcdium fi afccn tio boc crt.dcct.pcr.de l.inultiplua
bitur.orr.pcdcsbabcrcmonris buiU6fpatiomcomp:o
babifnr.bantigitur fummam fi in.ttviii. dctc. oifpcrfc
ne.cviii.inboc cJmonte ccmp:obabi8,rcftantibuetA
Oimmillmis-.i fcxccntt^pedibus.

ca.

.1.

CTBiautem monein pediecircuttu.ii.d.T mrdietarf^
liraiitionc.t.d.c.in caeuminis autcm drcnduetione ceto
< in afccfu.JD.pcdcs babcas luerit: boc paao iugera fuc
Bdinuenienda. iun^antur trtum fupzadicto:um lircui
tnu5 ioummq ^.iiij.a.nafcuntur^quo^um tcrria parre.
iden.i.cccc.montis afcenfionem bocert.o.muUiplicante.
o.c(.p:odeunr:quo6 pcriusera otfpartiens.rjiiiii.eflri(icf
noQ plufquam ouccntis pcdibus rcMuif.

Geomctrtas

C<A>on9aDKm ftrab^ideilin(quaU« A fUmt in pediT

circunff rcnrij J.KCcr invcrticis oaliuo.cc. in oc)Cferc
par^afccnrione, iD.ccd.inleuilatcria aurcm rufpccru.
2r>.cc.l.pcdcc< babcns iugcralis vcro nta planitudoljoc
inodocftindajandj. ;£»umaruricni5 Duarummedic^
raacircfifcrcntiarumin vnumcollccfaruniidcth iDicc.
t afccnfuum compofirozum par s mcdta boc crt. l>. ccc.
€ t bf mcdictatcs per fc muUiplicatc.Dcicl.pzoducunt po
difmuni fciltcct moncid fup:adicti. fjcpcditura autem
iugcralcm faciic runimam fecunduin quod oictuin ^ fu^

«i.cccc

C^uia igttur oeomntn buicartiinferendarum rpecuia
tionum rationib^^bzeuuer cnodatcc^ fat oi(Tcruim^:TiRe
liquii? vtoe vncialiioigitali.mcnfura.irtDcpuntto'
rumTminoto2umcgterifci3imnuti|sficutp:omiftmus
oicam^: tfOirabilcm i arti buicrcf tcrifcB matbefeis Difti
plinid necei^ariam (iguram:quam arcbita pzemonilran''
ceoidtcimud:cdituri.

C"£>e minutifs rub:ica.

jEtcres igitur scometritear^indagaro^es fub*
0 tiliflrimi'maitimccB pY^lJ^Sozici^cij omniacer
tis inefura? oiuidentea ronibus ad ca: q na'
turarcnncrctoiuidi'? fctari:vffBEuenirct: in
geniopflsnantceaqnalitererantindiuiftbilia pofi^ no^
noib^que oatis oifparticre.Cui^-^o agrospcractus:
ppcrticje.i.pcr radios:pcrpafru0.pcrgrad^: pcr cubi
ros:perpedC8:perfcmipcdes:'z pcr palmos oifpcrfilTcnt
non babcntcs palmum pcr qtiod oiuidcrcnt: id qi? pal'
mo cet min^oigitoautmai^:Uncia votarcmaluerunr.
3n fccundo vcro loco oigitufti fubfcripf unt.in tcrtio Ik
rcrem.idcrt fcmiuncia.in quarto quadratc m. in quinto
o:asma.in fc):toftrupulum.in feptimoobolum.iocta'
uo fcmiobolum: qiicm grf ci ceratem nuncupant.in no /
no filiquam.in.):.punctum.in.ti,minutum.in.t;ii.mo
mentn nominando pofucrunt.iDidcrgo minutiis adin
iientis:noib^ceedi|multifo:me0ci0 notasindidcrc.q
q: partim grec(:partim crant barbare^nobis non vidcb§
rur latinc o:ationi adiungende. ^ua^ptcr nos rem ob
fcuram obfcurie ignorifce notarSfignis involucrc nolcn
re0:loco carndcm norarnIatino:umclcmcnto:um nora^
o^dineponim^^.itavf.fl.vncifrefpondeat.b.oigito.c.ila
tcrc.s:>.quadranti.e.2Dragme./.fcrapulo.g. obolo. b.
femioboIo.i.;Siltque.b.puncto;l. CDinuto. iD.mo^
racntoafcribatur.ADcfcribaf itaq^bi0lfi0:quam!oi]ci^
mus fisurflm vn(iarum:bo( modo.

C S iufdem.Boetij oe geomctria liber.

Cometria eft oifciplina magnii udi
nis imobilt0:io:marr)q5 bfcriptio
g contcplatiua:pcr qu jvniuftuiufcp
rcrmini occlararifolcnc: oocum^ta
it vfibilc pbilofopbo^p: quod latie
oi' tcrrf oiincfio. ^in pcr oiuo fas
fo:mas ipfi^^oifciplin? p:imil f gf
pt^ ferf futfle partita.p ncccffitatc tcrmino:u terrc: qnoa
nilu0 fluuius inundarionia rpc infundcbat. Cui^oifci^
plinemagiflri mefo:cs aii oiccbanf .i55 varropitnTim''
latino)? bui^noi0Ca5(icc):tittflccom£ino:atoiccn0 p:i^
quide oimefioncs tcrra:;: tcrmis pod^ vagutib^ac Oiico:
dantib^popurpacis vtilia p:cflifilTc.lDcindctoti'annl
circulum mcfuali numero fuiflfc partitum.Xunc t ipft
mcfes quod aniiu mctiunf :oci funt.Xiic t oimefionej
o:bis fcrrf p:obabili icfcrt ronecollcctaiii: io facrujfvt
oifciplina ipa gcometrie nomc aeciget: quod per fctula
longaconflarct.

C 2)e vtilitate geomctrielRub:ica

Xilicas geomctrictriploceft ad fa!cntatcm:ad
u fanitatf^indaiam.ad falcnrat?: vtmoecbani

(i^arcbittcti.ad fanttatem:vtmedici. ad ani
ma:vt'pbilofopbi.0uaartc rtarcrcroiligeticura atc^
moderatametcpquirim^^^boequodpdictloiuifionib^^ma
nifcrtii c:fcnfu0 nofiro^ magna clariratc oilucidar: -r illjj
fup:a: ^Jualc c Cf lu aio fubire:fora(B illa macbina fupna
indagabilironcafDifcutere.iEtifpectiua metis fublimi
racccvaliqp9rtecolIigerc7agnofceremadifa£to:c:gtaii
ta T ralia arcana vclauit. Tt^ a miidus ipfc fpbcrica fcrtur
rofudititccoilfct^vt oiucrfas rc^? fo^mas ainbit^fui tir
(uitoeconcludcret.vtidc lib:u fenccapfcntanca pbilofo
pbis birputatione fb:m8«it:(ui ti ulu0 e oc fo:ma mun
di.lHamingcomctiia vtiqjpartefarcmurciTcvtil^tcnc
ri? aaib'agicariioib^p:odciTcca eviilimam^.lflfcfineci
fumivirictiamipcnfambuicfcicnticopcram ocderunt:
cum fit gcoineiria oiuifa i numcroa atqp fo^mas numcro
rum.nota non tiuo:ato:i: fcdcuicg pjimis faltem if i«

Zibcr m

crodito mct(fmi rflrqaodad rubtfltfatati pftat tmuifTi
ma.-^aj kUm vnliirima:7adcrmi:flriojKm valdcio(3
dilfima.'!.! aufis rtro ficqucnfilTime iiumrurrq: pmil
o:docil scomcmc nccciraruiet.itlonnc t cloqucric.ci; po
rib^gcomcfria p:obat iii icquc nna ■r (crri-j in f crrapprcr
quod plurc^ inucnia^Hj bialcriri fi militcr t rcrbozici in
grcclianturbancartcm.C^ialcrico nici5rtlIogifinofl rc»
pofat vnrur-r qut runrpotcnnirimi 5r.imat:ci:quiapo/
diri8«[rffcoiriirur:idcmp:obantTcarccnrbiincmatc:g[
rc;o:icut» ctl filiojilm^^^quod Urinc inrci p:craf mcn r; cb
ccptio. k5ucm tnrpcrffcrum folcnr arngraft nucuparc . ct
ipc Pcnict5p:obar:cuiuer:tfo:mcciroiit'': quorbncis
ra5*connn f.Sk"5uib'modio fiiiirunqucillaarcucurres
linca n clfitiat o:bcm:quc fo:ma cil i planis maj pcrlccta
laiia tot fpanatoinplcctif .5£r fil quadratu panb^^bo^is
cfficiat rurfu0 quadrata n-iansur'triansula ipa pl^ca*
latcrib^quam incqualib^TaliafoTfitaobfcurioza: quod
5topcri5 fca opo:r:tC)cpimcntH:ltDcc in plani9:n.i i mo
tib''i colltb'' ct impito p.;»q: r«r fotcurfum v inb:aruni
inot3tomp:fbcnditur:t"pcr oiucrgia aquar fcgrcgaf .
"Wiicad cpiilolam3"lu«l"3ri0 rcniam^^^quodadbui'
arriso:isinc;n pcrrina:rt ncc ipfl"'3ucto:ie slo:ia pcrt-
fltrvtnobiepIcniiTimcrci vcriraead uotiriam vcniat.
quifasinc tamcn i>anccpirtolan-i ftudiofc targc voluc-'
ritquiburdam (opcndijs innodutt^UMidt^maiozuin oi
cta tn b:cui pcrcipict.
C"iDiu'iutiu& (' f^r HvUb^ita.

y accmm^ t multarum genrium cominato:
a trcqucnria billi militcm cjrcrcuir amplio:u5
l)cIIo:um cpcrib^auHcndcrct ca illurtrium vi
ro:um v:t!C8 ingrclfue cil:ou:nrium populoa
rogantCB rccf pit tfrlnoe gladio inrr fcmit.Jf t poit qui
boftilcm tcrram obrinuit^o^clcfis boftium cimtarib*' oe
nuonouae v^bcscoailituit.oatoitcrttjcolomc nominc
ciuee ampliauit.

CcDilitcscoIonos fccitalioein italia:alios in-p:oui
ciis quibufdam.llDfC quf oiu^igutVad fignat^ v:t)ce
p?5Uinflarum crcrcimiiutTirp:oprcrfaJita0 bello:^ »'
cicanon folum casciuitatcs ocmum cinscrc muris : ve
ru5 cria loca afpcra t confragofa fa^ alligarir vr ilfmart
tnc p:opugnacuI o clU ifta lo(i narura:-! ab agro? noua
t>cdi(3rionc (ulnjrc colonias appcllauit:quf (olon jf 1« s
viao:ib^:qui tcmpo:i6(3 arma (cpcrc: alTignate funt.

T^gc ncad nos p:ctcrilTc vtdcamur. ©5
C gis co:umcreinpUi fcqu3mur:ffpccrit ad toz

mm rLfpicicndum:i ci: monrium alttmdicf

p:cclTco:ariomon(Trabarpcrarccnfum p:c(el
flcaajminiaacicm labo^iofcngnacrlap.dib^conrtrutta
rcUgm^*^ ert munita oiftrctac^ loco:um quatitas : qug
permanet fcparimpcraquaru Dtucrgiaivn^acBptcval'
denotaparritio:alia locariparumrfue fuaf p:oindeft
ftboftie nos infeftare voluilTct:co0 er p:orim3 ripa po^
ccram^pugn ado rupcre.T^a (irca rcgionc maririmam
limitcs rcttos ccnfuim^^cj: ladidib-copacttotam limito
rectura turfum ocmonllrabim'':^: (olonic omce qof ad
mare ponunf : lito:c maris tcrminanf . iJlgros (duallia
iureo:din»rio oifpofuim^^quos intcrafiuos notauim',
3n planitie vcro limitcs recrc cultcUauim''.

lcmc^ funr sgri qua mulrialTignati:quo:u5
p m2furalimitulic5 c>iucrfanr:tn ct oirtatafc

flli^db alio i pcdcs.c.ipcdes.t.l.i pcdcs.((tl.

tn pcdcs.ccc.in pedc«.((d)cl.i pcdcs.cccccr.in
|iede0.(C((lricr>in pcdce.d.c.in pcdcs.dcc.i pcdcs.d.ccc
Fl.i rcdcs.d.tccdrti.i pedc8.i.n:.»pede6.i.((.in pcdes.i
ccccjl.i pedcs.t.dc.in pedcs.l.d((.i pedcs.i.dccc.i pcdcs
ii«a.in(onfpectu m longo:quo fignisUmitemagim^.

'J fuerit tcrmin^cralTus anguilaT 1 ab alia pte
8 longa (rafTus geminat^.bi ouo limitee ntayi'
ini oecimiiii^ % (ardo nomian funt. -pn tnul

fa milia pedtimtoncurmnrr nin in alpcs finiant^Diui^
duntagros orjctra lcuaq? rcctamm linorum intcr fc to
tinenrium.

iTDmncmmcnfuram bui^cultiirc mcdij lon
0 gio:cm fiucIatio:c5 fnccrc ticbcs: r quod lari'
fudinc IongiTuerir:f(anum cil:qtiod vcroin
longitudincm longi^fucrit flriga.

■^lnt fundi pcnc mcrrojum:'? p:o cflimo vbcr

0 tat( anguilio:c0 alTignati funr.

idcn macra t arida amplic :i tcrmino conclufa

1 (lint.iountlocafunficaua qufadiusordina
rium nonpcrrincnt:S5 fi pucncrit intcrpof-
fc(To:c0:poiTtdcant. ft non conucncrit: rcntjet

potcnari.

Xia loca pcrfc(no:3 ad ui ? publicuni pcrtinc/
«t.totidcm II polTclTc^ib^conucnit poiTidcnt.

L Ctnt aut Io(a publca bcc:iiuf fcribuntur filua

8 t pafcua publica augulhno:u5: qu? r llo md
alicnari ncqucijt: t p"biTidcnt turrI5 aur rciu'"
plo:um pubIt(o:um;flut balncarum:qu{ lo(a

colliuflappcllant.

jQst eym dufue ?:qui intra finirima lineaj
a c centurias intcriacct.io citra clufus: q: vltra
finitimos limitcs clauditur.

CT £>£ (ontroucrfii 0 ru b :ica .

JE>nrroucrfiarumafcrif funt oucfinisclot'.
c barum alrcra continctur:ouicQd ti agro oifco»
ucnit. O5 qtii bis quoqj pairib^^fignatf ptro
ucrfif oiucrfa«b3titnt conditionce: vtpotui

C50(op;cbcndcrc:p:op:if funtnominandc.

iFnerafunt controucrfiarum.tiiii. OcpofUioc
S tcrmino:a. aDc rcgionc. oc finc. oc lo:o. iDe
oomo p:op:icta8./De pofTclTionr . JDe alluuio
ne.JDeiurctcrrito^iuiDc fubnccmisagna.i^

lotispublias.oclocis rclic^ t crtnKlul 0. ^c loas fa^

cri8a(rcIig!ofi8 . jTcaquf pluuic accclTu: ? be irincri'

tU0.

^ntroucrfiac intcrouos plurcsqi vicinos.i
C tcrouosaninrigo:e fircetcro:uftucr6ni8.ifi
rcr plurcs rrifi niu facit altgb^^Iocis t qdrifini
um Pm p:o>;imas pofleiTioncs:oij boc nef(iilt:n5 ci8 ?ue
nit:-: oiucrfas pn-oucrfiafipfi polTciTo^cs inrer fc faciunt.
2lIi)oe loco:9lii vo dc fine lincf Iirfgiit:alii dfundisarc
dunt.^3 anido mo qucrcndo c p:po:igo caufc. "tt^S pcr
bereditatcs opinionis bui^^gciieri f ptroucrflc fior. quare
itirc o:dinario lirigaf .iP^iTil in tudicio fup poiT flionc
qo finiaf :•; tuc agrimcfo: ad loca irc pcipiaf : vr parcfacta
vcfitatebuiurmodi lirigium to-minctur.

€ ncra ptrou rfta?; crflumincbft funt:n5qj>
S 0(cupa^ agris agif :f5 q6 vie tiquf abflulcrit
rcpctitioncnob^bit.qucres nccfflitatc npc
inunicdc futfinealtcri^^Daiioqfquis illc'faciatqui ripa^
fu3 munict.^fi fluminis fo::c0aliqii ta vioicnf^ jjcur'
rcrir.vtalueo mutct fuu.multo? agros tr5f ripam otcu
pat:fepe ctinlbla0cffi(ic?::£35;caffiU8 16gif.^p:udcrilli
mus turis aucto: f id er boc flarmt: vr gcqd aq labcndo
abflulcrir:pofleiTo: admrttat.qifi.f.ripa M fme altcriuf
©anotucn bcbet: ©i vSsmaio: via oecurrcrit-r in fincs
fllteri^fllueomutatfuu:': fiatinfula:fn quopcun-eritvn"
ofcp modfi fluminis maio:i0 agnofccrc ocbct: t cam in'
lulam ipefibi vindicabif^mi^tcrramrcpcflatiuc ptcoc"
cupauit:qin non pofTciTo:i8 negUgenna:4Dcd tcmpcfla
tie violcntia apparct arrcptum.

C-icr fubfiaiu'^f^m fuasoctcrmtnatioceaftri'
fl pf e in finib'' fuie tabulario Cf faris infcrim'
t q6 bnficio pceiTa aur afl^gnara coioif fucrint
l!ue in p:otimo fiuc intcr alias ciuirare0:lib:o0 bnficio:??
flfcribim^'; afquidaiiud ad ftrumcfU5mcnfo:H prinrbit
ad folficolonic: o^adtabulartumccfariemanuconclito
ria fHbfffiptuin baberc Dcbcbit.

Gecmerrl«

1OCU0

/[5ac fimilie fubficduua pditois ejtraclurua
a ^ n fliTusnatue.ci fi rci publi(c populo romao
autipfiuecolontc: cuiudHne circunclflf: aut
ad populum romanum perti nct oatus no cfl
in eiue:g9(Tignarc potucrit:rcman£t potcftatc.

^gna limitu? ftnaluj i oiucrfis rcgioncs fluc
s Yocabula vicos ucl polTclTiocs bcc funt inter
arrofq5 ponciTo:cstcftioniaagrali9 oiuidC'd{i
i motibu9 loca^arrida i pfragofa pctraf figna
tasinucnim''.

'Umma mdtiu; f mios agoftcos.f. rotundos
9 i cfTigie columnc aliquos liii fignaros arcbaf

finalcs in partibus grumoe.i . pgcric pctra:?:
flrbotesanmiiTasitactafafcrropgcricmaccrie.i.ubifsj;»
toIIccraabvtrifcBPartibus limitc raciunt.itcpctrasfa"
crtficalcs me-.l qbue locis arbozcsitactc ftarcvidcnf .in
quolotovctcrcscrriitcs facrificium facicbant . Sllioloco
vi? militarcs fine faciunt:t; tcrmino muniunf . 'illiave''
ro DCTtcra mc>tium.i.p:oIatc motis ripf currcnrcs fincj
faciut.aliqn fepukbra finc faciiit.id fepulcbra fcqnda fut
q eictrcis finib'^pcurr5ttbu8 plurcs pcurfus agro? e^rpC'
oat.;@ta.n.monumcnt9 oominos tcftantur.

Dnt tcrmini curfo:tiin cffigic tituU pftituti
s certalocariui finalfscunabul? uclnoucrcf :

q6rc5Ul?J"lruif.rco:pioncsvbifinesouocu'
neatifeiunsunr.Sjfoitcicjpcrtrialocafvbiagri ipla
nitie funtpftimti iiugeribus aiTtgnata tiiucniuntur.itcj
iter uo:atos rupis 9rbo:ibus an milTts in tactis ut.s Di
Xi famficalcs tumoz terre in cftlgi? limi^ pftitutos. pe/
tras molarcs foueas ucl mctas lacus t lcgonatus:-: fabzi
tijs pftructo6(9lauiones.2IIiquotics.n. pctrasqdra'
tas f(ripta8:vi idicatrcuius agri gs Onu6:quot fpaciuj
tueanf .TRo.n.ois titulue i fcriptoibus 5 i oucme: qtn
flligbus locis no funt lapides fcripti:^53 in cfrigicm tcr
minoi: pofiti funt:qno6 curfonos vocamus. IRa? i ipH
motc6 oino loca octcrminat.tcrmi vero no vna m^furaj
interrcprinentiubcntcauguftocefarfbalbo mefo:e: qui
oium p:ouincia:? mcnfuras oiftinicit ac occlarauit perc^
teftimonia fupzafcriptjfincs loco:ptcrmincntur.

nnt.n.tcrmini gbus fidcs no e adbibcnda.
6 «fti onr itincrari . 0C8. n.limires itincn pu"

blico Puirc ocbcbunt:gbcrtra ac finiftra fincs
pnuatos t»iuiduntT in medio itcr publiaim.bi talcs n5
funtoibus lods, vticg f«b oes tcrminos fignum inuc-
niri op^.quod crgo inuentum p:o loco tcrmini obPncC
t cuftodiri ocbcatrut ab uno ad unom oirigatur:-? fi no-'
(tefiuean3t99d notam.

3c. n.fiint (crtc legis pfuetndince i obfuatio
s nc3.fcpcrfignu!noibU0tcrminis pofltum?

flutaliquosttneree autcarbocs.aurtcfta: aut
eftaautvit:? 9utmaiTasferri:autacs:aiitcalcc:autgipfu
autva6fictilcinucnimus:qt5ct quibufda faror fragmi
nibuspailcabantarqjitaoiligcntimra pfirmabant: vt
firmius ftarct: talcs ergo fignuj t nr Dnos inf quos fines
terminabanf facicbant:tmtniucron funtoibus locis.f^
inftnita funt multa alia teftimonia Icgc fclittur i intelli
scre airabis.qui ttelUsctqJ? vicJctasraginietoes ^ ter

tocus

tamen tollcre pot.p:udenti5 tfi bt menfozcs ba'- crc 8b?t
qui iudicaturifuntT quosaduocant^utpzeftarozcfii^in iu
dtcando at mcfo:c bonu5 ui^: t iuftu; agcrc ut nuUa am
bitioneautfo:dibusmoucatnr:rcruai'copinioncmctrie
1 mo:ibus O5:oi.n.arnftci ucrirascuftodi^daf . ctcluft
funtilliqui fairapucrisopponunt.gdii pimpudcriatn
gda pcr impcrida pcccat.-ODutans crgoin pfefl^ioequ?
gnalitcrp ucris9di)ctunturpcr?troucrfia argumcnrali'
tcr % piccmralitcr cr fupcrfluc mctiri arttfites cogunf . fj
tutum boc iudicandi bomincm artificcm oportcbit.
CiRoimnaagrimcnfo:um rub:ica.
3gini £Oard ^CffarisneronistulTtt
3uli| 3uni) ^laudicffarioiuiTu

/ronrini

Sml i^YPil 3i^inieu(Udt« iCam.

2lgeni 3BaIbi Xiberit Qfaris iuffu

•^rbid COcnfo:iai longini
C3mperato:i8. S^cuerini:? Slntonini iulTu
fmperato:is vefpafiani iulTu
imperato:tsadriani iuiTu
impcrato:istrfliani iuftu
imperatc»:i6 auguftini ({fari» tuftii
impcrato:is T^cronis iuflu
imperato:isvaIenrini9ni toftii
impcrato:i8 Xbcodofij iuITu
impcrato:i6 inrdjadii fuftu
tmpcrato:isbono:ii iulTu
imperato:isConftanrint iuflu
Clflomina lapidu^ finalium:': artba!? pofitots rub:ica

•tfviogoniusrcctufl rcctumangulum mirtit

3fopleuro8rc(tu0 fub(onftitutus.
ifoftelcs Zcrmin^Iineat?
d(ulcnu6 fiuc crasineus Spatula curfo:ta
Cwultelatus latcribus Xcrmin? \ inuerfti; pofit?
;6umbus fiuc trapidcud itcm fpatula curforia
ifofccles quadrtfintus
^Vae trigonufalia iactat' item qdrtfiniud
•ig)aralel!o gram' p^tagon'. Xermin9 gamat?
Cjragineus frain? linear^.i. qdrifini?

^ptagcnuf itcqdrifini'
.Sinagonuf l^oucrca
Xcrmin^srcca Uttera fcript' Simmatus
"Srcrminusi fummo acutuo ^Centuftatp
jCirculat^eam^itc acuto fitif x:riuo:tin9
it? pcr ram'uitc \\\ft flmir 2Imidrcul9
lCopIet^^romb^ anvpligine9 naroberin?
Sltnicirculusquadraiua Xrudeus
Xcrminus aguftcufi f min9 auguftc?! fuo aciit^
•Xermin9curfo:ius Zapiemolaris
Icrmin9trifini9 jnoonumcntum
^epultur3cu5ofl"tb9finfllc UDaufpIc^
Xermin9inl9tcrcuT jarcafinal'
Xcrmincquadrifiniu» jCippuf
Tcrmin9rorundu8 IRalaflonee
2rcrmin9 cui fubiatctangulj
Xcrmin9(iuadrifini9

tt quiui'6 pfccme <? gromitriaie If ge fflfl oisi
t qu^npiralara funt fubrcriue/l^la tn p:imt0
farcops arirbmcaca artcm: quf cojihnct nu'
mcro^ddacoiuifioncs.i.qualie e([ oiffinitio.acciuino
oeparibae iparibus numcrte.
:0uili«f(lc6porit^nBmcru9: i^HeinfSpofims.
^^ualiseftpcrfccf^numcrus! i qualieipcrftctufl
^alis frt oiuifibili» numcr'':i qoalis induiiflbit*
^ualiflertEtiailarienumcr'':^ quarfnpia particnB.
;@ual' cft lupfl u^numcr*: t qualie oimitiuriu^
:0ualic ef! mulripln; numtr':t quaUe fub multiplc)C
Slualts f n folitrmimcrus: « quatfpbcricue.
^Juomd inufnta eft geomctria.
^uid(U$;eometria. ^ualisfHrfCtueangulue
:0ocvtilitas!. ^QHaliecftaait^angul'
J0oi o:do pjefaiptionis. quali« parrita mcfuni (It.
^of (tf ro pzfpofi tionis quantnm trabit (ladi^
jdufoifpofitionis quidntacue
;@uf oiftriburionis qnid fint climatr
!&ac Drfalprionis quid cf ntua
:S)aeofmonnntfioni9 quidleuua
:0uecon(Iuftoni9 quidan-ap^is
0uaffftreaalinfa quidiug^rum
;0uarefl fupflcice line^ qoid cenntria
;0tMre(loiuitri(alin^a cintdpunaum
f^aai funt ftrremitattt sni( quid cil Diamctrus
;0uot ge nera fHmtranim quid paraleUo gramutn
;0uorgencraangaIo:um quidiigura
Sivali9 e([ planus angul' quid drcotus
;9ualid e fl obtufue anguC quot i partes (It tiuitio
;@uaU0eflbcbc0 angulus

fc 10 ifia oia ad plcmmdin^mofti loco? fegrr
• garionf .1^3 q igno:ltreguI5 bui'arri8:mut
ta oppouar falfa.p vcris.
ID :0uomotrentacflgeometria.
JOb ^nocnrS cc gcomccria te^wti) wat p necelTitate
tfrmino:pr'rc:qiioe niI^iundatoi«tpe infundebat.
JD nndcrocatafitgeomftria.
iCO «5eomcrrifl nominata c adim^fionf eerrt:^ quavnl

ufaiiufq; tcirg rmnini bedatari foU nt.
jD ^uidfirgcomctria.

jCO ^omcrrti e oifcipiina magnitudini» t fignrfta

(tn magnimdincm contemplator.
30 0;Uf(itintentio.

jCO ^ntcntio cuclidie buplctc ad oifripulS refpiacBe
1 ad naturae rcru ad otfcipulil refpicics: q: op^eii
abbie vri ifagogicia icipejn facilitaTep b:cuifate:t
eo q6 in qSnib^^ob iwc nulla fit oiffc ultae. p re?
naturaeo q^ pbifttc kictiiix timei flue platSts oo^
ctrinaplunmageomctricf oemoflrare nofointur.

JD ^Jufvrilitas

jDD Drilitaa(vt§ ^facri rum')geometrietripIc]ce.ad
faailiatS:ad faniratc ad aia;.ad facultat^: vt m«b(B
nict adTanitar? vt media ad atam vi pbilofbpbi.

JD s3uio:do?geometricinoifaplini0.

£0 Slli^ten^pofl arirbmaica 9as caliqren^tn-ri*.
litnliinfaiprioquomoinrclligarar.

iCO ^ fnl titoli pfoiprio elcmfto:^: q figurf Hmplieio
res fntttf^biealifcopoiiunf :q inbieetrefoluaf.

2D ;Sip:op:iU0COde)C.

mO iCodfic iftf f 5 oifpones fHtUdise? of : ftn bemoftra
tione Vf l tnt^onE alio:^ plernc^ ee oicitur.

JD ^nqootpamgoiuidinjr.

jfX) JDioidif (odf r iflf i qmo: gtee I epipe did: in aritb
nuri(i0:tn rdnaUb^c irrattdalib^lincis:? inlfolidif

T> O.uffnntinofmoftratdegeometrica.

gO •piopcMo oifpd:oiftrib«tio oefoiprio ocmoflra
tio.-r conclui^o, i

€ftat ant nobi epfundiiTiml quada; tradere
t oif(ipfina5:4iid.oin5iMtRrc;t&rc¥tnte9riM'

i€ majrime rSnc ptinffll. f^Dagnuc Qppc i i^ac fcla frurt*
?:flQ6n6nefciar:qDbonira0biffmttai fub fcta (adens
BiocBfpimirabiT7pceptibifp:ima naturac:i fuf fubllJ
lif bccozc ppctuaiifintrOvrromaliti? pcdcc^nulli6p:o
p:ii)3 pncipiie nirfufj nj rpcrransab oi Dcfinirocp^ino
pij taniti aliquo ngno optiinc fi^iurc ip:f f^a c oponitiint
er ii(ocrro:i6 fiuau rctinef .THa3 nimiai cnpiclitar? irfc^
imodicajctfrcnarionccifi qd«3rccto:aiu6 pura intclligc
tiaroboiafailringir.lWostn q oc numcris a nidjoma'
10 oifliifluo oifpiifara funt vcl a varronc uc mcfuria ofi
fa fiit modcrara b:cuirare ccllcgim'. tFt qiif rranfcurti
veloci^^anguflio^cinfclig^tif pllabantadita:medtoai
adicctce rcf^auim": vt alt qfi ad cutdcntias rc:?: nf is ctiam
fo:murac ocfcriptionib^vtcrcmur. q6 nobis risvigi'
liis ac fudo:e ?fIitcrit:faciIe.fob:i^lccro: agnofor. t5 1 ba«
quodanimo ff ^litaris fo;ma6 rcpara boniratc labo^aU''
do coUcgim^:ipfe lcct :|>babtt:qi!f nog ex grf cav opul^
tia If a V in romaml o^atdis tbcfaurii ptrabim^: j£>i q cr
fapif bcctrinie cmiciierijt fapicntifTimi iudiao p no6c5
p:obcnf .Hidcs igtf : vt taj m3o;ni labo:i8 ctTca^tuij ttii
lfao:frpeaeteramen.f!eci9urc6 p^odircpiiblicas ni(i
ooctf fnif ad flipulatoc nitaf .qi5 nibil mtrij videri ^bet
<S id op^quod fapif inucta pfegf :n5 aucro:is. io^ « iJ^o
inalbatarbirrio.ert.n.SapIanumcrov (aei oiuinonef
car{j:quf vcra c f05ni»io t inrcgrac6p:cbcfio. q(5 bfc Q
fpnit.i.fcmita? fapic:et ocnijtior.oicfrepbilofopbandu.
IIDccafite aritbmff ica.bfc.n.cfiais p:io: c:nd m5 quod
banc illcbin"mundanf molte pdiio: oe"p:in:a5 fuf ba'
btiit'rocinatoi6 crcplar :-: ad banc (ilcta pllituit:quf oici5
fabricatarationcp numc:e afTignariordinis invcn ercco
co:dia5.f5bo£quoq5p:io;aiiti>ineTi(a oeclaraf :qi3 quf
CiJCBnap^io^afut^bisfubla^lmulpoflfrtorarolluntur
fj portcrio:apercanr nibil oe flatu p:io:is fubrtanrif
gmurar: vt aial p;ius c boie.tla^ fl tollao afal (lati quo'-
<^bots namra oelcta fir.fi bomihc fuf^ulcris : aial non
pibit:.pp:icnjipfa numcro:5iiatura cucta p:ecelTit. ota
fluf (ocB a p:imcua rcr natura confiructa fijt:vid£nf nu'
inero:Sr6nc fo:mara. K>oc. n. fuitprinapalc in animo
pdito;ise?:cplar.l{:?ic.n.qftio:elem?to^: mulritudo tna
tuara ?.BDtnc tpo:?: vices, binc mot^^ailro^ij: ccliq^ woer
llo. •^:opyctn ipfa niimeroru natura omcs adrotH cur
fu«.otrcpaflronomicar6connituta a. SJtc.n.oK^^occa^
fuf<B(olligim'.f?crarditatesvelocitatcfq5 erranriu fidf:p
<uflodim'.(?(J?fea'-r mulriplices Innf variarocB agnofri
mus.qf qin po::vtclaraitaritbmcficc icfus c.biiic oifpu
tatois fum«m'epD:diij.boc iicin gcomcrria vtl tn arirb
tncticavfincurrere.:Si.n,numcroarolla6:vndctriaH '
SHlo vclqu«dratiJ<c»p:cb?dercpoiTum' Vflqcquidin
jgcometriaverifaf :qoi9 numcrov ocnominariua ftit.boc
«ik crir pfpKua fi intdltgam^ocs inf qlirarcs af uuTe p:i
.itio:dijs:vtipfa quodammofQtas marris -: radinsob
tin^s vim ipfaocs iijfqliraris fpcso:dincfq5 p:0funda
lur. :Sint.n.nobi8 tres bini vcl aes terni vcl rres qua
tanivdquantos vltra libetponcre.quod.n.in bie tri"
b^termiscn^itidcpringitincf is.cjcbis igif f^mpcc<'
f»n nortri o:dinc vidcas pm» nairi mulriplicce n oueita
tur.iin IMs ouplitce p:i':i5 binctriplos indeqdruplof
5 ad eade o:din2 pfc^ntcs.lRurfiie uiulripliccfl fi pncr
4anf:ci:biefupparticu(9re9o:ienf.iF)couplicibnsqde5
fefquaUeri.!5Ftri£liob^lefgftilf)c^drupli6 fcfqquarri ?
<f tcri in bwc modu.jEr fiipparria]larib'^vcio piic rHs fup
parrictcsnafrincccfTcfiravrerfefqltcro iia'caf fupbipaf
lies fupmpartict^ fcfqterti^gignat vter fcfqqrto fupcr
ijtlripartiens.tlec^aitpofl^ necBPucrfis p:io;tb'fup
parriajlarib^mulfiplifesfuppartiojlares o:junf . if^c^
«tisvero rupparnftib^muIripUcce fupparrienree cfficiut
lp):eceptB ai1r tria bc c fiint: vt pmu nume^: pmo Qr iaa
parc . ©OJo VCTO pmus t Po tcrriu5:pmo buob"' ffcudia
T terrio.ai5.n.cS in f minis f qualibus fac ris ci* bis qui
ii9(i;mf:Dupli(e0(runt: /Degf)M bupUabus nidetn

Gcomcrh»

ftccrfsm-fpliccs pwcrfsiimr . Ctwbfa qiiadruplkc*

»qy \n infinitiimocB fo:mJ9 niimcri miiltiplicfe[fipli
cabio/jl.i Qclcm qiio:6 parrcs vlrra qua fm& f kiCQtxe
rinr^dipftiii nominantiir: vt funr.rii. vcl.vviiii. 115i cni
fnifl pribuecopaMtimaio:cmparti«fnma5 rofoco:po
rc foniunrur.? cnij ouodcnaromcdictae.vi.Detcrtia.
iiii.g6quarta.iii,par>jfc)cta.ii.par6Duodccima.i.iDif
qibiccumulus rcdrldat in.rri.; totius coifjio fui mul
tirudincm vincut.iivurfua.viciiif.nHmcri incdictas e\\
jrii.terria.viii.quarr3.vi.£>cm.iin'. 0aaua.ii>. IDuo
dccima.if . visefimaquarfa.i. t.^ui oce.tfc vi. rcpnidiTt
iu qua rc manirefium c quod fuma parrii: maio: c:t fii'
p:a.pp:iu co:pu9 crundat.Slfqs bic quidc cui^^compoli
fcprce rori^fcrmini mulrifudlncfupantur:vt.vii|. vcl
]ciiii.b5 cni octonariug pte mcd;.T idcft.iiii.b5 1 quartaj
quod cft.ij^bj -r ocrauam.i. Qiiccunrc in vnu5 rcducte
fcprccoUigutmino^c.f.fiima^ fotoco:po:e ?cludcntC9,
*iRurfu9qu3tuo:dccim bab'; mcdictatcidcft.viibabct
fcptima idcft.il. b;qii3rt3mdfcimaidcft.i.€}ucnivnu5
collccTf finr ocnarii numcri fiima fuccrcrcit:toto.f,tcrmt'
no mino:.at.ii , qui boc modo funt vt pno: lUc quc5 fug
gtc9ru2ant:talc0 vidcanturtant^fiasmultie fup na>
tura manib^natus: aut oupliciccniunctus co:po:c vcl
quid vnqua monftruofum natur? in partiQ mnltiplica
ti-ncfubripuit.

cr3llcvcromino:cs:vtfinaturalirfr quadS ncccftaria
gre c>ctra(f3:aut min^oculonafccrcf :vcl alio currat^mf
b:o:naturalc toti'^fuq plcnitudini9 Difpcndium fo:tirc
tur.intcrb09autvclutintcrfqual£9 int^pantiag mc"
dit rempamcriilimitig fo:rif^c illcnumcr^apcrfcct''^?
eeYirtufie.f.emulato:,^uinccfupuacuap:of!rciTionc
oir{s;itur.ncc ptracta rurfu6 oiminurione rcmirtif . S>5
mcdicrari 6'obrincr:g fuis f quie partib^^ncc graiTat aba
d3nris:ncc'c5crin opiarvt.vi.vcliccviii.lRSq^ fena'
riU8 b5 ptcm mcdiam idcft.iii.-z rcrri.i idcft.ii.i fcrtani
ideft.i.Ji2uein vna fumS fircd9ctc,nnridcft.iii,ii.i,par
totu numcri co:pu0 fuis ptib^i nucnif .ijcviii.vcro l?a''
bct mcdictatc.viii .-r qu5t3. vii.-z fcptimS.iiij.T.miii,.
ii.vijcnmaoctauam.i.^ucin vnnrcdaaatorffpribua
corpu6 fquabunt.in vno.n.iunctcptcg.vvviii.cfficint
Cft afft in bi9 quocB magna fimilitudo virrurig:^ ritii
pcrfccfos.n .numcroe rare inucnic6:cofci5 facilc numcra
bilc6: quippc qui pauci funr:? nimi9 conftantio:dine
p:ocrc9ti. 2lt vcro (uperfluoe infinitos rcppiC9 necvl /
Ii9o:dimbu6 palTi5 io:dinatccB cifpofitos:c a nuUoccr
to finc gcncratog. ;Sunt aut ^^fecti numcri itra dcnariuj
riumcrum.vi.inrra ccntcnariuin.ictviii. 'Jnri-a mille"
narium.cccctvi.^ntra oeccm milia.diii.T.cvtviii.tEt
fcinpbi numcri ouob^^paribus tcrminantur. vi.T.vii?.
gf ftmpcr flltemarim i bo9 numcro9 fummaru finc6,p
ucniVnr.lRam-rpnmum.vi.tndc.vyviii.poftbog.cccc
vcvi Jdetn fenariug qui p^im^^^poft qultdiii.cvxviii.
3dem oaonarius qui fccundua.

Sliojis vcro in? qualitaris numcri qirticp fiit
m partes.cft.n. vna quc vocatur mulripicv:9lia
faperparftcuIari^.Xntia fa^partien6. quar^
ta multiplcv fuppartioilaris.^uinta muUi^
pIerTaperpam'en9.l^i9'(gitar gncg m«io:i9 partibu»
oppofitc funt alif quinqs part<6:quf mino:i9 figillatim
fpcbus bifdem noibU9nunaipanturfolattn p:epofiti
cne oiiTanres.EDr.n.fub muUiplcv.fub fuepartitulari»
fub fupparric9.fub mulriplev fupparticulari6:fub mul
tiplcc fupparricn9.in p:imapte fi mulnplicatur numc
me mulripler oiric.^n^ parte fupparticularie t>i({f.
3n rertia fuppartic^.t quartamulriplcv fupparricularis
3n quira muUipIcv fupparticng mino:c9f 0 nunuri alt
qua ptc vn'fabfcn9 atq? ide g parte6 P5 maio:a no:m3
tnuUitudincq? p:otcndif .

CJDe p3ribu9 1 iparibn9'ntimeris.*iRub:ica.
0 6fi;riptioatHqu(fuppoficaebo(mofiiaac:qu«

ro9f5ci5 iii o:dinf paritcr pariff mimcro:Jrrem«ri*i«f>
mcru9muUiplicauir: quicuci5CVcap:ocrcari funtpm»
funt vcrfu otfpofiti , iRurfus g codcm mulriplicjtc qui
nario nari funt^fccudo locofunrcoftituti.ipoft vo qtios
fcpfcnariue cf rfro9 muUiplscang.pcrcautricofdcm rcr/
tiopi1ituiHm6lo(o:.ifci5 idcinreliqua ocfcripttotepte
Kfinmu0:fupcri^i5if ot^cftc ocfcriprionie bfcrocft: ft
Rd Iatttudincmrcfpiaa0:vbieftouo:ii ffrmino:u5 vna
mcdicra6:ipfofq3 termtno6 iungae: ouplo6 cos pp:ia
mcdicrarc rcpcrirgtT.vwvi.T.vv.fflciunr.I vi.quog me-'
dietaecft.ttviii.T .vii.ft iungae fariunt-ri. quo:um.vr.
mcdiftaumcdi^eo^umtcrmin^inuenif.^cvcrovbi ou
80 mcdictatc6 1:«abct:vtrcqj cvritmitatcs luiicte vtrifc^
medictfltib^equ3!c6fiunt:vt.vii.i.vvvvi.oijconiunve''
ri9 fiunt.rlviii.ho^ n mcdii titc6 fibim t app[t(aucri9.
idcft .vr.T.vvviii.idc ciit. '^tq^m alia partc larirudinia
codco:dincqui fiunrnumcri notarifu nt: ncqj viuire
ra'io vtnufct', latirudinieoilcrcpauir. '3dcciuodcmoj
dine i c? terie numcrie p notabi9.^f boc fcom fo:ma pa
ritcr ipari9 numcri fit:i quo !>9nc,pp:icrarcin cc fup:a il
oiftum cft.lf\urfu9 ft 3d lonsitudinfrefpit iae:vbi ouo
tcimini vnamcdictarcbabcnt:quodfirfvinulriplicatif
cttrcmitatib':boc fitfi mediu6 rcrmin^^fuf capiccplura
lUati0augumct9.111.iouodccie6.vlviii,faaunf.d.l)lvvi
c\)edi^vero eo:u rermin^idcit.itiiii .ft inuUtpItccf cof'
de5rurfu6.d.Itvvi.pcrcabit.€frurfuen.rvtiti.i.Ivlvi.
mtiUipliccrur f?ciut ii.ccaiii. ^uo^ mcdi^rcrmin^idcft,
irlviii.ft in ffmctipfff Durflrur:idc.ii,ccciiii.p:ocrcanrar.
vbi aut buo tcrmmi ouae mcdietatee indudunr^quod
flt inuUipl!cari9crtrcmitanb^-boctdcrcdditur inaltC'
rutra; fiimn mcdictarib^^oucti^.iDuedciiCL^n.lvIvi.ml'
tiplicari6.i.c.lt(,p20£rcanf .buf Vfro co:ff mcdicrarc0.i.
jnciiii.T.vl viii.fi in fcmcripfa6mulripliccntur:cofdcm.
f.(Ui.rcftiruenc.9tq;boc!idimirationc(ognarionc'q3nu
meri paritcr pari6:a quo partict^parionc rracta bccci reco
gnofcirur ingcncrata.pp^ictae, ^ t i alio vero latcrc lon /
gitudinie eadcm ro ocfcripriocp notata ?. @ua l rc ma'
nifcftn eft totff numerti.et fuaio:ib^ouob^ccp(rcaf u: q6
co:nretiner.pp:ictare9 . ^ti"i affr naturalircr 1 Pm.pp:ia
o:dini6 pfcquettam mulriplice tfqualttati6 fpcm mn'
tti^p^cpofuim^^^p^imSq? fpcm ce monrtrautm':liC5 boc
nobi8poftcrio:i6 opi0o:dincclarcfcaf. IDicqucq^per/'
ftrigcntC5 id quod.ppofuim^^planiffimc b:cuitcrq5 x^o"
ccatiiu6:nr,n.rali8 ocfcriptioiquaponatur in o:dincni
vfcBfldbcnariff numcrumcotinui numcrio:donarurfl'
lie:i recffdo vcrfu Duplus o:dotcramr.tcrtio vcro tripl"
:@U3rto9utqu3dmplu6 1 boc vfq? ad occuplff. S^ic cni
cognofcciim0 qncadmodu fupcrparriculari 1 fuperparti
cnti:? cffrti6 aiife p:inccp6erir fp?6 muUipIios:': quc
dam alia fimul ifpiciemu^:-? ad fubrilitatcm fcnuiiTima
1 fld fciemiam vtiliiTima:'? ad evacitatione valdc iocun'
diftimfl.

3'ic!if ouo pma laterfl p:? pofitf fo:mulf .q fn"
0 ciff r angulff ab vno ad occc occe.pced^rifl rc''

fpicianf,': bi0fubrerio:c6o:dic6coparenf: q
.f.fl.liii.angulffiapicrc^ inviccno^rcrminff poniit.JDH
plcr.i.pma fp^amuUipliatari^oftcdit irsvt p:im'p:i
mff fola fupercrvnitatci.ouo vnum:fc(ffdu6 fc6m bina
rioTupcr vadat vtquaternari''binarii3. Tcrti^tcrttfinv
ba0: vt fcnan^tcrnariffquartu^ quarta qtcrnarii.nBme
roft tatc rran fccdat v t octo qternariS f pcr candc cnncti fe
quentia fe fc mino:i9 pluralitfltep:?fereant.

3vero tcrtiue angulus infpiciatunqui ab no
B ucm incboan^Iongitudinelatttudinccptrf

teni6altrinfccu8 numcriscvtendit: ? bic cum

p:ima larirudine 1 longiriidtnecopareriir: trf
pIevfpede9mHlripIicitari0occurrititfl vt iftatompflra
tio per oecim.i littcra fiat:bi qg fe numeri fupabot P5 pa
rilitfl^ faaa nSrr pnerione:lP:imu6.n.p:imff cuob^^fu
perat: vtvnutr(8:feco(JUd quaternario: vt binarium

2ibcr m

t!0

ftniri^: Zati^ttrtium (e%: vt frniarius noiifnari^T gd ca
dc Cfteri modilpgrcirtonis jccrefcunr. ^ua rc nobie fcs
7ipii naruraliaob iccit irfgritaip.-nibil nobiocvtrama'
cbinaniib^:rr in ipfo modiilo ocfcriptionis apparct.

•jasautiirrian^iilitcrminiimrflffdcci numc
0 ri Qditatc norat^^T longirudinc: c]uc iii qm
drascnoetcrnvnat^vclitfupio^iv^comparfl'
rcp.r.Utctrc fo:mai.uio:tioiiccoU3t3 cjdi upli
crmultitadincpnorabit:bifii5Co:ditiabilis fuptc pzo-
greiTio:vtp:i!n'Vnniiirrib'fupcf:vtCituo: vnitatc. fe-'
tiidae fc6m fcnario vincat:vt octo binariunt^rcrti^^tcrti
nm noucnariotranftat vt Duoctcnariuetcriiariii •.ife"
qu^tcs famulctriii fcfcmp adicaaquitiratetranfiliaiit.
€trifl9fubteri02e9afpiciatflngulrt6:3dcni pocs multi
pltdtfltte fp^s vfct id oecDplum bifpofitiirima o:dinati
«nrp»)ueniet.

iQsvcroibat oefcriptione fupparticularea
• rcgr3t:talim5rcppier.£>i.n.fcDm0ngulum
notet^cui^^cft initiii quatertian'' : cicp fiip lacct
binariue atc^ad buc fcciucntc^ qs accomodct
02dinc:rcfquaItcra.ppo:rio Dcdaraf . ■Ma terti^fccundi
verfue ftfqualter c-vttrcsad C»uo:veI fccad.iiii. vcl no
Dcm ad fejr.vcl .lif.ad. viii.^r? 1 1 fftcrie qni funt ic4/
dc feric numcri» talie coniugatio mtfceatunnulla vane
tarisoiirimilitudo fubripict.cadcm tamS famaro fupcr
Srcfrto c in boc quoc^:quf in DupIicibTuit^iibzimus.n.
p:imu idcfl tcrnarius binarin vno fupat.fccundusvcro
ft&m ouob^^.tcrt^^tcrriu tribus:T oriufcps. S>i vo qrt^
o:dotcrtiotoparcf:vt.iiii.ad.iii.': codcjtftcros o:difle
pfcttcris: fcfQrcrria tSparatio colligif : vt.iii j.ad.iii . vtl
'Viii.ad.vi.vd.rii.ad.viiij.^^idcsnevtioib^isfcfg"
mri9foparatiocftructur.iib:ctcrcaeosQfub ipfie filr:
fiidetacieno fcquctcs vafusaltcri^^coparaueris.
flneviio ipeditncnto fpcs fupparticularigasnofces.hot
aatibflcc oifponeoiuinii:quodocs angularcs numeri
tttnigoniiat.Xetrason'at)tof:vtb:euintmeoica:quocJ

?t iflti^c]irpli(flbi'tur:qufm ouo cqualte numrri tnuitipli
cat: vtibacquoQj ocrcripiionccfl.vn''.n.fcmtlvn"ffl:
icpotcrtaie tttrason^.Oficbisouo.iiij.frit.tcitrce. ir.
quos in ftmcripfos multiplicaroes p:inio:diie pficcriit
jiircuipfosvcroQfitt vclcrtciiciiansularcelongiliitm
numtri funt.losilarcrosailt vcfo:quo6 vno fc lupgrc
dictcs numcri iiuilciplicant. irciKiiti.lflDUoiuntt fcjc:
f5 ^uo nafcunf cv vno t ouob^^^cfivnfj bie multiplicauc
ris.£)5 vnirasa binario vnitarc p2f ccdif . vi. vcro ev
^Hwb^trib^.bis.n.trcsfenartorcddunt.Ulouenarium
vero fcr 1 Duodcci cIaudunt:Q oucdeci cirrlb^iiafciJtur t
liii. ler. n.itii .fiunt.rii. fcnari'^ vi ro c>: ouob' 7 nibus.
bis.n.tcr fifit. vi. sSui 0 cs vno niato^tb^^larcrib^.pcrcd
ti funt.lHi CU5 vi.cv binario rernarioq} nalcunf .ii|. bi'
nariil numcrfi vno fug4t:ci5ftici3 fllij ciufdc modi fiit: vt
p2imo T fftf 0 o:dtne aci altcrucrfi mulriplicatis tcminis
iicrccnf ita:vt qi> nafcif cx ouob^poftrts longi latcr-sal
crifct' bis mcdio tctragono tctragon^fit. € t rurfus qb
tx ouob^^altrifccus tc trascnis t vho incdio Idgilato bis
tactonafcitunipfequoi^tctrasonTit 1 vtansulo:i7ro
ti^ocfcriprionis ad ansularcs tctragcnos pofiror vni
iisanguIi:fitp:iinavnita6.?lItcri'vcroQptraf:tcrtia
bini veroaltrifcc^anguli fecudasbcnr vnitatcs:': cuo
flngulariii terragono:ii jngulifquu rafiuut:q«? fubipHs
princf:iIltq&fttabvnoillo2u:QeaItrinfccus;aiisulo:o.
-»lX)ulta.H.fut alia quf i bac oefcriptioc vtilta porTint acl
inirflbiliaq3ppedi:quf itcrim.pptcrcanisara^irrodufcii
di b^euitatc ignota ecpmittimus.THunf vtroad fcquc
tia pjopofitum (onuertamue.

C^eitttiis 3ttipze(fum Boerij opusp "Joancj 1 ^Grc
S02iij oe grc go:ijs frarrcs ff lici cjitu ad finS vftp pduftti
atf uratiiTitnccB emcdatu anno bumane rcfiaurationis.
i492.oic.i8.augul!i.2lugurtino'i8arbadifo^cmflri
tno Denaiarumpjincipc 'd\cm pu.rcnctc.

21

2Initiim31i|'
pcrge qucfo
Nomcdiom

7&
Jiootcnim
atfllia crant
tionabilitflte
fl

ilniti? milii
que quonio
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tit:$ fllt
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gramflticfl in
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tio^ib^oifcns
Iflmquffic
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mo argumcn
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qm aiitcm
inucniri non

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JOANNES AND GREGORIUS DE GREGORIIS,

DE FORTLIVIO

BOETHIUS, Ancius Manlius Torquatus Severinus. Arith-
metica Geometrica et Musica Boe^tii. 18 August, 1492.

Hain 3351.

Printed with gothic type, in two
columns, 70 lines to a column. It has
67 leaves, nunibered as ff. 155-220. This
is the latter portion of Vol. I of the
works of Boethius; the "regristrum" on

Q ^

the last leaf is for the whole volume.
The size of a leaf is 282 X I93 mm., and
the text in a column measures 220 X 72
mm. There are numerous musical and
geometrical diagrams.

Boethius, a descendant of the famous family of the Anicii, was born in Rome
in 480, and was executed in a prison at Pavia in 524. A Christian by faith, he
was a pagan in culture — one of the last Romans who w^as still steeped in
Greek literature and philosophy. Boethius's most famous work is "The Con-
solation of Philosophy," which was translated into Anglo-Saxon by King
Alfred, and into English by Queen Elizabeth. His mathematical writings,
though they represent only a tiny fragment of Greek mathematics, were the
chief source of mathematical learning in the early Middle Ages.

The arithmetic of Boethius was based upon the Greek work of Nicho-
machus, a Greek philosopher, who flourished about 100 A.D. It relates, how-
ever, only to the theory of numbers, leaving out entirely practical calcu-
lations. As the author remarks in the preface, he abridged Nichomachus's
work when he thought it necessary, and occasionally introduced new formulae
and diagrams to bring out clearer the meaning. The first edition of the
"Arithmetic" was published at Augsburg in 1488 by Erhard Ratdolt ; the
Library has a copy.

Boethius's treatise on music, in five books, is the only extant Latin work
on the subject. Like Pythagoras, Boethius believed that music cannot be
trusted to the ear alone, but must be supported by physical experiments.

The geometry of Boethius is an extract from Euclid's "Elements." It
contains the definitions, postulates, axioms, and theorems of the first three
books, without giving the proofs.

Received in September, 1859.